5-机械制图平面的投影
机械制图投影法的概念讲解
机械制图投影法的概念讲解机械制图中的投影法，是一种使用标准符号和规则，将三维物体的形状和尺寸在平面上用二维图形表示的方法。
它是工程设计和制造中不可或缺的工具，能有效地将三维的物体形态转化为二维的图形来进行分析、设计和制造等工作。
机械制图的投影法主要有正投影法和斜投影法两种，下面将对这两种投影法的概念进行详细的讲解。
正投影法是机械制图中最常用的投影法之一。
它是以直角坐标系为基础，将三维物体的各个面按照特定规则投影到一个或多个二维投影面上的方法。
在正投影法中，我们需要选择一个参考平面（称为投影面），并选择一个正交坐标系作为坐标轴。
然后，根据物体与投影面的相对位置关系，沿着各个坐标轴方向进行投影，得到物体在各个投影面上的投影图。
这样，我们就可以通过分析和测量投影图上的形状和尺寸来了解物体的特征。
正投影法主要有正射投影和斜投影两种形式。
其中，正射投影是指投影线与投影面垂直的投影方式。
在正射投影中，物体的真实形状和尺寸能够保持，但是物体的空间位置信息会失真。
斜投影是指投影线与投影面不垂直的投影方式。
在斜投影中，物体的空间位置信息能够保持，但是物体的形状和尺寸会发生变化。
根据物体的形状和特点，我们可以选择适合的投影方式来进行投影。
斜投影法是指将三维物体的各个面按照一定的倾斜角度投影到一个或多个斜投影面上的方法。
在斜投影法中，我们通常选择一个斜投影面，并根据物体在这个面上的投影特点来确定投影线的方向和长度。
斜投影法可以分为等角斜投影和等轴斜投影两种形式。
其中，等角斜投影是指投影线与投影面之间的夹角保持不变的投影方式，它能够保持物体的等角关系，但是形状和尺寸会发生变化。
等轴斜投影是指投影线与投影面之间的夹角不保持不变的投影方式，它能够保持物体的形状和尺寸，但是等角关系会失真。
除了正投影法和斜投影法，还有一些其他的投影法，如轴测投影和透视投影等。
轴测投影是指根据物体在三维空间中的位置信息和投影面的角度关系，将物体的三维形状和尺寸用特定的比例关系投影到一个或多个轴测投影面上的方法。
机械制图-点、直线、平面的投影
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
机械制图-点、线、面的投影
a " B
a' A
b'
a " W B o
b b
X
"
b
X a H Y
a
H
" Y
投影面平行线在所平行的投影面上的投 影反映实长、反映与另外两个投影面的 夹角实际大小；另两个投影平行于相应 的轴，且缩短。
V Z
d’ c’
d' c' D C d” W X d O
d”
c”
YW
c”
d
H
c
c
YH
Z
V
a到OX轴的距离= a到OZ轴的距离 aa⊥OX轴; aa⊥OZ轴;
练习：点的二求三
已知点的两个投影，可利用点的三面投影特性 求其第三个投影。
Z
a'
X O
a”
YW
aa⊥OX轴; aa⊥OZ轴; a到OX轴的 距离= a到OZ 轴的距离
a
YH
a'
aZ
Z
a''
水平面投影a 正立面投影a’
b”
a”
YW
b”
W
X
b
O
a”
a
a
YH
练习：判断下列直线的类型 并画出第三个视图
a' b' a'
b' a b
b a
练习：立体上的直线
a’
b’
a ’’
c’ d’
b ’’
(c ’’ )
(d ’’ )
a
b
c （d ）
一般位置
铅垂
练习：投影二求三
Z b’
b ’’ c ’’
机械制图平面的投影及相对位置
机械制图平面的投影及相对位置1. 引言机械制图是一种重要的工程设计辅助工具，用于显示和传达机械产品的形状、尺寸和组成部分。
在机械制图中，平面的投影和相对位置是至关重要的概念。
通过正确理解和运用这些概念，设计师可以准确地表达其设计意图，并确保实际制造的产品与设计一致。
本文将介绍机械制图平面的投影原理和相对位置的概念，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
