实验六-用SPSS进行非线性回归分析

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SPSS—非线性回归（模型表达式）案例解析

SPSS—非线性回归（模型表达式）案例解析SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析2011-11-16 10:56由简单到复杂，人生有下坡就必有上坡，有低潮就必有高潮的迭起，随着SPSS 的深入学习，已经逐渐开始走向复杂，今天跟大家交流一下，SPSS非线性回归，希望大家能够指点一二！非线性回归过程是用来建立因变量与一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立任何形式的模型非线性，能够通过变量转换成为线性模型——称之为本质线性模型，转换后的模型，用线性回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称之为：本质非线性模型还是以“销售量”和“广告费用”这个样本为例，进行研究，前面已经研究得出：“二次曲线模型”比“线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的趋势变化”，那么“二次曲线”会不会是最佳模型呢？答案是否定的，因为“非线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的变化趋势” 下面我们开始研究：第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？”1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型点击“图形”—图表构建程序—进入如下所示界面：点击确定按钮，得到如下结果：放眼望去, 图形的变化趋势，其实是一条曲线，这条曲线更倾向于"S" 型曲线，我们来验证一下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更高！点击“分析—回归—曲线估计——进入如下界面在“模型”选项中，勾选”二次项“和”S"两个模型，点击确定，得到如下结果：通过“二次”和“S“ 两个模型的对比，可以看出S 模型的拟合度明显高于“二次”模型的拟合度（0.912 >0.900）不过，几乎接近接着，我们采用S 模型，得到如下所示的结果：结果分析：1：从ANOVA表中可以看出：总体误差= 回归平方和+ 残差平方和（共计：0.782）F统计量为（240.216）显著性SIG为（0.000）由于0.000<0.01 （所以具备显著性，方差齐性相等）2：从“系数”表中可以看出：在未标准化的情况下，系数为（-0.986）常数项为2.672所以S 型曲线的表达式为：Y（销售量）=e^(b0+b1/t) = e^(2.672-0.986/广告费用）当数据通过标准化处理后，常数项被剔除了，所以标准化的S型表达式为：Y(销售量） = e^(-0.957/广告费用）下面，我们直接采用“非线性”模型来进行操作第一步：确定“非线性模型”从绘图中可以看出：广告费用在1千万——4千多万的时候，销售量增加的跨度较大，当广告费用超过“4千多万"的时候，增加幅度较小，在达到6千多万”达到顶峰，之后呈现下降趋势。

非线性回归案例与spss

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SPSS曲线拟合
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3，点击ok,得到结果报表和图形
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报表分析
Linear：
compoud：
方程：y=-1.33E4+4.318E3t 方程：y=3603.061(1.192)t
SSE=1.589E9,R2=0.856
SSE=0.122782,R2=0.99188
复合函数是按线性化后的回归模型计算的，因此两
者的残差不能直接比较。为了与线性回归的拟合效果直
接相比，可以先储存复合函数回归的残差序列，然后计
算出复合函数回归的
SSE =262467769=2.625×108， R2=1-262467769/11043353279=0.97623，
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通过以上分析可以认为药物反应程度y与药剂量x符合以下非线性回归方程：
yˆ 99.541
99.541
1
x
6.7612 Βιβλιοθήκη 4.7996 R2=0.999
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导入数据
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散点图
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散点图分析
从散点图上看到，GDP大致为指数函数形式。复合函数y=b0bt1的形式与经济意义更相吻合。自变量为时间变量时，Curve Estimation命令提供了直接选取自变量为时间的功能，做复合函数y=b0bt1 的曲线回归，同时做简单线性回归y=b0+b1t以做比较。

非线性回归的参数设置_SPSS 统计分析从入门到精通_[共3页]

155回归分析第 8 章2．参数初始值的选择
SPSS 的“非线性”过程需要设置待估参数的初始值，
初始值的大小直接影响着模型的收敛性。

参考图8-27
所示的散点图，对初始值进行如下的计算和设置。

（1）b 1代表了销售量上升趋势的终点，观察散点
图，发现销售量的最大值接近于13，因此建议设定b 1
的初始值为13。

（2）b 2为当x = 0时的y 值与y 的最大值（上限）
之差，因此，可以用y 的最小值减去b 1作为b 2的初始
值，即b 2=7−b 1=7−13=−6。

（3）b 3的初始值可以用图中两个分离点的斜率来表示。

取两个点（x =2,y =8）和（x =5,y =12）
，它们之间的斜率为(12−8)/(5−2)=1.33，所以b 3的初始值可以设为−1.33。

8.3.3 非线性回归的参数设置
依次单击菜单“分析→回归→非线性…”执行非线性回归分析的功能，其主设置界面如图8-28所示，在此设置分析变量和模型的函数形式。

图8-28 非线性回归分析的主设置界面
1．变量选择及模型设置
在变量列表中单击选中“销售量”变量，单击从上至下第一个
按钮，将其指定为因变量；在
模型表达式编辑框中输入b1+b2*EXP(b3*advert)。

① 因变量：从变量列表中选入一个数值型变量作为因变量。

② 模型表达式编辑框：用于设置模型的函数表达式，可以直接输入和编辑函数表达式；还可以从变量列表中选入自变量的名称（单击旁边的即可）；从符号区域选入数字或运算符（单变量列表
参数列表
函数说明区函数列表
图8-27 销售量对广告费用的散点图。

SPSS在非线性回归分

接着利用散点矩阵图来判断三个变量之间的关系。散点矩阵图8-29分为9个子图，它们分别描述了三只股票中两两股票价格之间的变化。可以看到，股票 A 的价格和其他两只股票的价格都存在显著线性关系，这是否表示只需要建立一个二元线性模型即可呢？观察自变量股票B和股票C之间散点图看到，这两只股票的价格也存在显著的影响关系，这说明了这两个因变量之间可能存在交叉影响。于是，建立如下非线性回归方程：
8.4 SPSS在非线性回归分析中的应用
8.4 SPSS在非线性回归分析中的应用
（5）线性回归和非线性回归的股票预测图
图8-35显示了原始数据、线性回归模型、非线性回归模型三者的比较。其中， “股票 A” 是实际曲线，“ Predicted Values” 是本案例建立的非线性回归方程的预测曲线，“ Unstandardized Predicted Values” 是不考虑股票 B 、 C 交互项的二元线性模型的预测曲线。可以明显看到，非线性回归的预测效果要好于二元线性回归的预测效果，说明了这里我们引入股票B、C交互项的合理性。
单击【Save】按钮，弹出如下图所示的对话框。它表示要保存到数据文件中的统计量。

