2020届宝山区高三一模数学Word版(附解析)
2020届上海市宝山区高三一模数学试题(解析版)
2020届上海市宝山区高三一模数学试题一、单选题1．若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1)e ，上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．11a e<< C ．111a e-<< D ．111a e+<< 【答案】C【解析】函数f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知()()10,0f f e <>，解不等式即可求得a 的取值范围. 【详解】 函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， ∵(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>， 可得111a e-<< 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况. 2．下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2()log (41)x f x x =+-B ．()||2cos f x x x =-C ．2210()0x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩D ．|lg |()10x f x =【答案】A【解析】由偶函数的定义，及在[0,)+∞上单调即可求解；【详解】 解：对于2241:()log (41)log 4x xx A f x x x -+-=++=+2222log (41)log 2log (41)()x x x x x f x =+-+=+-=．且2222(2)11()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+， Q 当0x …时，函数122x xy =+单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，故A 正确； :0B x >时，()2cos f x x x =-，令()12sin 0f x x '=->，得(0x ∈，52)(266k k ππππ++⋃，*22)()k k N ππ+∈，故B 不正确；:0C x ≠时，2212x x +…，当且仅当221x x=，即1x =±时，等号成立， ∴不满足在[)0,+∞上单调递增，故C 不正确；对于D ：|lg |()10x f x =定义域为()0,∞+，由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D 错；故选：A ． 【点睛】考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于基础题；3．已知平面γβα、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ）A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【答案】B【解析】通过假设//a b ，可得,a b 平行于,αβ的交线，由此可得c 与交线相交或异面，由此不可能存在////a b c ，可得正确结果. 【详解】设l αβ=I ，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α 又l αβ=I ，可知//a l ，//b l 又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面 若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B 【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.4．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x j ++，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A ．当0a >，0b >时，辅助角arctan ba ϕ= B ．当0a >，0b <时，辅助角arctan ba ϕπ=+C ．当0a <，0b >时，辅助角arctan ba ϕπ=+D ．当0a <，0b <时，辅助角arctan baϕπ=-【答案】B【解析】分别判断出a ，b 的值，对辅助角ϕ的影响． ①0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限； ②0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限； ③0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限； ④0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限． 【详解】 解：因为cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=，(,]ϕππ∈- 对于A ，因为0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限02πϕ∴<<，0b a>Q，arctan (0,)2b a π∴∈，故A 选项正确；对于B ，因为0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限02πϕ∴-<<；0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故B 选项错误； 对于C ，因为0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限2πϕπ∴<<；0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故C 选项正确；对于D ，因为0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限2ππϕ∴-<<-，0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴-∈--，故D 选项正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题．二、填空题5．若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．【解析】根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可． 【详解】解：∵(1)2z i i +=，∴21iz i ==+()()()21111i i i i i -=++-，∴||z ==【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题． 6．已知4251λλ-=-，则λ=________【答案】3【解析】由行列式的计算公式化简求解即可． 【详解】解：4251λλ-=-Q()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=， 故答案为：3． 【点睛】本题考查二阶行列式的计算，属于基础题．7．函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________ 【答案】31log ,(0,1]y x x =+∈【解析】首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可． 【详解】解：13(1)x y x -=Q …，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈， 【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题．8．2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛. 【答案】66【解析】直接利用组合数的应用求出结果． 【详解】解：根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==． 故答案为：66． 【点睛】本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________【答案】22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【解析】首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 【详解】解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =， 所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10．在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为________ 【答案】9-【解析】利用二项展开式把5(1)x -展开，再求展开式中3x 的系数． 【详解】解：53(1)(1)x x -+()()2345315101051x x x x x x =-+-+-+()()23453234515101051510105x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-则含3x 的项有310x -与3x 两项∴展开式中3x 的系数为1109-=-．故答案为：9-． 【点睛】本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题． 11．不等式22|2|36x x x x -->--的解集是________ 【答案】(4,)-+∞【解析】将不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，再根据220x x -+>恒成立，则原不等式等价于22236x x x x -+>--解得即可； 【详解】解：不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--， 由于函数22y x x =-+的图象在x 轴上方，所以220x x -+>恒成立，所以22236x x x x -+>--， 解得4x >-，故不等式的解集为(4,)-+∞．故答案为：(4,)-+∞ 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12．已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =_____【答案】2±【解析】由题意设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈，利用根与系数的关系结合12||2x x -=求得a 与b 的值，则k 可求．【详解】解：Q 方程程220x kx -+=的两个虚根为1x 、2x ， 可设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈． 122x x a k ∴+==，22122x x a b =+=，12||2x x -=Q ，|2|2bi ∴=， 联立解得：1b =±，1a =±．2k ∴=±．故答案为：2±． 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为__【答案】【解析】先求出直线l 的方程，再求出圆心C 与半径r ，计算圆心到直线l 的距离d ，由垂径定理求弦长||AB ． 【详解】解：由题意可得，l 的方程为210x y ++=，22480x y x y +-+=Q 可化为22(2)(4)20x y -++=，圆心(2,4)-，半径r =，∴圆心(2,4)-到l 的距离d =AB ∴==故答案为： 【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．14．有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是________cm （钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）【答案】4.5【解析】直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果． 【详解】解：设钢球的内半径为r ，所以33457.9 3.1414232r ⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得 2.25r ≈． 故内直径为4.5cm ． 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =_______【答案】47-【解析】{}n a 、{}n b 均是等差数列，故{}n c 为二次函数，设2n c an bn c =++，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到10c ． 【详解】解：因为{}n a 、{}n b 均是等差数列，其通项公式均为关于n 的一次式，所以n n n c a b =⋅为关于n 的二次式，故设2n n n c c b n a an b =+⋅+=，17c =Q ，29c =，39c =则7429939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得153a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩253n c n n ∴+-+=210110510347c ∴=-⨯+⨯+=-， 故答案为：47-． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16．已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________【答案】【解析】先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭…；再利用基本不等式即可求解． 【详解】解：因为0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭；所以222166416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b的坐标为：(．故答案为：(． 【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．三、解答题17．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 【答案】（133（2）5arccos 8；【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE 的面积，再由棱锥体积公式求解； （2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，由题意可得11//AD B C ，则11B C E ∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，求解三角形得答案． 【详解】解：（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，Q 底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，B ∴到DC 3E 是AB 的中点，1BE ∴=，则()3311232BCDE S =+=梯形． 13DD =Q ，∴11333311333C BCDE BCDE V S DD -=⨯==四边形；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//AD B C Q ，11B C E ∴∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，连接1B E ，在11C B E ∆中，112B C =，2213110B E =+= 222211121211()942C E EC CC =++-⨯⨯⨯-+．2221124(10)5cos 8B C E +-∴∠=，∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8．【点睛】本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．18．已知函数()sin cos()3sin cos 2f x x x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.【答案】（1）π，对称中心：1,,2122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭；（2）10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，123x x π+=【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a 的范围和12x x +的值． 【详解】解：（1）函数()sin cos 3cos 2f x x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭231cos 231sin 22sin 2262x x x x x π-⎛⎫=-+=-+=+- ⎪⎝⎭． 所以函数的最小正周期为22T ππ==， 令2()6x k k Z ππ+=∈，解得()212k x k Z ππ=-∈， 所以函数的对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭． （2）由于02x π剟，所以72666x πππ+剟，在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，所以函数1sin 2126x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭…时，函数的图象有两个交点，故a 的范围为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．由于函数的图象在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上关于6x π=对称， 故12263x x ππ+=⋅=．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．一家污水处理厂有A B 、两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A B 、两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 【答案】（1）7小时；（2）17小时【解析】（1）由题意可得A 池每小时剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半，则0.90.5x =，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时剩余原来的81%，可得090.810.12x x+=g ，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值． 【详解】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%， 设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半， 则0.90.5x =，可得0.570.9lg x lg =≈， 则A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%， 可得090.810.12x x+=g ，即20.90.90.20x x +-=，可得0.9x =，可得1.81170.9lgxlg⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=≈．则A、B两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【点睛】本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．已知直线:l x t=(02)t<<与椭圆22:142x yΓ+=相交于A B、两点，其中A在第一象限，M是椭圆上一点.（1）记1F、2F是椭圆1(,]2t∈-∞的左右焦点，若直线AB过2F，当M到1F的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M A、关于y轴对称，当MAB△的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P Q、，证明：||||OP OQ⋅为定值.【答案】（1）642-+（2）22y x=-；（3）证明见解析【解析】（1）由题意可得焦点1F，2F的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，注意横坐标的范围[]22-,，在椭圆上，又M到1F的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，3B个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．【详解】（1）设1(,),(2,0)M x y F-，依题意得，22(2)||x y x t++=-，联立椭圆方程：22:142x y Γ+=，把22122y x =-代入得：222212222x x x tx t +++-=-+，(22x t ∴=--；又因为t =，代入得：6M x =-+（2）设()()11,,A t y B t y -，则()1,M t y -，则12MAB S t y =⋅V ，又因为()1,A t y 在椭圆22:142x y Γ+=上，所以221142y t +=，11122t y ∴≥1ty ∴≤则 MAB S ≤V ，当且仅当1t =时，取等号，即t =，则(1)M B -，所以:2MB l y x =-； （3）设()()()1100,,,,,A t y B t y M x y -，则01100110:():()MA MB y y l y x t y x ty y l y x t y x t-⎧=-+⎪-⎪⎨+⎪=--⎪-⎩100101001,00,0d y t y x P y y y y t y x Q y y ⎧⎛⎫-⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫+⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩u u u u u u u r 令， 则22220102201||||=y t y x O Q y P O y --⋅，又因为2212200122122y t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入得：2222022||||41122t x OP OQ t x -⋅==-，故为定值.【点睛】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21．已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a +令ln n n b a =（n ∈*N ）. （1）证明：2n b +> （2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，12t ≤【解析】（1）由已知可得：1n a >．利用基本不等式的性质可得：1n n lna lna ++…，代入化简即可得出．（2）设1+=-n n n c b b，由2n a +=*()n n b lna n N =∈．可得121112n n n n n n c b b c b b ++++-==--．即可证明211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +…成立．由（2）可得：1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．1n =时，10t g …，解得t R ∈．2n …时，1min n n b t b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用单调性即可得出． 【详解】解：（1）依题意得，要证明2n b +21ln ln n n n a a ++>⋅，又因为2n a +=2ln n a +>要证明2ln n a +>>>()1ln n n a a +⋅>又因为1ln ln n n a a ++≥.（2）设1+=-n n n c b b，因为2n a +=*ln ()n n b a n N =∈，则2112111111lnln 212ln ln n n n n nn n n n n n n n n a ac b b a a a a c b b a a +++++++++--=⋅==--.所以：{}1n n b b +-是公比为12的等比数列，则()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()121321n n n b b b b b b b b -∴=+-+-++-L2211101()()()222n -=++-+-+⋯⋯+-11111221113212n n --⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭． {}n b ∴的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（3）假设存在存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立，由（2）知，1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 1︒当1n =时，t R ∈；2︒当2n ≥时，1minn n b t b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 而1111(2)1(2)23321(2)2(2)2(2)2112nn n n n n n n b b +-⎛⎫-- ⎪---+-⎝⎭--==--+-+-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则当2n =时，m 132in 12n n b b b b +⎛⎫== ⎪⎝⎭，故存在这样的t ，12t ≤【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2023年上海市宝山区高三上学期高考一模数学试卷含详解
