理论力学 10 质点运动微分方程

例10-1 小球质量为m，悬挂于长为l的细绳上。小 球在铅垂面内摆动时，在最低处时速度的大小为v ；摆 到最高处时，绳与铅垂线夹角为j ，如图10-4所示，此 时小球速度为零。试计算小球在最低与最高位置时绳的 拉力。 解：小球作圆周运动，受有重力 G = m g和线的拉力 F 作用，在最低处 有法向加速度为： an v2 / l 由质点运动微分方程沿法向投影式：
10.2 质点运动微分方程 牛顿第二定律，建立了质点的加速度与作用力的 关系。当质点受到n个力 F1，… ， Fn 。作用时，式 （10-1）写成 m a F (10-3) 将式（10-3）中的加速度表示为位置参数的导数形式， 就得到各种形式质点运动微分方程。
10.2.1 矢量形式 设质点M的质量为m，作用于其上的合力为：F F 矢径为r，加速度为a ，如图10-2所示。 z 由运动学知：
令：
g
m
x x 0 y y g
解：这是二个自由度的平面曲线运动。求质点的 运动方程，属于第二类问题。应用直角坐标形式的质 v y 点运动微分方程进行求解。 θ F （1）以质点作为研究对象。 v G （2）受力分析：质点在任意 a x 位置处受重力G和阻力F作用。 图 10-7 （3）列运动方程求解：
0
mx F cos g v cos g x my F sin G g v sin mg g y mg
直线运动。
首先，定律指出不受力作用的质点（包括受平
衡力系作用的质点），不是处于静止状态，就是保 持匀速直线运动。这种性质称为惯性（Inertia）。 第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，故又称为 惯性定律。
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改
变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律） 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。 设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的 作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律 可表示为 （10-1） ma F vLeabharlann 0 v0v dv
R H R
dx g R 2 x
2
火箭能达到的高度H
H
1 2 1 2 1 v0 g R 2 R RH 2 v0 R
2 0
2g R v
(e)
讨论：欲使火箭脱离地球引力，所需初速度 v0 应 多大？ 欲使火箭不受地球引力作用，必须要求 x = R +H → ∞，由于R为常量，由式（e）知，即要求
2 2 x a cos t x 2 2 y b sin t y
由式（10-5）求得作用力F在坐标轴上的投影：
Fx m x 2m x
Fy m y 2m y
故力F 的大小为：F
Fx2 Fy2 2 m x 2 y 2 2 m r
式（10-1）称为质点动力学基本方程。当 质点同时受多个力作用时，式（10-1）右 端的F应理解为是这些力的合力，即
M a F
由该定律可知，以同样的力作用在不同质量的质 点上，质量愈大的质点获得的加速度愈小，也就不易 改变它的运动状态。这就说明了较大的质量具有较大 的惯性。因此，质量是质点惯性的度量。
系，是指由有限个或无限个有一定联系的质点所组成
的系统。这样，任何物体（包括固体、液体、气体） 都可以看作是某个质点系。刚体则是各质点之间距离 保持不变的特殊质点系。 动力学可分为质点动力学和质点系动力学。前者 是后者的基础。
10.1 动力学基本定律 第一定律（惯性定律） 不受任何力作用的质点，将保持静止或作匀速
a d r dt2
o
2
M(x,y,z)
v
r F
y
代入式（10-3）得
d2 r m 2 F dt
（10-4）
x
图10-2
式（10-4）即为质点运动微分方程的矢量形式。
10.2.2 直角坐标形式
把式（10-4）投影到直角坐标系oxyz的三个坐标 轴上（见图10-2），并注意到
d2 x a x 2 x dt
m
分离变量积分式(c)
dt
2

x
2
(c)
d2 x dv dv d x dv 因为 v 2 dt dt d x dt dx dv mg R2 2 dx mv v dv g R 2 2 dx x x
(d)
初始条件为：当 t = 0 时，x = R ，v = v 0 ；当火箭到最大 高度 H 时，x m a x = R + H，v = 0；对式 (d) 积分得：
