高等数学 习题册解答_9.多元函数微分(青岛理工大学)

x0
x
（2fx(a,b)）
§3 全微分
1、单选题
（1）二元函数 f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的
__________
(A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分又非必要条件
（2）对于二元函数 f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
证明曲面
z
xf
(
y ) 上任意一点 x
M (x0,
y0 , z0 ), ( x0
0)
处的切平面都通过原点
7、设 F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数 t, 总有 F (tx,ty,tz) t k F (x, y, z)
k 为自然数，试证：曲面 F(x,y,z)=0 上任意一点的切平面都相交于一定点
f1/ (1,1)
a,
f
/ 2
(1,1)
b
又，(x) f x, f [x, f (x, x)] 求 (1).和 / (1)
(1) , (a+ab+ab2+b3)
§5 隐函数的求导公式
1、 设 y ln y x y ，求 dy dx
解：令
F ( x,
y)
y ln
y
x
y
，
Fx
1, Fy
ln
y, dy dx
及法线方程 x 1 y 1 z 2 2 3 2
4、 设 f (u, v) 可微，证明由方程 f (ax bz, ay bz) 0 所确定的曲面在任一点处的切平面与一
定向量平行
证明：令 F(x, y, z) f (ax bz,ay bz) ，则
Fx
f1a, Fy
f2a, Fz
bf1
解： dz = cost.(sin t)et 1 et ln sin t (sin t)et et dt
2、 设 z ( x y)2x3y , ，求 z , z x y
z (2x 3y)(x y)2x3y1 3(x y)2x3y ln(x y), y
3、
设
z
xn
f
y ( x2
)，
f
1 ln y
2、 设 z z(x, y) 由方程 x 2 y 2 z 2 yf ( z ) 确定，其中 f 可微，证明 y
(x 2 y 2 z 2 ) z 2xy z 2xz
x
y
3、 设 z z(x, y) 由方程 x e yz 所确定，其中 f 可微，求 2 z
z
xy
z z , z z , x x(1 z) y 1 z
f y (x)) 。
7、设 z
z(u,
v)
，且变换
u
v
x 2y x ay
可把方程
6
2 x
z
2
2z xy
2z y 2
=0
化为
2z uv
0，
其中 z 具有二阶连续偏导数，求常数 a 的值 (a 3)
证明： z z z x u v
z 2 z a z y u v
2z 2z 2z 2u x 2 u 2 uv v 2
可微，证明 x z 2 y z nz x y
4、 设 z
f (x2
y 2 ,2xy) ，其中
f
具有二阶连续偏导数，求 2 z ， 2 z ， x 2 xy
2z y 2
解：
z x
2xf1
2
yf
2
,
z y
2 yf1
2
xf
2
,
2z xy
2x(
f11(2 y)
f12 2x) 2
f2
2 y(
f21(2 y)
第九章 多元函数的微分法及其应用
§1
多元函数概念
一、设 f (x, y) x2 y2 ,(x, y) x2 y2 , 求: f [(x, y), y2 ] .
答案：f ( ( x, y), y 2 ) ( x 2 y 2 )2 y 4 x 4 2x 2 y 2 2 y 4
二、求下列函数的定义域：
证明 ： F (tx,ty,tz) t k F (x, y, z) 两边对 t 求导，并令 t=1
xFx yFy zFz kF(x, y, z)
设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) + Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) =0 此平面过原点（0，0，0）
2z z xy x(1 z)3
4、
设
x
2 y2 z2 z x2 y2
1
，求
dy dx
，
dz dx
( dy x ， dz 0 ) dx y dx
5、 设 z z(x, y) 由方程 F(xy, y z, xz) 0 所确定， F 可微，求 z , z x y
解：令 F(x, y, z) F(xy, y z, xz) ，则 z Fx F1 y zF3 , z Fy F1x F2
x2 y2
在整个 xoy 面上连续。 六、设 z x y 2 f (x y) 且当 y=0 时 z x2 ，求 f(x)及 z 的表达式.