Predicted Values：输出回归模型的预测值。
Residuals：输出回归模型的残差。 Derivatives：模型各个参数的一阶导数值。 Loss function values：损失函数值。
8.4 SPSS
在非线性回归分析中的应用
Step04：输入回归方程
在【Model Expression （模型表达式）】文本框中输入需要拟合的方程式，该方程中包含自变量、参数变量和常数等。自变量从左侧的候选变量列表框中选择，参数变量从左侧的【Parameters （参数）】列表框里选入。同时，拟合方程模型中的函数可以从【Function （函数组）】列表框里选入；方程模型的运算符号可以用鼠标从窗口“数字符号”显示区中点击输入。

非线性回归分析

非线性回归分析(转载)(2009-10-23 08:40:20)转载分类：Web分析标签：杂谈在回归分析中，当自变量和因变量间的关系不能简单地表示为线性方程，或者不能表示为可化为线性方程的时侯，可采用非线性估计来建立回归模型。

SPSS提供了非线性回归“Nonlinear”过程，下面就以实例来介绍非线性拟合“Nonlinear”过程的基本步骤和使用方法。

应用实例研究了南美斑潜蝇幼虫在不同温度条件下的发育速率，得到试验数据如下：表5-1 南美斑潜蝇幼虫在不同温度条件下的发育速率温度℃17.5 20 22.5 25 27.5 30 35 发育速率0.0638 0.0826 0.1100 0.1327 0.1667 0.1859 0.1572 根据以上数据拟合逻辑斯蒂模型：本例子数据保存在DATA6-4.SAV。

1）准备分析数据在SPSS数据编辑窗口建立变量“t”和“v”两个变量，把表6-14中的数据分别输入“温度”和“发育速率”对应的变量中。

或者打开已经存在的数据文件（DATA6-4.SAV）。

2）启动线性回归过程单击SPSS主菜单的“Analyze”下的“Regression”中“Nonlinear”项，将打开如图5-1所示的线回归对话窗口。

图5-1 Nonlinear非线性回归对话窗口3) 设置分析变量设置因变量：从左侧的变量列表框中选择一个因变量进入“Dependent(s)”框。

本例子选“发育速率[v]”变量为因变量。

4) 设置参数变量和初始值单击“Parameters”按钮，将打开如图6-14所示的对话框。

该对话框用于设置参数的初始值。

图5-2 设置参数初始值“Name”框用于输入参数名称。

“Starting”框用于输入参数的初始值。

输入完参数名和初始值后，单击“Add”按钮，则定义的变量及其初始值将显示在下方的参数框中。

需要修改已经定义的参数变量，先用将其选中，然后在“Name”和“Starting”栏里进行修改，完成后点击“Change”按钮确认修改。

spss-非线性回归分析

实验三非线性回归分析（2学时）一、实验重点掌握非线性回归分析的方法。

二、实验难点模型的选择及对SPSS软件的输出结果进行分析和整理。

三、实验举例例1、对GDP（国内生产总值）的拟合。

选取GDP指标为因变量，单位为亿元，拟合GDP关于时间t的趋势曲线。

以1981年为基准年，取值为t=1,1998年t=18,1991-1998年的数据如下：解：分析过程（一）画散点图图3.1：Y 与t 的散点图图3.2：Ln Y 与t 的散点图（二）根据画散点图，及经济背景可选用模型复合函数：01t y b b = （也称增长模型或半对数模型）同时，做简单线性回归 01y b b t =+ 以作比较。

（三）模型求解直接用SPSS 软件的Curve Estimation 命令计算。

（也可以用线性化的方法求解，结果基本一致。

）运行结果如下：（四）结果分析线性回归方程：2ˆ133754417.520.856y t R =-+=复合函数回归方程：ˆ3603.06(1.1924)t y= ………（*）2ˆln 8.190.1760.992y t R =+=注意：不能直接比较两模型的拟合优度，需要对复合函数模型处理，利用(*)式，得到复合函数的残差，计算该模型的残差平方和RSS=2.1696×108 ，并计算y 的离差平方和TSS=1.1×1010 ，得到非线性回归的相关指数82102.169610110.981.110RSS R TSS ⨯=-=-≈⨯ 由于该相关指数大于线性回归的拟合优度，所以可以判断复合函数模型比线性回归模型要好。

例2 、一位药物学家是用下面的非线性模型对药物反应拟合回归模型1021()i i c i c y c u c =-++ 其中，自变量x 为药剂量，用级别表示；因变量y 为药物反应程度，用百分数表示。

三个参数c 0 ,c 1 ,c 2都是非负的, c 0 的上限是100%，三个参数的初始值取为c 0 =100,c 1=5 ,c 2=4.8.测得9个数据如下表：解：分析过程：（一）画散点图从图形上看，y 与x 确实呈非线性关系！（二）模型求解用SPSS 软件的Nonlinear 命令计算，具体操作如下：（1）建立数据集；（2）在数据窗口点击：Analyze → Regression → Nonlinear …,出现窗口在将y 点入Dependent 框中，在Model Expression 框中输入表达式：c0-c0/(1+(x/c2)**c1)（3）点击Parametere …, 出现下图：在Name 框中输入: c0Starting Value 框中输入：100点击add,即可得到参数c0的初始赋值，类似的方法可以得到c1和c2参数的初始赋值，Continue 。

SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析

SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析2011-11-16 10:56由简单到复杂，人生有下坡就必有上坡，有低潮就必有高潮的迭起，随着SPSS 的深入学习，已经逐渐开始走向复杂，今天跟大家交流一下，SPSS非线性回归，希望大家能够指点一二！非线性回归过程是用来建立因变量与一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立任何形式的模型非线性，能够通过变量转换成为线性模型——称之为本质线性模型，转换后的模型，用线性回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称之为：本质非线性模型还是以“销售量”和“广告费用”这个样本为例，进行研究，前面已经研究得出：“二次曲线模型”比“线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的趋势变化”，那么“二次曲线”会不会是最佳模型呢？答案是否定的，因为“非线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的变化趋势” 下面我们开始研究：第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？”1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型点击“图形”—图表构建程序—进入如下所示界面：点击确定按钮，得到如下结果：放眼望去, 图形的变化趋势，其实是一条曲线，这条曲线更倾向于"S" 型曲线，我们来验证一下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更高！点击“分析—回归—曲线估计——进入如下界面在“模型”选项中，勾选”二次项“和”S"两个模型，点击确定，得到如下结果：通过“二次”和“S“ 两个模型的对比，可以看出S 模型的拟合度明显高于“二次”模型的拟合度（0.912 >0.900）不过，几乎接近接着，我们采用S 模型，得到如下所示的结果：结果分析：1：从ANOVA表中可以看出：总体误差= 回归平方和 + 残差平方和（共计：0.782）F统计量为（240.216）显著性SIG为（0.000）由于0.000<0.01 （所以具备显著性，方差齐性相等）2：从“系数”表中可以看出：在未标准化的情况下，系数为（-0.986）常数项为2.672所以 S 型曲线的表达式为：Y（销售量）=e^(b0+b1/t) = e^(2.672-0.986/广告费用）当数据通过标准化处理后，常数项被剔除了，所以标准化的S型表达式为：Y(销售量） = e^(-0.957/广告费用）下面，我们直接采用“非线性”模型来进行操作第一步：确定“非线性模型”从绘图中可以看出：广告费用在1千万——4千多万的时候，销售量增加的跨度较大，当广告费用超过“4千多万"的时候，增加幅度较小，在达到6千多万”达到顶峰，之后呈现下降趋势。

;2运用EXCEL、SPSS进行相关分析和线性、非线性回归分析

《计量地理学》实验指导§2 运用EXCEL、SPSS进行相关分析和线性、非线性回归分析回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。

可以通过软件EXCEL 和SPSS实现。

一、利用EXCEL软件实现回归分析以第4章习题2为例，运用EXCEL进行回归分析。

首先在菜单中选择工具==>加载宏，把“分析工具库”和“规划求解”加载上。

然后在“工具”菜单中将出现“数据分析”选项。

点击“数据分析”中的“回归”，将出现对话框如下图1所示。

图1 回归界面【输入】用以选择进行回归分析的自变量和因变量。

在“Y值输入区域”内输入B7:B11，在“X值输入区域”输入A7：A11，如果是多元线性回归，则X值的输入区就是除Y变量以外的全部解释变量“标志”；置信度水平为95％，输出结果选择在一张新的工作表中；“残差分析”，并绘制回归拟合图，点击“确定”即得到残差表。

【输出选项】用于指定输出结果要显示的内容，包括是否需要残差表及图，参差的正态分布图等。

输出结果解释图 2 回归结果显示回归结果分为三部分：（1）回归统计：包括R^2 及调整后的R^2、标准误差和观测值个数（2）方差分析：包括回归平方和、残差平方和总离差平方和以及它们的自由度、均方差和F通机量（3）回归方程的截距、自变量的系数以及它们的t统计值、95%的上下限值图3 残差与子变量之间的散点图图4 预测值与实际值散点图同样，如果在“数据分析”中点击“相关系数”，可以对多个变量进行相关系数的计算。

二、.利用SPSS软件实现回归分析在SPSS软件中，同样可以简单的实现回归分析，因为回归分析包含了线性回归与曲线拟合两部分内容，首先来看线性回归分析过程（LINEAR）（一）线性回归分析过程（LINEAR）例如，课本中数据，把降水量（P）看作因变量，把纬度（Y）看作自变量，在平面直角坐标系中作出散点图，发现它们之间呈线性相关关系，因此，可以用一元线性回归方程近似地描述它们之间的数量关系。

非线性回归步骤

Data42:非线性回归分析步骤：把数据导入SPSS 程序中，直接进行非线性拟合。

选择analysis->regression->Curve Estimation 。

在弹出来的对话框中选择拟合的变量y(城市化水平）和自变量x （人均GDP),在models 中选择拟合模型。

也可选中其他属性来显示相关数据。

运行后得到模型的拟合效果。

从拟合曲线可以得出，S 模型对世界各国城市化水平与人均GDP 具有较好的拟合效果，同时R2= ，F 检验为，信度水平为，确定具有非常高的拟合度。

得出的拟合方程为。

从拟合曲线可以看出，S 模型对表1的人口数据具有较好的拟合效果，同时R2为0.84199，F 检验为149.20201，确定具有非常高的拟合度。

在models 中选择拟合模型：本例选择S 模型。

各种拟合模型的拟合公式如下：Data39 逐步回归分析建立最佳模型步骤：把数据导入SPSS 程序中，直接进行逐步线性回归分析。

选择analysis->regression->linear 。

在弹出来的对话框中选择拟合的变量y(旅游总收入）和自变量x1（国内游客)、x2（海外游客）、x3（第三产业）、x4（人均GDP),然后分别选择Stepwise 、为函数的上限）（其中u b b u y Logistic t b y Power t b b y Inverse e b y l Exponentia e y S tb t b t b b y Cubic t b b y c Lograithmi ey Growth bb y Compound tb t b b y Quadratic t b b y Linear t b t b t b b t b b t 100100)(33221010)(1022101011::/::::)ln(:::::111010+==+===+++=+===++=+=++Remove、Backward、Forward方法对模型进行分析，看看哪种模型是最佳模型。

实验六用SPSS进行非线性回归分析

实验六用SPSS进行非线性回归分析例：通过对比12个同类企业的月产量(万台)与单位成本(元)的资料(如图1)，试配合适当的回归模型分析月产量与单位成本之间的关系图1原始数据和散点图分析一、散点图分析和初始模型选择在SPSS数据窗口中输入数据，然后插入散点图(选择Graphs→Scatter命令)，由散点图可以看出，该数据配合线性模型、指数模型、对数模型和幂函数模型都比较合适。