2. 机械制图平面的投影在机械制图中，平面的投影是指将三维物体的形状在二维平面上进行表示的过程。
常见的机械制图平面投影有正投影和斜投影两种。
2.1 正投影正投影是将物体的各个点沿着垂直于平面的投影线，投影到平面上的过程。
在正投影中，平行于投影平面的线段在投影后仍然保持平行。
正投影可分为正射投影和斜投影两种类型。
•正射投影：在正射投影中，投影线垂直于投影平面。
常见的正射投影有正视图和俯视图。
•斜投影：在斜投影中，投影线与投影平面的夹角不为90度，即不垂直于投影平面。
斜投影可以提供更多的信息，如物体的形状和轮廓。
2.2 斜投影斜投影是一种将三维物体投影到二维平面上的方法，投影线不垂直于投影平面。
斜投影的优点是可以显示物体的真实形状和比例关系，但缺点是不容易确定物体的尺寸。
在斜投影中，常用的投影方法有等角度斜投影和等距离斜投影两种。
•等角度斜投影：在等角度斜投影中，投影线与平行于投影平面的线段夹角相等。
•等距离斜投影：在等距离斜投影中，投影线与平行于投影平面的线段之间的距离相等。
3. 机械制图平面的相对位置在机械制图中，平面的相对位置是指不同平面之间的位置关系。
常见的相对位置关系有平行、垂直和倾斜三种。
3.1 平行平行是指两个平面之间的投影线相互平行。
平行的平面在制图中通常使用相同的符号表示。
3.2 垂直垂直是指两个平面之间的投影线相互垂直。
垂直的平面在制图中通常使用符号。
机械制图-点、直线、平面的投影.doc
机械制图-点、直线、平面的投影机械制图主讲：朱飞第二章点、直线、平面的投影 2 2- - 1 投影法概述 2 2- - 2 点的投影 2 2- - 3 直线的投影 2 2- - 4 平面的投影 2 2- - 5 直线与平面、平面与平面的相对位置本章内容课件目录一、投影法投影面 S 投射中心 A 投射线投影 a P 2 2- - 1 投影法概述二、投影法分类投射中心中心投影法平行投影法斜投影法正投影法正投影的基本特性多面正投影图单面正投影多面正投影直观图多面正投影展开图多面正投影图二、点的三面投影展开图投影图立体图 X X X Y H Y W Z O Y Z Y H Y W Z例2 2- -1 1 已知点A 的正面投影a 和侧面投影a 求作该点的水平投影。
Y W Y H三、点的直角坐标表示法四、各种位置的点 1. 一般位置点。
到三个投影面的距离均不为零。
Y H Y W X Y2. 投影面上的点）到某个投影面的距离（一个坐标值）。
为零。
Y W YH Y3. 投影轴上的点到某两个投影面的距离（二个坐标值）为零。
Y W Y Y H五、两点相对位置 1. 一般情况两点到三个投影面的距离（坐标值）对应不等。
Y H Y Y W2. 特殊情况一两点到一个投影面的距离（坐标值）相等。
Y W Y H Y2. 特殊情况二两点到两个投影面的距离（坐标值）相等。
Y W Y H Y2 2- -3 直线的投影一、各种位置直线及投影特性 1. 一般位置直线由一般位置的两点连线构成。
该直线与三个投影面都倾斜。
投影特性: : 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。
Y W Y H Y二、特殊位置直线及特性 1. 投影面平行线在直线所平行的投影面上，投影反映实长，且该投影与相邻投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。
在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别平行于直线平行的投影面所包含的两个投影轴。
机械制图电子教案投影法