2023届宝山区高三一模数学试卷2022.12一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.集合A ={1，2}，B ={2，3}，则A ∩B =_____．2.函数21log 1xy x +=-的定义域是______.3.设复数()i 2i z =-（其中i 为虚数单位），则z =______.4.当1x >时，41x x +-的最小值为______．5.若函数y =a x (a ＞0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a =_________6.两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______.7.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_________.8.已知平面向量a 、b 满足3a = ，4b =，则2a b + 在a 方向上的数量投影的最小值是______.9.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）10.双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在y 轴上.双曲线C 与线段1AF 交于点P ，与线段2AF 交于点Q ，直线1AF 平行于双曲线C 的渐近线，且:5:6AP PQ =，则双曲线C 的离心率为______.11.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.12.对于正整数n ，设nx 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，记[](1)(2)n n a n x n =+≥，其中[]x表示不超过x 的最大整数，则()234202211012a a a a +++⋅⋅⋅+=______.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.已知a ，b 都是自然数，则“a b +是偶数”是“a ，b 都是偶数”的（）条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要14.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为6:5:4，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.A.16B.18C.20D.2415.设sin cos x αα+=，且33323210sin cos a x a x a x a αα+=+++，则0123a a a a +++=（）A.－1B.12C.1D.16.已知O 为坐标原点，点()1,1A 在抛物线C ：()220x py p =>上，过点()0,1B -的直线交抛物线C 于P 、Q 两点：①抛物线C 的准线为12y =-；②直线AB 与抛物线C 相切；③2OP OQ OA ⋅>；④2BP BQ BA ⋅=，以上结论中正确的是（）A.①②B.②③C.②④D.③④三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知函数()sin 22f x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在锐角ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，当()0f A =，1b =，且三角形ABC 求a .18.已知数列{}n a 满足11a =，134(2)n n a a n -=+≥.（1）求证：数列{}2n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）写出5211i i a-=∑的具体展开式，并求其值.19.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是11C D 、1C C 、1AA 的中点.（1）证明：M 、N 、1A 、B 四点共面；（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）求三棱锥-P MNB 的体积.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，()1,3P ，()3,1Q ，()3,1M -，()0,2N 这四点中恰有三点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）点E 是椭圆C 上的一个动点，求EMN 面积的最大值；（3）过()0,1R 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设直线l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在一点(),0D m ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.已知函数()2f x x ax a =--，R a ∈.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，且关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，求实数m 的取值范围；（3）记()e xg x =-（e 是自然对数的底数）.若对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数a 的取值范围.2023届宝山区高三一模数学试卷2022.12一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.集合A ={1，2}，B ={2，3}，则A ∩B =_____．【答案】{2}【解析】【分析】直接利用交集的定义求解．【详解】解：∵A ={1，2}，B ={2，3}，∴A ∩B ={1，2}∩{2，3}={2}．故答案为：{2}．2.函数21log 1xy x+=-的定义域是______.【答案】()1,1-【解析】【分析】根据已知，可得101xx+>-，解出不等式即可得到结果.【详解】要使函数21log 1xy x +=-有意义，则应满足101x x+>-，即101x x +<-该不等式等价于()()110x x -+<，解得11x -<<.所以，函数21log 1xy x+=-的定义域是()1,1-.故答案为：()1,1-.3.设复数()i 2i z =-（其中i 为虚数单位），则z =______.【答案】【解析】【分析】化简z ，根据复数模的运算即可求得结果.【详解】因为()i 2i 12i z =-=+，所以z ==..4.当1x >时，41x x +-的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】将所求代数式变形为441111x x x x +=-++--，利用基本不等式即可求解.【详解】解：因为1x >，所以10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥+=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时等号成立，所以41x x +-的最小值为5.故答案为：5.5.若函数y =a x (a ＞0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a =_________【答案】3【解析】【分析】由指数函数是单调函数，代入端点计算最值之和，即可求解.【详解】函数y =a x (a ＞0，a ≠1)为单调函数，所以在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为212a a +=.解得3a =或-4（舍）.答案为：3.6.两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______.【答案】0.3【解析】【分析】根据独立事件概率的乘法公式，即可求得结果.【详解】记“第一个篮球运动员罚球一次，命中”为事件A ，“第二个篮球运动员罚球一次，命中”为事件B ，则()0.6P A =，()0.5P B =，事件A 和B 相互独立.则“两人各投一次，则他们同时命中”可用事件AB 来表示，()()()0.60.50.3P AB P A P B =⋅=⨯=.故答案为：0.3.7.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_________.##3π3【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可.【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，则2π2πr =，∴1r =.∴圆锥的高h ==，∴圆锥的体积21ππ33V r h ==.故答案为：33π.8.已知平面向量a 、b 满足3a = ，4b = ，则2a b + 在a方向上的数量投影的最小值是______.【答案】2【解析】【分析】先求出()2a b a +⋅的范围，根据()2a ab a +⋅ 即可求得结果.【详解】因为2a b + 在a方向上的数量投影为()2a ab a +⋅ ，所以当()2a b a +⋅最小时，数量投影取得最小值.设,a b θ= ，则()222a b a a a b +⋅=+⋅ 22cos a a b θ=+1812cos θ=+.因为1cos θ1-＃，则当cos 1θ=-时，()21812cos a b a θ=+⋅+有最小值6.所以，2a b +在a方向上的数量投影的最小值是()2263a b a a⋅=+= .故答案为：2.9.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）【答案】96【解析】【分析】若甲不参与测温，可先在其他４人中先选取一人进行测温工作，再从４人中选取３人参与其他工作.【详解】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有1344C A 96=种.故答案为：9610.双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在y 轴上.双曲线C 与线段1AF 交于点P ，与线段2AF 交于点Q ，直线1AF 平行于双曲线C 的渐近线，且:5:6AP PQ =，则双曲线C 的离心率为______.【答案】53【解析】【分析】根据双曲线的对称性，可得PQ 与x 轴平行.双曲线的渐近线方程为by x a =±，可得出0,bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.根据1//MP OF ，可得1MP MA OF OA=，代入相关数值，可得43a b =，进而得出离心率.【详解】如图，PQ 交y 轴于M .根据双曲线的对称性，知PQ 与x 轴平行，且12PM PQ =.设5AP k =()0k >，则6PQ k =，3PM k =，所以4MA k ==.双曲线渐近线方程为by x a =±.()1,0F c -，由已知直线1AF 斜率为b a，则直线1AF 的方程为()b y x c a =+，则0,bc A a ⎛⎫⎪⎝⎭，bc OA a =.因为1//MP OF ，所以有1MPMAOF OA=，即34k kbc c a=，整理可得，43a b =，则43b a =，则22222242539a c a b a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以有222259c ea ==，所以53e =.故答案为：53.11.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.【答案】60︒##π3【解析】【分析】遮阴影面ABC '面积达到最大即是点C '到AB 的距离最大，根据正弦定理表示出点C '到AB 的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥交AB 于D ，连接C D '，由题可知C D AB'⊥因此C DC '∠就是遮阳篷ABC 与地面所成的角，因为C D AB '⊥，所以求遮阴影面ABC '面积最大，即是求C D '最大，其中已知30CC D '∠=︒，32CD =设DCC θ'∠=，()0,150θ∈︒︒，根据正弦定理62sin 30sin CD C DC D θθ''=⇒=︒当90θ=︒时遮阴影面ABC '面积最大，此时60C DC '∠=︒故答案为：60︒12.对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，记[](1)(2)n n a n x n =+≥，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则()234202211012a a a a +++⋅⋅⋅+=______.【答案】2021【解析】【分析】根据导数可得()f x 为单调递增函数，根据零点存在性定理找到n x 的取值范围，代入[](1)(2)n n a n x n =+≥即可得出通项公式，求出答案.【详解】设()32f x nx x n =+-，则()232f x nx '=+，当2n ≥时，()0f x ¢>因此()f x 为单调递增函数，又因当2n ≥时，()()2332111110n n n n f n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭++<+且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x ，且,11n n x n ⎛⎫∈⎪+⎝⎭，所以(1)1n n n x n <+<+，[](1)n n a n x n =+=，因此()()()234202222022202111234202220211012101221012a a a a +⨯+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⨯故答案为：2021二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.已知a ，b 都是自然数，则“a b +是偶数”是“a ，b 都是偶数”的（）条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】举出特例，即可说明充分条件不成立，必要条件显然成立，即可得到答案.【详解】令1a =，3b =，则4a b +=是偶数，而,a b 都是奇数；若a ，b 都是偶数，显然a b +是偶数.所以，“a b +是偶数”是“a ，b 都是偶数”的必要而不充分条件.故选：B.14.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为6:5:4，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.A.16B.18C.20D.24【答案】A 【解析】【分析】由已知可求得抽样比为120，再求出高三的学生数，即可求出结果.【详解】设高一学生数为6k ，则高二学生数为5k ，高三学生数为4k .所以，该高中共有学生数为654151200k k k k ++==，解得80k =.用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为601120020=，所以，高三年级应该抽取14801620⨯⨯=人.故选：A.15.设sin cos x αα+=，且33323210sin cos a x a x a x a αα+=+++，则0123a a a a +++=（）A.－1B.12C.1D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求出21sin cos 2x αα-=，则可以得到，333232103322sin cos a x x a x a x x a αα+==++-+，进而可得0123a a a a +++的值.【详解】sin cos x αα+=，故22(sin cos )x αα+=，得212sin cos x αα+=，得到21sin cos 2x αα-=，3322sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )αααααααα+=+-+23(3)3222x x x x -==-，所以，2321033322a x a x a x a x x =++-+，得00a =，132a =，20a =，312a =-，则01231a a a a +++=故选：C16.已知O 为坐标原点，点()1,1A 在抛物线C ：()220x py p =>上，过点()0,1B -的直线交抛物线C 于P 、Q 两点：①抛物线C 的准线为12y =-；②直线AB 与抛物线C 相切；③2OP OQ OA ⋅>；④2BP BQ BA ⋅=，以上结论中正确的是（）A.①②B.②③C.②④D.③④【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出抛物线C 方程，再假设出直线AB 的直线方程，联立方程和利用韦达定理即可判断得出答案．【详解】将点()1,1A 代入抛物线方程，可得12p =，故抛物线C 的准线为14y =-，①错误；抛物线C 方程为2x y =，令()2f x x =，()12AB f k '==，抛物线在A 点处切线斜率与直线AB 斜率相同，因此直线AB 与抛物线C 相切，②正确；由题可知22OA =，直线PQ 斜率存在，所以设直线PQ 的方程为1y kx =-，交点()211,P x x ，()222,Q x x ，联立方程21x yy kx ⎧=⎨=-⎩，整理可得：210x kx -+=22404k k ∆=->⇒>，且12x x k +=，121=x xOP OQ ⋅==因为24k >22OA >=，③正确；()22121211BP BQ k x x k ⋅===+=+因为24k >，所以215BP BQ k ⋅=+>()()22210115BA =-++=，所以2BP BQ BA ⋅>，④错误故选：B ．三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知函数()sin 22f x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在锐角ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，当()0f A =，1b =，且三角形ABC 求a .【答案】（1）5πππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣++⎦-()k ∈Z ；（2）a =.【解析】【分析】（1）由已知可得()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，即可求出结果；（2）先解出π3A =，根据面积公式可求得4c =，根据余弦定理，即可求解.【小问1详解】由题意可得，()sin 22f x x x =+12sin 2222x x ⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z 可得，5ππππ1212k x k -+≤≤+，k ∈Z .所以，函数()f x 的单调增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣++⎦-()k ∈Z .【小问2详解】由（1）知，()π2sin 23f A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为()0f A =，所以π2π3A k +=，k ∈Z ，则ππ62k A =-+，k ∈Z ，又A 是锐角，所以πππ0622k <-+<，k ∈Z ，解得1k =，则π3A =.又1b =，ABC S =113sin 1222ABC S bc A ==⨯⨯= ，所以，4c =.根据余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-22114214132=+-⨯⨯⨯=，所以a =.18.已知数列{}n a 满足11a =，134(2)n n a a n -=+≥.（1）求证：数列{}2n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）写出5211i i a-=∑的具体展开式，并求其值.【答案】（1）证明见解析；（2）32nn a =-；（3）1138388-.【解析】【分析】（1）利用构造法，得到123(2)n n a a -+=+，可证明{}2n a +是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式，求出23nn a +=，进而可求{}n a 的通项公式；（3）直接写出5211i i a-=∑的具体展开式，根据n a ，利用等比数列的前n 项和公式，直接计算5211i i a-=∑可得答案.【小问1详解】134(2)n n a a n -=+≥，等式两边同时加上2，得123(2)n n a a -+=+，又11a = ，123a +=则{}2n a +为首项是3，公比3q =的等比数列【小问2详解】由（1）得，{}2n a +为首项是3，公比3q =的等比数列，23n n a ∴+=，故32n n a =-.【小问3详解】521135791i i aa a a a a -==++++∑35793333325=++++-⨯53(19)1019-=--1153383(91)10888=⨯--=-19.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是11C D 、1C C 、1AA 的中点.（1）证明：M 、N 、1A 、B 四点共面；（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）求三棱锥-P MNB 的体积.【答案】（1）证明见详解；（2）arccos 10；（3）13.【解析】【分析】（1）由已知可证明11//A B CD 和1//MN A B ，即可证明1//MN A B ，进而得出结果；（2）1//MN CD ，所以1PD C ∠即等于异面直线1PD 与MN 所成角，在1PD C V 中，求出各边长，用余弦定理即可求出；（3）根据已知可得，四边形1MNA B 为梯形，112MNB MA B S S =V V ，则112P MNB P MA B V V --=，根据等体积法可知11P MA B M PA B V V --=，求出1P MA B V -，即可解出.【小问1详解】证明：如图1，连结MN 、1A B 、1CD .由已知可得，11//A D BC ，11=A D BC ，所以四边形11A BCD 为平行四边形，则11//A B CD .又M 、N 分别是11C D 、1C C 的中点，所以1//MN CD ，且11=2MN CD ，所以1//MN A B ，且11=2MN A B .所以M 、N 、1A 、B 四点共面.【小问2详解】如图2，连结DP 、1D P 、CP .因为CD ⊥平面11ADD A ，DP ⊂平面11ADD A ，所以CD DP ⊥.因为，P 是1AA 的中点，所以11PA PA ==.又111A D A A ⊥，所以1PD ==同理DP =.在Rt PDC 中，3PC ==.又1D C ==在1PCD V 中，有3PC =，1D C =，1PD =，由余弦定理可得，22211111cos 2PD D C PC PD C PD D C +-∠=⋅10==.又1//MN CD ，所以异面直线1PD 与MN 所成角的大小即等于直线1PD 与1CD 所成角的大小，即等于1arccos10PD C ∠=.【小问3详解】如图3，1.,,,MP MB PN MA NB ，因为1//MN A B ，且11=2MN A B ，且M 、N 、1A 、B 四点共面，所以四边形1MNA B 为梯形，设梯形高为h ，则12MNB S MN h =⨯⋅V ，1112MA B S A B h =⨯⋅V ，所以1111112222MNB MA B S MN h A B h S =⨯⋅=⨯⋅=V V .设P 到平面MNB 即到平面1MNA B 的距离为d ，则13P MNB MNB d V S -=⨯⋅V ，1113P MA B MA B d V S -=⨯⋅V ，则11111322P MNB MA B P MA B V S d V --=⨯⨯⋅=V ，且11P MA B M PA B V V --=.因为11//C D 平面11ABB A ，11C B ⊥平面11ABB A ，11M C D ⊂，所以M 到平面11ABB A 的距离等于线段11C D 到平面11ABB A 的距离112C B =.又111112122PA B S PA AB =⨯⋅=⨯⨯=V ，所以11112212333M PA B PA B V S -=⨯⨯=⨯⨯=V ，所以，111212233P MNB P MA B V V --=⨯==.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，()1,3P ，()3,1Q ，()3,1M -，()0,2N 这四点中恰有三点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）点E 是椭圆C 上的一个动点，求EMN 面积的最大值；（3）过()0,1R 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设直线l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在一点(),0D m ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）221124x y +=；（2）3+；（3）3,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）观察可知，,Q M 都在椭圆上，即满足椭圆方程，若()1,3P 在椭圆上，代入方程，联立解得2210a b ==，舍去；因此,,Q M N 三点在椭圆上，即可解出椭圆的方程；（2）要使EMN 面积最大，则应有点E 到直线MN 的距离最大.当过点E 的直线l 与MN 平行，且与椭圆相切时，取得最大或最小值，联立方程即可求得；（3）写出直线l 的方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，可得()2231690k x kx ++-=，根据韦达定理求出AB 的中点坐标以及线段AB 的垂直平分线的方程，代入0y =，即可求得m 的值.根据基本不等式，可求出实数m 的取值范围.【小问1详解】因为()3,1Q ，()3,1M -关于y 轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有22911a b +=成立.若()1,3P 在椭圆上，则有22191a b+=.联立2222911191a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得，2210a b ==，不合题意，舍去.所以，()0,2N 在椭圆上，即有241b =，所以24b =，代入22911a b+=，可得212a =.所以，椭圆C 的方程为221124x y +=.【小问2详解】要使EMN 面积最大，则应有点E 到直线MN 的距离最大.由()3,1M -，()0,2N ，可得直线MN 方程为360x y -+=.过点E 作直线l ，使得//l MN ，则E 到直线MN 的距离即等于直线l 到直线MN 的距离.显然，当直线l 与椭圆相切时，距离为最大或最小.则设直线l 方程为30x y m -+=，联立直线与椭圆的方程22112430x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩可得，22126120y my m -+-=.因为，直线l 与椭圆相切，则()()()22264121212480m m m ∆=--⨯-=--=，解得，m =±.则当m =-时，此时直线方程为30x y --=，与直线360x y -+=距离最大，此时5d +==.又MN ==，所以EMN面积的最大值为113225MN d +⋅==+.【小问3详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，假设在x 轴上存在一点(),0D m ，使得DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形.因为直线l 过()0,1R 点，则直线l 的方程为1y kx =+()0k >，联立直线l 的方程与椭圆的方程2211124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得，()2231690k x kx ++-=，()()()()222Δ6431936410k k k =-⨯+⨯-=+>恒成立，且122631k x x k +=-+，122931x x k -=+，111y kx =+，221y kx =+，所以()12122y y k x x +=++226231k k =-++2231k =+，则AB 的中点坐标为2231,3131k k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，所以线段AB 的垂直平分线方程为221133131k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，显然该直线过点(),0D m .令0y =，则221133131k m k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即2231km k -=+.因为0k >，所以23113k k k k +=+≥=，当且仅当13k k =时，即33k =时，等号成立.所以，231k k+≥231k k ≤+2232313k k -≥-=-+，所以33m ≥-.即实数m 的取值范围为3,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭.21.已知函数()2f x x ax a =--，R a ∈.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，且关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，求实数m 的取值范围；（3）记()e xg x =-（e 是自然对数的底数）.若对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a =时，()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数（2）5[1,27-；（3）[]2ln 22,1-.【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；（2）根据极值，求出1a =，得到32()F x x x x =--，利用导数的性质，判断()F x m =有3个不同的实根时，m 的取值范围；（3）根据()g x 的单调性，问题转化为()()()()()()121221g x g x f x f x g x g x -<-<-，整理得，11221122()()()()()()()()f xg x f x g x f x g x f x g x +<+⎧⎨->-⎩，分别判断函数()()f x g x +和函数()()f x g x -在[0,e]上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】()2f x x ax a =--，因为()f x 的对称轴为2ax =，故当0a =时，()f x 的对称轴为y 轴，此时()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数.【小问2详解】()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，因为32()F x x ax ax =--，则2()32F x x ax a '=--，故(1)320F a a '=--=，得1a =；32()F x x x x =--，此时，2()321(1)(31)F x x x x x '=--=-+，故1(,)3x ∈-∞-和(1,)+∞上，()F x 单调递增，1(,1)3x ∈-上，()F x 单调递减，因为关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，根据导数的性质，当1(1)()3F m F ≤≤-时，满足题意，得5127m -≤≤，故5[1,]27m ∈-【小问3详解】()e x g x =-，()g x 单调递减，对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，21()()0g x g x ->，12()()0g x g x -<，则对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，转化为，对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()()()121221g x g x f x f x g x g x -<-<-成立，即11221122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +<+⎧⎨->-⎩，所以，函数()()f x g x +在[0,e]上单调递减，函数()()f x g x -在[0,e]上单调递增，①函数()()f x g x +在[0,e]上单调递减，即()()0f x g x ''+≤在[0,e]上恒成立，又因为，()2f x x ax a =--，()e xg x =-，故()()2e 0x f x g x x a ''+=--≤，得2e x x a -≤在[0,e]上恒成立，令()2e x h x x =-，()2e x h x '=-，令()0h x '=，得ln 2x =，所以，()h x 在[)0,ln 2上单调递增，在(]ln 2,e 上单调递减，故max ()(ln 2)2ln 22h x h ==-，故2ln 22a ≥-；②函数()()f x g x -在[0,e]上单调递增，即()()0f x g x ''-≥在[0,e]上恒成立，又因为，()2f x x ax a =--，()e xg x =-，故()()2e 0x f x g x x a ''-=-+≥，得2e x x a +≥在[0,e]上恒成立，因为函数2e xy x =+在[0,e]上为单调递增函数，故min 1y =，此时，1a ≤；综上所述，实数a 的取值范围为：[]2ln 22,1-.。
2019-2020宝山区一模数学解析
x12 y02 x02 y12 y02 y12
由点在椭圆上， x02 4 2y02 ， x12 4 2y12 ，代入上式可得 OP OQ 4 为定值。
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21. 已知数列{an}满足 a1 1， a2 e （e 是自然对数的底数），且 an2 an1 an ，
9. 已知直线 l 过点 1,0 且与直线 2x y 0 垂直，则圆 x2 y2 4x 8y 0 与直线 l 相交所
得的弦长为__________. 【答案】 2 15
【解析】直线 l 的方程为 x 2y 1 0 ，圆心 2, 4 到直线 l 的距离 d 5 ，圆的半径 r 2 5
66
22
C 选项在给定区间不单调，D 选项非奇非偶函数函数，故答案选 A.
15. 已知平面、、 两两垂直，直线 a、b、c 满足 a ，b ，c ，则直线 a、b、c
不可能满足的是（ ）.
A. 两两垂直
B. 两两平行 C. 两两相交
D. 两两异面
【答案】B
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4. 2019 年女排世界杯共有 12 支参赛球队，赛制采用 12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一场 定胜负，依次进行，则此次杯赛共有__________场球赛. 【答案】66 【解析】 C122 66
5. 以抛物线 y2 6x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是____________.
