金融工程定价模型：期权定价
《期权定价模型》课件
03
投资组合绩效评估
通过期权定价模型计算投资组合 的绩效指标，评估投资组合表现
。
02
投资组合调整
根据市场走势和投资者需求，调 整投资组合中的期权和其他资产
。
04
投资组合再平衡
定期或不定期地重新调整投资组 合，以保持其与投资者风险偏好
和投资目标的匹配。
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02
期权定价模型简介
几种常见的期权定价模型
Black-Scholes模型
二叉树模型
基于一系列假设条件，通过随机微分方程 来描述期权价格的运动过程，并给出了欧 式期权价格的解析解。
一种离散时间模型，通过模拟标的资产价 格的上升和下降来计算期权价格，适用于 美式期权和欧式期权。
三叉树模型
有限差分模型
市场中不存在可以通过买 卖标的资产和衍生品来获 得无风险利润的策略。
市场中存在足够的标的资 产供买卖，且交易成本为 零。
即投资者可以以一个固定 的无风险利率无限借贷。
即标的资产价格的波动率 在整个期权存续期内保持 不变。
定价模型的适用范围
欧式期权：适用于只能在到期 日行权的期权。
美式期权：适用于在到期日之 前任何时间都可以行权的期权
。
股票期权、期货期权、利率期 权等：适用于各种类型的金融 衍生品。
长期期权、短期期权：适用于 不同存续期的期权。
03
Black-Scholes模型
模型的基本假设
假设1
股票价格变动符合几何布朗运 动，即股票价格连续变动，并
且其收益率服从正态分布。
假设2
市场无摩擦，即没有交易费用 和税收，所有证券都可以无限 分割。
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。
在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。
这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。
利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。
然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。
因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。
其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。
该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。
此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。
总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。
布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。
为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。
在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。
这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。
金融学十大模型
金融学十大模型金融学是研究资金在时间和空间上的配置和交换的学科，它关注的是资源的配置和风险的管理。
在金融学中，有许多重要的模型被广泛应用于理论研究和实际应用。
本文将介绍金融学领域里的十大模型，并分别进行详细的解析。
1. 资本资产定价模型（CAPM）资本资产定价模型是描述资本市场证券价格与其预期收益之间关系的理论模型。
它将资产的预期收益与市场风险相关联，通过风险溢酬来衡量资产的预期收益。
2. 期权定价模型（Black-Scholes模型）期权定价模型是用来计算期权价格的数学模型。
Black-Scholes模型是最为著名的期权定价模型之一，它通过考虑股票价格、期权行权价格、波动率、无风险利率等因素，来估计期权的公平价格。
3. 资本结构理论（Modigliani-Miller定理）资本结构理论是研究公司资本结构选择和公司价值之间关系的模型。
Modigliani-Miller定理指出，在没有税收和破产成本的情况下，公司的价值与其资本结构无关。
4. 有效市场假说（EMH）有效市场假说认为市场价格已经充分反映了所有可得到的信息，投资者无法通过分析市场数据获得超额收益。
EMH对于投资者的决策和资产定价具有重要的指导意义。
5. 金融工程模型（Black-Scholes-Merton模型）金融工程模型是应用数学和计量经济学方法来研究金融市场的模型。
Black-Scholes-Merton模型是其中最为著名的模型之一，它被广泛应用于期权定价、风险管理和金融衍生品的设计与定价等领域。
6. 信息传播模型（Diffusion Model）信息传播模型用于解释市场中信息的传播和价格的形成过程。
它假设市场参与者根据自身的信息和观点进行交易，通过交易行为将信息传递给其他参与者，从而影响市场价格的变动。
7. 多因素模型（Multi-Factor Model）多因素模型是用来解释资产收益率与市场因素和其他因素之间关系的模型。