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所 受引力 F 之大小与它到地心距离的平方成反比，求火箭 所能到达的最大高度。 x 解：（1）取火箭为对象，视为质点。 （2）受力分析，火箭在任意位置 x 处，仅受地球引力F 作用。由题意知， F 的大小与 x2 成反比，设 u 为比例系数， 则有：
(10-6)
式（10-6）称为质点运动微分方程的自然坐标形式。在 运动轨迹己知的情况下，宜采用自然形式的方程。
10.3 质点动力学的两类基本问 题 第一类问题——己知质点的运动，求作用于质点 上的。 若己知质点的运动轨迹，选择相应坐标系，列出 质点的运动方程，运用微分运算，便可求得加速度在 坐标轴上的投影，由质点运动微分方程求出要求的力。 因此，求解第一类问题归结为微分问题。 第二类问题——己知作用在质点上的力，求质点 的运动。 这类问题的求解归结为质点运动微分方程的积分。 如作用于质点上的力是常力，或力为时间、位置坐标、 速度的简单函数，积分一般不会有困难；如果该函数关 系比般复杂，会使积分计算遇到困难，甚至有时只能求 得近似解。此外，要确定积分常数，还需给出质点运动 的初始条件，即质点t = 0时的初始位置，初始速度等。
d2 y a y 2 y dt
d2 z az 2 z dt
Fx F x
Fy F y
Fz Fz
得质点运动微分方程的直角坐标形式：
mx Fx my Fy mz Fz
(10-5)
10.2.3 自然坐标形式 设已知质点M的轨迹曲线如图10-3 所示。以轨迹曲线上质点所在处为坐标 原点，取自然轴系，并把式（10-3）向 各轴投影，由运动学知：
r 是质点 M 到原点O 的距离(称为极距)，F 的余弦方向是
Fy Fx x y cos( F , i ) cos( F , j) F r F r 作用力 F Fx i Fy j 2m ( x i y j ) 2m r
可见，力F 与 M点的矢径 r 的方向相反，也就是说 F 指向原点O。这种作用线恒通过固定点的力称为有心 力。而这个固定点则称为力心。 以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可 归纳出求解第一类问题的步骤如下： （1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
a d s v ; a n d t2
2 2
(+) b τ M 图 10-3
n
(－)
; ab 0 ; F F
; Fn F n ; Fb F b
分别表示加速度a和力F在自然轴轴上的投影，则
d 2s ma m 2 F dt 2 v man m Fn mab 0 Fb
例10-2 设质点M在固定平面内运动，如图10-5所 x a cos t ， 示。己知质点的质量是m，运动方程是： y b sin t ，其中，a，b和都是常量。求作用于质点 y 的力F。 v M x 解：本题属于第一类基本问 F y x O 题，采用直角坐标形式的质点运动 微分方程进行求解。 小球在任一瞬时所受主动力未知， 图 10-5 可假设它在坐标轴上的投影为F x和F y，对小球的运动 方程求导，求出M点的加速度在固定坐标轴上的投影：
F F
图
10-1
在第二定律中，力与加速度是瞬时关系，即只要某 瞬时作用在质点上的合力不为零，则在该瞬时必有确定 的加速度；没有力作用或作用的合力为零，则加速度为 零。 在地球表面，物体受重力G作用而产生的自由落体 加速度 g称为重力加速度。设物体的质量为m ，根据第 二定律则有： G G mg ; m （10-2）
2 2gR v0 0
即
v0 2gR
v0 = 11.2 km / s
（f ）
将 g 9.8 103 km / s 2 及 R 6370 km 代入式（f）得
这就是火箭脱离地球引力所需的最小发射速度，称为 第二宇宙速度或逃逸速度。
例10-4 在重力作用下以仰角a初速 v0 抛射一质 点（见图10-7）。假设空气阻力与速度一次方成正比， 与速度方向相反( F = -gv) ， g为阻力系数。求抛射体 的运动方程。
动力学研究的两类力学模型是：质点（Particle）
和质点系（System of particles）。所谓质点，是指具
有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物 体。例如，在研究地球环绕太阳的运行规律时，就可 以不考虑地球的形状和大小尺寸，而把它抽象为一个 质量集中于质心（Center of mass）的质点；所谓质点
M F H x R O
当火箭处于地面时，即 x = R 时 F = m g ，由式(a)可得 u = mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大 2 m g R 小为 (b)
u F 2 x
(a)
图 10-6
F=