机械制图电子教案投影法第一章：投影法基础1.1 投影法的概念与意义解释投影法的定义强调投影法在机械制图中的重要性1.2 投影面的概念与分类介绍正投影面、侧投影面、俯投影面的定义与作用解释投影面的分类及应用1.3 投影规律与投影变换讲解投影规律，包括正交投影、透视投影等介绍投影变换的基本原理及应用方法第二章：点的投影2.1 点在投影面上的投影讲解点在正投影面、侧投影面、俯投影面上的投影方法强调投影线的性质与作用2.2 点的三视图解释点的三视图的概念与绘制方法强调三视图在机械制图中的重要性2.3 点的投影变换介绍点的投影变换的基本原理及应用方法讲解点的投影变换在机械制图中的应用案例第三章：直线的投影3.1 直线在投影面上的投影讲解直线在正投影面、侧投影面、俯投影面上的投影方法强调投影线的性质与作用3.2 直线的三视图解释直线的三视图的概念与绘制方法强调三视图在机械制图中的重要性3.3 直线的投影变换介绍直线的投影变换的基本原理及应用方法讲解直线的投影变换在机械制图中的应用案例第四章：平面的投影4.1 平面在投影面上的投影讲解平面在正投影面、侧投影面、俯投影面上的投影方法强调投影线的性质与作用4.2 平面在三视图中的表示解释平面在三视图中的表示方法与绘制要求强调三视图在机械制图中的重要性4.3 平面的投影变换介绍平面的投影变换的基本原理及应用方法讲解平面的投影变换在机械制图中的应用案例第五章：投影法的应用5.1 简单组合体的投影讲解简单组合体在正投影面、侧投影面、俯投影面上的投影方法强调投影线的性质与作用5.2 复杂组合体的投影讲解复杂组合体在正投影面、侧投影面、俯投影面上的投影方法强调投影线的性质与作用5.3 投影法在机械制图中的应用案例分析分析投影法在机械制图中的应用案例，强调其重要性第六章：投影法在制图中的详细应用6.1 视图的配置与展开解释视图配置的原则和意义展示如何将三视图正确配置在图纸上的方法讲解视图展开的概念和应用6.2 标注与细节描绘强调在机械制图中正确标注尺寸的重要性介绍尺寸标注的规则和方法讲解如何描绘细节，如螺纹、键、销等特殊要素6.3 制图规范与标准概述机械制图的国家标准和行业规范强调遵守规范的重要性展示规范中的常用符号和表示方法第七章：斜视图与辅助视图7.1 斜视图的应用解释斜视图的概念和作用展示如何绘制斜视图讲解斜视图在解决视图不清问题中的应用7.2 辅助视图的绘制介绍辅助视图的概念和类型展示如何绘制辅助视图强调辅助视图在复杂构件表达中的重要性7.3 简化视图与展开视图解释简化视图的概念和作用展示如何绘制简化视图和展开视图强调这些视图在表达复杂构件时的优势第八章：轴测图与透视图8.1 轴测图的基本知识解释轴测图的概念和作用展示如何绘制轴测图讲解轴测图的种类和特点8.2 透视图的绘制原理解释透视图的概念和作用展示如何绘制透视图讲解透视图的绘制方法和技巧8.3 轴测图与透视图的应用强调轴测图和透视图在机械设计中的重要性展示实际应用案例第九章：计算机辅助制图9.1 计算机辅助制图软件介绍介绍常用的计算机辅助制图软件，如AutoCAD、SolidWorks等强调这些软件在提高制图效率和精度方面的作用9.2 计算机辅助制图的基本操作讲解如何在计算机上绘制基本图形展示如何进行视图创建和编辑强调掌握软件操作的重要性9.3 计算机辅助制图的实际应用展示如何利用计算机辅助制图软件完成实际项目分析计算机辅助制图在现代制造业中的应用优势第十章：案例分析与实践10.1 案例分析分析实际机械设计图纸中的投影法应用讲解如何解决制图中遇到的具体问题强调理论与实践相结合的重要性10.2 实践练习提供一系列的制图练习题引导学生通过实际操作练习投影法的应用强调动手实践对于加深理解和掌握知识的重要性10.3 制图成果评价与反馈讲解如何评价制图成果的质量强调反馈在学习和提高制图技能中的作用鼓励学生自我评价和相互评价，以促进共同进步重点和难点解析1. 投影法的概念与意义：这一环节是整个教案的基础，需要学生理解和掌握投影法的定义及其在机械制图中的重要性。
机械制图之平面投影
水平面的H面投影反映实形，V、W面投影积聚成垂直于Z轴的直线。
正平面的V面投影反映实形，H、W面投影积聚成垂直于Y轴的直线。
机械制图之平面投影
平面的表示法
平面对投影面的相对位置有三种： 投影面平行面——平行于一个投影 面，垂直于另外两个投影面的平面； 投影面垂直面——垂直于一个投影 面，与另外两个投影面倾斜的平面； 一般位置平面——与三个投影面都 倾斜的平面。 投影面平行面与投影面垂直面统称 为特殊位置平面。 平面对H、V、W面的倾角（指该平 面与投影面的两面角）分别用α、β、 γ来表示。