它考虑了多个因素对资产收益率的影响，有助于投资者理解资产价格波动的原因。
金融学中的期权定价模型
金融学中的期权定价模型在金融学领域中，期权是一种金融工具，赋予持有人在未来某个特定时间以特定价格购买或出售标的资产的权利。
期权定价模型是为了确定期权合理价格的数学模型。
本文将介绍金融学中常用的期权定价模型，包括布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型。
布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）是最为著名和广泛使用的期权定价模型之一。
该模型于1973年由费舍尔·布莱克（Fisher Black）和米伦·斯科尔斯（Myron Scholes）共同提出，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
布莱克-斯科尔斯模型基于一系列假设，包括标的资产价格服从随机几何布朗运动、市场无摩擦、无交易成本等。
根据这些假设，该模型通过偏微分方程推导出了期权的定价公式。
该公式可以用来计算欧式期权的价格，在交易中发挥了重要的作用。
风险中性定价模型（Risk-Neutral Pricing Model）是另一种常用的期权定价模型。
该模型的基本原理是假设市场参与者对风险持中立态度，即市场对未来价格的期望值等于当前价格。
根据这个假设，风险中性定价模型通过建立与衍生品价格相关的风险中性测度，将期权的定价问题转化为风险中性测度下的期望值计算。
相对于布莱克-斯科尔斯模型，风险中性定价模型更加灵活，可以应用于更复杂的市场情况，并且可以解决了一些布莱克-斯科尔斯模型无法解决的问题。
除了布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型，金融学中还有其他的期权定价模型，如扩散模型、二叉树模型和蒙特卡洛模拟等。
这些模型都有各自的优势和适用范围，可以根据具体情况选择合适的模型进行期权定价。
需要注意的是，期权定价模型只是一种理论框架，模型的有效性和适用性需要在实践中进行验证。
实际应用中，投资者还需要考虑市场流动性、实际交易成本、波动率预测等因素，并结合自身的投资策略进行决策。
总结而言，金融学中的期权定价模型是为了计算期权的合理价格而设计的数学模型。
金融衍生品定价模型
金融衍生品定价模型金融衍生品是一种金融工具，其价值来源于基础资产或指标的变动。
为了准确地定价金融衍生品，金融市场中涌现了各种定价模型。
本文将介绍几种常见的金融衍生品定价模型，并分析其优缺点。
一、期权定价模型期权是一种金融衍生品，它赋予持有者在未来某个时间点以特定价格购买或出售某个资产的权利。
期权定价模型的目标是确定期权的公平价值。
著名的期权定价模型包括布莱克-斯科尔斯模型和它的变种。
布莱克-斯科尔斯模型是一种基于随机漫步理论的期权定价模型。
它假设市场价格的变动是随机的，并且基于风险中性的假设，通过建立一个偏微分方程来计算期权的公平价值。
该模型的优点是简单易懂，计算方便，适用于欧式期权。
然而，该模型的假设过于理想化，不适用于市场实际情况。
二、期货定价模型期货是一种金融衍生品，它是一种标准化合约，约定在未来某个时间点以特定价格交割某个资产。
期货定价模型的目标是确定期货的公平价值。
期货定价模型主要有成本理论和无套利定价理论。
成本理论认为期货价格应该等于资产的成本加上一定的风险溢价。
该模型的优点是简单易懂，适用于标的资产的成本可以明确计算的情况。
然而，该模型忽略了市场供求关系对期货价格的影响，不适用于市场流动性较差的情况。
无套利定价理论认为在无套利机会的情况下，期货价格应该等于标的资产的现值。
该模型的优点是考虑了市场供求关系对期货价格的影响，适用于市场流动性较好的情况。
然而，该模型的计算较为复杂，需要考虑多个因素的影响。
三、利率衍生品定价模型利率衍生品是一种以利率为基础的金融衍生品，如利率互换、利率期权等。
利率衍生品定价模型的目标是确定利率衍生品的公平价值。
利率衍生品定价模型主要有利率期限结构模型和利率随机过程模型。
利率期限结构模型假设利率的变动是由市场上的利率衍生品价格决定的。
该模型的优点是简单易懂，适用于市场流动性较好的情况。
然而，该模型忽略了利率的随机性，不适用于市场流动性较差的情况。
利率随机过程模型假设利率的变动是由随机过程决定的。
金融工程中的期权定价模型
金融工程中的期权定价模型一、期权定义期权是金融工具中的一种，是指在未来某个时间，按照约定的价格、数量和期限，有权买入或者卖出某种标的资产的一种金融合约。
通过买入期权，持有人可以在未来某个时间以约定的价格买进标的资产；通过卖出期权，交易人可以获得期权费用，承担未来某个时间按照约定价格进行买卖的义务。
期权的本质是对未来的权利，是一种寄予了未来的期望和信心。
二、期权定价方法期权定价是指通过计算期权价格，来实现期权交易的方法或模型。
期权定价的理论基础主要包括两个主流模型：布莱克-斯科尔斯模型和考克斯-鲁宾斯坦模型。
下面我们分别来介绍一下这两种期权定价模型。
1. 布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型，是由弗兰克-布莱克和梅伦-斯科尔斯在1973年提出的一种期权定价模型。
这个模型的核心思想是将期权看作是一种债券和股票组成的投资组合，通过对这个投资组合的定价，来推导出期权的价格。
