1.3 工程电磁场分析的数理基础3

当媒质之一是完纯导体时，完纯导体内部不存在时变电磁场，此时：
ห้องสมุดไป่ตู้ E1 0 n B1 0
完纯导体表面没有电场切向分量，即电场与导体表面垂直 完纯导体表面没有磁场法向分量，即磁场与导体表面相切
1.8 电介质极化场的分析
• 静态电场中媒质按其导电特征分为：导电体（即导体）和绝缘 体（电介质）两大类。 • 典型电介质的电导率较良导体的电导率要小1020倍，因此认为电 介质是不导电的。 • 按电介质的极化机理分析，可归结为两种情况：
• 对于各向异性介质，根据式（1-72），介电常数e将 一般化表示为一个二阶张量，有九个分量，
– 但若限于讨论均匀各向同性的电介质，则e简化为一个标量。
• 有损介质：在时变电场中，通常按电导率g与we之间 数量大小关系来区分良导体、理想介质和有损介质。
• 由于外电场随着时间改变方向，介质中不论是位移极 化还是取向极的电偶极子也要随之改变方向，这样分 子之间就发生摩擦，把电场给予的能量转变成热能， 导致介质温度升高。
– 式中，e=e0(1+ce)称为介质的介电常数，而er=1+ce称为相对介 电常数。
• 式（1-77）定义得出的介电常数e是置于电场中介质极 化本质的数学描述，由此在分析电介质的电场时，
– 可以将介质理想化为具有相应几何特性的、宏观特征参数为e 的空间， – 而对于场的描述则归结为场E、D或j与空间坐标乃至时间的 函数关系。
• 对应于由拉普拉斯方程构成的第一、第二和 第三类边值问题，常分别称为狄利克雷、诺 伊曼和洛平问题。
• 注意：
– 在静态边值问题中，通常采用上述标量形 式的边界条件[（1-63）~（1-65）]。 – 但在准静态和某些静态边值问题中，也可 采用向量形式的边界条件，
• 即给定的既可以是边界上场向量E、H、A的切 向分量（Et、Ht、At），也可以是边界上场向 量B、D的法向分量（Bn、Dn）。
• 磁感应强度：根据安培环路定律在含有磁化媒质的磁 场中的应用，并由式（1-78），可得场中的磁感应强 度为
– 式中，m=m0(1+cm)为磁化媒质的磁导率；mr=1+cm称为相对 磁导率。
• 这样，在分析媒质中的磁场时，可将该磁化媒质理想 化为具有相应几何特性的、宏观特征参数为m的空间， 从而对于场的描述即归结为场函数B、H、A或jm与 空间坐标乃至时间的函数关系。
• 实际上，电磁学中还根据实际问题推导出了 很多种第三类边界条件。如
– 将海洋、地表等有耗介质视为阻抗边界； – 根据散射场特性导出的局域吸收边界条件； – 根据波导传输模式导出的吸收边界条件。
对于准静态问题： • 如果场域扩展至无界空间，则作为定解条件还必须给 出无限远处的边界条件。 • 对于场源分布在有限区域的无界场问题，在无限远处 （r→∞）应有 。这表明ru在无限远处是 有界的，即场函数u在无限远处取值为零：
M 0 ，即m(r’)=0，此时将 – 对于均匀磁化媒质， 仅在均匀磁化媒质表面存在面磁荷密度sm。
– 应该指出，至今，预言中的磁单极子尚未发现， 但由于磁荷产生的磁化场为无旋场，所以可引入 标量磁化jm，从而对于许多工程磁场问题的分析 计算，得以构成简便而有效的数值分析方法。
• 若引用环形微电流所对应的磁偶极子概念，
简单说明
1.7.1 初始条件和边界条件
• 可以看出，各状态下场向量H、B、E、J和位 函数的微分方程，均属于一元二次线性偏微分 方程。
• 这类偏微分方程定解问题的定解条件应包含给 定待求场函数u(r, t)的初始条件和边界条件。
（１）初始条件
•
１）与时间坐标t相联系，给出初始瞬 间待求场函数u在场域各处的值
– 式中，en为介质界面上的外法向单位向量。
• 极化电场：类比于自由电荷产生的电场，对 介质外场点，极化电荷所产生的极化电场为
– 式中，r和r’分别表示场点和源点的位矢，因此向 量差r-r’就表示由源点到场点的距离向量R。
• 对于均匀极化介质： P 0 ，即p(r’)=0，此时将仅 在介质表面存在面极化电荷密度sp。 • 电位移矢量：基于高斯通量定理，通过极化电荷的引 入，可以定义电位移矢量为
• 对于理想化的工程电磁场问题，有一类所谓均匀场中 电磁现象或过程的分析计算问题。理想化的无限远处 的边界条件应由均匀场的条件给出，可记为
1.7.3 不同媒质分界面上的边界条件
• 在不同媒质分界面上场量E、H、D、B不连续，此时 分界面上场点的MAXWELL方程组的微分形式已失 去意义。 • 为此，必须按媒质的物理性质，分域定解处置。给出 不同媒质分界面上的边界条件（亦称为衔接条件或内 边界条件）。 • 推导不同媒质分界面上场量所必须遵循的物理条件， 以无限趋近于界面的极限情况为分析的最终依据，由 制约有限空间内场量间关系的MAXWELL方程组的 积分形式着手，导出不同媒质分界面上的边界条件。