进一步进行曲线估计：从Statistic下选Regression菜单中的Curve Estimation命令；选因变量单位成本到Dependent框中，自变量月产量到Independent框中，在Models框中选择Linear、Logarithmic、Power和Exponential四个复选框，确定后输出分析结果，见表1。

分析各模型的R平方，选择指数模型较好，其初始模型为但考虑到在线性变换过程可能会使原模型失去残差平方和最小的意义，因此进一步对原模型表1曲线估计输出结果二、非线性模型的优化SPSS提供了非线性回归分析工具，可以对非线性模型进行优化，使其残差平方和达到最小。

从Statistic下选Regression菜单中的Nonlinear命令；按Paramaters按钮，输入参数A：176.57和B：-.0183；选单位成本到Dependent框中，在模型表达式框中输入“A*EXP(B*月产量)”，确定。

SPSS输出结果见表2。

由输出结果可以看出，经过6次模型迭代过程，残差平方和已有了较大改善，缩小为568.97，误差率小于0.00000001，优化后的模型为：2.1 83887.036 268.159 -.1333.0 83887.036 268.159 -.1333.1 59358.745 340.412 -.1024.0 59358.745 340.412 -.1024.1 26232.008 385.967 -.0655.0 26232.008 385.967 -.0655.1 7977.231 261.978 -.0386.0 7977.231 261.978 -.0386.1 1388.850 153.617 -.0157.0 1388.850 153.617 -.0157.1 581.073 180.889 -.0198.0 581.073 180.889 -.0198.1 568.969 182.341 -.0199.0 568.969 182.341 -.0199.1 568.969 182.334 -.01910.0 568.969 182.334 -.01910.1 568.969 182.334 -.019导数是通过数字计算的。

SPSSAU_进阶方法_非线性回归

非线性回归非线性模型非线性函数非线性表达式SPSSAU非线性回归模型如果数学模型为非线性关系，比如人口学增长模型Logistic（S模型），其模式公式为：y = b1 / (1 + exp(b2 + b3 * x))，其中y为人口数量，x为年份（实际数据为第n年，数字从0年起，依次顺序增加），b1，b2和b3分别为三个估计参数，exp为自然指数的意思。

此数学表达式并非线性表达式，因此不能使用SPSSAU的线性回归进行拟合。

诸如此类非线性关系（即不是直接关系）的非线性模型，可使用非线性回归进行研究。

SPSSAU当前提供约50类非线性函数表达式，涵盖绝大多数非线性函数表达式。

如下图：备注：图中出现的b1,b2,b3等代表待估计参数；exp表示自然指数，ln表示自然对数，cos表示余弦函数；“**”表示指数的意思。

进行非线性回归模型构建时，通常分为三步。

第一步：首先需要结合专业知识选择正确的构建模型，比如人口增长预测时使用logistic模型，经济学研究的抛物线二次曲线模型等。

第二步：设置参数初始值；与线性回归不同，非线性回归模型数学原理上使用迭代思想计算参数估计值，因而对初始值的不同设置，很可能会导致不同的结果，因而初始值设置较为重要，其可使用模型求解更为精确，并且有助于模型快速迭代收敛。

关于初始值的设置在案例中有更详细说明。

第三步：模型预测。

在得到参数拟合值后，并且拟合效果在认可范围内时，那么可使用模型进行预测数据，输入X的数据信息，对应得到Y的预测值。

特别提示：关于初始值。

初始值是由研究人员输入的一个‘大概’值，即参数的大概估计值，大概预期的值，与此同时，也可设置参数的范围，即上下界，但通常情况下不设置上下界值，除非认为有必要，通常不需要设置上下界值。

关于初始值的设置方法。

通常包括两种，一是结合专业知识进行判断，二是利用模型公式时的特殊点（比如X=0时，Y=？）去求解得到。

专业知识判断上，某参数的实际意义为数据的最大值，那么就设定该参数为最大值即可。

spss科研数据分析参数解释意义非线性回归分析

非线性回归分析

一、非线性函数形式的确定在对实际的客观现象进行定量分析时，选择回归方程的具体形式应遵循以下原则：

首先，方程形式应与有关实质性科学的基本理论相一致。例如，采用幂函数的形式，能够较好地表现生产函数；采用多项式方程能够较好地反映总成本与总产量之间的关系等等。其次，方程有较高的拟合程度。因为只有这样，才能说明回归方程可以较好地反映现实经济的运行情况。最后，方程的数学形式要尽可能简单。如果几种形式都能基本符合上述两项要求，则应该选择其中数学形式较简单的一种。一般来说，数学形式越简单，其可操作性就越强。

双曲线函数 1. 基本形式：
2. 线性化方法令：y' = 1/y，x'= 1/x, 则有y' = + x' 3. 图像
<0
>0
几种常见的非线性模型

对数函数 1. 基本形式：
2. 线性化方法 x'= lgx , 则有y' = + x'
3. 图像
0
<0
3.
比较直线的残差平方和＝ 5.3371< 指数模型的残差平方和＝6.11。直线模型略好于指数模型
非线性回归（实例）
生产率与废品率的散点图
16
· Ï · Æ Ê Â
12 8 4 0 0 2000 4000
ú ² É ú Â Ê
6000
非线性回归（实例）
1.
用线性模型：y =01x+ ，有
2.
y = 2.671+0.0018x 用指数模型：y = x ，有
y =4.05(1.0002)x

SPSS数据分析—非线性回归

线性回归的首要满足条件是因变量与自变量之间呈线性关系，之后的拟合算法也是基于此，但是如果碰到因变量与自变量呈非线性关系的话，就需要使用非线性回归进行分析。

SPSS中的非线性回归有两个过程可以调用，一个是分析—回归—曲线估计，另一个是分析—回归—非线性，两种过程的思路不同，这也是非线性回归的两种分析方法，前者是通过变量转换，将曲线线性化，再使用线性回归进行拟合；后者则是直接按照非线性模型进行拟合。

我们按照两种方法分别拟合同一组数据，将结果进行比较。

分析—回归—曲线估计
变量转换的方法简单易行，在某些情况下是首选，但是只能拟合比较简单的（选项中有的）非线性关系，并且该方法存在一定的缺陷，例如
1.通过变量转换使用最小二乘法拟合的结果，再变换回原值之后不一定是最优解，并且变量转换也可能会改变残差的分布和独立性等性质。