布莱克-斯科尔斯模型的核心公式如下：C = SN(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - SN(-d1)其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格；S表示标的资产的价格，X表示行权价格；N()表示标准正态分布函数的值，其中d1和d2分别表示如下：d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2)t] / σ√td2 = d1 - σ√t这个模型中，需要考虑的参数有标的资产的价格S、行权价格X、波动率σ、存续期t、无风险利率r。
其中，波动率是最重要的参数，它的大小决定了标的资产的风险水平，因此，布莱克-斯科尔斯模型中的波动率是需要通过历史数据或者其他方法进行计算和估算的。
2. 考克斯-鲁宾斯坦模型考克斯-鲁宾斯坦模型，是由约翰-考克斯和斯蒂芬-鲁宾斯坦在1979年提出的一种期权定价模型。
这个模型的最大特点是引入了离散时间的概念，将连续时间的布莱克-斯科尔斯模型离散化，以适应实际的市场需求。
《金融工程PPT》第十三章 期权定价模型
V0
e10%
e10% 1.25
0.75 0.75
25
0
16.07
则一份欧式看涨期权现在的价格为=16.07
6
二、看涨期权单步二叉树模型
金融工程课程
（二）风险中性定价机制
在风险中性的假定下，可以得到下面两个结论：
1. 所有可交易股票的期望收益率为无风险利率； 2. 未来资产的当前现金流可以根据其期望值按无风险利率贴现而得到。
S0u mi d i
i 0,1,2,3m
如果时刻m△t在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S0 (1 )u mi d i
i 0,1,2,3m
10
第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用
金融工程课程
二、美式期权的二叉树定价模型
美式期权与欧式期权的区别是美式期权可以在期权合约到期前的任何时点执行 权利，而欧式期权则仅可在到期日执行权利。 事实上，在运用二叉树方法求当前的期权价格时，前提假设条件是期权的定价者 ，对于二叉树上所有节点上的信息是知道的。求美式期权的当前价格时，在每个 二叉树的节点上，期权持有者可以有两个价格选择，一个是立刻执行期权获得收 益，另一个选择是持有期权继续等待，继续等待相当于选择了与欧式期权一样的 期望价值。这样，美式期权的价格计算与欧式期权的价格计算的路径基本相同， 都是由期末的期权价值向后递推而来的。不同之处是在每一个节点处，期权的持 有者可以选择上述两种收益中的较大者作为向后递推的价格依据。
V0 ert p*Vu (1 p* )Vd
p* e rt d ud
5
二、看涨期权单步二叉树模型
金融工程课程
金融工程学期权定价的数值方法课件
ud
PPT学习交流12来自同样，在风险中性世界中，股票期权未来 价格的期望值按无风险利率贴现的现值必须等 于该期权当前的价格，即
fe rf(T t) p fu (1 p )fd
其中
erf (T t) d p
ud
PPT学习交流
13
例：
假设一种不支付红利股票目前的市价为10 元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11 元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于 10%，则一份3个月期以该股票为标的资产，且 执行价格为10.5元的欧式看涨期权的价值是多少？
ud
fd
E S T p S u 1 p S d S 0 e r fT t
f0p fu 1 pfde r fT t
PPT学习交流
11
风险中性定价原理 假定股票的上升概率为p。在风险中性世界 中，股票未来价格的期望值按无风险利率贴现 的现值必须等于该股票目前的价格，因此有
S e r f( T t)u S p d S ( 1 p )
构造无风险组合：
S0 : c :1
因为无风险，则有
u S T c u d S T c d
2 2 1 1 8 0 0.25
S0
c0
uST cu
1rf Tt
c0 0.631068
S 0 c 0 d S T c de rfT t
c0 0.632995
PPT学习交流
2
例：S020;Xc 21;u110%;
7
⒋ 美式期权的两步二叉树定价法
定价的过程从二叉树的末端开始倒推到起 始点，在每个节点上必须检验期权是否会被提 前执行，如果会被提前执行，则以行权收益为 该节点的期权价格，否则按照标准公式计算期 权价格，末端节点的价格均按照欧式期权计算。
第十二章 期权定价理论 《金融工程学》PPT课件
➢ 由于方程中不存在风险偏好，那么风险将不会对其解产生影响，因此 在对期权进行定价时，可以使用任何一种风险偏好，甚至可以提出一 个非常简单的假设：所有投资者都是风险中性的
12.2布莱克—斯科尔斯（B-S）模型
（6）Black－Scholes期权定价公式 Black－Scholes微分方程，对于不同的标的变量 S 的不同衍生证券，会 有许多解，解这个方程时得到的特定衍生证券的定价公式 f 取决于使用 的边界条件，对于股票的欧式看涨期权，关键的边界条件为： f=Max（ST－K，0） （12—28） 由风险中性可知，欧式看涨期权的价格Ｃ是期望值的无风险利率贴现的
第12章 期权定价理论
12.1 期权价格概述
➢ 12.1.1期权定价概述