【答案】 4,
【解析】原不等式等价为 x x2 2 x2 3x 6 或 x x2 2 x2 3x 6 即1 3 x 1 3 或 x 4
8. 已知方程 x2 kx 2 0(k R) 的两个虚根为 x1, x2 ，若 x1 x2 2 ，则 k __________. 【答案】 2 【解析】 x1 x2 8 k2 i 8 k2 2
2020宝山高三数学一模试卷+答案
宝山区2019学年第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷（120分钟，150分）考生注意：1．本试卷包括试卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；2．在本试卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1．若()12z i i +=（i 是虚数单位），则z = .2．已知 4251λλ-=-，则λ= ．3．函数13(1)x y x -=≤的反函数是 ．4．2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有 场比赛．5．以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 ．6．在()531(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为 ．7．不等式22236x x x x -->--的解集是 ．8．已知方程()220x kx k R -+=∈的两个虚数根为12,x x ，若122x x -=，则k = ．9．已知直线l 过点()1,0-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为 ．10．有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是 cm .（钢的密度为37.9/g cm ，精确到0.1cm ）．11．已知{}n a ，{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 的前三项是799，，，则10c ＝ ． 12．已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为 ．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．若函数1()ln f x x a x =-+在区间()1,e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ）（A ）01a <<． （B ）11a e <<． （C ）111a e -<<． （D ）1+11a e<<．14．下列函数是偶函数，且在 [)0+∞，上单调递增的是（ ）（A ）()2()log 41x f x x =+-． （B ）()||2cos f x x x =-．（C ）221(0),()0 (0).x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩． （D ）|lg |()10x f x =． 15．已知平面αβγ、、两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβλ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能满足的是（ ）（A ）两两垂直． （B ）两两平行． （C ）两两相交． （D ）两两异面． 16．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：()sin cos a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<≤.下列判断错误的是（ ）（A ）当0,0a b >>时，辅助角arctanb a ϕ=. （B ）当0,0a b ><时，辅助角arctanba ϕπ=+. （C ）当0,0ab <>时，辅助角arctanba ϕπ=+. （D ）当0,0ab <<时，辅助角arctanbaϕπ=-. 三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四 边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°， DD 1＝3，E 是AB 的中点．（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).1D A18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()sin cos +cos 2f x x x x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解12,x x ，求a 的取值范围及12x x +的值.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）一家污水处理厂有A 、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水.A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半（精确到1小时）；（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定,处理后的污水可以排入河流.若A 、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定（精确到1小时）.20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知直线:(02)l x t t =<<与椭圆22142x y Γ+=：相交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记12,F F 是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的 距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标； （2）若点,M A 关于y 轴对称，当MAB ∆的面积最大时，求直线MB 的方程；（3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交 于P Q ，，证明：||||OP OQ ⋅为定值.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a += 令ln n n b a =（*n N ∈）. （1）证明：2n b +>（2）证明：211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，且{}n b 的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（3）是否存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立?若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.2019学年第一学期期末高三数学参考答案2019.12.13一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1.2. 33. 31log (01)y x x =+<≤4. 665. 9)23(22=++y x 6. 9-7. {}|4x x >- 8. 2± 9.4.5cm 11. 47-12. (P二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.C 14.A 15.B 16.B三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17.解:（1）001sin 60sin 602EBCD S AB AD AE AD =⋅-⋅=，……………4分1113C EBCD V S AA -=⋅= …………………………………6分（2）211+910EB ==，由余弦定理得201+422cos1207EC =-⨯=，所以217+916EC ==， ……………………………………………8分因为11//AD B C ，所以11B C E θ∠=即为所求异面直线1C E 和AD 所成的角.……………………10分由余弦定理得5cos 8θ==， ………………………………13分所以，异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8. ……………………14分18.解：（1）()2cos 21sin cos sin 222x f x x x x x -=-+=+， 所以()1sin 262f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， …………………………………2分 因而()f x 的最小正周期22T ππ==. …………………………………4分 令()11sin 2622f x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，解得212k x ππ=-，1所以()f x 的对称中心是12122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭，，.……………………6分 （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，………………………………8分 由0262x ππ≤+≤，解得06x π≤≤，所以，()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的递减区间是62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. …………………………………10分当()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解时，a 的取值范围是10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，……12分 此时，12263x x ππ+==. …………………………………14分19.解: (1)设开始时每个池中的污物为0a ， 用,n n a b 表示n 小时后，A ，B 两池剩余的污物量,则10.10.9n n n n a a a a +=-=，所以00.9nn a a =，…………………………2分 同理00.81nn b a =.由题意000.92nn a a a ==,………………………………………………………4分 两边取对数得ln 0.56.587ln 0.9n =≈≈小时. …………………………………6分(2)设n 小时后,A 池污物余0ra ，则B 池污物余()00.2r a -，……………7分由题意()00000.90.810.2nn nn a a ra b a r a ⎧==⎪⎨==-⎪⎩， …………………………………8分 化简得0.81+0.90.2n n =或0.81+0.90.2n n≤， 即()20.9+0.90.20n n -=，………………………………………………………10分解得10.92n-+=， …………………………………………………………12分两边取对数得ln0.916.7717n =≈≈． ………………………13分答：A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；要经过17小时后把两池水混合才能符合环保规定. ……………………………………………………………………14分20.解：（1）()1F，)2F ，由题意知，M在抛物线2y =-上，…………………………………2分由222142y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得6M x =.……………………………………4分（2）由题意A t ⎛ ⎝，M t ⎛- ⎝，,B t ⎛ ⎝，…………6分则122MAB S t ∆=⨯⨯=， (8)分所以当t =时，MAB ∆的面积最大， (9)分 此时()M ，)1B -，解得直线MB 的方程为2y x =-. …………………………………………10分 （3）设00(,)M xy ，由A t ⎛ ⎝，,B t ⎛ ⎝.0MA k =，所以，直线)000:MA y y x x -=-，令0y =得，0P x t y x x -=-11分同理得0Q x t y x x -=所以00||||OP OQ x x ⋅=-……………………12分计算()()22200000202222002||||2222x t x y x t y OP OQ x t ty y --⋅=-+-+-+，………………………14分 又220022x y -=-，因而2200||||24OP OQ x y ⋅=+=.………………………16分21.解：（1）由题意()211ln ln lnn n n a a a ++=+，即()2112n n n b b b ++=+，……………1分 由于11a =，2a e =，2n a +=所以，当2n ≥时，1n a >，且{}n a 递增， ………………………………………2分 因而0n b >，且1n n b b +≠ ………………………………………………………………3分 所以2n b +>………………………………………………………………………4分（2）因为()1121111122n n n n n n n n n b b bb b b b b b +++++++--==---，………………………………6分 又2121ln ln 1b b a a -=-=，所以211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列. ……………………………………………7分所以()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得+1+221132n n b ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ……………………………………………9分所以121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，经检验，1,2n =均成立. ………………10分（3）当2n ≥时，因为0n b >，所以+1111311222111122nn n n n b t b --⎛⎫-- ⎪⎝⎭<==-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………12分 只需要求+1n nbb 的最小值.因为1111224n -⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭， …………………………………………13分 所以+113311122122211+122n n n b b -=-≥-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，…………………………………16分 又211102b b =>=， 所以，对任意自然数*n N ∈均有112n n b b +≥成立，……………………………17分 所以t 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦………………………………………………………18分。
2020上海高三数学一模详答
上海市宝山区2020届高三一模数学答案一. 填空题1.2i ||||1i z 2. 3，4242345313. 31log (01)y x x ，1331log y x y x ，111033y ，即01x4. 66，21266C 5. 223()92x y ，2263y px x p ，∴圆心为3(,0)2，半径为36. 9 ，33003355()1()9C x C x x x ，即3x 的系数为9 7. (4,) ，∵220x x ，∴即22236x x x x ，解得，4x 8. 2 ，设1i x a b ，2i x a b ，∴12|||2|21x x b b ，两根之积12x x 2221a b a ，∴两根之和1222k x x a9. 20x y 垂直，∴可设直线20x y c ，代入点(1,0) ，∴直线:210l x y ，圆22(2)(4)20x y ，圆心(2,4) 到直线l 的距离d，即弦长为10. 4.5，334()7.9(2.5)142 2.2463m V V V r r外内，∴2 4.5r cm 11. 47 ，由题意，可设2n c an bn c ，∴17c a b c ，2429c a b c ，3939c a b c ，解得1a ，5b ，3c ，∴253n c n n ，即1047c12. ，∵0a b ，∴()b a b ，即2()4a b a b ，∴214()b a b a ，222166416()a a b a b a，当且仅当b a b ，28a 时等号成立，即点(,)P a b 的坐标为二. 选择题13. 选C ，∵1()ln f x x a x为增函数，∴(1)10f a ，1()10f e a e14. 选A ，22()log (41)log (22)x x x f x x ，为偶函数，∵0x ，∴21x ，∴22x x y 递增，即2()log (41)x f x x 在[0,) 上单调递增；B 、C 选项为偶函数，但在[0,) 上不是单调递增；D 选项定义域为(0,) ，不是偶函数15. 选B ，如图，正方体中，平面 、 、 两两垂直，直线a 、b 、c 满足：两两异面且两两垂直. 过点A 的三条棱所在直线两两相交. 综上，不可能两两平行，故选B16. 选B ，sin cos )a x b x x x ， ∵221 cos sin ，cos sin cos ))x x x，此时sin tan cos ba. 当0a ，0b 时，即cos 0 ，sin 0 ，(0,)2 ，∴arctan ba ，A 正确；当0a ，0b 时，即cos 0 ，sin 0 ，(,0)2 ，∴arctan ba ，B 错误；当0a ，0b 时，即cos 0 ，sin 0 ，(,)2 ，∴arctan ba，C 正确；当0a ，0b 时，即cos 0 ，sin 0 ，(,2，∴arctan b a ，D 正确三. 解答题17.（1）1sin 60sin 6022EBCD S AB AD AE AD， ……2分11132C EBCD V S AA . ……6分（2）211910EB ，由余弦定理得：21422cos1207EC ， ∴217916EC ， ……8分∵AD ∥1B C ，∴即11B C E 为所求异面直线1C E 和AD 所成的角， ……10分 由余弦定理得：5cos8， ……13分∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8. ……14分18.（1）2cos 21()sin cos 222x f x x x x x ， ∴1()sin(262f x x， ……2分 ∴()f x 的最小正周期T ， ……4分 令11()sin(2622f x x ，解得：212k x，∴()f x 的对称中心是1(,)2122k ，k Z . ……6分（2）当[0,2x 时，72[,666x，……8分 由0262x 解得：06x ， ∴()f x 在区间[0,2上的递减区间是[,]62，递增区间是[0,]6， ……10分当()f x a 在区间[0,2上有两个解时，a 的取值范围是1[0,2， ……12分 此时12263x x. ……14分 19.（1）设开始时每个池中的污物为0a ，用n a 、n b 表示n 小时后，A 、B 两池剩余的污物量，则10.10.9n n n n a a a a ，∴00.9n n a a ， ……2分同理00.81n n b a ，由题意000.92n n a a a ， ……4分 两边取对数得：ln 0.56.587ln 0.9n小时. ……6分 （2）设n 小时后，A 池污物余0ra ，则B 池污物余0(0.2)r a ， ……7分由题意00000.90.81(0.2)nn nn a a ra b a r a ， ……8分 化简得：0.810.90.2n n 或0.810.90.2n n ，即2(0.9)0.90.20n n ，……10分解得：10.92n， ……12分两边取对数得：0.91log 16.77172n ， ……13分答：A 池要用7小时才能把污物的量减少一半，要经过17小时后把两池水混合才能符合环保规定. ……14分20.（1）1(F，2F ，由题意知：M在抛物线2y 上， ……2分由222142y x y解得：6M x ， ……4分 （2）由题意(A t、(M t、(,B t ， ……6分则122MAB S t ， ……8分∴当t时，△MAB 的面积最大， ……9分此时(M，1)B ，解得：直线MB的方程为：y x . ……10分 （3）设00(,)M x y ，由(A t 、(,B t ，0MAk，∴直线000:)MA y y x x ， 令0y：0P x x ……11分同理得：0Q x x ，∴00||||||||OP OQ x x， ……12分计算2222000002222002()()||||2222x t x y x t y OP OQ x t t y y， ……14分 又220022x y ，因而2200||||24OP OQ x y . ……16分 21.（1）由题意211ln (ln ln )2n n n a a a，即211()2n n n b b b ， ……1分 由于11a ，2a e，2n a ，∴当2n 时，1n a ，且{}n a 递增，……2分因而0n b ，且1n n b b ，……3分∴2n b . ……4分（2）∵1121111()122n n n n n n nn nb b b b b b b b b ， ……6分 又2121ln ln 1b b a a ，∴211{}n n n nb b b b 是等比数列， ……7分∴1112111()()()22n n n n b b b b ，解得：1221[1(]32n n b， ……9分∴121[1()]32n n b ，经检验，1,2n 均成立. ……10分（3）当2n 时，∵0n b ，∴111131(1221121()1()22nn n n n b t b ， ……12分 只需要求1n n b b 的最小值，∵1111()224n ， ……13分∴113311122112221()122n n n b b ， ……16分 又211102b b ，∴对任意自然数*n N ，均有112n n b b 成立， ……17分∴t 的取值范围是1(,2. ……18分上海市松江区2020届高三一模数学答案一. 填空题1. {1,2}，集合B 中符合10x 的元素有1、2，∴A B {1,2}2. 45，5r ，34sin()cos 25x r3. 1，1i2i i 1iz ，∴||1z4. 40，2232452()()40C x x x，∴4x 的系数为405. 4，12||||26PF PF a ，且12||2||PF PF ，∴1||4PF6. 2 ，24401m D m m，∴2m ，经检验，2m 时有无数解，∴2m 7. 32 ，2(12,8)a b m ，(,3)b m ，∴3(12)8m m ，即32m8. (4,3)，由题意，11(1)26(1)4(4)1f f f ，∴12(4)log 43f 9. 112(0,(,333，(1,0)(0,1)q ，∴1111133a qa q 112(0,)(,33310. 2:1:1:1 ，由渐近线可设21m y x ，代入点(0,1) ，∴3m ，∴211x y x 符合题意，即:::2:1:1:1a b c d11. 1a babc a b c c ab，∵222()2()2a b a b，∴a b ∵2221ab a b ，∴112ab ，1201ab，∴min c2a b12. 851，如右图所示，集合M 中的向量包含三类：六条 边有6个向量（如12A A ），过中心O 有6个向量（如14A A），剩余6个向量（如15A A），即集合M 中有18个元素.其中每条边上的向量（如12A A）都和两个向量（如15A A 和42A A ）垂直，然后每条过中心的向量（如14A A ）都和两个向量（如26A A 和53A A ）垂直，即概率2186262851C二. 选择题13. 选B ，存在无限多条平行直线m ，使得l m ；不存在直线m ，使得l ∥m14. 选A ，若1x 且1y ，则不可能有2x y ，∴“2x y ” “x 、y 中至少有一个数大于1”，反之则推不出，如2x ，3y ，推不出“2x y ”，故选A15. 选B ，本题重在理解，等价转化为“已知2()f x x ，[,4]x a a ，若max min 2()()M f x f x ，求M 的最小值”.化动为静，结合图像，容易得到2a 时，max min ()()f x f x 最小，为(2)(0)4f f ，∴min 2M ，选B. 本题忌讨论常数b 、c ，不然就落入命题人圈套，∵本身 与b 、c 无关，本质是2y x 的图像，∴b 、c 是障眼法16. 选C ，当1A ，此时()1M A ，这种情况共有92种（相当于{2,3,,10} 的子集， 加上1后形成的新集合），当1A ，2A ，此时()2M A ，这种情况共有82种（相当于{3,4,,10} 的子集，加上2后形成的新集合），……，依此类推，∴当A 取遍M 的所有非空子集时，9871010122232921022036S ，选C三. 解答题17.（1）由题意得：2OA ，6PO ，∴PA，……2分∴圆锥的侧面积为2S rl ； …… 4分体积为221126833V r h . ……6分（2）取PO 的中点E ，连接DE 、CE ，则CDE 或其补角即为所求，如图所示 …8分∵AO EO ，AO CO ，EO CO O ，∴AO 平面ECO ，又DE ∥AO ，∴DE 平面ECO ，∴DE EC ， ∴△DEC 是直角三角形， ……10分 由112DE OA， ……11分CE ， ……13分∴CDE ，即异面直线AB 与CD 所成的角为. ……14分18.（1）2()cos 2sin 2cos 212sin(2)16f x x x x x x x，…4分∴max ()(2116f x f ，……6分 此时2262x k，则6x k（k Z ）.（2）由()0f A 得：1sin(262A，∴2266A k 或2266A k， ∵0A ，∴3A，……9分 由b 、a 、c 成等差数列得：2a b c ，…10分∵2AB AC，∴cos 2bc A ，∴4bc ， ……11分由余弦定理得：22222cos ()3a b c bc A b c bc ， ……12分 ∴22434a a ，∴2a . ……14分19.（1）由题意得0123()d v d d d d ， ……1分∴21()2020d v v v k ， ……3分 当0.9k 时，2()2018v d v v ，……4分20()1112 3.1183v t v v （秒）. ……7分（2）根据题意, 要求对于任意[0.5,0.9]k ，()80d v 恒成立， ……9分 即对于任意[0.5,0.9]k ，21208020v v k，即2160120k v v恒成立， 由[0.5,0.9]k 得：111[,]201810k ，∴2160110v v即2106000v v ，……12分解得：3020v ，∴020v （米/秒），360020721000（千米/小时）……13分 ∴汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时. ……14分 20.（1）由抛物线方程知，焦点是(1,0)F ，准线方程为1x ，设11(,)A x y ，由||3FA 及抛物线定义知：12x ，代入24y x得y ， ∴A点的坐标A或(2,A . ……4分（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程是：2x my ， 联立224x my y x，消去x 得：2480y my ，由韦达定理得121248y y my y，……6分2221212112212121212()(,)(,)4804416y y y y OA OB x y x y x x y y y y y y ，∴AOB 恒为钝角，∴原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部. ……10分（3）设11(,)A x y ，则110x y ，∵||||FA FM ，则1|1|1m x ，由0m ：12m x ， ∴1(2,0)M x ，∴直线AB 的斜率12AB y k，设直线1l 的方程为12yy x b ， 代入抛物线方程得211880b y y y y ，由题意21164320by y 得：12b y ， ……12分 设(,)E E E x y ，则14E y y ，21141E x y x ，11111111014111||222141OAEy xS x y x y x y ，……14分当且仅当11114y x x y，即22114y x 时等号成立，由221121144y x y x 得：21144x x ， 解得：11x 或10x （舍），……15分∴M 点坐标为(3,0)M ，min ()2OAE S .……16分21.（1）∵21a ，12a a ，且1a 是自然数，∴10a ； ……2分42a ，340a a ，且3a 、4a 都是自然数；∴30a 或31a ； ……3分168a ，9101608a a a ，且i a N （*i N ），∴90a 或91a . ……4分（2）122k k a （*k N ），当122k k n （*,n k N ）时，1111212223202k k k k k a a a a ， ∵n a N ，∴121k m a m 或m （11,2,3,,21k m ）， ……6分 ∴64max ()(01)(12)(1234)(128)(1216)S 23458916173233(1232)171422222， 128max 6465()71427942S， ∵71420202794 ，∴64128n ， ……8分又20207141306 ，123501275130612350511326 ， ∴min 6451115n . ……10分（3）必要性：若242n n S S n ，则122422n n n S S ， ①122214(21)2n n n S S ②① ②得：1121222141n n n a a a （*n N ） ③ ……11分由于11212201n n a a或11212212n n a a 或1121222n n a a ，且210n a 或1， 只有当211n a ，1211n a ，1222n a 同时成立时，等式③才成立， ∴211n a （*n N ）； ……13分充分性：若211n a （*n N ），由于1212223212n n n n n a a a a ， ∴2n k a k （*n N ，*k N ，2n k ），即211n a ，222n a ，233n a ，…，12121n n a ，又122n n a ， ∴对任意的*n N ，都有2211n n a a ， （I ） ……14分 另一方面，由2n k a k ，1222n k a k （*n N ，*k N ，2n k ）， ∴对任意的*n N ，都有22n n a a ， （II ） ……15分 ∴21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a2422232()24()n n a a a n a a a a n由于10a ，21a ，∴2124()242n n n S a a a n S n ，证毕.