侧平面的W面投影反映实形，V、H面投影积聚成垂直于X轴的直线。
2．投影面垂直面
投影面垂直面——垂直于一个投 影面，倾斜于另外两个投影面。 正垂面 垂直于V面并倾斜于H、 W面的平面； 铅垂面 垂直于H面并倾斜于V、 W面的平面； 侧垂面 垂直于W面并倾斜于H、 V面的平面。
正垂面V面投影积聚成一直线，该直线与OX轴和OZ轴的夹角分别是平 面与H、W面的倾角α、γ。正垂面的H、W面投影是平面的类似形。
一般位置面在V、H、W面的投影均为平面的类似形。
指出图示物体上有几个水平面，几个正平面，几个侧平面，几个正 垂面和几个侧垂面？
4．点在平面上的投影作图
（1）点在特殊位置平面上
（2）点在一般位置平面上
携手共进，齐创精品工程
Thank You
世界触手可及
铅垂面H面投影积聚成一直线，该直线与OX轴和OYH轴的夹角分别是 平面与V、W面的倾角β、γ。铅垂面的V、W面投影是平面的类似形。
《机械制图教案》平面的投影
第十二讲§2—5 平面的投影课题：1、平面上的直线和点2、平面上的投影面平行线课堂类型：讲授教学目的：1、讲解在平面上取点、取直线的作图方法2、讲解在平面上取投影面平行线的作图方法教学要求：1、能够熟练掌握在平面上取点、取直线的作图方法2、能够根据在平面上的点、直线的投影规律，特别是用平面上的投影面平行线，完成一些简单的图解问题教学重点：在平面上取点、取直线、取投影面平行线的作图方法教学难点：利用在平面上的点、直线的投影规律，图解空间几何问题教具：自制的三投影面体系模型；教学方法：例题辅助讲解教学过程：一、复习旧课1、平面的两种表示法：几何元素法和迹线表示法。
2、三种位置平面（包括七种类型）的投影特性。
二、引入新课题上次课我们学习了三种位置直线的投影特性，本次课我们继续学习在平面上取点、取直线的作图问题。
三、教学内容（一）平面上的直线和点1、平面上的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的一直线上，则该点必在平面上。
因此在平面上取点，必须先在平面上取一直线，然后再在该直线上取点。
这是在平面的投影图上确定点所在位置的依据。
举例：如图2－42所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，点S取自直线AB，所以点S必在平面P上。
（a）（b）图2－42 平面上的点2、平面上的直线直线在平面上的几何条件是：（1）若一直线通过平面上的两个点，则此直线必定在该平面上。
（2）若一直线通过平面上的一点并平行于平面上的另一直线，则此直线必定在该平面上。
举例之一：如图2－43所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，分别在直线AB、AC 上取点E、F，连接EF，则直线EF为平面P上的直线。
作图方法见图2－43（b）所示。
（a）（b）举例之二：如图2－44所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，在直线AC上取点E，过点E作直线MN∥AB，则直线MN为平面P上的直线。
作图方法见图2－44（b）所示。
（a）（b）图2－43 平面上的直线3、讲解例题（例2－10）如图2－45（a）所示，试判断点K和点M是否属于△ABC 所确定的平面。
机械制图-平面的投影
3. 平面在三投影面体系中的投影特性
（1） 一般位置平面投影特性
b' a'
B
b"
A b a
(a) 直观图
a" C c" c
(b) 投影图
投影特性 abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形。
（2） 投影面垂直面的投影特性
γ α β γ
β
α
物体上垂直面的投影分析
投影面垂直面的投影特性： 在平面所垂直的投影面上，其投影积聚成一倾斜直线；其余两个投影 均为缩小的类似形。