➢ 在所有的金融工程工具中，期权是一种非常独特的工具。因为期 权给予买方一种权利，使买方既可以避免不利风险又可以保留有 利风险，所以期权是防范金融风险的最理想工具。但要获得期权 这种有利无弊的工具，就必须支付一定的费用，即期权价格
一定的假设条件下得到的，这些条件包括：股票价格满足布朗运动；
股票的收益率服从正态分布；期权的有效期内不付红利。该公式的不
足之处是它允许有负的股票价格和期权价格，这显然和实际是不相符
合的，而且该公式没有考虑货币的时间价值。由于其理论的不完备，
计算结果的不准确，再加上当时市场的不发达，因此该定价公式在当
N（d）=
1
d
e
x2
2
dx
2
（12—3）
这些公式都应有以下假设： （1）没有交易费。 （2）可以按无风险利率借入或贷出资金
12.2布莱克—斯科尔斯（B-S）模型
➢ 对期权的定价理论进行开创性研究的学者是法国的Bachelier。1900
金融工程第9章 股票期权定价公式
0.17 0.22 / 2 0.15
标准差为 20%。因为一个正态分布的变量有 95%的可能性落在 其均值两侧 2 倍的标准差范围内，一年后我们得到的实际收益率每年 在-25%和+55%之间的可信度为 95%。
预期收益率
dS dt dz
1. 股票价格的对数正态性质
对数正态分布
如果变量的对数遵循标准正态分布，则变量本身遵循的是对数正态 分布
假设股票价格随时间的变化遵循的是对数正态分布
股票收益（股价的变动）的对数遵循的是正态分布 如果股价从100涨到110，收益率为10%，但是收益变动的对数为ln
（110/100）=0.0953 收益的对数表示的实际上就是连续复利收益率，100exp（0.0953）
1、股票价格的预期增长率会发生变化 2、用来计算衍生证券收益的折现率也发生变化
这两种变化是能够完全抵销的
风险中性定价在远期合约的应用
到期时合约价值： 期初合约的价值：
12.16 12.17
12.18 12.19
Black-Scholes定价公式
期初时，欧式看涨期权和看跌期权的Black-Scholes定价公式分别是：
S : 股票价格变化
c 欧式看涨期权的价格变化
c 0.4S
无风险证券组合应包括： 1、0.4单位的股票多头； 2、1单位的看涨期权的空头
BSM模型与二叉树模型的区别
1、B-S-M模型的时间间隔非常短； 2、套期比率必须随时调整； 3、必须保证每个时刻都能完全对冲风险
BSM微分方程的推导
股票价格运动模型：
40e0.160.5 43.33
方差为
402 e20.160.5 e0.20.20.5 1 37.93
期权定价模型介绍
期权定价模型介绍期权是指其中一方在合约规定的时间内，以合约规定的价格购买（或出售）一定数量的标的资产的权利。
期权作为一种金融衍生品，其价格可以由期权定价模型来确定。
期权定价模型的目标是为了找出一个公平的价格，使买方和卖方在交易中没有不利的地位。
最早的期权定价模型是1973年由Black、Scholes和Merton提出的Black-Scholes-Merton模型（BSM模型）。
该模型假设市场中不存在无风险套利的机会，并且标的资产的价格满足几何布朗运动。
BSM模型使用了随机微分方程与偏微分方程的方法，利用股票价格、期权执行价格、无风险利率、标的资产波动率以及到期时间等变量来计算期权的价格。
BSM模型的基本原理是将期权的价值分解为两个部分：delta和vega。
Delta表明期权价格对标的资产价格的变动的敏感度，而vega则表明期权价格对波动率的变动的敏感度。
BSM模型通过动态对冲策略来调整delta的大小，并通过对冲操作来避免无风险套利的机会。
BSM模型的假设条件是非常严格的，因此它并不适用于所有的情况。
后续的研究对BSM模型进行了改进和扩展，提出了多种不同的期权定价模型。
其中比较有代表性的是二叉树模型、蒙特卡洛模型和波动率曲面模型等。
二叉树模型使用一个二叉树来模拟标的资产价格的随机过程。
从根节点开始，每一步向上或向下移动，直到到达期权到期日。
通过计算每一步的价格和概率，可以得到到期时期权的价值。
二叉树模型相对于BSM模型的优势是更加灵活，可以处理更加复杂的市场情况。
蒙特卡洛模型通过模拟大量的随机路径来估计期权的价格。
在每一个时间步骤上，生成一个随机数，根据随机数和标的资产价格的变动方程计算出未来的价格。
重复这一过程，最终可以得到到期时期权的价值的分布。
蒙特卡洛模型的优势是可以处理更加复杂的市场情况，但计算量较大。
波动率曲面模型使用波动率曲面来刻画标的资产价格波动率与期限之间的关系。
该模型认为波动率并不是恒定的，而是根据期限的不同而变化的。
金融工程(6.14)第六章(一)
一、布莱克—斯科尔斯模型
• “布莱克—斯科尔斯模型”是一个对金融理论、 商业实践及经济运行及其他有关领域产生巨大影 响的模型。这在社会科学中是比较罕见的。
• 费谢尔·布莱克(Fisher Black)曾是芝加哥大学的 教授，后就职于高盛公司(Goldman Sachs)；迈 隆·斯科尔斯(Myron Scholes)原是斯坦福大学的 教 授 ， 后 加 盟 长 期 资 本 管 理 公 司 (Long-Term Capital Management, LTCM)。后者曾因此而获 得诺贝尔经济学奖。
且也不存在税收问题。
• 资产交易是连续的，价格变动也是连续的（连续 复利）
• 收益率呈对数正太分布 • 金融市场上的投资者都是风险中立者
4
C S N(d1 ) KerT N(d 2 )