就位于分界面上的场点而言，麦克斯韦方程组的微分形式已失去意义，为此，必须按媒 质的物理性质，分域定解处理。这样，作为定解条件的又一方面，必须给出不同媒质分界面 上的边界条件。
n ( D1 D2 ) s
在的面电荷密度 s
D 的法向分量一般是不连续的，其不连续值相当于在界面上可能存
– – 在该导体内部将不存在时变电磁场， 而同时具有以下特征：
• • １）导体表面电场为一与面电荷密度s = Dn相关联的法向电 场； ２）导体表面磁场为一与面电流密度K=Ht相关联的切向磁场；
•
对于准静态电磁场，由电荷守恒定律（1-15）还可 导出另一相应于不同媒质分界面上的边界条件为
不同媒质分界面上的边界条件
– 所以，为分析媒质与时变电场的相互作用，还需引入复数形 式的所谓等效介电常数e’e=e-jg/w，用以表征媒质极化和相伴 随的热损耗的物理性质。
1.9 媒质磁化场的分析
• 置于磁场中的媒质，按其磁化特性可分为：顺磁性、 反磁性、铁磁性、铁淦氧磁性、反铁磁性五大类磁性 物质。
• 有关磁场中磁化媒质特性的描述，可以归结为两种概 念的分析处理方法：
• 在各向同性的线性媒质中，表征电介质极化 程度的极化强度向量P与介质中的合成电场强 度E成正比，即
– 式中，ce称为电介质的极化率，为一无量纲的纯数。
• 对于各同异性介质，极化率将是一个三维二 阶张量
– 共有九个分量，当材料不均匀时，每个分量都是 各质点坐标的函数。
• 极化电荷：根据电磁场理论关于极化电荷与 极化强度之间关系的分析，可以导出极化电 荷的体密度p与面密度sp分别为
•
–
以en和et分别表示界面处法向和切向的单位向量，其 结论是：
（１）E的切向分量总是连续的，即
–
（２）H的切向分量一般是不连续的，其不连续值相当于 界面上可能流过的面自由电流密度值K，即
式中，K亦称电流线密度（A/m），它的方向沿界面切向且 与H1t和H2t正交，并规定按H1t绕行的右螺旋法则定义其正 向。
• 对应于均匀各向同性的线性磁化媒质，m为一常量， 例如，铜、铝、锌等常用导电媒质在磁场中的特性， 均可由其磁导率m≈m0来表征； • 对于铁磁物质来说，存在磁饱和的物理现象，其实质 即在于铁磁材料磁化场的非线性。此时表征铁磁材料 特性的磁导率m将是一个取决于场强变化的特征参数， 即m=m(H)（若计及铁磁材料的磁滞特性，则将呈现非 单值的B—H的非线性关系）。对含有铁磁物质的磁 场问题的研究，必须归结为相应的非线性偏微分方程 的定解问题。
• 按磁荷概念，磁化场分析完全可以类比 于电介质极化场的分析。
– 在各向同性的线性媒质中，表征媒质磁化 程度的磁化强度M与磁场强度H成正比，即
• 式中，cm称为磁化率，为一无量纲的纯数。
– 由磁荷与磁化强度之间关系的分析，可导 出等效磁荷的体密度m和面密度sm分别为
– 同前理，对于磁化媒质以外的场点，磁荷在真空 中产生的磁化场可由标量磁位jm和磁场强度H表 示为
n ( B1 B2 ) 0 n ( E1 E2 ) 0 n ( H1 H 2 ) J s
B 的法向分量总是连续的 E 的切向分量总是连续的 H 的切向分量一般是不连续的， 其不连续值相当于在界面上可能流
过的面自由电流密度值 J s
– 当f2(rb, t)取值为零时，称为第二类齐次边界条件。
•
３）给定的边界S上的场函数与其法向导数的线性 组合
称为第三类边界条件。
• 仅含初始条件的定解问题称为初值问题（柯 西问题）；
• 没有初始条件而只有边界条件的定解问题称 为边值问题； • 既有初始条件又有边界条件的定解问题，则 称为混合问题（亦称初边值问题）。
– 一是分子中的束缚电荷受力发生相对位移，形成感生电偶极子的位 移极化现象； – 另一是极性分子中因正、负电荷作用中心不相重合而形成的电偶极 子，在外电极作用下，该电偶极子发生转向，形成永久偶极子的取 向极化现象。
• 极化现象均导致电介质内部或表面呈现极化电荷，这种极化电 荷在真空中产生的极化电场与真空中的外电场相叠加，形成有 电介质存在时的合成电场。
1.7.2 无限远处的边界条件
对于辐射问题： • 如果求解区域是开放的，则需给出电磁场在无穷远 处的性质，或者说，需知道电磁场在无穷远处满足 的边界条件。
– 为此，可假设：空间中任一点的电磁场的能量都是有限的， 任何源所产生的电磁能量也是有限的。
• 索末菲（Sommerfeld）辐射条件：如果限定电磁场 源和物体均处于自由空间并位于距坐标原点有限距 离内，则电磁场满足下面条件：
– 则在由磁偶极子连续分布所表征的磁化媒质中， 体磁化电流密度Jm和面磁化电流密度Km与磁化 强度之间的关系，分别为
• 式中，en为磁化媒质表面处的外法向单位向量。
– 同样，类比于自由电流产生的磁场，对磁化媒质 外的场点，等效磁化电流在真空中产生的磁化场， 可由向量磁位A和磁感应强度B分别表示为