……18分上海市崇明区2020届高三一模数学答案一. 填空题1. {1,2}，集合A 中符合02x 的元素有1、2，∴A B {1,2}2. (1,3)，|2|112113x x x3. 4 ，1r ，244S r4. 2n ，11a ，2d ，21(1)2n n n S na d n5. 12()1f x x (0)x ，21x y x，0x6. 3，分子分母同除3n，113230lim 33210n n nn n 7. 160，33362(160C x x8. 221916x y ，由3a ，5c ，焦点在x 轴上，∴22216b c a ，即221916x y9. 18，法向量之积为0，(1,2)(1,)0a b ，∴21a b 18ab 10. 2，∵周期为2，∴(1)(1)f f ，∵奇函数，∴(1)(1)f f ，∴(1)(1)f f ， 即(1)0f ，∴(1)202f a a11. 78，总共有45P 种情况，其中甲从事翻译工作有34P 种情况，乙从事导游工作有34P种情况，然后甲从事翻译工作同时乙从事导游工作有23P 种情况，∴432543278P P P12. 7 ，设2(1)OQ OP OB OC，由向量共线定理，可知点Q 在直线BC 上，P 为OQ 中点，∴PM PN222()()PO OM PO ON PO OM ON PO OM ，∵min ||1PO ，max ||OM ，∴min ()7PM PN二. 选择题 13. 选C ，A 选项，110a b；B 、D 选项，反例1a ，2b ；C 选项正确 14. 选B ，若0z z ，则推不出“z 为纯虚数”，反之可以推出“0z z ”15. 选D ，将抛物线放入坐标系，如图所示，∵1OE ，OC OD ，∴(C ，设抛物线22y px ，代入C 点，可得22y x ，∴焦点为1(,0)2，即焦点为OE 中点，设焦点为F ，则12EF，1PE ，∴PF 2，故选D16. 选B，设()(||)f x x a b，()sin(6g x x，[1,1]x ，∵()()0f xg x ，15()()066g g，∴分析图像得15()()066f f，1151()2663a ，12b ，∴56a b，故选B三. 解答题17.（1）∵BC∥11B C，∴1ACB就是异面直线11B C与1AC所成的角或补角，……2分在△1A CB中，1BC，1BA1A C ，∴2221111cos26BC CA A BA CBBC CA，……5分∴16ACB，……6分∴异面直线11B C与1A C所成角的大小是6.……7分【说明：方法二：先证明BC 平面11ABB A（2分），后证明△1A CB是直角三角形，然后求1A CB（2分），若缺少线面垂直扣2分，缺少由线面垂直得线线垂直扣1分】（2）∵1BC BB，BC BA，∴BC 平面11ABB A，∴111113C BB A BB AV S BC，设点1B到平面1A BC距离为h，则11113B BCA BCAV S h，由1111C BB A B BCAV V得：5h .18.（1）11()sin2(1cos2)222f x x x，……2分sin(216x，……4分∴函数()f x的最小正周期是T，……5分由222262k x k得：()f x的增区间是[,63k k，k Z.……7分（2）由()0f C ，sin(2)16C，(0,)C，∴262C，3C，……9分由sin2sinB A及正弦定理得：2b a①，……11分由余弦定理得：2222cosc a b ab C，得：223a b ab②，……13分由①②解得：1a ，2b . ……14分19.（1）由14500(100)95x x， ……2分 得：214545000x x ，∴45100x ， ……4分 又∵60120x ，∴x 的取值范围是[60,100]. ……6分 （2）设该汽车100公里油耗为y 升，10014500(100)5y x x x（60100x ）…8分 2118090000(909x ，……10分 ∵60120x ，∴111[,12060x ，……12分∴当90x 时，该汽车行驶100公里的油耗取得最小值809升. ……14分 20.（1）由题意得：(2,0)A ，(2,0)B ，∴圆O 的方程是224x y .……4分 （2）由题意得：(0,1)C 、(0,1)D ，设00(,)E x y ，00(,)F x y （01x ）， 则直线CE ：0011y xy x ，∴00(,0)1x M y ，……6分 同理00(,0)1x N y ，……8分 ∵220014x y ，∴22002200414x x OM ON x y . ……10分 （3）显然直线AP 的斜率存在，设其方程为：(2)y k x ，代入椭圆得：22222(14)161640k x k x k ，设11(,)P x y ，则21216(2)14k x k，∴1|||(2)|AP x ，……12分 ∵圆心O 到直线AP的距离d，∴||AQ ……14分 假设存在点P ，使得13AP PQ ，则||4||AQ AP，∴ （*），而方程（*）在实数范围内无解，∴原假设错误，即不存在点P ，使得13AP PQ.…16分21.（1）40a ，41b ，41c . ……4分 （2）若11a ，12b ，记1c x ，则22||a x ，2||1b x ，21c ，22||0||111||2||1||2x x d x x x， ……6分3|||1|1a x ，31|2|||b x ，3|2||||||1|c x x ，当0||1x 时，3||a x ，3||1b x ，31c ，31d ，由32d d 得：||1x ，不符合； 当1||2x 时，3||2a x ，3||1b x ，332||c x ，32||1|| 1.5||1 1.5||2x x d x x，由32d d ，得：||1x ，符合；当||2x 时，3||2a x ，33||b x ，31c ，312||3||2||3x d x x ，由32d d ，得：||2x 符合； ……9分综上：1c 的所有取值是2 ，1 ，1，2. ……10分（3）先证明“存在正整数3k ，使k a 、k b 、k c 中至少有一个为0”， 假设对任意正整数3k ，k a 、k b 、k c 都不为0，由1a 、1b 、1c 是非零整数，且1||a 、1||b 、1||c 互不相等，得*1d N ，*2d N ， 若对任意3k ，k a 、k b 、k c 都不为0，则*k d N ，即对任意1k ，*k d N ， 当1k 时，1||||||||max{||,||}k k k k k k a b c b c d ，1||||||||k k k k b c a d ，1||||||||k k k k c a b d ，∴1111max{||,||,||}k k k k k d a b c d ，∴{}k d 单调递减，由2d 为有限正整数，∴必存在正整数3m ，使得0m d ，矛盾， ∴存在正整数3k ，使k a 、k b 、k c 中至少有一个为0. ……14分 不妨设0k a ，且10a ，20a ， ，10k a ，则11||||k k b c ，且111||||||k k k b c a ，否则，若111||||||k k k b c a ， ∵1110k k k a b c ，则必有1110k k k a b c ，矛盾， 于是11||||0k k k b c a ，11||||0k k k c a b ，且k k b c ， ∴10k a ，1||k k b c ，1||||k k k c b c ，依次递推，即有：对任意n k ，0n a ，1||n k b c ，1||n k c c ，且||0k c ， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0， 综上：结论成立. ……18分上海市虹口区2020届高三一模数学答案一. 填空题1. [0,1]，212110(1)0x x xx x x x ，∴0x 或1x ，∴U A [0,1]2. ，|3i ||||1i |z3. 1，2211111x x x x ，当且仅当1x 时等号成立4.4，2sin 22cos 0x x ，∴22sin cos 2cos x x x ，∵x 为锐角，∴tan 14x x5. 23n *()n N ，由48S 得234a a ，∵2712a a ，∴482d d ， ∴23112341a a a d a ，∴1(1)23n a a n d n ，*n N6. 1，2263x py y p ，焦点为3(0,)2，∴1d7. 36，即求5x 的系数，∴2421515662(1)(1)(1)36x C x C x x ，即536a 8. 1，124log (41)()log (21)y x x f x ，∴24log (41)2log (21)x x ，即4121x x ，∴4220(22)(21)01x x x x x9. 若①③，则②（或若②③，则①），∵m 、n 是平面 外的两条不同直线，∴m n ，m 可以推出n ∥ ；或者n ∥ ，m 推出m n 10. 1 ，由题意，1OA ，∴2()01OD AB OA AD AB OA AB OA11.3，∵2F A AB ，∴A 为2BF 中点， AO ∥1BF ，∵120F B F B，∴AO 垂直平分2BF ，∴2AOF 160AOB BOF ，即1tan 60a，∴213a ，243c ，即23c 12.274，由题意，当(6,8]x ， ()8(6)(8)f x x x ，结合图像可知，由158(6)(8)2x x，解得274x 或 294x ，数形结合可得max 274a二. 选择题13. 选A ，|1|102x x ，2422x x ，范围小的推出范围大的，故选A 14. 选D ，()2sin(26f x x，∵为偶函数，∴62k，排除A 、C 选项；若3，()2sin(2)2cos26f x x x，在[0,2上为减函数，∴排除B 选项； 若23，()2cos2f x x ，符合题意，故选D 15. 选A ，()f x 对称轴为2x ，()g x 对称轴为x t ，∵()(2)F x F x ，关于1x 对称，∴2142tt 16. 选B ，即正四面体切去四个小正四面体，111482三. 解答题17.（1）在△ABC 中，由1cos 3A得：sin 3A， ……2分由正弦定理得：sin 3sin 682b A B a，……5分 于是由角A 为钝角知：B.……7分（2）∵4sin sin()cos )26C A B A A， ……10分 设△ABC 的BC 边上的高为h ，则由11sin 22ABC S ah ab C得：4sin 646hb C 即△ABC 的BC 边上的高等于4. ……14分18.（1）以点O 为原点，直线OB 、1OO 分别为y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则相关点的坐标为(0,0,0)O 、(0,1,0)B 、1(0,1,2)B 、(0,1,1)C 、1(0,1,2)A 、1(0,0,2)O 、1(1,0,2)C ，于是(0,1,1)OC ，11(1,1,0)A C， ……2分∴1111111cos ,2||||OC A C OC A C OC A C， ∴异面直线OC 与11A C 所成角的大小为3. ……4分（2）由于1(0,0,2)OO 是圆柱1OO 底面的一个法向量，又1(1,1,1)CC， ……6分设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为 ，则111111||sin|cos,|3||||CC OOCC OOCC OO，∴直线1CC与圆柱1OO底面所成角的大小为arcsin3. ……9分（3）由于三棱锥11C OAC的顶点1C到面1OA C的距离为111C O ，……11分而1111111113221211212222 OA C OAA OBC A B CABB AS S S S S正方形，∴11111113113322C OA C OA CV S O C. ……14分19.（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要时间（单位：天）分别为1()T x、2()T x、3()T x，由题意得：1230001000()6T xx x，2230002000()3()T xkx kx，330001500()2[200(1)]200(1)T xk x k x，即11000()T xx，22000()T xkx，31500()200(1)T xk x，……4分其中x、kx、200(1)k x均为1到200的正整数，且*k N. ……6分（2）完成订单所用的时间为123()max{(),(),()}f x T x T x T x，其定义域为200{|11x xk且*,,2}x k kN，由于11000()T xx、22000()T xkx均为减函数，31500()200(1)T xk x为增函数，并注意到212()()T x T xk，……8分①当2k 时，12()()T x T x，12310001500()max{(),(),()}max{,}2003f x T x T x T xx x，其中{|166x x且*}x N，由1()T x、3()T x的单调性可知：当100015002003x x时，()f x取得最小值，解得：4009x ，由于40044459，而1250(44)(44)11f T，3300(45)(45)13f T，(44)(45)f f，∴当44x 时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天；……11分②当2k 时，12()()T x T x，由于*k N，∴3k ，此时3375()()50T x T xx，且()T x为增函数，于是1311000375()max{(),()}max{(),()}()max{,}50f x T x T x T x T xg xx x，由1()T x、()T x的单调性可知：当100037550x x时，()g x取得最小值，解得：40011x ，由于400363711，而1250250(36)(36)911g T，3375250(37)(37)1311g T，此时完成订单任务的最短时间大于25011天；综上：当2k 时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天， 此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44、88、68人. ……14分 20.（1）联结1PF ，设2PF 的中点为C ，则1||2||PF CO ， 由圆C 与圆O 相内切得：2||||2CO CF ，∴122||||2(||||)4PF PF CO CF ， ……3分 ∴动点P 的轨迹是：以1F 、2F 为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为2214x y . ……5分（2）证明：设直线l的方程为：x my 11(,)M x y 、22(,)N x y ，则由2244x my x y得22(4)10m y，∴1224y y m ，12214y y m ，从而12122()4x x m y y m，于是22(,)44Q m m ， ……7分∴2(4,)4OQ m m，于是直线OQ 的方程为40mx y ，由403mx y x解得：()33R m，从而2()(1,)333F R m m ， ∵直线l 的法向量(1,)m ∥2F R ，∴2F R l. ……10分（3）由（2）知：1224y y m，12214y y m ， ∴1111||||2||2S AB y y ，2221||||2||2S AB y y ， ……12分而120y y，∴1212122||||2||||||2||4m S S y y y y m ， ……14分 由于12||S S 最大时0m，∴12||4||||S S m m当且仅当||2m时，等号成立，∴12max ||S S ，此时直线l的方程为20x y或20x y . ……16分 21.（1）证明：∵10a ，且对任意的*m N ，21m a 、2m a 、21m a 构成以2m 为公差的等差数列，∴当1m 时，10a ，2122a a ，3224a a ；当2m 时，34a ，4348a a ，54412a a ； ……2分 当3m 时，512a ，65618a a ，76624a a ；于是655432a a a a ，∴4a 、5a 、6a 成等比数列. ……4分 （2）由题意：对任意的*m N ，有21214m m a a m ， ∴2121212123311()()()m m m m m a a a a a a a a(1)44(1)41042(1)2m m m m m m， 结合10a 得：212(1)m a m m （m N ），令21m n ，则12n m ，得：21112222n n n n a （n 为奇数）， ……7分由题意：对任意的*m N ，有222122(1)22m m a a m m m m m ，∴对正偶数n 有222()22n n n a ，∴数列{}n a 的通项公式为22122n n n a n n 为奇数为偶数或2(1)124n n n a （*n N ）.…10分（3）对任意的*k N ，有2222(2)422k k k a k，2221(21)441111122()2(1)2(1)21k k k k a k k k k k k ， ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：① 当n 为偶数时，设2n k （*k N ），22222S a ，则当2k 时，222222242352124(2)35(21)11()()22(1))22n k k k k S k k a a a a a a11111131((42(1223122k n k k k n ，3122n S n n；……15分 ② 当n 为奇数时，设21n k （*k N ），则当2k 时，222222242352124(2)35(21)1111()()22[(1)(2223n k k k k S k k a a a a a a111131()]4(1212121k n k k k n ，于是31221n S n n ，综上：313,212312n n n n S n n n为奇数为正偶数，∴2n S n 存在极限，且3lim(2)2n n S n . ……18分上海市杨浦区2020届高三一模数学答案一. 填空题 1. (0,) ，()f x，∴0x 2. 211130 ，增广矩阵定义3. 12，121()log 12f x x x ，∴111(1(1)22f f 4. 2，220a a 且10a ，∴2a 5.3，1r ，22S rl l 侧，1cos 23r l6. 2，4372802C a a7.35，122||||6||1PF PF PF ，12||F F ，由余弦定理12cos F PF 358. 72，212lim 1212n n S729. [2，设)P ，∴)PA PB1)22) [210. 12，①②为偶函数，④⑤为奇函数，分类讨论：（1）奇奇偶，12C ；（2）奇偶偶，12C ； （3）奇偶非，1112228C C C ；综上，共22812 种. 或从对立面，33364412C C C11. 34(,]23，设()f x t ，∴2230t mt m ，数形结合两种情况：① 10t ，201t ，代入10t ，此时230m ，32m ，232t ，不符；② 11t ，201t ，二次函数如图所示，设2()23g t t mt m ，∴(0)0g ，(1)0g ，得3423m12. ①②④，理解题意等价转化为点集问题，即“平面中有点集S ，若对于S 中的任意两点A 、B ，线 段AB 上的点均属于S ，则称点集S 为C 类集”. 举两个例子，左图区域内任选两点所连线段依然在区域内，符合C 类集定义，而右图并不符合，不妨称符合C 类集的这种图形为“凸形”. 命题①，相当于将“凸形”放大或缩小，变化后 还是“凸形”，正确；命题②，可以进一步将“凸形”简化为圆，即M 在圆1O 内，N 在圆2O 内，MN 的中点轨迹为“凸形”，结合命题①，乘以2仍为“凸形”，②正确；命题③，两个 “凸形”的并集不一定为“凸形”，错误；命题④，两个“凸形”的交集还是“凸形”，正确.二. 选择题13. 选D ，A 、B 、C 反例，如1a ，2b ，排除A 、B 、C 选项14. 选A ，2sin(2)2sin[2()]36y x x，由2sin 2y x 向左平移6个单位可得15. 选C ，A 反例，12i z ，21i z ；B 反例，134i z ，243i z ；D 反例， 1i z ，21z ；综上，选C16. 选D ，当x A B ，此时x A 、x B 、x A B 同时成立，()()A B f x f x()1A B f x ，∴()()()A B A B f x f x f x 不恒成立，故D 错误. 其余选项均正确三. 解答题17.（1）连接EF ，∵E 、F 分别为PD 、PA 的中点，∴EF ∥AD ， ……2分 又∵BC ∥AD ，可得：EF ∥BC ， ……4分 ∴B 、C 、E 、F 四点共面. ……6分 （2）解法一：设AC 与BD 交于点Q ，连接EQ ， 由E 、Q 分别为DP 、DB 的中点，可得：EQ ∥PB ， ∴AEQ 或其补角为异面直线PB 与AE 所成的角， ……8分 由PA 平面ABCD 可得：PA AB ，PA AD ， ∵1AB AP，AD，∴PB，2PD ， ……10分122EQ PB，112AE PD ，112AQ AC ， ……12分（给在12的关系上）222111cos 24AE EQ AQ AEQ AE EQ，arccos (0,42AEQ ，异面直线PB 与AE 所成角的大小为arccos 4. ……14分解法二：建立如图空间直角坐标系，(1,0,0)B、D 、(0,0,1)P、1)22E ，……10分 (1,0,1)PB，1(0,,22AE ， ……12分PB 与AE 所成的角满足||cos 4||||PB AE PB AE， ∴异面直线PB 与AE所成角的大小为4. ……14分 18.（1）由(0)17f a ，∴6a ，方程6252x x ，即2(2)5260x x ，可得：22x 或23x ，……4分 解得：1x 或2log 3x .……6分（2）解法一：函数的定义域为R ， ……8分 当1a 时，1()22x x f x ，对任意x R ，均有11()22()22x xx xf x f x ， ∴1()22x xf x为偶函数； ……10分 当1a 时，1()22x x f x ，对任意x R ，均有11()22()22x x x x f x f x ，∴1()22x x f x 为奇函数； ……12分当1a 且1a 时，()22x x a f x ，由(1)22a f ，1(1)22f a ，55(1)(1)022f f a ，33(1)(1)022f f a ，∴()22x x af x 为非奇非偶函数. ……14分解法二：函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数当且仅当()()0f x f x 对任意x R 恒成立，22022x x x x a a，即1(2)(1)02xxa ， ∵x 任意，∴10a 即1a ， ……10分【说明】(0)01f a ，须将1a 代回解析式验证()()f x f x 恒成立，()f x 为偶函数当且仅当()()0f x f x 对任意x R 恒成立，22022x x x x a a，即1(2)(1)02xxa ， ∵x 任意，∴10a ，即1a ， ……12分综上：当1a 时()f x 为偶函数；当1a 时()f x 为奇函数； 当1a 时()f x 为非奇非偶函数. ……14分19.（1）△ACE 中，30ACE ，45AEC ， ……2分 ∵sin sin AE ACACE AEC ，……4分 ∴2sin 30sin 45AE，∴1AE AC AE ，会受影响. ……6分 （2）△ABC 中，∵sin 30sin 75AB AC，∴AB ， ……8分BE BC ，∴道口B 不受影响， ……9分BD过道口A：时间12 4.4A t分钟， ……11分过道口B：时间2 4.3B t 分钟，……13分 走道口B 更快. ……14分20.（1）设(,)A x y ，222450,0y x x y x y，……2分 解得：1x ，2(1,2)y A .……4分（2）设00(,)A x y ，00y ，∵△AFD 为等腰直角三角形，且90FAD ，∴:(1)AF y x ，……6分 代入24y x，解得：03x ，……8分0215t x（5舍去），即：(5D . ……10分（3）证明：11(,)A x y 是抛物线上异于原点的点， 经过A 的直线l 方程：11()x x m y y ，112()4x x m y y y x，得：211104y my my x ， 若直线l 与抛物线相切，则21114()04m my x ，即221104y m my ，∴12y m ，即切点为11(,)A x y 的切线斜率为12k y ，……12分设弦AB 所在直线的方程为(0)x t n y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，2(0)4x t n y y x，24()y ny t ，即2440y ny t ， ∵1y 、2y 是方程的根，∴124y y n ，124y y t ，【充分性】已知P 为弦AB 的中点，则122Q P y y y y， 代入过点A 的切线方程111()2y x x y y ，得：21121121()2244y y y y y y x y t ，∴点Q 在过点A 的切线上，即直线AQ 与抛物线相切； ……14分 【必要性】设直线AQ 与抛物线相切，直线的AQ 方程为111()2y x x y y，令x t ，则111()2Q y t x y y ，即212111()442Q y y y y y y，∴122P Q y y y y ， ∴P 为弦AB 的中点. ……16分21.（1）1(2)n n a ，1(2)3nn S （*n N ）， ……1分∴2121123n n S （*n N ），……2分 221203n n S （*n N ），……3分∴该无穷等比数列{}n a 具有性质P . ……4分（2）证明：∵1231234n n n n n n n n a a a a a a a a （*n N ）成立， ∴4n n a a （*n N ）成立，……6分 ∵数列{}n a 具有性质P ，∴40S ， 而对于任意正整数k ，都有41410k S kS a ， ……8分 假设40S ，则14a k S（与k 为任意正整数相矛盾），……9分 ∴40S . ……10分 （3）设1(1)n c c n d ，前n 项和1(1)2n n n T nc d ，∴22(121)02n n n n nS T n T（*n N ）， 221210n n n n S S c n T （*n N ）， ……12分∴2121(1)02(1)(2)(1)02n n n nc d n n n n c d对任意*n N 成立， 即1211(1)(0223(1)()()022d d n c d d n c n d c 对于任意*n N 成立， ……14分 ∴102d ，102d，得到2d ， ……15分即有11110(3)(2)0c c n c 对于任意*n N 成立，解得：131c ， ……16分∴20191120184036[4039,4037]c c d c . ……18分上海市普陀区2020届高三一模数学答案一. 填空题1. 2，1122pp ，∴2222y px x m 2. 3，分子分母同除3n，13230lim 33110n n nn 3. (0,1)，111001x x x x4. 12，111i (i 122z m m ，∴12m 5. 2，1(2)0(0)2f f ，∴log 422a a6. 9，225526631()()9C x C x x x，即含2x 项的系数为9 7. 8，222810888234202a a a a a a ，∴82b ，∴3491188b b b b8. ，(0,)P a ，由2PQ QA ，∴2(,33a a Q ，代入椭圆24199a ，∴2a 9. 432，分析对立面，若()()()abcdef 为奇数，则a b 、c d 、e f 均为奇数， ∴3323332()288P P P ，∴()()()a b c d e f 为偶数的排列的个数为66288432P 10. 11[,]83，将函数展开后，奇次项有3(8)a b x 、(815)c b x ，∴80a b ，8150c b ，∴8b a ，15c a ，方程21ax bx c ，即(3)(5)1a x x ，∵[1,2]x ，∴1(3)(5)x x a[3,8] ，即11[,]83a11. 取MN 中点C ，∴()()PM PN PC CM PC CN2224PC CM PC ，max ||2PC OC，min ||2PC OB OC ，∴2[10PC ，即[6PM PN12. (3 ，数形结合，画出()f x 的图像，并作出其关于1x 对称的图像()f x ，由题意，即()f x 与()g x 有两个交点，∴a 取值范围的界值在()g x 与半圆y (2,0) 到直线1y x a 和直线1y x a 的距离均为222 ，∴1a 3a a (3 .二. 选择题13. 选A ，“ln 1m ” “0m e ”，∵范围小的推出范围大的，∴选A 14. 选D ，{1,1}A a a ，两元素之差为2，① 5b ，4a ；② 1b ，此时2a 或0a ；③ 3b ，2a ；综上，对应的实数对(,)a b 有4对15. 选D ，A 、B 选项反例如图所示；C 选项，存在无数条直线与a 、b 、c 都相交；D 选 项，直线a 、b 分别与c 共面，若c 既不与a 相交，也不与b 相交，则a 、b 、c 两两平行，与“异面直线a 、b ”矛盾，∴c 必与a 或b 相交16. 选B ，由题意，0a ，0b ，211(2)()a b a b a b ，同乘(2)()a b a b ，∴2222222344a b a b b aa b ab a b a b恒成立，∵2223a b ab3ab ，∴34ab ，即4ab 222a b三. 解答题 17.（1）当12时，AD DC ，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则ED ∥BC ，即PDE 是异面直线PD 与BC 所成角或其补角， ……2分又PA 、AB 、AC 两两互相垂直，则1PD DE EP ，即△PDE 是正三角形，则3PDE， ……5分则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3. ……6分（2）∵PA 、AB 、AC 两两互相垂直，∴AB 平面PAC ， ……9分 则11112233239D PBC B PDC PDC V V AB S PA DC DC，即23DC ，……13分 又AD AC （0 ），2AC ，则23. ……14分【说明：利用空间向量求解请相应评分】18.（1）当4a 时，由22541x x得：24250x x ， ……2分 令2x t ，则2540t t ，即14t ， ……4分 即02x ，则所求的不等式的解为(0,2). ……6分（2）任取122x x ，∵函数()22x x f x a 在区间[2,) 上单调递增， ∴12()()0f x f x 在[2,) 上恒成立， ……8分 则112222220x x x x a a 恒成立，即121212222202x x x x x x a ，1212(22)(102x x x x a ， ……10分又12x x ，则1222x x ，即122x x a 对122x x 恒成立， ……12分又12216x x ，即16a ，则所求的实数a 的取值范围为[16,) .……14分 19.