2.曲线关系复杂时，无法通过变量转换进行直线化
3.曲线直线化之后，只能通过最小二乘法进行拟合，其他拟合方法无法实现
基于以上问题，非线性回归模型可以很好的解决，它和线性回归模型一样，也提出一个基本模型框架，所不同的是模型中的期望函数可以为任意形式，甚至没有表达式，在参数估计上，由于是曲线，无法直接使用最小二乘法进行估计，需要使用高斯-牛顿法进行估计，这一方法比较依赖于初始值的设定。

下面我们来直接按照非线性模型进行拟合，看看结果如何
分析—回归—非线性
以上用了两种方差进行拟合，从决定系数来看似乎非线性回归更好一点，但是要注意的是，曲线回归计算出的决定系数是变量转换之后的，并不一定能代表变换之前的变异解释程度，这也说明二者的决定系数不一定可比。

我们可以通过两种方法计算出的预测值与残差图进行比较来判断优劣，首先将相关结果保存为变量，再做图。

SPSS—非线性回归(模型表达式)案例

SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析非线性回归过程是用来建立因变量与一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立任何形式的模型非线性，能够通过变量转换成为线性模型——称之为本质线性模型，转换后的模型，用线性回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称之为：本质非线性模型还是以“销售量”和“广告费用”这个样本为例，进行研究，前面已经研究得出：“二次曲线模型”比“线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的趋势变化”，那么“二次曲线”会不会是最佳模型呢？答案是否定的，因为“非线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的变化趋势” 下面我们开始研究：第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？”1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型点击“图形”—图表构建程序—进入如下所示界面：点击确定按钮，得到如下结果：放眼望去, 图形的变化趋势，其实是一条曲线，这条曲线更倾向于"S" 型曲线，我们来验证一下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更高！点击“分析—回归—曲线估计——进入如下界面在“模型”选项中，勾选”二次项“和”S"两个模型，点击确定，得到如下结果：通过“二次”和“S“ 两个模型的对比，可以看出S 模型的拟合度明显高于“二次”模型的拟合度（0.912 >0.900）不过，几乎接近接着，我们采用S 模型，得到如下所示的结果：结果分析：1：从ANOVA表中可以看出：总体误差= 回归平方和+ 残差平方和（共计：0.782）F统计量为（240.216）显著性SIG为（0.000）由于0.000<0.01 （所以具备显著性，方差齐性相等）2：从“系数”表中可以看出：在未标准化的情况下，系数为（-0.986）常数项为2.672所以S 型曲线的表达式为：Y（销售量）=e^(b0+b1/t) = e^(2.672-0.986/广告费用）当数据通过标准化处理后，常数项被剔除了，所以标准化的S型表达式为：Y(销售量）= e^(-0.957/广告费用）下面，我们直接采用“非线性”模型来进行操作第一步：确定“非线性模型”从绘图中可以看出：广告费用在1千万——4千多万的时候，销售量增加的跨度较大，当广告费用超过“4千多万"的时候，增加幅度较小，在达到6千多万”达到顶峰，之后呈现下降趋势。

SPSS在非线性回归分PPT课件

【Estimation Method】框中列出了参数的两种估计方法： ● Sequential Quadratic Programming：顺序二次规划算法。该方法要求输入的参数如
左侧的候选变量列表框中，“RESID_”代表所选变量的残差；“PRED_”代表预测值。可以从左下角的【Parameters（参数）】列表框中选择已定义的参数进入损失函数。
2020/1/13
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8.4 SPSS 在非线性回归分析中的应用
Step06：参数取值范围选择
单击【Constraints】按钮，将打开如下图所示的对话框。该对话框用来设置回归方程中参数的取值范围。
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8.4 SPSS 在非线性回归分析中的应用
非线性回归模型一般可以表示为如下形式：
yi yˆ ei f (x, ) ei
其中 f (x为,期)望函数,该模型的结构和线性回归模型非常相似，所不同
的回归是方期f程望(x中函,参数) 数可的能估为计任是意通形过式迭，代甚方至法在获有得的的情。况下没有显式关系式，
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8.4 SPSS 在非线性回归分析中的应用
Step02：选择因变量
在【Nonlinear Regression（非线性回归）】对话框左侧的候选变量列表框中选择一个变量，将其添加至【Dependent（自变量）】列表框中，即选择该变量作为非线性回归分析的因变量。 Step03：设置参数变量和初始值单击【Parameters（参数）】按钮，将打开如下图所示的对话框，该对话框用于设置参数的初始值。
Step07：选择预测值和残差等输出
单击【Save】按钮，弹出如下图所示的对话框。它表示要保存到数据文件中的统计量。

spss多元回归及非线性

多元回归分析f回归f线性，拟合优度检验总离差平方和(tss)::回归平方和(ess) +残差平方和(rss)：可决系数的取值范围：[0,1]. R2越接近1,说明实际观测点离样本线越近，拟合优度高_由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无矢，R2需调整。

调整的可决系数思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度(出),以剔除变量个数对拟合优度的影响：(2)方程总体线性的显著性检验(F检验Ho: Pi=Pz= ... =pk=OHi: Oj不全为0F> F o(/c,n-k-l)或FWFa(k“k • I)来拒绝或接受原假设Ho,以判定原方程总体上的线性矢系是否显著成立。

(3)变量的显著检验(t检验)如果变量X对Y的影响是显著的，那么X前的参数应该显著的不为0检验步骤：1)对总体参数提出假设Ho: Pi=OtHi： Pi#0若|t|>ta/2(n • 2),则拒绝HO,接受HI；(小概率事件发生)若|t|Mta/2(n • 2),贝! I接受H0 ；看指标选模型<拟合程度Adjusted 越接近1拟合程度越好4回归方程的显著性检验F统计量的值，及其Sig4回归系数表回归系数B和显著性检验Sig(4)满足基本要求的样本容量从统计检验的角度：n>30时，Z检验才能应用；”炬8时,t分布较为稳定四、预测一元或多元模型预测的SPSS实现：特征根和方差比特征根是诊断解释变量间是否存在严重的多重共线性的另一种有效方法。