解：f(x)= x2 x ，z x 2 2 y 2 2xy y
§2 偏导数
y
1、设 z= xy xe x
,验证
x z y z xy z
bf
2
,
n
( f1a,
f源自文库
2a,bf1
bf
2
)
n (b, b, a) 0 ，所以在（ x0 , y0 , z0 ）处的切平面与定向量（ b, b, a ）平行。
2
2
2
2
5、 证明曲面 x 3 y 3 z 3 a 3 (a 0 ）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平
方和为 a 2
证明：令
( x, y)(0,0)
x2 y2
f x (0,0)
lim
( x, y)(0,0)
f (x,0) x
f (0,0)
0
,
f y (0,0)
lim
( x, y)(0,0)
f
(0, y) y
f (0,0)
0
f (x, y) 0 0，所以可微。 (x)2 (y)2
§4
多元复合函数的求导法则
1、 设 z uv , u sin t, v et ，求 dz dt
f
(x,
y)
x sin
x2
1
y2
,
x2 y2
0
0,
x2 y2 0
lim f (x, y) 0 f (0,0)
x0
连续；
fx
(0,0)
lim sin
x0
1 x2
不存在，
f
y
(0,0)
lim
y0
0 y
0 0
0
y0
7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 lim f (a x,b) f (a x,b)
y
3） u x z
解： du
y
x
y z
1
dx
1
x
y z
ln
xdy
y
y
x z ln xdz
z
z
z2
3、设 z y cos(x 2 y) ， 求 dz (0, ) 4
解： dz y sin(x 2 y) dx (cos(x 2 y) 2 y sin(x 2 y) )dy
dz | (0, ) = dx dy 44 2
( 1)
z
4、设 u x y , 求
u
， u
， u
x y z
解： u
z
z 1
xy
x y
， u
z
z
x y ln x
y y 2
u
1
z
x y ln x
z y
5、设 u x2 y 2 z2 ，证明 : 2u 2u 2u 2 x 2 y 2 z 2 u
6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由
x
y
xy
解： z x
f1
y
y x2
f2
1 y
g
，
2z xy
f1 y( f11x
f12
1 x
)
1 x2
f
2
y x2
(
f12 x
f22
1 x
)
1 y2
g
x y3
g
6、 设 u F(x, y, z) ， z f (x, y) ， y (x) ，求 du dx
解： du dx
F1
F2 (x) F3( f x
x Fz
F2 xF3 y Fz
F2 xF3
6、设 z f (x, y) 由方程 z x y ezxy 0 所确定，求 dz ( dz dx dy )
7、设 z=z(x,y)由方程 3xy x cos(yz) z3 y 所确定，求 z ,
z
,
x y
z 3xy.y ln 3 cos(yz) , x 3z 2 xysin(yz)
4、设
f
(x,
y, z)
x2
z
y2
求： df (1,2,1)
1 (2dx 4dy 5dz) 25
5、讨论函数
f
(x,
y)
( x 2
y 2 )sin
0 ,
1 x2 y2
,(x, y) (0,0) 在（0，0）点处
(x, y) (0,0)
的连续性 、偏导数、 可微性
解： lim (x 2 y 2 ) sin 1 0 f (0,0) 所以 f (x, y) 在（0，0）点处连续。
2 z 4 2 z 4a 2 z a2 2u
y 2 u 2
uv
v 2
2 z 2 2 z (a 2) 2 z a 2u
xy
u 2
uv v 2
得： (10 5a) 2 z (6 a a 2 ) 2u 0
uv
v 2
a=3
8、设函数
f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,
f22 2x)
= 2 f1 4xyf11 4(x2 y2 ) f12 4xyf22
2z x2
2
f1
4x2
f11
8xyf12
4y2
f
22
,
2z y2
2
f1
4y2
f11
8xyf12
4x2
f22
5、 设 z f ( xy, y ) g( x ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数、 g 具有二阶连续导数，求 2 z
(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B）偏导数连续，则全微分必存在
（C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在
2、求下列函数的全微分：
y
1） z e x
y
dz e x
(
y x2
dx
1 x
dy)
2） z sin(xy 2 ) 解： dz cos(xy 2 ) ( y 2dx 2xydy)
z x.3xy ln 3 xz sin(yz) 1
y
3z 2 xysin(yz)
§6 微分法在几何中的应用
1、 求螺旋线 x 2cost, y 2sin t, z 3t 在对应于 t 处的切线及法平面方程 4
解：切线方程为 x
2 y
2
z
3 4
2
2
3
法平面方程 2(x 2) 2( y 2) 3(z 3 ) 0 4
x y
证明：
z
y
y ex
y
y
ex
,
z
y
x ex
，
x
z
y
z
y
xy xy xex
xy z
x
x y
x y
2、求空间曲线
:
z
x2 y
1
2
y
2
在点（
3 , 1 ,1）处切线与 y 轴正向夹角( )
22
4
3、设 f (x, y) xy ( y 1)2 arcsin
x ,
y
求 f x (x,1)
x2 y 2 z 2 50
2、 求曲线
z2 x2 y2
在（3，4，5）处的切线及法平面方程
解：切线方程为 x 3 y 4 z 5 ，法平面方程： 4x 3y 0 4 3 0
3、 求曲面 2x 2 3y 2 z 2 9 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程
解：切平面方程为 2(x 1) 3( y 1) 2(z 2) 0
2
F(x, y, z) x 3
2
y3
2
z3
2
a 3 ，则 Fx
2 3
1
x 3 , Fy
2 3
1
y 3 , Fz
2
1
z 3,
3
在任一点
x0, y0, z0
处的切平面方程为
x0
1 3
(
x
x0 )
y0
1 3
(
y
y0 )
z0
1 3
(
z
z0 )
0
12
12
12
在在三个坐标轴上的截距分别为 x0 3a 3 , y0 3a 3 , z0 3a 3 , 在三个坐标轴上的截距的平方和为 a 2
(x, y) (0,0) 在整个 xoy 面上连续。
0,
(x, y) (0,0)
证明：当 (x, y) (0,0) 时， f (x, y)为初等函数，连续 。当 (x, y) (0,0) 时，
lim xy sin 1 0 f (0,0) ，所以函数在（0，0）也连续。所以函数
( x, y)(0,0)
1、
f
( x,
y)
x2 (1 y) 1 x2 y2
{( x, y) | y 2 x 2 1};
2、 z arcsin y x
三、求下列极限：
{(x, y) | y x , x 0};
1、 lim x 2 sin y
x y ( x, y )(0,0) 2
2
（0）
2、 lim (1 y )3x
( x, y)(,2)
x
(e6 )
四、证明极限 lim
x 2 y 不存在.
x y ( x, y )(0,0) 4
2
证明：当沿着 x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着 y x 2 趋于（0，0）时，极限为 1 , 2
二者不相等，所以极限不存在
五、证明函数
f
(
x,
y)
xy
sin
1 ,
x2 y2