（1）由平行四边形OMPN 得：在△OPN 中，120ONP ，60OPN ， 则sin sin sin ON OP PN OPN ONP PON ，即60sin(60)sin120sin ON PN，即)ON，PN ， ……4分则停车场面积sin sin(60)S ON PN ONP ，即sin(60)S ，其中060 . ……6分（2）由（1）得：1sin(60)cos sin )2S ， 即23600sin cos1800sin 2S ……10分则30)S ……12分 ∵060，∴30230150，则23090 时，max 11039.2S 平方米， ∴当30 时，停车场最大面积为1039.2平方米. ……14分 【说明：（1）中过点P 作OB 的垂线求平行四边形面积，请相应评分】 20.（1）当0m ，直线l 与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得：2221tan 303b a ，又焦距为4，则224a b ， ……3分解得：a 1b ，则所求双曲线 的方程为22=13x y . ……4分 （2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由22=1340x y x my，得：22(3)8130m y my ，则12283m y y m，122133y y m ，且2226452(3)12(13)0m m m ，又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE，即12120x x y y ，即1212(4)(4)0my my y y ，即212124()(1)160m y y m y y ，则22221313816033m m m m ，……8分 即223503m m，则3m或3m ，即实数的取值范围为((33. ……10分 （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是||p q x x ，设00(,)D x y ，由（1）得点B ， 又点P 是线段BD的中点，则点00(22x y P ， ……12分 直线BD，直线AD，又BD PQ ，则直线PQ的方程为0000()22y x x y x y，即200000322x x y y x y y ，又直线AD的方程为y x，联立方程20000322x x y y x y y y x，消去y化简整理得：2220003)22x y x x x ，又220013x y ， 代入消去20y得：20002(3)1)(33x x x x x ，即02(1(33x x x，则024x x ，即Q横坐标为024x ，……15分则002||||244p q x x x x，∴线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.……16分 【说明：看作是PQ 在OB或(1,0)i 方向上投影的绝对值，请相应评分】21.（1）由条件得：1()3n n b ，*n N ，即11()3n n n a a ， ……1分则2113a a ，23211(39a a，设等比数列{}n a 的公比为q ， 则322113a a q a a ，又1(1)3a q ，则14a ， ……3分当14a ，13q 时，111()43n n a ，*n N ，则111111111111((()[()](434334433n n n n n n a a 满足题意，∴所求的a 的值为14. ……4分 （2）当2n 时，1121n n n b b ，21221n n n b b ， ，2121b b ，以上1n 个式子相加得：12312222(1)n n n n b b n ， ……6分又12123b a a a ，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a， 即224n n b n a ，由1210n n n b b 知数列{}n b 是递增数列， ……8分又1n n n b a a ，要使得4n a a 对*n N 恒成立，则只需34345400b a a b a a ，即32421080b a b a ，则281a . ……10分（3）由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n ，2(422)32n n n S n n，则223222n n n nS n n C， ……12分 则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C， 当3n 时，224233428282(2)40n n ，即3n 时，1n n C C ，则当3k l 时，k l C C 与k l C C 矛盾. ……14分又1l ，即2l 时，232522k k k， 当5k 时，225325352202216kk k， 又205207207(2)3016216168，即当5k ，2l 时，232522k k k 与232522kk k 矛盾， 又2k l ，则3k 或4，当3k 时，2233233325222kk k，解得：1 ， 当4k 时，2243243425222k k k，解得：2 ，综上： 的所有可能值为1 和2 . ……18分。
2020届年上海市宝山区高三上学期期末教学质量监测(一模)数学试题(解析版)
2020届年上海市宝山区高三上学期期末教学质量监测(一模)数学试题一、单选题1．若等式()2323012311(1)(1)x x x a a x a x a x +++=+-+-+-对一切x R ∈都成立，其中0a ，1a ，2a ，3a 为实常数，则0123(a a a a +++= ) A.2 B.1-C.4D.1【答案】D【解析】在所给的已知式中，令0x =，可得0123a a a a +++的值． 【详解】解：等式()2323012311(1)(1)x x x a a x a x a x +++=+-+-+-对一切x ∈R 都成立，其中0a ，1a ，2a ，3a 为实常数， 则令0x =，可得01231a a a a +++=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题． 2．“22x ππ⎡⎥∈-⎤⎢⎣⎦，”是“()sin arcsin x x =”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】arcsin y x =的定义域为[1-，1]， sin(arcsin )[1x x x ∴=⇔∈-，1]，[2x π∈-，]2π推不出[1x ∈-，1]，[1x ∈-，1][2x π⇒∈-，]2π，∴ “[2x π∈-，]2π是“sin(arcsin)x =”的必要非充分条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查反三角函数，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 3．关于函数()232f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） A.函数的图像是轴对称图形 B.函数的图像是中心对称图形 C.函数有最大值 D.当0x >时，()y f x =是减函数【答案】A【解析】判断函数为偶函数得到A 正确，B 错误 ，取特殊值，排除C 和D 得到答案. 【详解】()232f x x =-定义域为：{x x ≠ ，()23()2f x f x x -==- 函数为偶函数，故A 正确，B 错误当x 且x >时，()f x →+∞ ，C 错误3(1)3,(2)2f f =-=，不满足()y f x =是减函数，D 错误 故选：A 【点睛】本题考查了函数的性质，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.4．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-uuu r uuu u r uuu r的最小值为（ ）A. B.4C. D.以上都不对【答案】B【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO +-=-=uuu r uuu u r uuu r uuuu r uuu r uuu r ，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点，根据向量的运算，可得122222MF MF MN MO MN NO +-=-=uuu r uuu u r uuu r uuu r uuu r uuu r，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥uuu r ， 所以122224MF MF MN NO a +-=≥=uuu r uuu u r uuu r uuu r， 即122MF MF MN +-uuu r uuu u r uuu r的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题5．函数()()sin 2f x x =-的最小正周期为______． 【答案】π【解析】利用()sin y A x b ωϕ=++的最小正周期为2πω，即可得出结论．【详解】解：函数()()sin 2f x x =-的最小正周期为：2222πππ-==， 故答案为：π. 【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了()sin y A x b ωϕ=++的最小正周期为2πω，属于基础题．6．集合U R =，集合{}30A x x =-，{}10B x x =+，则U B A ⋂=ð______． 【答案】(]1,3-【解析】分别求出集合{}|3A x x =>，{}|1B x x =>-，从而求出U C A ，由此能求出U B ⋂ðA . 【详解】 解：集合U =R ，集合{}{}|30|3A x x x x =->=>，{}{}|10|1B x x x x =+>=>-，{|3}U C A x x ∴=≤，(]{|13}1,3U B A x x ∴⋂=-<≤=-ð． 故答案为：(]1,3-． 【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．若复数z 满足(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则z ＝_______． 【答案】1-i【解析】根据题意求出复数z ，然后可求出z ． 【详解】 ∵()12i z i +=， ∴22(1)(1)11(1)(1)i i i z i i i i i i -===-=+++-， ∴1z i =-． 故答案为：1i -． 【点睛】解答本题的关键是求出复数z 的代数形式，然后再根据共轭复数的概念求解，属于基础题．8．方程()ln 9310x x+-=的根为______． 【答案】0【解析】根据题意，分析可得()ln 9310x x+-=，即9311x x +-=，令3x t =，解可得t 的值，则有31x =，解可得x 的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，()ln 9310x x+-=，即9311x x +-=， 令3x t =，(0)t >，则有220t t +-=， 解可得1t =或2-；又由0t >，则有1t =，即31x =，解可得0x =， 故答案为：0．【点睛】本题考查对数、指数的运算，换元法的应用，属于基础题．9．从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有______种不同的选法.(用数字作答) 【答案】20【解析】由题意，七个名额分成四份，名额之间没有差别，四个班级之间也没有差别，故把七个名额分成四份即得选法种数，此问题可用插板法解决，七个个体间有六个空，选出三个空插板，即可分成四份，此题易解 【详解】解：由题意，4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有一名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块木板把它们分成4份，即中间6个空位，选3个插板，分成四份，总的分法有3620C =种，故答案为：20． 【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，理解题意，选用插板法解决本题是解题的关键，插板法是解决无差别个体分组的好办法，其特点是个体上没有差别，只是数量上的不同．10．关于x ，y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=______．【答案】8-【解析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得35x y -=． 【详解】解：由二元一次方程组的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则二元一次方程组为：2305x y x y +=-⎧⎨⨯+=⎩，两式相减可得：8x y +=-，故答案为：8-． 【点睛】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．11．如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q =______．【答案】23-【解析】由题意可知，所有项和11a S q=-，奇数项的和121a S q =-奇，结合已知即可求解. 【详解】解：由题意可知，所有项和11a S q=-， 奇数项的和121a S q =-奇， 112311a aq q∴=--， 解可得，23q =-或1q =(舍) 故答案为：23-. 【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．12．函数()y f x =与ln y x =的图象关于直线y x =-对称，则()f x =______． 【答案】x e --【解析】设点(),x y 在()y f x =的图象上，则(),x y 关于直线y x =-对称的点(),y x --在ln y x =的图象上，代入后解出y 即可．【详解】解：设点(),x y 在()y f x =的图象上，则(),x y 关于直线y x =-对称的点(),y x --在ln y x =的图象上，得到()ln x y -=-，x y e -∴-=，x y e -∴=-，()x f x e -=-，故答案为：x e --． 【点睛】本题考查了函数解析式的求解及常用方法.属基础题． 13．已知A(2，3)，B(1，4)，且1AB 2=(sinx ，cosy)，x ，y ∈ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则x+y=____________.【答案】π6或-π2【解析】因为A(2，3)，B(1，4)，所以AB =(1，4)-(2，3)=(-1，1)，故1AB 2=11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sinx=-12，cosy=12，又x ，y ∈ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以x=-π6，y=±π3，从而x+y=π6或x+y=-π2. 故答案为：π6或-π214．将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是______． 【答案】23π【解析】函数y =221x y +=，0y ≤，是半径为1的下半圆，将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器为以1R =为半径的半球体，由此能求出结果． 【详解】解：函数y =221x y +=，0y ≤，是半径为1的下半圆，∴将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器为以1R =为半径的半球体，∴将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是：31421233V ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：23π． 【点睛】本题考查几何容器的容积的求法，考查旋转体的性质、球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知b =，45A ∠=，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)【答案】【解析】由正弦定理可得{}2sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合{})2⎡⋃+∞⎣，即可确定一个a的可能取值是【详解】解：由已知及正弦定理sin sin a b A B=sin 2B =， 可得{}2sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合为：{})2⎡⋃+∞⎣． 可得a的可能取值是故答案为： 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 16．如果等差数列{}{},n n a b 的公差都为()0d d ≠，若满足对于任意*n N ∈，都有n n b a kd -=，其中k 为常数，*k N ∈，则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim 3n n n a b a b a b →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭L ，则k =__________ 【答案】2【解析】由等差数列通项公式得21n a n =-，由新定义可得212n n b a kd n k =+=-+，11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k ==---+--+，分别讨论1k =，2，3，⋯，m ，求得的极限，由数列的单调性可得2k =．【详解】由等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =， 可得12(1)21n a n n =+-=-， 数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列， 可得212n n b a kd n k =+=-+，由11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k==---+--+， 则1122111111111(1)21233221212n n a b a b a b k k kn n k++⋯+=-+-++-++--+， 当1k =时， 若1122111111111lim()lim (1)23352121n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+，不成立； 当2k =时，112211111111111lim()lim (1)4537592123n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 1111141lim (1)432123433n n n →∞=+--=⨯=++，成立； 当3k =时，112211111111111lim()lim (1)67395112125n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 11111112323lim (1)63521232561590n n n n →∞=++---=⨯=+++，不成立； 同理可得k m =时，1122111111lim()(1)2321n n n a b a b a b m m →∞+++=+++-， 由1111(1)23213m m +++=-， 即11213213m m +++=-，可设11213213m mc m =+++--，1120213m m c c m +-=-<+，可得{}m c 递减，20c =，可得仅有2k =时，11221111lim()3n n n a b a b a b →∞+++=， 故答案为：2． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消法求和，以及数列极限的求法，考查分类讨论思想方法和运算能力、推理能力，属于中档题．三、解答题17．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，设E 为侧棱PC 的中点.（1）求正四棱锥E ABCD -的体积V ； （2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小. 【答案】（1）83（2）arcsin15【解析】（1）求出点E 到平面ABCD 的距离122h PA ==，正方形面积为4，再结合棱锥的体积公式求解即可；（2）建立以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴的空间直角坐标系，利用向量法求出直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小即可. 【详解】解：（1）因为在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，又E 为侧棱PC 的中点，所以点E 到平面ABCD 的距离为114222h PA ==⨯=，又正方形ABCD 的面积为224⨯=， 即正四棱锥E ABCD -的体积11842333ABCD V S h =⨯⨯=⨯⨯=正方形，故正四棱锥E ABCD -的体积为83；（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,4)P ，(1,1,2)E ，(0,2,0)B , 则()1,1,2BE =-,()0,2,4DP =-,()2,0,0DC =, 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即24020y z x -+=⎧⎨=⎩，令2y =，则1z =，即(0,2,1)n =，因为直线BE 与平面PCD 所成角θ，所以sin 6BEn BE nθ⋅===即arcsin15θ=故直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小为arcsin15.【点睛】本题考查了棱锥的体积公式及利用向量法求线面角，重点考查了空间向量的应用，属中档题.18．已知函数()sin211cos22001x f x x -=，将()f x 的图象向左移(0)αα>个单位的函数()y g x =的图象．()1若4πα=，求()y g x =的单调递增区间；()2若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()y g x =的一条对称轴12x π=，求()y g x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域．【答案】()1 5,63k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ ；()22.⎡-⎣ 【解析】()1根据题意，可得()sin22cos 26f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象向左移(0)αα>个单位的函数()y g x =，将4πα=，可得()g x 解析式，从而求单调递增区间；()2根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()g x 的一条对称轴12x π=，即可()y g x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域． 【详解】解：()1由题意，可得()sin22cos 26f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 的图象向左移(0)αα>个单位，可得()()2cos 226g x f x x παα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，4πα=，可得()22cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 令22223k x k ππππ-≤+≤，k Z ∈． 得：563k x k ππππ-≤≤-， 故得()g x 的单调递增区间为5,63k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． ()2由()1可得()2cos 226g x x πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数()g x 的一条对称轴12x π=，即22126k ππαπ⨯++=，k Z ∈．126k παπ∴=-，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3πα∴=，则()52cos 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 55112,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， ∴当526x ππ+=时，()g x 取得最小值为2-； ∴当511266x ππ+=时，()g x故得()g x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为：.⎡-⎣ 【点睛】本题考查了余弦函数的图象及性质的应用，属于基础题．19．某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y （单位：度）与时间t （单位：小时，[]0,20t ∈）近似地满足函数132by t t =-++关系，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量。
上海市宝山区罗南中学2020年高三数学理模拟试卷含解析
上海市宝山区罗南中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做函数的下确界．现已知定义在R上的偶函数满足，当时，，则的下确界为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：2. 若函数的图象经过（0，-1），则的反函数图象经过点( )A．（4，一1） B．（一1,-4） C．（-4,-1） D．（1,-4）参考答案：B若函数的图象经过（0，-1）,则的图象经过，所以反函数的图象经过点，选B.3. 已知函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为，则（）A． B． C．45D．55参考答案：C4. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3O：函数的图象．【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，结合x1，x2∈[﹣2π，2π]，可得答案．【解答】解：函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，即，由x1，x2∈[﹣2π，2π]，得：x1，x2∈{﹣，﹣，， }，当x1=，x2=﹣时，2x1﹣x2取最大值，故选：A5. 底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A. B.C.D.参考答案：D6. 已知是虚数单位,则（）A．B．C．D．参考答案：B略7. 在等比数列中, ，使不等式成立的最大自然数是A.5B.6C.7D.8参考答案：C8. 如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC和AD的中点，则直线AE和CF所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连接BF、EF，推导出AD⊥面BCF，AE在平面BCF上的射影为EF，设异面直线AE和CF 所成的角为θ，则cosθ=cos∠AEF?cos∠EFC，由此能求出结果．【解答】解：连接BF、EF，∵正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC和AD的中点，∴BF⊥AD，CF⊥AD，又BF∩CF=F，∴AD⊥面BCF，∴AE在平面BCF上的射影为EF，设异面直线AE和CF所成的角为θ，正四面体棱长为1，则，．∵cosθ=cos∠AEF?cos∠EFC，∴cosθ==．故直线AE和CF所成的角的余弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正四面体、线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题．9. 已知，则是的（）。
2020年上海市宝山区高三上学期期末数学高考一模试卷含详解