最大特征根的值远远大于其他特征根的值，则说明这些解释变量间具有相当多的重叠信息，原因是仅通过这一个特征根就基本刻画出了所有解釋变量的绝大部分信息。

解释变量标准化后它的方差为“如果某个特征根既能够刻画某解释变量方差的较大部分(0.7以上)，同时又可以刻画另一根解释变量方差的较大部分，则说明这两个解释变量间存在较强的线性相矢矢系。

4、条件指数条件指数反映解释变量间多重共线性的指标。

spss非线性回归分析

课程名称实用统计软件
实验项目名称非线性回归分析
实验成绩指导老师（签名）日期 2011-9-23
一．实验目的
1．掌握非线性回归的基本原理和算法；
2．能够用SPSS软件应用非线性回归模型解决实际问题。

二. 实验内容与要求
1．根据数据金属强度测试.sav利用曲线参数估计法分析金属强度（y）与温度（x）之间的关系。

2．实现书上 P189 中的研究问题。

第一步要选中所有的模型，然后根据R-square 和拟合曲线标准选择模型！
并且要预测到2010年的数据！
三．实验步骤
1．模型选择（标准：R-square 以及拟合曲线的比较）
2．所选择模型的拟合优度（R-square、拟合曲线）
3．所选择模型的回归方程（回归系数的估计值）
4．所选择模型的检验问题（模型方差分析表：模型显著性F检验、回归系数非零T检验）
5．保存关心的统计数据（预测值、残差值、预测值的置信区间）
具体操作参见课件非线性回归分析.PPT
四. 实验结果（数据与图形）与分析
Cubic，Compound，Growth，Exponential和Logistic较高，其中Cubic最高，所以选择三次函数拟合。

观察得，图形更接近Cubic和Exponential两种曲线。

[0.366,1.072]
[-0.003,0]
2.
Logistic，Cublic，Compound，Growth，Exponential拟合度较高。

观察得，Cublic和Logistic曲线更接近观察值。

[-247.725，1414.627] [0.35，0.37]。

实验六-用SPSS进行非线性回归分析

实验六-用SPSS进行非线性回归分析
一、实验目的
通过本次实验，学生应掌握以下内容：
1.掌握非线性回归和SPSS结合的方法
2.掌握非线性回归结果的解读和分析
3.熟悉SPSS软件的使用和应用
二、实验原理与方法
1.非线性回归分析原理
非线性回归分析是一种常见的回归分析方法，其主要目的是找到一个非线性函
数来描述变量之间的关系。