d1
ln
S K
r T
2 2
T
d2
T
；d2
二、二叉树期权定价模型
• 二叉树期权定价模型就是将这一时期细分成 若干个时间区间，并假设在这一特定时段里 基础资产的价格运动将出现两种可能的结果， 然后在此基础上构筑现金流动的模式和推导 期权的价格。
12
二项式期权定价模型的假设
• 最基本的模型为不支付股利的欧式股票看 涨期权定价模型；
• 股票市场和期权市场是完全竞争的，市场 运行是非常具有效率的
d1
ln
S K
r T
2 2
T
ln
110 105
0.08 0.25
0.25 2
2 0.75
0.75
郑振龙版金融工程期权定价模型
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把 变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我 dx 们就可以得到 a( x, t )dt b( x, t )dz ， 这就是伊藤过程（Ito Process） 其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t 的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
2
T
2、股票价格对数收益率服从正态分布 由于dG实际上就是连续复利的对数收益率。因此 几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循普通布朗运动， 对数收益率的变化服从正态分布，对数收益率的标准差与 时间的平方根成比例。
:
1、几何布朗运动中的期望收益率。 2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、 无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉 及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是， 我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收 益率 是无关的。
2
)dt dz
从以上分析，我们可以得到两点重要结论： 1、几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。 令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时 刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将来时刻） ln 的证券价格，则在T－t期间G的变化为： S T ln S
这意味着：ln ST ln S ~ [(
2
2
)(T t ), T t ]
进一步从正态分布的性质可以得到：
ln ST ~ [ln S (
2
2
)(T t ), T t ]
也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一 个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数 正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分 (T t ) E(S T 布的特性，以及符号的定义，我们可以得到 ) Se 和 S ) S 2 e 2 (T t ) [e (T t ) 1] var(
金融市场的期权定价
金融市场的期权定价期权是金融市场中一种重要的衍生品工具，它给予买方权利但不强制去购买或卖出某一资产的权利。
期权的价格是通过一种叫做期权定价模型的数学工具来确定的。
本文将探讨金融市场中期权定价的基本原理和常用的期权定价模型。
一、期权定价原理期权定价的基本原理是基于无套利原则，它认为在没有风险的情况下，市场上相同资产应有相同价格。
假设有两个具有相同风险特征的投资组合，如果它们的收益是相同的，那么它们的价格也应该相同。
如果它们的价格不同，那么就可以通过套利操作来获取无风险利润。
二、期权定价模型目前，市场上有很多用于期权定价的数学模型，其中最著名的是“Black-Scholes期权定价模型”。
这个模型是由Fisher Black和Myron Scholes于1973年提出的。
Black-Scholes模型假设了市场中不存在套利机会，以及期权在到期日之前可以无限次进行交易等。
该模型通过一组偏微分方程来计算买方在到期日可以获得的期权价格。
除了Black-Scholes模型之外，还有一些其他的期权定价模型，比如“Binomial期权定价模型”和“Monte Carlo期权定价模型”。
这些模型在一些特定场景下有着更高的精确度和更广泛的适用性。
Binomial模型通过构建股票价格的二叉树模型，逐步计算期权价格。
Monte Carlo模型则通过随机数模拟来计算期权价格。
三、影响期权价格的因素除了期权定价模型本身，还有一些因素会对期权的价格产生影响。
其中最重要的因素是期权的执行价格、标的资产价格、无风险利率、期权的到期时间和标的资产的波动率。
执行价格是买方在到期日可以购买或卖出标的资产的价格，执行价格越低，期权价格越高。
标的资产价格的波动越大，期权的价格也越高。
无风险利率的升高会导致期权价格的降低，而期权的到期时间越长，期权价格越高。