上海市宝山区2020届高三一模数学试卷2019.12一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.若(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则||z =2.已知4251λλ-=-，则λ=3.函数13x y -=（1x ≤）的反函数是4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛5.以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6.在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为7.不等式22|2|36x x x x -->--的解集是8.已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =9.已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为10.有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是cm（钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =12.已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）A.01a << B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<<14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（）A.2()log (41)x f x x=+- B.()||2cos f x x x =-C.2210()0x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩ D.|lg |()10x f x =15.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足的是（）A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<<，下列判断错误的是（）A.当0a >，0b >时，辅助角arctan b a ϕ=B.当0a >，0b <时，辅助角arctan b a ϕπ=+C.当0a <，0b >时，辅助角arctan b a ϕπ=+D.当0a <，0b <时，辅助角arctanb aϕπ=-三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18.已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=++.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.19.一家污水处理厂有A 、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A 、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）20.已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于A 、B 两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M 、A 关于y 轴对称，当MAB 的面积最大时，求直线MB 的方程；（3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P 、Q ，证明：||||OP OQ ⋅为定值.21.已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a +=，令ln n n b a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b +>；（2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.上海市宝山区2020届高三一模数学试卷答案解析版2019.12一、填空题（本大题共12题，每题4分，127-每题5分，共54分）1.若i i z 2)1(=+（i 是虚数单位），则=||z .【答案】2【解析】i iiz +=+=112，得到2=||z 2.已知5124=--λλ，则=λ.【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ3.函数)1(31<=-x y x 的反函数是.【答案】1log 3+=xy ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，13-=y x ⇒1log 3+=xy ]1,0(∈x 4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛.【答案】66【解析】单循环66212=C 5.以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是.【答案】9)23(22=++y x 【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 6.在)1()1(35x x +-的展开式中,3x 的系数为.【答案】9-【解析】335532359)(1xx C x C -=+-⋅7.不等式63|2|22-->--x x x x 的解集是.【答案】),4(-∞-【解析】63222-->+-x x x x ⇒4->x 8.已知方程)(022R k kx x ∈=+-的两个虚根为21,x x ，若2||21=-x x ，则=k .【答案】2±【解析】228||221±=⇒=-=∆-=-k k x x 9.已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=10.有一个空心钢球，质量为g 142，测得外直径为cm 5，则它的内直径是cm .【答案】5.4【解析】由题意得，142]3425(34[9.733=⋅-⋅x ππ⇒5.42≈x ，11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c .【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c 12.已知0>>b a ,那么，当代数式)(162b a b a -+取最小值时，点),(b a P 的坐标为.【答案】)2,22(【解析】22()()24b a b a b a b +--≤=Q 1664)(16222≥+≥-+∴aa b a b a 当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b 即⎩⎨⎧==222b a 时取等号，可求得点P 坐标二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）【A 】01a <<【B 】11a e<<【C 】1e -1<a <1【D 】1e +1<a <1【答案】C【解析】由零点存在性定理得：1(1)(1)0a a e -+-+<解得：111a e-<<14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（）【A 】2()log (41)xf x x=+-【B 】()2cos f x x x=-【C 】221(0)0(0))(x x xf x x +≠=⎧⎪=⎨⎪⎩【D 】lg ()10xf x =【答案】A【解析】222411()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+,()()f x f x ∴-=∴是偶函数，由复合函数单调性知()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴选A15．已知平面,,αβγ两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβγ⊆⊆⊆,则直线,,a b c 不可能满足的是（）【A 】两两垂直【B 】两两平行【C 】两两相交【D 】两两异面【答案】B【解析】可以借助墙角模型16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下:sin cos ),a x b x x ϕπϕπ+=+-<≤下列判断错误的是（）【A 】当0,0a b >>时，辅助角arctan b a ϕ=【B 】当0,0a b ><时，辅助角arctan ba ϕπ=+【C 】当0,0a b <>时，辅助角arctan ba ϕπ=+【D 】当0,0a b <<时，辅助角arctan baϕπ=-【答案】B【解析】sin cos )a xb x x x x ϕ⎫+=+=+⎪⎭其中cos b aϕϕϕ===；当0,0a b ><时，cos 0,sin 0,ϕϕϕ><∴∈Q 第四象限，所以B 错。
2020届上海市宝山区高三一模数学试题解析
绝密★启用前2020届上海市宝山区高三一模数学试题解析学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．若函数1()ln f x x a x =-+在区间(1)e ，上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．11a e<<C ．111a e -<<D ．111a e+<<解：函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， ∵(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e =-+>， 可得111a e -<<故选：C ．2．下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2()log (41)x f x x =+-B ．()||2cos f x x x =-C ．2210()0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩D ．|lg |()10x f x =解：对于2241:()log (41)log 4x xx A f x x x -+-=++=+2222log (41)log 2log (41)()x x x x x f x =+-+=+-=．且2222(2)11()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+， Q 当0x …时，函数122x xy =+单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，故A 正确； :0B x >时，()2cos f x x x =-，令()12sin 0f x x '=->，得(0x ∈，52)(266k k ππππ++⋃，*22)()k k N ππ+∈，故B 不正确； :0C x ≠时，2212x x +…，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，∴不满足在[)0,+∞上单调递增，故C 不正确；对于D ：|lg |()10x f x =定义域为()0,∞+，由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D 错；故选：A ． 点评：考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于基础题；3．已知平面γβα、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A ．两两垂直 B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面解：设l αβ=I ，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α 又l αβ=I ，可知//a l ，//b l 又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面 若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B 点评：本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.4．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x j ++，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A ．当0a >，0b >时，辅助角arctan baϕ=B ．当0a >，0b <时，辅助角arctan b aϕπ=+ C ．当0a <，0b >时，辅助角arctan b aϕπ=+D ．当0a <，0b <时，辅助角arctan b aϕπ=- 解：解：因为cos ϕ=sin ϕ=tan baϕ=，(,]ϕππ∈- 对于A ，因为0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限02πϕ∴<<，0b a>Q，arctan (0,)2b a π∴∈，故A 选项正确；对于B ，因为0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限02πϕ∴-<<；0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故B 选项错误； 对于C ，因为0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限2πϕπ∴<<；0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故C 选项正确； 对于D ，因为0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限2ππϕ∴-<<-，0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴-∈--，故D 选项正确； 故选：B ． 点评：本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题．二、填空题5．若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可． 解：解：∵(1)2z i i +=，∴21iz i ==+()()()21111i i i i i -=++-，∴||z ==点评：本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题． 6．已知4251λλ-=-，则λ=________答案：3由行列式的计算公式化简求解即可． 解： 解：4251λλ-=-Q()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=，故答案为：3． 点评：本题考查二阶行列式的计算，属于基础题． 7．函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________ 答案：31log ,(0,1]y x x =+∈首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可． 解：解：13(1)x y x -=Q …，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈， 点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．8．2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛. 答案：66直接利用组合数的应用求出结果． 解：解：根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==．点评：本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________答案：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 解：解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =，所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．点评：本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 10．在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为________ 答案：9-利用二项展开式把5(1)x -展开，再求展开式中3x 的系数． 解：解：53(1)(1)x x -+()()2345315101051x x x x x x =-+-+-+()()23453234515101051510105x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-则含3x 的项有310x -与3x 两项∴展开式中3x 的系数为1109-=-．故答案为：9-．点评：本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题． 11．不等式22|2|36x x x x -->--的解集是________ 答案：(4,)-+∞将不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，再根据220x x -+>恒成立，则原不等式等价于22236x x x x -+>--解得即可； 解：解：不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--， 由于函数22y x x =-+的图象在x 轴上方，所以220x x -+>恒成立，所以22236x x x x -+>--， 解得4x >-，故不等式的解集为(4,)-+∞． 故答案为：(4,)-+∞ 点评：本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12．已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =_____ 答案：2±由题意设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈，利用根与系数的关系结合12||2x x -=求得a 与b 的值，则k 可求． 解：解：Q 方程程220x kx -+=的两个虚根为1x 、2x ， 可设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈．122x x a k ∴+==，22122x x a b =+=，12||2x x -=Q ，|2|2bi ∴=， 联立解得：1b =±，1a =±．2k ∴=±．故答案为：2±． 点评：本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为__答案：先求出直线l 的方程，再求出圆心C 与半径r ，计算圆心到直线l 的距离d ，由垂径定理求弦长||AB ． 解：解：由题意可得，l 的方程为210x y ++=，22480x y x y +-+=Q 可化为22(2)(4)20x y -++=，圆心(2,4)-，半径r =，∴圆心(2,4)-到l 的距离d ==，AB ∴==故答案为： 点评：本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．14．有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是________cm （钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）答案：4.5直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果． 解：解：设钢球的内半径为r ，所以33457.9 3.1414232r ⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得 2.25r ≈． 故内直径为4.5cm ． 故答案为：4.5．点评：本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =_______ 答案：47-{}n a 、{}n b 均是等差数列，故{}n c 为二次函数，设2n c an bn c =++，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到10c ． 解：解：因为{}n a 、{}n b 均是等差数列，其通项公式均为关于n 的一次式，所以n n n c a b =⋅为关于n 的二次式， 故设2n n n c c b n a an b =+⋅+=，17c =Q ，29c =，39c =则7429939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得153a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩253n c n n ∴+-+=210110510347c ∴=-⨯+⨯+=-，故答案为：47-． 点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16．已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________答案：先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭…；再利用基本不等式即可求解． 解：解：因为0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭；所以222166416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b的坐标为：(．故答案为：(． 点评：本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．三、解答题17．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 答案：（1）2；（2）5arccos 8；（1）求解三角形求出底面梯形BCDE 的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，由题意可得11//AD B C ，则11B C E ∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，求解三角形得答案．解：解：（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，Q 底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，B ∴到DC，又E 是AB 的中点，1BE ∴=，则()1122BCDE S =+=梯形． 13DD =Q ，∴1111333C BCDE BCDE V S DD -=⨯==四边形；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//AD B C Q ，11B C E ∴∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，连接1B E ，在11C B E ∆中，112B C =，1B E ==14C E ．115cos 8B C E ∴∠==，∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8．点评：本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．18．已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.答案：（1）π，对称中心：1,,2122k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭；（2）10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，123x x π+=（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a 的范围和12x x +的值． 解：解：（1）函数()sin cos cos 2f x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭21cos 21sin 22sin 2262x x x x x π-⎛⎫=-+=-+=+- ⎪⎝⎭． 所以函数的最小正周期为22T ππ==， 令2()6x k k Z ππ+=∈，解得()212k x k Z ππ=-∈， 所以函数的对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭． （2）由于02x π剟，所以72666x πππ+剟，在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，所以函数1sin 2126x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭…时，函数的图象有两个交点，故a 的范围为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．由于函数的图象在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上关于6x π=对称，故12263x x ππ+=⋅=．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．一家污水处理厂有AB 、两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A B 、两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）答案：（1）7小时；（2）17小时（1）由题意可得A 池每小时剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半，则0.90.5x =，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时剩余原来的81%，可得090.810.12x x+=g ，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值． 解：解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半， 则0.90.5x=，可得0.570.9lg x lg =≈， 则A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%， 可得090.810.12x x+=g ，即20.90.90.20x x +-=，可得0.9x =，可得170.9lg x lg ⎝⎭=≈． 则A 、B 两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定． 点评：本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于A B 、两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆1(,]2t ∈-∞的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M A 、关于y 轴对称，当MAB △的面积最大时，求直线MB 的方程； （3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P Q 、，证明：||||OP OQ ⋅为定值.答案：（1）6-+2）y x =；（3）证明见解析 （1）由题意可得焦点1F ，2F 的坐标，进而可求出A 的坐标，设M 的坐标，注意横坐标的范围[]22-,，在椭圆上，又M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等，可求出M 的横坐标；（2）M ，A ，3B 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB 的方程；（3）设M ，A 的坐标，得出直线MA ，MB 的方程，进而求出两条直线与x 轴的交点坐标，用M ，A 的坐标表示，而M ，A 又在椭圆上，进而求出结果． 解：（1）设1(,),(M x y F ，依题意得，||x t =-，联立椭圆方程：22:142x y Γ+=，把22122y x =-代入得：222212222x x x tx t +++-=-+，(22x t ∴=-；又因为t =，代入得：6M x =-+（2）设()()11,,A t y B t y -，则()1,M t y -，则12MAB S t y =⋅V ，又因为()1,A t y 在椭圆22:142x y Γ+=上，所以221142y t +=，11122t y ∴≥1ty ∴≤则 MAB S ≤V，当且仅当1t时，取等号，即t =，则(1)M B -，所以:2MB l y x =-； （3）设()()()1100,,,,,A t y B t y M x y -，则01100110:():()MA MB y y l y x t y x ty y l y x t y x t-⎧=-+⎪-⎪⎨+⎪=--⎪-⎩100101001,00,0d y t y x P y y y y t y x Q y y ⎧⎛⎫-⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫+⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩u u u u u u u r 令， 则22220102201||||=y t y x O Q y P O y --⋅，又因为2212200122122y t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入得：2202222||||41122t x OP OQ t x -⋅==-，故为定值. 点评：考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21．已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e是自然对数的底数），且2n a +=ln n n b a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b + （2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，12t ≤（1）由已知可得：1n a >．利用基本不等式的性质可得：1n n lna lna ++…得，代入化简即可得出．（2）设1+=-n n n c b b，由2n a +=*()n n b lna n N =∈．可得121112n n n n n nc b b c b b ++++-==--．即可证明211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +…成立．由（2）可得：1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．1n =时，10t g …，解得t R ∈．2n …时，1min n n b t b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用单调性即可得出． 解：解：（1）依题意得，要证明2n b +21ln ln n n n a a ++>⋅，又因为2n a +=2ln n a +>要证明2ln n a +>>>()1ln n n a a +⋅>又因为1ln ln n n a a ++≥.（2）设1+=-n n n c b b，因为2n a +=*ln ()n n b a n N =∈，则2112111111lnln 212ln ln n n n n nn n n n n n n n n a ac b b a a a a c b b a a +++++++++--=⋅==--. 所以：{}1n n b b +-是公比为12的等比数列，则()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()121321n n n b b b b b b b b -∴=+-+-++-L2211101()()()222n -=++-+-+⋯⋯+-11111221113212n n --⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭．{}n b ∴的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（3）假设存在存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立，由（2）知，1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 1︒当1n =时，t R ∈；2︒当2n ≥时，1minn n b t b +⎛⎫≤⎪⎝⎭， 而1111(2)1(2)23321(2)2(2)2(2)2112nn n n n n n n b b +-⎛⎫-- ⎪---+-⎝⎭--==--+-+-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则当2n =时，m 132in12n n b b b b +⎛⎫== ⎪⎝⎭，故存在这样的t ，12t ≤ 点评：本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