其中，非线性函数的形式可以是指数函数、对数函数、幂函数、多项式函数等等。

在实际应用中，非线性回归分析常用于描述速度、密度、强度、反应等自然界和社会经济现象的关系。

2. SPSS软件的使用
SPSS是目前应用最为广泛的统计学分析软件之一。

通过SPSS可以进行数据的
描述统计、频率分布、方差分析、回归分析、因子分析、判别分析等多种统计分析。

在本次实验中，我们将要使用SPSS软件来进行非线性回归分析，通过SPSS软件，我们可以方便地得出非线性回归方程、残差、R方值等重要数据，并进行数据可视化分析。

三、实验步骤
1. 数据准备
本次实验所使用的数据集为。

SPSS非线性回归

SPSS数据统计分析与实践主讲：周涛副教授北京师范大学资源学院2007-12-18教学网站：/Courses/SPSS第十四章：非线性回归Contents:1. 非线性回归概述2. SPSS实例3. 常用的非线性模型SPSS procedures for Regression1.The Nonlinear Regression procedure allows you tocreate powerful and flexible models fornonlinear relationships between a dependentvariable and one or more independent variables. 2.The Linear Regression procedure provides morestatistics for models that are intrinsically linear.3.The Curve Estimation procedure allows you tomore easily specify certain nonlinear models,and can be useful for quickly comparing severaldifferent types of models.Linear vs. Nonlinear models . Regression models, whether linear or nonlinear, assume that the form of the model is Y=F(X,B) +error , where Y is the dependent variable, X represents the predictors, and F is a function of X. In linear models, F is of the form:Where x j is the jth predictor, and b j is the jth regressioncoefficient. Note that for a model to be considered linear, F must be a linear function of the parameters, notnecessarily the predictors . Thus, y=bx 2+ error is a linear model. Additionally, some models in which the error is multiplicative, such as y=e bx error , are linear models under the log-transformation: ln(y) = bx + ln(error).These model are known as intrinsically linear. Nonlinear models are all other forms of F.∑==pj jj X b B X F 1),(Parameters estimation in Nonlinear Regressionz A difference from linear regression is that the solution of the normal equations usually requires an iterative numerical search procedure because analytical solutions generally cannot be found.z To make things still more difficult, multiple solutions may be possible.Basic Ideas for parameter estimationExamples for Search methodsMethods of parameter estimation (1)z解析解（Analytic solution ）z 梯度下降算法（Gradient descent algorithms)z Steepest-descentz quasi-Newtonz Levenberg-Marquardt剃度下降法的优点：速度快算法相对简单缺点：通常只能找到“Local minimum”需要提供“Gradient vector”ky y J J ∂∂=∇/Methods of parameter estimation (2) z解析解（Analytic solution）z梯度下降算法（Gradient descent algorithms)z全参数空间搜索算法（Global search methods）z优点：能搜索到全局最优参数（Global minimum）很多算法不需要提供“Gradient vector”z缺点：速度慢，需要消耗较大的计算时间z代表性算法:模拟退火（Simulated annealing）遗传算法（Genetic Algorithms）马尔可夫链蒙特卡洛法（Markov chain Monte Carlo）ExampleSPSS解决方案1.根据散点图或经验确定模型2.根据经验给出初始值和参数空间（非常重要）Examplez A retailer wants to examine the relationship between money spent on advertising and the resulting sales. To this end, they have collected past sales figures and the associated advertising costs.z This data file was previously analyzed using Linear and Quadratic models via the Curve Estimation procedure, and the the Quadratic model was found to be superior to the Linear model for this situation. However, the retailer is concerned that the Quadratic model may not beappropriate because it suggests that increasedadvertising will eventually decrease sales. Use Nonlinear Regression to fit an appropriate model.Step 1: Scatter plotThe resulting scatterplotshows that salesincrease with increasedadvertising; however,the sales return onadvertising investmentappears to decreasewith increased spending,until increasedadvertising has nofurther effect on sales.An appropriate model forthis kind of pattern is theasymptotic(]渐近线的)regression model.Step 2: Choosing ModelThe asymptotic regression model (渐近回归模型) has form:Xb eb b Y 321+=When b1>0, b2<0, and b3<0, it gives Mistcherlich's model of the "law of diminishing returns ". This model initially increases quickly with increasing values of x, but then the gains slow and finally taper off just below the value b1.6065707580859095100105246810Y =100-30*EXP(-0.5*X)Step 3: Choosing starting valuesz The Nonlinear Regression procedure requires that you supply starting values for the parameters in the model. This seems adaunting（使人畏缩的）task at first, but becomes easier with some familiarity with the model.z b1represents the upper asymptote for sales. Looking at the chart, even the largest sales values fall justs short of13, so that's areasonable starting value.z b2is the difference between the value of y when x=0 and the upper asymptote. A reasonable starting value is the minimum value of y minus b1. Looking at the chart, say that's about7-13= -6.z b3 can be roughly initially estimated by the negative of the slope between two "well separated" points on the plot. Looking at the chart there are a few points about x=2, y=8, and about x=5, y=12. Theslope between these points is (12-8)/(5-2)=1.33, thus a rough initial estimate for b3 is -1.33.Step 4: Running Nonlinear Regression(1) Define model1.Analyze ÆRegression ÆNonlinear...2.Select Detrended sales as the dependentvariable.3.Type b1 + b2*exp(b3*advert)as the modelexpression.Step 4: Running Nonlinear Regression(1) Define modelStep 4: Running Nonlinear Regression(2) Input initial values of parameters 4.Click Parameters....z Type b1as the parameter name.z Type 13as the starting valuez Click Add.z Type b2as the parameter name.z Type -6as the starting value.z Click Add.z Type b3as the parameter name.z Type -1.33as the starting value.z Click Add.Step 4: Running Nonlinear Regression(2) Input initial values of parametersStep 4: Running Nonlinear Regression(3) Constrains5.Click Constraints in the Nonlinear Regressiondialog box.z Select Define parameter constraint.z Select b1as the parameter to be constrained.z Select >= from the dropdown list.z Type 0 as the constraintz Click Addz Select b2as the parameter to be constrained.z Select <= from the dropdown listz Type0as the constraint.z Click Addz Select b3as the parameter to be constrained.z Select <= from the dropdown listz Type 0as the constraint.z Click Add(3) Constrains(3) ConstrainsClick OK in the warning. The sequential quadratic programming algorithm（顺序二次规划）will be used instead.(4) Save variables6.Click Save in the Nonlinear Regression dialog box.•Select Predicted values and Residuals.Step 5: Output and InterpretingThe parameter estimates table summarizes the model-estimated value of each parameter. Parameters in a nonlinear regression model usually do not have the same interpretation as linear regression coefficients, and often vary from model to model .Parameter Estimates12.904.61011.63614.173-11.268 1.581-14.556-7.979-.496.138-.782-.209Parameterb1b2b3Estimate Std. ErrorLower Bound Upper Bound95% Confidence IntervalStep 5: Output and InterpretingAs previously discussed, b1 represents the maximum possible sales , even if infinite advertising money were available. Its small standard error with respect to the value of the estimate suggests that you can be confident in the estimate.Parameter Estimates12.904.61011.63614.173-11.268 1.581-14.556-7.979-.496.138-.782-.209Parameterb1b2b3Estimate Std. ErrorLower Bound Upper Bound95% Confidence IntervalStep 5: Output and Interpretingb2 is the difference between maximum possible sales and sales when no advertising money is spent . Its standard error is large and confidence interval is wide compared to the value of the estimate, so there is some uncertainty here.Parameter Estimates12.904.61011.63614.173-11.268 1.581-14.556-7.979-.496.138-.782-.209Parameterb1b2b3Estimate Std. ErrorLower Bound Upper Bound95% Confidence IntervalStep 5: Output and Interpretingb3 controls the rate at which the maximum is reached , the so-called "rate constant ". Like b2, there is some uncertainty in the estimate.Parameter Estimates12.904.61011.63614.173-11.268 1.581-14.556-7.979-.496.138-.782-.209Parameterb1b2b3Estimate Std. ErrorLower Bound Upper Bound95% Confidence IntervalStep 5: Output and InterpretingThe ANOVA table provides a breakdown of the sum of squares , a measure of variability in