四、期权定价的实际应用期权定价在金融市场中有着广泛的应用，特别是在期权交易和风险管理方面。
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是用于计算期权价格的数学模型。
它的目的是通过考虑不同的因素和变量来估计期权价格，以便投资者可以在进行期权交易时做出明智的决策。
期权是一种金融工具，给予购买者在特定期限内以约定价格购买或出售某种资产的权利。
期权分为两种类型：看涨期权和看跌期权。
看涨期权授予购买者在未来某个时间点以约定价格购买资产的权利，而看跌期权则授予购买者在未来某个时间点以约定价格出售资产的权利。
期权定价模型最为被广泛接受和使用的是布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）。
该模型于1973年由弗ィ舍尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯开发。
这个模型基于了以下假设：市场是完全有效的，不存在无风险套利机会，资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型利用了几个变量来计算期权价格，包括资产价格、行权价格、无风险利率、到期日和资产价格的波动率。
这些变量被组合成一个数学方程，可以通过计算得出期权的理论价格。
除了布莱克-斯科尔斯模型，还有其他的期权定价模型，如考虑了股利支付的扩展布莱克-斯科尔斯模型（Extended Black-Scholes Model）、考虑了远期价格的黑-92模型（Black-92 Model）、实践中广泛使用的哥莫兹模型（Geske Model）等等。
这些模型的应用范围涵盖了各种期权交易策略，包括常见的看涨看跌期权交易、套利交易策略等。
然而，期权定价模型并不是完美的，它们基于了一系列的假设和简化，因此并不能完全准确地预测期权价格。
此外，市场条件的变化和实际操作中的问题也可能导致期权定价与实际价格之间存在差距。
因此，投资者在使用期权定价模型计算期权价格时，应考虑到这些局限性并结合其他因素做出决策。
综上所述，期权定价模型是计算期权价格的数学模型。
它的应用范围广泛，并且可以帮助投资者做出明智的决策。
然而，使用期权定价模型时需要考虑到模型的假设和简化，同时结合其他因素进行综合分析。
《2024年期权定价方法综述》范文
《期权定价方法综述》篇一一、引言期权定价是金融领域中一个重要的研究课题，它涉及到金融工程、投资策略和风险管理等多个方面。
随着金融市场的不断发展和复杂化，期权定价方法也在不断地演进和改进。
本文将对现有的期权定价方法进行综述，分析各种方法的优缺点及适用范围。
二、经典期权定价模型1. 黑-舒尔斯（Black-Scholes）模型黑-舒尔斯模型是最为广泛应用的期权定价模型之一。
该模型基于无套利原则，假设标的资产价格服从几何布朗运动，并考虑了标的资产价格、执行价格、无风险利率、到期时间以及波动率等因素。
黑-舒尔斯模型为欧式期权提供了明确的定价公式，但在实际运用中仍需根据具体情况对模型参数进行校准和调整。
优点：模型简单明了，为期权定价提供了明确的公式；考虑了多种影响期权价格的因素。
缺点：假设条件较为严格，如标的资产价格服从几何布朗运动等；对模型参数的校准和调整较为复杂。
2. 二叉树模型二叉树模型是一种离散时间的期权定价方法。
该方法通过构建一个二叉树状的价格路径图来模拟标的资产价格的可能变化，并根据这些路径计算期权的预期收益。
优点：模型较为灵活，可以灵活地调整参数以适应不同的市场环境；容易理解和实现。
缺点：对于复杂的期权和长期期权，二叉树模型的计算量较大；对短期期权的定价可能不够准确。
三、现代期权定价方法1. 局部波动率模型局部波动率模型考虑了标的资产的局部波动性，即在不同时间点上标的资产价格的波动率可能不同。
该模型通过引入局部波动率参数来描述这种波动性的变化。
优点：能够更好地反映标的资产的波动性变化；对隐含波动率的估计更为准确。
缺点：模型参数的估计较为复杂；对于非标准期权的定价仍需进一步研究。
2. 随机森林等机器学习方法在期权定价中的应用随着机器学习技术的发展，随机森林等算法也被应用于期权定价领域。
这些方法通过训练大量的历史数据来预测未来标的资产价格的变化，从而为期权定价提供依据。
优点：能够充分利用历史数据提供的信息；对非线性关系的描述更为准确。
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练习
某股票的当前价格是94美元，以该股票为标的， 协议价格为95美元、三个月买权的当前售价为 4.7美元，某投资者认为股票价格将上升，他 有两个投资策略可供选择，买入100股股票， 或者买入20份买权，拥有以协议价格买入 2000股股票的权利，投资额均为9400美元。 你会提供什么样的建议？股票价格上升到多少 时期权投资策略盈利更多？（03金融研联考8 分）（ 后一问可去掉，更难！仅投资股票或 期权或股票、期权皆有）
S
在t 时间后：
（6.16） 将式（6.12）和（6.14）代入式 （6.16），可得： f 1 2 f 2 2 ( S )（ t 6.17） 2 t 2 S 在没有套利机会的条件下： r t
f f S S
把式（6.15）和（6.17）代入上式得：
五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将 遵循如下过程（泰勒展开式；P119） G G 1 2G 2 G （6.8） dG ( a b )dt bdz 2 x t 2 x x