上海市宝山区达标名校2020年高考一月调研数学试卷含解析
上海市宝山区达标名校2020年高考一月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A ．13B ．310C ．25D ．342．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．63．已知函数2()e (2)e x x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ） A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或04．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ） A 2B 2C 2D ．225．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>6．已知抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝上，则直线AF 被C 截得的弦长为（ ） A ．919B ．1009C ．1189D ．12797．已知双曲线22214x y b-=（0b >30x y ±=，则b =（ ）A ．23B ．3C ．32D ．438．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．19．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝10．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．151611．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年上海市宝山区高三年级一模考试数学试卷
2019-2020学年上海市宝山区高三一模考试数学试卷2019.12一、填空题（本大题共12题，每题4分，127-每题5分，共54分）1. 若i i z 2)1(=+ （i 是虚数单位），则=||z . 【答案】2 【解析】i ii z +=+=112，得到2=||z 2.已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ3.函数)1(31<=-x y x 的反函数是 .【答案】1log 3+=xy ，]1,0(∈x【解析】y x ,互换，13-=y x ⇒1log 3+=x y ]1,0(∈x 4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有 场球赛.【答案】66【解析】单循环66212=C 5.以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 . 【答案】9)23(22=++y x 【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 6.在)1()1(35x x +-的展开式中,3x 的系数为 .【答案】9-【解析】335532359)(1x x C x C -=+-⋅7.不等式63|2|22-->--x x x x 的解集是 .【答案】),4(-∞-【解析】63222-->+-x x x x ⇒4->x8.已知方程)(022R k kx x ∈=+-的两个虚根为21,x x ，若2||21=-x x ，则=k .【答案】2± 【解析】228||221±=⇒=-=∆-=-k k x x9.已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为 . 【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=10.有一个空心钢球，质量为g 142，测得外直径为cm 5，则它的内直径是 cm .【答案】5.4 【解析】由题意得，142]34)25(34[9.733=⋅-⋅x ππ⇒5.42≈x ， 11. 已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c . 【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c 12.已知0>>b a ,那么，当代数式)(162b a b a -+ 取最小值时，点),(b a P 的坐标为 . 【答案】)2,22( 【解析】22()()24b a b a b a b +--≤=Q 1664)(16222≥+≥-+∴aa b a b a 当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b 即⎩⎨⎧==222b a 时取等号，可求得点P 坐标 二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） 【A 】01a << 【B 】11a e<< 【C 】 【D 】 【答案】C 【解析】由零点存在性定理得：1(1)(1)0a a e -+-+<解得：111a e -<< 14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ）【A 】2()log (41)x f x x =+- 【B 】()2cos f x x x =-1e -1<a <11e +1<a <1【C 】221(0)0(0))(x x x f x x +≠=⎧⎪=⎨⎪⎩ 【D 】lg ()10x f x = 【答案】A 【解析】222411()log (41)log log (2)22x xx x x f x x +=+-==+,()()f x f x ∴-=∴是偶函数，由复合函数单调性知()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ 选A15．已知平面,,αβγ两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβγ⊆⊆⊆,则直线,,a b c 不可能满足的是（ ）【A 】两两垂直 【B 】两两平行 【C 】两两相交 【D 】两两异面【答案】B【解析】可以借助墙角模型16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下:sin cos ),a x b x x ϕπϕπ+=+-<≤下列判断错误的是（ ）【A 】当0,0a b >>时，辅助角arctanb aϕ= 【B 】当0,0a b ><时，辅助角arctan b aϕπ=+ 【C 】当0,0a b <>时，辅助角arctan b aϕπ=+ 【D 】当0,0a b <<时，辅助角arctan b aϕπ=- 【答案】B 【解析】sin cos )a x b x x x x ϕ⎫+==+⎪⎭其中cos b aϕϕϕ===； 当0,0a b ><时，cos 0,sin 0,ϕϕϕ><∴∈Q 第四象限，所以B 错。
2020上海市宝山区高考数学一模试卷答案解析与点睛(18页)
2020上海市宝山区高考数学一模试卷数学试题一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.23lim 1n n n →∞+=+___________ 【答案】2【解析】【分析】上下同除以n 求解即可. 【详解】32232lim lim 21111n n n n n n →∞→∞++===++ 故答案为2【点睛】本题主要考查分式类的极限,属于基础题型.2.设全集U =R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，{}|2B x x =≥，则U A C B =I __．【答案】{}1,0,1-【解析】【分析】直接根据交集和补集的定义求解，先求U C B ，再求U A C B ⋂．【详解】解：∵全集U =R ，集合{}|2B x x =≥，∴{}()|2,2U C B x x =<=-∞，又{}1,0,1,2,3A =-，∴{}1,0,1U A C B =-I ，故答案为：{}1,0,1-．【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，属于基础题．3.不等式102x x +<+的解集为__． 【答案】()2,1--【解析】【分析】102x x +<⇔+()()120x x ++<且20x +≠，再根据一元二次不等式的解法求解． 【详解】解：不等式102x x +<⇔+()()120x x ++<且20x +≠， 解得：21x -<<-，∴原不等式组的解集为()2,1--，故答案为：()2,1--．【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，通常转化为整式不等式求解，也可以对分母进行讨论求解，属于基础题．4.椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为______. 【答案】6【解析】【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【详解】将5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩变形为cos 5sin 4x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 平方相加消去参数θ可得：2212516x y +=， 所以，c ==3，所以，焦距为2c ＝6．故答案为6．【点睛】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．5.设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =__． 【答案】1i +【解析】【分析】设(,)z x yi x y R =+∈，，则z x yi =-，代入后根据复数代数形式的四则运算化简求值． 【详解】解：设(,)z x yi x y R =+∈，，∴z x yi =-． 则()223z z x yi x yi i +=++-=-，即33x yi i -=-，∴1x =，1y =，因此，1z i =+．故答案：1i +．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，属于基础题．6.若函数cos sin sin cos x x y x x =的最小正周期为a π，则实数a 的值为__．【答案】1【解析】分析】 cos sin sin cos x x y x x=22cos sin x x =-，再根据二倍角公式化简，从而求出参数的值． 【详解】解：∵22cos sin cos 2y x x x =-=，T a ππ==，∴1a =，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、性质，属于基础题．7.若点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，则()f x 的反函数为_________.【答案】12x y -=【解析】【分析】 由点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，求得2a =，得到21log y x =+，再根据反函数的求法，即可求解.【详解】由点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，即41log 8a =+，即log 83a =，解得2a =， 即21log y x =+，所以2log 1x y =-，即12y x -=，【所以函数21log y x =+的反函数为12x y -=.故答案为12x y -=.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及反函数的求解，其中解答中熟记对数的运算性质，熟练应用反函数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.已知向量()1,2a =v ，()0,3b =v ，则b v 在a v 的方向上的投影为__．【答案】5【解析】【分析】直接根据b r 在a r 的方向上的投影为cos a b b a θ⋅=r rr r 与数量积的坐标表示求值． 【详解】解：由于向量()1,2a =r ，()0,3b =r ，则b r 在a r 的方向上的投影为cos a b ba θ⋅==v v v v =． 【点睛】本题主要考查平面向量投影的定义以及数量积的坐标表示，属于基础题．9.已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为__．【答案】18π【解析】【分析】由题意可得底面直径和母线长均为6，再根据扇形的面积公式求值．【详解】解：由题意得：底面直径和母线长均为6，1236182S ππ⨯⨯⨯==侧． 故答案为18π．【点睛】本题主要考查圆锥的三视图以及圆锥的侧面积公式，属于基础题．10.某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为______.（结果用最简分数表示）【答案】57【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出三人均为男生或三人均为女生包含的基本事件数，再根据对立事件的概率公式求解．【详解】解：某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，基本事件总数3735n C ==，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，∴在选出的3人中男、女生均有的概率：337537C P C C -=35107535-==， 故答案为：57． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，通常数据较大时用组合数表示结果，属于基础题．11.设常数0a >，若9a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中5x 的系数为144，则a =__． 【答案】2【解析】【分析】 利用公式()9921990,1,2,,9r r r r r r r a T C x C a x r x --+⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令925r -=即可求值． 【详解】解：()9921990,1,2,,9rrr r r r r a T C x C a x r x --+⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭． 令925r -=，解得2r =，则229144C a =，0a >，解得2a =．故答案为：2．【点睛】本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．【答案】6【解析】【分析】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．【详解】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29， ∵n ＜2a 1+n-1，且二者一奇一偶，∴（n ，2a 1+n-1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=-1时，也有三组．综上所述，共6组．故答案为6．【点睛】本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若a R ∈， i 为虚数单位，则“1a =”是“复数()()()123a a a i -+++为纯虚数”的（ ）A. 充要条件B. 必要非充分条件C. 充分非必要条件D. 既非充分又非必要条件 【答案】C【解析】当1a = 时,复数(1)(2)(3)4a a a i i -+++= 为纯虚数,当复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数时,1a = 或2a =-,所以选C.14.某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为( )A. 80B. 96C. 108D. 110 【答案】C【解析】【分析】设高二总人数为x 人，由总人数及抽样比列方程组求解即可．【详解】设高二总人数为x 人，抽取的样本中有高二学生y 人则高三总人数为()50x -个，由题可得：()500501*********x x y x ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩，解得：108y =. 故选C【点睛】本题主要考查了分层抽样中的比例关系，考查方程思想，属于基础题．15.设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15P M =，()14P N =，则()920P M N =U ；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()56P MN =，则,M N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1 ，结合相互独立事件,M N 的概率满足()()()P MN P M P N =⋅，可判断（2）、（3）、（4）、（5 ）的正误.【详解】若,M N 为互斥事件，且()()11,54P M P N ==， 则()1195420P M N =+=U ， 故（1）正确；若()()()111,,236P M P N P MN === 则由相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（2）正确；若()()()111,,236P M P N P MN ===， 则()()()()()11,2P M P M P MN P M P N =-==⋅ 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（3）正确；若()()()111,,236P M P N P MN === ， 当,M N 为相互独立事件时，()()()11211,=2233P N P N P MN =-==⨯ 故（4）错误； 若()()()115,,236P M P N P MN === 则()()()()()1,16P MN P M P N P MN P MN =⋅==- 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N相互独立事件，故（5）正确.故选D. 【点睛】本题考查互斥事件、对立事件和独立事件的概率，属于基础题.16.在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次函数，三点()()2,22f --+、()()0,02f +、()()2,22f +均位于“04⊕型带状区域”，如果点(),1t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数()y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52 D. 2【答案】C【解析】【分析】设()2f x ax bx c =++，求出t 的范围，求出()f t ，再根据不等式的性质求最大值． 【详解】解：设()2f x ax bx c =++，∵三点()()2,22f --+、()()0,02f +、()()2,22f +均位于“04⊕型带状区域”，∴()[]220,4f -+∈，()[]020,4f +∈，()[]220,4f +∈，∴()22f -≤，()02f ≤，()22f ≤， ∵()()()2422420f a b c f a b c f c ⎧-=-+⎪=++⎨⎪=⎩，∴()()()()()()222082240f f f a f f b c f ⎧+--=⎪⎪⎪--=⎨⎪=⎪⎪⎩， ∵点(),1t t +位于“13-⊕型带状区域”，∴[]11,3t +∈-，∴[]2,2t ∈-，∴2t ≤，故()()()()()()()2222022084f f f f f y f t t t f +----==++ ()()()222224220884t t t t t f f f +--=+-+ ()()()222224220884t t t t t f f f +--≤+-+ ()()2111224442t t t t t ≤++-+- ()()()2111224442t t t t t =++-+- ()21551222t =--+≤， 故选：C ．【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质以及不等式的性质，求函数最值问题，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1A C 与AB 所成的角的大小．【答案】（1）（2）3arccos10 【解析】【分析】（1）设正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，由底面积和侧面积公式列出方程组，求出3a =，4h =，由此能求出正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）由11//AB A B 知11B AC ∠是异面直线1A C 与AB 所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线1A C 与AB 所成的角．【详解】解：（1）设正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，则2336ah =⎪=⎩， 解得3a =，4h =， ∴正三棱柱111ABC A B C -的体积4ABC V S h ∆=⋅==； （2）∵正三棱柱111ABC A B C -，∴11//AB A B ， ∴11B AC ∠是异面直线1A C 与AB 所成的角（或所成角的补角），连结1B C，则11AC B C == 在等腰11A B C ∆中，12111332cos 2105A B B AC AC ∠===， ∵()110,A BC π∠∈，∴113arcco 10C s A B ∠=， ∴异面直线1A C 与AB 所成的角为3arccos10． 【点睛】本题主要考查正三棱柱的体积的求法以及异面直线所成角的求法，属于中档题． 18.已知椭圆C长轴长为()2,0-；（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B两点，且AB =l 的倾斜角．【答案】（1）22162x y += （2）4π或34π 【解析】 【分析】（1）由题意可设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，则2c =，2a =即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程为：()2y k x =-，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k 的值，即可求得直线l 的倾斜角．【详解】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程为：()222210x ya b a b+=>>，则2c =，2a =a =2b ==，∴C 的标准方程22162x y +=；（2）由题意可知：椭圆的右焦点()2,0，设直线l 的方程为：()2y k x =-，设点()11,A x y ，()22,B x y ，的()222162y k x x y⎧=-⎪⎨+=⎪⎩；整理得：()222231121260k x k x k +-+-=， 韦达定理可知：21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+，AB =)22131k k +==+，由AB =)22131k k +=+21k =，故1k =±，经检验，1k =±，符合题意，因此直线l 的倾斜角为4π或34π． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．19.设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且()*430n n x S n N--=∈；（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足()*1n n n y y x n N+-=∈，且12y =，求满足不等式559n y >的最小正整数n 的值． 【答案】（1）143n n x -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）5【解析】 【分析】（1）由()*430n n x S n N--=∈可得1n =时，11430x x --=，解得1x ．2n ≥时，由43nn Sx =-可得1n n n x S S -=-，得143n n x x -=，利用等比数列的通项公式即可得出； （2）1143n n n n y y x -+⎛⎫-== ⎪⎝⎭，且12y =，利用累加法与等比数列的求和公式即可得出n y ，代入不等式559n y >化简即可得出． 【详解】解：（1）∵()*430n n x S n N--=∈，∴1n =时，11430x x --=，解得11x =．2n ≥时，由43n n S x =-，∴()114343n n n n n x S S x x --=-=---，∴143n n x x -=， ∴数列{}n x 是公比为43的等比数列， ∴143n n x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）1143n n n n y y x -+⎛⎫-== ⎪⎝⎭，且12y =，∴()()()121321n n n y y y y y y y y -=+-+-+⋅⋅⋅+-122414443212433313n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++⋅⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-14313n -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，当1n =时也满足，∴14313n n y -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，不等式559n y >，化为：1346443273n -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴13n ->，解得4n >， ∴满足不等式559n y >的最小正整数n 的值为5． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了累加法求通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.设函数()()()lg f x x m m R =+∈； （1）当2m =时，解不等式11f x ⎛⎫>⎪⎝⎭； （2）若()01f =，且()xf x λ=+在闭区间[]2,3上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图象过点()98,2，且不等式()cos 2lg 2nf x ⎡⎤<⎣⎦对任意n N ∈均成立，求实数x 的取值集合．【答案】（1）1|08x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ （2）1lg12,lg1324⎡--⎢⎣⎦ （3）32222,22nn k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，k ∈N ，n N ∈ 【解析】【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可；（2）根据()01f =可得()f x 的解析式，由()x f x λ=+分离变量可得()lg 10xx λ=+-，令()()lg 10xF x x =+-，它在闭区间[]2,3上的值域即为λ的范围；（3）函数()f x 的图象过点()98,2，求()f x 的解析式，可得()()lg 2f x x =+，则不等式()cos 2lg 2nf x ⎡⎤<⎣⎦转化为()()lg 2cos 212n x g +<，求解x ，又∵20x +>，即2x >-，n N ∈，讨论k 的范围可得答案．【详解】解：函数()()()lg f x x m m R =+∈； （1）当2m =时，()()lg 2f x x =+， 那么：不等式11f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭；即1lg 2lg10x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得：1210x +>，且120x+>， 解得：108x <<，∴不等式的解集为1|08x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； （2）∵()01f =，可得10m =， ∴()()lg 10f x x =+，()x f x λ=+，即()lg 10xx λ+=+在闭区间[]2,3上有实数解，可得()lg 10xx λ=+-，令()()lg 10x F x x =+-，求在闭区间[]2,3上的值域，根据指数和对数的性质可知：()F x 是增函数，∴()F x 在闭区间[]2,3上值域为1lg12,lg1324⎡--⎢⎣⎦，故得实数λ的范围是1lg12,lg1324⎡--⎢⎣⎦； （3）∵函数()f x 的图象过点()98,2， 则有：()2lg 98m =+， ∴2m =，故()()lg 2f x x =+，那么：不等式()cos 2lg 2nf x ⎡⎤<⎣⎦转化为()()lg 2cos 212nxg +<，即()()2cos 20cos 20n nx x ⎧+>⎪⎨<⎪⎩，∴322222nx k k ππππ+<<+，n N ∈， 解得：3222222n nk k x ππππ++<<，n N ∈， 又∵20x +>，即2x >-，∴2222nk ππ+≥-，n N ∈，解得：14k ≥-， ∵k Z ∈， ∴0k ≥，故得任意n N ∈均成立，实数x 的取值集合为32222,22nnk k ππππ⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，k ∈N ，n N ∈． 【点睛】本题考查了对数的性质及其运算以及不等式恒成立的问题在对数与三角函数中的运用，考查推理能力与计算能力，属于难题．21.设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{}|,A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{}0,1,2A =，{}1,3B =-，试用列举法表示A B +；的（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，122,,993B ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由．【答案】（1）{}1,0,1,3,4,5- （2）92（3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义{}|,A B a b a A b B +=+∈∈，结合已知中的集合A 、B ，可得答案；（2）曲线2221119x y n n n +=-+-表示双曲线，进而可得23n a n =，2n S n =，则0m n k S S S λ+->222m n k λ+⇔>，结合3m n k +=且m n ≠及基本不等式，可得22292m n k +>进而得到答案； （3）设整数集合(){}*|1,,2nn A x x F n N n ==-⋅∈≥，其中{}n F 为斐波那契数列，即121F F ==，21n n n F F F ++=+，*n N ∈，①由21n n n F F F ++=-得：()()()2121111nn n n n n F F F ++++-⋅=-⋅+-⋅，可得A 是自生集；②对于任意2n ≥，对于任一正整数[]211,1n t F +∈-，存在集合A 的一个有限子集{}12,,,m a a a ⋅⋅⋅，使得12m t a a a =++⋅⋅⋅+，（21i n a F +<，1,2,,i m =⋅⋅⋅），再用数学归纳法证明集合A 又是*N 的基底集．【详解】解：（1）∵{}|,A B a b a A b B +=+∈∈； 当{}0,1,2A =，{}1,3B =-时，{}1,0,1,3,4,5A B +=-；（2）曲线2221119x y n n n +=-+-，即2221119x y n n n -=-+-，在2n ≥时表示双曲线，故23na n ==， ∴21233n n na a a a ++++⋅⋅⋅+=，∵122,,993B ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭， ∴A B +中的所有元素之和为()1231223993n n S a a a a n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++--- ⎪⎝⎭2233n nn n +=⋅-=，∴0m n k S S S λ+->222m n kλ+⇔>， ∵3m n k +=，且m n ≠，∴()()2222229m n m n k m n ++=+2299221mn m n =>++， ∴92λ≤， 即实数λ的最大值为92； （3）存在一个整数集合既是自生集又是*N 的基底集，理由如下：设整数集合(){}*|1,,2nn A x x F n N n ==-⋅∈≥，其中{}n F 为斐波那契数列，即121F F ==，21n n n F F F ++=+，*n N ∈， 下证：整数集合A 既是自生集又是*N 的基底集， ①由21n n n F F F ++=-得：()()()2121111nn n n n n F F F ++++-⋅=-⋅+-⋅，故A 是自生集；②对于任意2n ≥，对于任一正整数[]211,1n t F +∈-，存在集合A 的一个有限子集{}12,,,m a a a ⋅⋅⋅， 使得12m t a a a =++⋅⋅⋅+，（21i n a F +<，1,2,,i m =⋅⋅⋅），当2n =时，由11=，2312=+-，33=，431=+，知结论成立； 假设结论对n k =时成立，则1n k =+时，只须对任何整数[]2123,k k m F F ++∈讨论，若22k m F +<，则22k m F π+=+，()21,0k F π+∈-， 故21'k F m π+=-+，[)21'1,k m F +∈，由归纳假设，'m 可以表示为集合A 中有限个绝对值小于21k F +的元素的和． 因为()()222122212221'11'k k k k k k m F F m F F m ++++++=-+=-⋅+-⋅+，所以m 可以表示为集合A 中有限个绝对值小于23k F +的元素的和． 若22k m F +=，则结论显然成立．若2223k k F m F ++<<，则22'k m F m +=+，[)21'1,k m F +∈，由归纳假设知，m 可以表示为集合A 中有限个绝对值小于23k F +的元素的和． 所以，当1n k =+时结论也成立； 由于斐波那契数列是无界的，所以，任一个正整数都可以表示成集合A 的一个有限子集中所有元素的和． 因此集合A 又是*N 的基底集．【点睛】本题考查的知识点是新定义“自生集”和“*N 的基底集”，双曲线的性质，数列求和，集合的元素，本题综合性强，转化困难，属于难题．。