the dependent variable, for this model.ANOVA a2748.5193916.1736.77821.3232755.2972474.52023Source Regression ResidualUncorrected Total Corrected TotalSum of Squares dfMean Squares Dependent variable: Detrended salesR squared = 1 - (Residual Sum of Squares) /(Corrected Sum of Squares) = .909.a.Step 5: Output and InterpretingThe Uncorrected Total represents the entire variability in the dependent variable, while the Corrected Total is adjusted to only reflect variability about "average" sales.ANOVA a2748.5193916.1736.77821.3232755.2972474.52023Source Regression ResidualUncorrected Total Corrected TotalSum of Squares dfMean Squares Dependent variable: Detrended salesR squared = 1 - (Residual Sum of Squares) /(Corrected Sum of Squares) = .909.a.Step 5: Output and InterpretingThe Residual sum of squares and Corrected Total are used to compute r2. An r 2value of 0.909 means that the model accounts for about 90.9% of the variability in the dependent variableANOVA a2748.5193916.1736.77821.3232755.2972474.52023Source Regression ResidualUncorrected Total Corrected TotalSum of Squares dfMean Squares Dependent variable: Detrended salesR squared = 1 - (Residual Sum of Squares) /(Corrected Sum of Squares) = .909.a. CommentComments:Some properties that exist for linear regression least squares do not hold for nonlinear regression least squares.z The residuals do not necessarily sum to zero for nonlinear least squares.z Additionally, the error sum of squares SSE and the regression sum of squares SSR do not necessarily sum to the total sum of squares SSTO.z Consequently, the coefficient of multiple determination R2=SSR/SSTO is not a meaningful descriptive statistic fornonlinear regression.Step 6: Scatter Plot of residualsz To produce a scatterplot of residuals by fit values for the Nonlinear model, from the menuschoose:GraphsÆScatter/Dot...z Select Residuals as the y variable and Predicted Values as the x variable.Step 6: Scatter Plot of residuals These residuals do not show a pattern, thus the Asymptotic model is acceptable in the sense the residuals are independent of the fit values.Example 2An internet service provider (ISP) is determining the effects of a virus on its networks. As part of this effort, they have tracked the (approximate) percentage of infected e-mail traffic on its networks over time, from the moment of discovery until the threat was contained.Use Nonlinear Regression to model the rise and decline of the infection.Scatter Plotz To produce a scatterplot of infected e-mails by time, from the menus choose:z Graphs ÆScatter/Dot...Scatter Plot•The resulting scatterplotshows a rise, leveling out,and eventual decline in theproportion of infected e-mailsover time. The shape of theplot is such that it is unlikelythat a single nonlinearequation will both provide agood fit and allow sufficientinterpretability.Closerexamination suggests that asegmented model couldperform quite well here.•The initial curve in the plothas an S-shape--there is aninitial bend before the rapidrise, followed by anotherbend as it levels off. A classicgrowth curve, the logisticequation, can be used tomodel this shape.Scatter PlotAt approximately hour 20, theproportion of infected e-mailsdrops precipitously with eachpassing hour and the rate atwhich the proportion dropsappears to decrease withtime, until the virus threat isessentially eliminated. Anappropriate model for thiskind of pattern is theasymptotic regressionmodel (渐近线回归模型).A segmented model thatuses a logistic equation forthe first 19 hours and anasymptotic regression forthe remaining hours shouldprovide a good fit andinterpretability over the entiretime period.Choosing starting values for the logistic modelThe logistic model has form:Generally, b1>0, b2>0, and b3>0. This model has an "S" shaped curve .z b1represents the upper asymptote for viral growth. Looking at the chart, even the largest values fall short of 0.65, so that's a reasonable starting value.z b2is the ratio between the value of y when x=0 and the upper asymptote . A reasonable starting value is the ratio of b1 to the minimum value of y. Looking at the chart, say that's about 0.65/0.13=5.z b3can be roughly initially estimated by the slope between two "well separated" points on the plot. Looking at the chart there are a few points about x=3, y=0.12, and about x=19, y=0.60. The slope between these points is (0.60-0.12)/(19-3)=0.03, thus a rough initial estimate for b3 is 0.03.Xb eb b Y 3211−+=Choosing starting values for the asymptotic regression modelThe asymptotic regression model has form:When a1>0, a2>0, and a3<0, this model initially decreases quickly with increasing values of x, but then it slows and finally tapers off just above the value a1.z a1represents the lower asymptote for the proportion of infected e-mails. The lowest value this can be is 0, so that's a reasonable starting value.z a2is the difference between the value of y when x=20and the lower asymptote . A reasonable starting value is the maximum value of y minus a1. Looking at the chart, say that's about 0.6-0.0=0.6.z a3 can be roughly initially estimated by the slope between two "well separated" points on the plot. Looking at the chart there are points about x=20, y=0.6, and about x=40, y=0.1. The slope between these points is (0.6-0.1)/(20-40)=-0.025, thus a rough initial estimate for a3 is -0.025.Xa ea a Y 321+=Running Nonlinear Regressionz Analyze ÆRegression ÆNonlinear...z Select Proportion of infected messages as the dependent variable.z Type (time<20)*b1/(1 + b2*exp(-b3*time)) + (time>=20)*(a1 + a2*exp(a3*(time-19)))as the model expression.z Note (time<20), (time>=20) terms;z note (time-19) term.Running Nonlinear RegressionRunning Nonlinear Regression z Setting initial values:z b1 = 0.65z b2 = 5z b3 = 0.03z a1 = 0z a2 = 0.6z a3 = -0.025Running Nonlinear Regression z Setting Constraintsz b1 >= 0z b2 >= 0z b3 >= 0z a1 >= 0z a2 >= 0z a3 <= 0Running Nonlinear Regression z Setting SaveOutputsParameter Estimates.734.127.477.9917.428 1.375 4.63810.217.184.040.103.265.091.030.030.153.661.044.572.750-.150.027-.205-.095Parameterb1b2b3a1a2a3EstimateStd. ErrorLower Bound Upper Bound95% Confidence Interval The parameter estimates table summarizes the model-estimated value of each parameter. The standard errors of the logistic model's parameter estimates are considerably larger than those of the asymptotic regression model, relative to the values of the estimates. This is due in part to the fewerobservations available to fit the logistic portion of the model;the rest is likely due to greater variation in the data during the first 20 hours.OutputsThe ANOVA table provides a breakdown of the sum ofsquares, a measure of variability in the dependent variable, for this model.The Residual sum of squares and Corrected Total are used to compute r 2. An r 2value of 0.933means that the model accounts for about 93.3% of the variability in the dependent variable.ANOVA a4.8846.814.08236.0024.966421.21241Source Regression ResidualUncorrected Total Corrected TotalSum of SquaresdfMean SquaresDependent variable: Proportion of infected messages R squared = 1 - (Residual Sum of Squares) /(Corrected Sum of Squares) = .933.a.Scatter PlotThese residualsdo not show apattern, thus themodel isacceptable inthe sense theresiduals areindependent ofthe fit values常用非线性模型: 2D Model1. PolynomialModel Group Descriptiona*x+b Polynomial First Order Polynomiala*x^2+b*x+c Polynomial Second Order Polynomial a*x^3+b*x^2+c*x+d Polynomial Third Order Polynomiala*x^4+b*x^3+...+e Polynomial Fourth Order Polynomial a*x^5+b*x^4+...+f Polynomial Fifth Order Polynomiala*x^6+b*x^5+...+g Polynomial Sixth Order Polynomiala*x^7+b*x^6+...+h Polynomial Seventh Order Polynomial a*x^8+b*x^7+...+i Polynomial Eighth Order Polynomial a*x^9+b*x^8+...+j Polynomial Ninth Order Polynomiala*x^10+b*x^9+...+k Polynomial Tenth Order Polynomial。

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