由于 dS Sdt Sdz （6.9） 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
2
（6.11）
证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：
ln ST ln S ~ [(
2
2
)(T t ), T t ]
以上结论可参见正态分布性质自行推导。
例6.2 设 A 股票价格的当前值为 50 元 , 预期收益 率为每年18%,波动率为每年20%,该股票 价格遵循几何布朗运动 , 且该股票在 6 个 月内不付红利，请问该股票6个月后的价 格ST的概率分布。P120(新版P196) 例6.3 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价 格的期望值和标准差等多少？ P121
续:
（一）估计无风险利率 在发达的金融市场上，很容易获得无风险利率的 估计值，但在实际应用时仍然需要注意几个问题。首 先，要选择正确的利率。要注意选择无风险的即期利 率（即零息票债券的到期收益率），而不能选择附息 票债券的到期收益率，并且要转化为连续复利的形式， 才可以在B-S-M公式中应用。一般来说，在美国人们 大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值， 在中国过去通常使用银行存款利率，现在则可以从银 行间债券市场的价格中确定国债即期利率作为无风险 利率。其次，要注意选择利率期限。如果利率期限结 构曲线倾斜严重，那么不同到期日的收益率很可能相 差很大，我们必须选择距离期权到期日最近的利率作 为无风险利率。
其中，
ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t ) d1 T t ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t ) d2 d1 T t T t
我们可以从三个角度来理解这个公式的金 融含义：重点：P125（注意前两点与二项式模型一致） 首先，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X 的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的 概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望 值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST 的风险中性期望值的现值（与二项式模型的一致性！）
标准布朗运动(2)
t 特征2：对于任何两个不同时间间隔， 和 z的值相互独立。（因而具有可加性！！） 考察变量z在一段较长时间T中的变化情 形，我们可得： N z (T ) z (0) i t （6.2） i 1 当 t0时，我们就可以得到极限的标准布朗 运动： （6.3） dz dt
四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μ S、 2 2 方差率为 S 的伊藤过程来表示： 两边同除以S得：
dS Sdt Sdz
dS dt dz S
（6.6）
说明：各位对此若有想法，可大胆假设证券价格的变 化服从新的微分方程并从理论和实践两方面证明你的 结论。
方法一：布莱克-舒尔斯期权 定价模型
பைடு நூலகம்
第一节
证券价格的变化过程
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程 1965年，法玛（Fama）提出了著名的效 率市场假说。该假说认为，投资者都力 图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速 而准确的，证券价格能完全反应全部信 息；市场竞争使证券价格从一个均衡水 平过渡到另一个均衡水平，而与新信息 相应的价格变动是相互独立的。(课本P188)
二、布莱克——舒尔斯期权定价公式
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时 E[max( ST X ,0)] （T时刻）的期望值为： r (T t ) 其现值为 c e （6.19） E[max( ST X ,0)] 对数股票价格的分布为： 2 ln ST ~ [ln S (r )(T t ), T t（ ] 6.20） 2 对式（6.19）求解： r (T t ) c SN(d1 ) Xe N (d 2 ) （6.21）
三、伊藤过程
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若 把变量 x 的漂移率和方差率当作变量 x 和时间 t 的函数，我们可以从公式（ 6.4 ）得到伊藤过 程（Ito Process）： dx a( x, t )dt b( x, t )dz (6.5） 其中， dz 是一个标准布朗运动， a 、 b 是变量 x 和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
（与当前价格、无风险收益率、时间、方差有直接关系）
（二）风险中性定价原理
