导数的概念及几何意义运算

一、选择题

1．若f ′(x 0)＝2，则

f (x 0－k )－f (x 0)2k 等于( ) A ．－1

B ．－2

C ．1 D.12 答案：A

3． 曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1, 则P 0点的坐标为( )

A ．(1,0)

B ．(2,8)

C ．(1,0)或(－1，－4)

D ．(2,8)或(－1，－4) 解析：设P 0点的坐标为(x 0，y 0)，由f (x )＝x 3＋x －2得：f ′(x )＝3x 2＋1，

令f ′(x 0)＝4，即3x 2

o ＋1＝4得x 0＝1或x 0＝－1，∴P 0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)． 答案：C

4．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线

的斜率为( )

A ．－15

B ．0 C.15 D ．5 解析：由已知f ′(x )是R 上以5为周期的奇函数，则f ′(5)＝f ′(0)＝0.

答案：B

5． 设f (x )在x 0处可导，则

f (x 0＋t )－f (x 0－t )t

的值等于________． 答案：2f ′(x 0)

6． 过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．

解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，由y ＝e x 知y ′＝e x ，则y ′|x ＝x 0＝e x 0，

∴y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0

＝e x 0，则x 0＝1，因此切点坐标为(1，e)．斜率为e. 答案：(1，e) e

7． 曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 所围成的三角形面积为16

， 则a ＝________.

解析：由y ＝x 3知y ′＝3x 2，则y ′|x ＝a ＝3a 2.因此切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )

即y ＝3a 2x －2a 3，令y ＝0得：x ＝2a 3，令x ＝a 得y ＝a 3根据已知条件12|a －2a 3|·|a 3|＝16

， 解得：a ＝±1.

答案：±1

1． 函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )

A ．2(x 2－a 2)

B ．2(x 2＋a 2)

C ．3(x 2－a 2)

D ．2(x 2＋a 2)

解析：f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．

答案：C

2． 与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )

A ．2x －y ＋3＝0

B ．2x －y －3＝0

C ．2x －y ＋1＝0

D ．2x －y －1＝0

解析：本小题主要考查导数与曲线斜率的关系．

设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为2x 0，由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1

＝2(x －1)，即y ＝2x －1.

答案：D

4． 设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N，

则f 2 00 5(x )等于( )

A ．sin x

B ．－sin x

C ．cos x

D ．－cos x

答案：C

5．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ⎝⎛⎭

⎫π4＝________. 解析：由已知：f ′(x )＝f ′

⎝⎛⎭⎫π2cos x －sin x ．则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1，因此 f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ⎝⎛⎭

⎫π4＝0. 答案：0

6． 曲线y ＝ln x 在与x 轴交点的切线方程为__________．

解析：由y ＝ln x 得，y ′＝1x

，∴y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝ln x 在与x 轴交点(1,0)处的切 线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.

答案：x －y －1＝0

8． 求下列函数的导数：

(1)y ＝x e 1－cos x ；(2)y ＝x cos x －sin x ；(3)y ＝sin x cos x ；

(4)y ＝x 2e x ；

解答：(1)∵y ＝x e 1－cos x ，∴y ′＝e 1－cos x ＋x e 1－cos x (sin x )＝(1＋x sin x )e 1－cos x .

(2)∵y ＝x cos x －sin x ，∴y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .

(3)∵y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，∴y ′＝(12

cos 2x )·2＝cos 2x . (4)∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝(2x ＋x 2)e x .