上海市宝山区2020届高三一模数学试卷
上海市宝山区2020届高三一模数学试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．【解析】【分析】根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可．【详解】解：∵(1)2z i i +=， ∴21i z i==+()()()21111i i i i i -=++-，∴||z ==．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题．2.已知4251λλ-=-，则λ=________ 【答案】3【解析】【分析】由行列式的计算公式化简求解即可． 【详解】解：4251λλ-=- ()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=， 故答案为：3． 【点睛】本题考查二阶行列式的计算，属于基础题． 3.函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________【答案】31log ,(0,1]y x x =+∈【解析】【分析】首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可．【详解】解：13(1)x y x -=，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈，【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题．4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛.【答案】66【解析】【分析】直接利用组合数的应用求出结果． 【详解】解：根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==． 故答案为：66．【点睛】本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5.以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________ 【答案】22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 【详解】解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =， 所以焦点到准线的距离为3，。
2024届上海市宝山区高三一模数学试题及答案
9上海市宝山区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.13一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.函数 lg 1f x x 的定义域是．2.已知向量 2,1a m ， 1,3b m ，a b，则实数m．3.4.设x 5.6.设a 、7.设函数8.4a x 9.点B 则 10.政、外语和专业课三门，录取工作将这样进行：在每门课均及格（60分）的考生中，按总分进行排序，择优录取．振华同学刚刚完成报考，尚有11周复习时间，下表是他每门课的复习时间和预计得分．设思政、外语和专业课分配到的周数分别为x 、y 、z ，则自然数数组 ,,x y z 时，振华被录取的可能性最大．科目周数012345678910思政2040556572788082838485外语3045535862656870727475专业课507085909395969696969611.已知函数 311f x x ，正项等比数列 n a 满足1012110a ，则 20231lg k k f a ．12.设点P 在直线:250l x y 上，点Q 在曲线:ln y x x 上，线段PQ 的中点为M ，O 为坐标原点，则OM的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.“1x ”是“1x ”的（）.A .C 14..A .B .C .D 15.已知z .A 2z .B 若.C 若z .D 若116.m n S 、，m n 则下列选项中正确的是（）.A ①是真命题，②是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①是假命题，②是假命题．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．P A；（1）若一次抽取3张卡片，事件A表示“3张卡片上数字之和大于7”，求（2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，P B；求（3）若一次抽取2张卡片，事件C表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．验证C、D是独立的．18.在（1）（2）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AB BC 12AC AA ，且D 、E 分别是AC 、11AC 的中点．（1）证明：AC BE ；（2）求三棱锥D ABE 的体积；（3）求直线BD 与平面ABE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19题图以坐标原点为对称中心，焦点在x 轴上的椭圆 过点 2,0A ，且离心率为2．（1）求椭圆 的方程；（2）若点 1,0B ，动点M 满足2MA MB ，求动点M 的轨迹所围成的图形的面积；（3）过圆224x y 上一点P （不在坐标轴上）作椭圆 的两条切线1l 、2l ．记OP 、1l 、2l 的斜率分别为0k 、1k 、2k ，求证： 0122k k k ．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题①满分6分，第2小题②满分8分）已知函数 e xf x x ， exg x x ，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数 y f x 的图像在点1,1f 处的切线方程；（2）设函数 F x af x g x ，①若e a ，求函数 y F x 的单调区间，并写出函数 y F x m 有三个零点时实数m 的取值范围；②当01a 时，1x 、2x 分别为函数 y F x 的极大值点和极小值点，且不等式12F x tF x 0 对任意 0,1a 恒成立，求实数t 的取值范围．2023学年第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷参考答案1.()∞+，12.13.84.(][)∞+∞−，，105.486.二7.1− 8.8− 9.123++ 10.()5,4,2 11.2023 12.513. A 14.B 15.B 16.C17.解：（1）若一次抽取3张卡片，共包含()321，，、()421，，、()431，，、()432，，共4个基本事件.其中事件()(){}4,3,2431、，，=A 包含2个基本事件 .............2分 所以()2142P A ==...........4分 （2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，共包含1644=⨯个基本事件，其中事件()()(){}3,44,44,3、、=B 包含3个基本事件 ...........6分 所以()316P B =............8分（3）一次抽取2张卡片,共包含624=C 个基本事件，事件()(){}4,22,1，=C ，所以()2163P C == ...........9分事件()()(){}4,34,24,1、、=D ，所以()3162P D == ...........10分当D C 、同时发生，即2张卡片上数字之和是3的倍数同时积是4的倍数，只有一种取法()4,2，所以()16P C D =...........12分因为()()()P C D P C P D =，所以事件C 与事件D 是独立的． ...........14分18.解：(1)根据正弦定理得2sin sin A B B = ...........2分所以23sin =A ...........4分所以323ππ或=A...........6分（2）由三角形面积公式得A bc a a sin 212121=⋅，即A bc a sin 22= ...........8分又由余弦定理A bc c b a cos 2222−+=得A bc c b A bc cos 2sin 222−+= ...........10分解得()A A bc c b cos sin 222+=+从而()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4sin 22cos sin 222πA A A bc c b . ..........12分 当24ππ=+A 即4π=A 时bc c b 22+有最大值22即cbb c +的最大值为22. ...........14分19.解：（1）证明：易知1//AA DE由易知直三棱柱111C B A ABC −知ABC AA 面⊥1 所以ABC DE 面⊥从而BD 是BE 在ABC 面内的投影ABC ∆中，BC AB =，D 为AC 中点，则BD AC ⊥ 由三垂线定理知⊥AC BE . ..........4分（2）等腰ABC ∆中，2==BC AB ，，2=AC 从而1=BD 所以211121=⨯⨯=∆ABD S...........6分 由ABC DE 面⊥，且，21==AA DE所以312213131=⨯⨯=⋅=∆−DE S V ABD ABD E ...........8分又因为ABD E ABE D V V −−=所以三棱锥ABE D −的体积为31. ...........10分(3)由（2）31==−−ABD E ABE D V V令点D 到面ABE 的距离为d ，则有3131=⋅=∆−d S V ABE ABE DABE ∆中，2=AB ，5==BE AE ,从而23=∆ABE S . ..........12分所以32=d...........14分设直线BD 与平面ABE 所成角为α，则32sin ==BD d α所以直线BD 与平面ABE 所成角的大小为32sin arc . ...........16分另解（空间向量）相应给分以D 为坐标原点，射线DE DB DA 、、分别为z y x 、、轴建立空间直角坐标系. 则()()()()2,0,00,0,10,1,00,0,1E C B A ，，，−（1）()()2,10,0,0,2−=−=，BE AC ..........2分 因为0=⋅BE AC所以⊥AC BE . .........4分 （2）设平面ABE 的一个法向量()z y x n ,,=()()0,11,2,0,1，−=−=AB AE则有⎩⎨⎧=+−=+−02y x z x 令1=z ，则()1,2,2=n ..........6分又(),2,0,0=DE所以点D 到面ABE的距离32==d..........8分ABE ∆中，2=AB ，5==BE AE ,从而23=∆ABE S 所以3132233131=⨯⨯=⋅=∆−d S V ABEABE D 即三棱锥ABE D −的体积为31. ..........10分（3）直线BD 与平面ABE 所成角为α，由（2）知平面ABE 的一个法向量()1,2,2=n ，且()0,10−=，BD则32sin ==α..........14分所以直线BD 与平面ABE 所成角的大小为32sin arc . ..........16分20．解：（1）由题设知椭圆Γ中，23,2===a c e a 得3=c由222c b a +=得1=b .........2分所以椭圆Γ的方程为2214x y +=..........4分 （2）设(),M x y ， 由MB MA 2=得()()[]2222142y x y x +−=++化简得()4222=+−y x . .........6分表示的是以()0,2为圆心，2为半径的圆，其面积为π4. ..........8分 （3）设()0000,,(,0)P x y x y ≠，且42020=+y x 设过点P 的直线m kx y +=与椭圆相切，联立⎩⎨⎧=++=4422y x m kx y 化简得()()014841222=−+++m kmx x k ..........10分由()()014116642222=+−−=∆k m m k 得1422+=k m ..........12分 点()00,P x y 在直线m kx y +=上，得00kx y m −=代入上式()142200+=−k kx y化简得()01242000220=−++−y k y x k x因为21l l 、是椭圆的两条切线，所以21k k 、是上面方程的两根 由韦达定理得42200021−=+x y x k k . .........13分 由42020=+y x 得20204y x −=− 所以020002122y x y y x k k −=−=+..........14分 又00x y k =所以()22000210−=⋅−=+x y y x k k k . ..........16分21．解：（1）由导函数()'e 1x f x =−，得()'1e 1f =−， ..........2分 故切线方程为()()()1e 11y f x −=−−，即()e 1y x =−. ........4分 （2）()()e exxF x a x x −=−−−，导函数()()()()e 1e 1'e 1+e 1e xx x xxa F x a −−−=−−=，①当e a =时，()1e e e x x F x x x +−=−−−，令()()()1e 1e 1'0x x xF x +−−==，得0x =或1x =−， .........6分所以F x 的单调增区间为,1−∞−和0,+∞，单调减区间为1,0−；.........8分 极大值()12F −=，极小值()0e 1F =−，又()5414e 4e 42eF =−−−>，()344e 4e e 4e 1F −−=+−+<−，结合单调性 故函数()y F x m =−有三个零点时m 的取值范围为()()()0,1F F −即()e 1,2−；.........10分 ②令()'0F x =得e 1x=或1e 1x=>，0x =或1ln ln 0x a ==−>，所以12， .........12分 故()()1010F x F a ==−<，()()()()211ln ln ln 1ln 10F x F a a a a a a a a F x a ⎛⎫=−=+−+=++−<< ⎪⎝⎭， 所以0t <， .........13分 设()()()()()1211ln 1,0,1a F x tF x a t a a a a ϕ=+=−+++−∈⎡⎤⎣⎦，可知()10ϕ=， .........14分()()11'1ln 11ln ,0,1a a t a t a a a a ϕ+⎛⎫⎛⎫=++−=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()()1ln ,0,1m a a a a =+∈，其导函数为()22111'a m a a a a−=−=， 可得()'0m a <，所以()()0,1a m a ∈在上严格减，且()()11m a m >=， .........16分()111,'1ln 110t a a a ϕ⎛⎫︒≤−≤−+<−= ⎪⎝⎭，所以()()0,1a a ϕ∈在上严格减， ()()10a ϕϕ>=，符合题意；210,t ︒−<<存在()00,1a ∈，使得()0'0a ϕ=，所以(0,1a a a ∈在上上严格增，且10a <=，不符合题意； 综上所述，实数t 的取值范围为(],1−∞− ..........18分另解：相应给分 分离参数得()aa a a t −++−<1ln 11 令()()()1,0,1ln 11∈−++−=a aa a a a ϕ 由计算器得()1−>a ϕ所以1−≤t .。
【附20套高考模拟试题】2020届上海市宝山区上海大学附中高考数学模拟试卷含答案
2020届上海市宝山区上海大学附中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝3|,2x x Z Z x 且⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．52．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举,这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样．如图的程序框图源于“辗转相除法”,当输入8102a =,2018b =时,输出的a =（ ）A ．30B ．6C ．2D ．83．在△ABC 中，点D 为边AB 上一点，若3323sin BC CD AC AD ABC ⊥=∠，，，△ABC 的面积是（ ）A ．2．1522 C ．92D ．24．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若52PF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．12y x=± B ．2y x =± C ．3y x =D ．33y x =±5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱111,B C C C 的中点，则异面直线1BD 与MN 所成的角的大小是（ ）A．30°B．45︒C．60︒ D．90︒6．椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰好为边长为2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为（）A．221 22x+=B．2212xy+=C．22142y x+=D．22142x y+=7．已知函数()()sin(,0,0,)2f x A x x R Aπωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则()f x的解析式是()A．()()2sin6f x x x Rππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭B．()()2sin26f x x x Rππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭C．()()2sin3f x x x Rππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭D．()()2sin23f x x x Rππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭8．当1x=是函数()22()233xf x x ax a a e=+--+的极值点，则a的值为（）A．-2 B．3 C．-2或3 D．-3或29．设函数()3xf xmπ=．若存在()f x的极值点x满足()22200x f x m⎡⎤+<⎣⎦，则m的取值范围是（）A ．()(),66,-∞-⋃∞B ．()(),44,-∞-⋃∞C ．()(),22,-∞-⋃∞D ．()(),11,-∞-⋃∞10．如图，在正方体中，，分别是为，的中点，则下列判断错误的是（ ）A ．与垂直B ．与垂直C ．与平行D ．与平行11．已知数列：1213214321,,,,,,,,,1121231234…依它的前10项的规律，这个数列的第2019项2019a 满足（ ）A ．2019110a ≤≤B ．201910a ＞C ．20191100a <＜ D ．20191110a ≤＜12．设函数()24,1{1,1x x a x f x lnx x -+<=+≥的最小值是1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞ B ．[)4,+∞ C ．(],5-∞D ．[)5,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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上海市宝山区2020届高三一模数学试卷
2019.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 若(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则||z =
2. 已知4251
λλ-=-，则λ= 3. 函数13x y -=（1x ≤）的反函数是
4. 2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一 场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有 场球赛
5. 以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是
6. 在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为
7. 不等式22|2|36x x x x -->--的解集是
8. 已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =
9. 已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相 交所得的弦长为
10. 有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是 cm （钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）
11. 已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =
12. 已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +
-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若函数1()ln f x x a x
=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A. 01a << B. 11a e << C. 111a e -<< D. 111a e
+<< 14. 下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ）
A. 2()log (41)x f x x =+-
B. ()||2cos f x x x =-
C. 2210()0
0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩ D. |lg |()10x f x =
15. 已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足的是（ ）
A. 两两垂直
B. 两两平行
C. 两两相交
D. 两两异面
16. 提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x ϕ+=+， πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）
A. 当0a >，0b >时，辅助角arctan
b a
ϕ= B. 当0a >，0b <时，辅助角arctan b a
ϕπ=+ C. 当0a <，0b >时，辅助角arctan b a
ϕπ=+ D. 当0a <，0b <时，辅助角arctan b a ϕπ=-
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边
长为2的菱形，60BAD ︒∠=，
13DD =，E 是AB 的中点.
（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；
（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）
18. 已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π
=++.
（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；
（2）若()f x a =在区间[0,]2
π
上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.
19. 一家污水处理厂有A 、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.
（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）
（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A 、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）
20. 已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22
:142
x y Γ+=相交于A 、B 两点，其中A 在第一 象限，M 是椭圆上一点.
（1）记1F 、2F 是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；
（2）若点M 、A 关于y 轴对称，当MAB 的面积最大时，求直线MB 的方程；
（3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P 、Q ，证明：||||OP OQ ⋅为定值.
21. 已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数）
，且2n a += ln n n b a =（n ∈*N ）.
（1
）证明：2n b +>
（2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32
n n b -=--； （3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 3 3. 31log y x =+，(0,1]x ∈ 4. 212
66C = 5. 223()92
x y ++= 6. 9- 7. (4,)-+∞ 8. 2k =±
9. 10. 4.5 11. 47- 12.
二. 选择题
13. C 14. A 15. B 16. B
三. 解答题
17.（1）V =
；（2）5arccos 8
. 18.（1）T π=，1(,)2122k ππ--，k ∈Z ；（2）123x x π+=. 19.（1）7小时；（2）17小时.
20.（1）6M x =-+；（2）当且仅当4πθ=时，max ()MAB S =V
此时:0MB l x +=；（3）证明略.
21.（1）证明略；（2）证明略；（3）存在，1(,]2
t ∈-∞.。