假设所有投资者都是风险中性的，那么 所有现金流量都可以通过无风险利率进 行贴现求得现值。 尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱 克——舒尔斯微分方程而作出的人为假 定，但通过这种假定所获得的结论不仅 适用于投资者风险中性情况，也适用于 投资者厌恶风险的所有情况。
从（6.6）可知，在短时间后，证券价格 比率的变化值为： S t t S
S 可见， 也具有正态分布特征（有关正态分布性质自查） S
S ~ ( t , t ) S
(6.7)
例6.1(新版P196)
设一种不付红利股票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。 （答案P119;共同思考）
效率市场假说可分为三类：弱式、半强式 和强式。 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 （Markov Stochastic Process）来表述。 随机过程是指某变量的值以某种不确定的 方式随时间变化的过程。可分为离散型的 和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类 型的随机过程。（如：f=ma 系确定的方式;而f=m*N(0,1)
N (d1 )是复制交易策略中股票的数 其次， 量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2) 则是复制交易策略中负债的价值。 最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨 期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 （Asset-or-noting call option）多头和现 金或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看 涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或 无价值看涨期权空头的价值。
（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为 1.0。 (漂移率、方差率见定义：P191） 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期 望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗 运动： （6.4） dx adt bdz 其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗 运动。
f 1 2 f 2 2 f ( S )t r ( f S )t 2 t 2 S S
布莱克——舒尔斯微分分程
化简为：
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分方 程(偏微分方程)，它适用于其价格取决 于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式 （6.23）也给出了无收益资产美式看涨期权的 价值。 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关 系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价 公式 ： r (T t ) p Xe N (d2 ) SN(d1 ) （6.22） 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密 的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树 和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求 出。
S t 2 S S
f f 1 2 f 2 2 f f ( S S )t S（ z 6.14） 2 S t 2 S S
为了消除z ，我们可以构建一个包括一单位 f 衍生证券空头和 S单位标的证券多头的组合。 令 代表该投资组合的价值，则（为简化进行变量代换）： f (6.15) f S
B-S-M期权定价公式的参数估计
参见课本P206
我们已经知道，B-S-M期权定价公式中的期 权价格取决于下列五个参数：标的资产 市场价格、执行价格、到期期限、无风 险利率和标的资产价格波动率（即标的 资产收益率的标准差）。在这些参数当 中，前三个都是很容易获得的确定数值。 但是无风险利率和标的资产价格波动率 则需要通过一定的计算求得估计值。
不确定的方式）
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未 来价格的概率分布只取决于该证券现在的 价格。(阅读课本：P188)
二、布朗运动
（一）标准布朗运动 z 代表变 t代表一个小的时间间隔长度， 设 量z在时间 t 内的变化，遵循标准布朗运 动的 z 具有两种特征： z 和 t的关系满足（6.1）： 特征1： z t （6.1） （不确定的） 代表从标准正态分布 其中， （即均值为 0 、标准差为 1.0 的正态分布） 中取的一个随机值。