（3） 投影面平行面的投影特性
物体上平行面的投影分析
投影面平行面的投影特性： 在平面所平行的投影面上，其投影反映实形；其余两个投影积聚成直线且分 别平行于相应的投影轴。
2. 平面的投影特性
空间平面相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种。
E F M
d a b
c
d(a) e m f c(b)
d
c b
a
（1）真实性 当平面与投影面平行时，平面的投影为实形。
（2）积聚性 当平面与投影面垂直时，平面的投影积聚成一条直线。 （3）收缩性 当直线或平面与投影面倾斜时，平面的投影是小于平面实形的类似形。
三、平面的投影
• 1. 平面的三面投影 • 2. 平面的投影特性 • 3. 平面在三投影面体系中的投影特性
三、平面的投影
1. 平面的三面投影
平面图形具有一定的形状、大小和位置，常见的有三角
形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面形。另外，还有一些
由直线或曲线围成的平面形。平面投影的实质，就是求平面
形然后将各点的同面投影依次连线。
机械制图5-5第三角投影画法
⑵ 三视图的展开
展开后的三视图及度量对应关系
顶视图
宽
长
பைடு நூலகம்
宽
高
右视图
前视图
⒊ 第三角画法与第一角画法的比较
后 左
顶视
第三角画法
上 左
主视
上
右
右
后
左视
前 下
前 上 左
前视
上
下 后 后 左
俯视
右
前
右视
右 前 第一角画法
下
下
⑴ 视图的名称和位置关系不同
⑵ 反映机件的部位有所不同
⒋ 第三角画法中六个基本视图的配置及尺寸 对应关系
顶视
左视 底视 长
右视
长
高
前视
后视
1.第一角投影 画法
第一角画法
2.第三角投影 画法
第三角画法
同步习题集练习
第一角画主、俯，左视图
第三角画主、俯，右视图
第一角
第一角
第三角
第三角
第一角
机械制图课件
第三角投影法简介
⒈ 什么是第三角画法？ 三个互相垂直的投影面V、H、W，将 W面左侧空间划分为四个区域，按顺序分 别称为第一角、第二角、第三角、第四 角。 将物体放在第 三角，使投影面处 在观察者和物体之 间进行投射。
V
ⅡⅠ Ⅲ Ⅳ
H
⒉ 第三角画法中的三视图 ⑴ 三视图的形成
★ 前视图 从前向后投射，在正 平面（V面）上所得的 向上翻转 视图。 90° H ★ 顶视图 从上向下投射，在水 平面（H面）上所得的 V 视图。 ★ 右视图 从右向左投射，在侧 平面（W面）上所得的 视图。
《机械制图》平面立体的投影
8
平面立体的投影 2. 棱锥
正三棱锥的投影 ： 三棱锥的底面是水平面；后棱面是一个 侧垂面；两个前棱面是一般位置平面。
9
平面立体的投影 2. 棱锥
1) 三棱锥的投影图
10
S
C B
A
平面立体的投影
2. 棱锥
2）棱锥表面上点的投影（辅助线法）
根据点在棱面上，点一定
1
1
在过棱面上该点的一条直
线上，先在棱面上过点作
d
一条辅助线，求出辅助直
Ⅰ
线的投影，再从辅助直线
1
的投影上求出点的投影。
d
D
11
平面立体的投影
2. 棱锥
2)三棱锥的棱线上点的投影
2
2
Ⅱ
2
12
谢谢观看
Thanks for looking
Hale Waihona Puke 棱柱棱锥4
平面立体的投影 1. 棱柱
六棱柱的投影： 上下底面为水平面的多边形投影， 正面和侧面投影轮廓线为矩形。
5
平面立体的投影 1. 棱柱
1). 六棱柱的投影图
6
平面立体的投影 1. 棱柱
a
2) 棱柱表面上点的投影
a
7
平面立体的投影 1. 棱柱
[例题] 求四棱柱的侧面投影及表面上点的投影
1″
机械制图
MECHANICAL DRAWING
目录
CONTENTS
平面立体的投影
平面立体的投影 基本体的概念
柱、锥、台、球等几何体是组成机件的基本立体，简称基本体。
表面都是平面的立体。称为平面立体，如棱柱、棱锥。 表面是曲面或曲面和平面的立体，称为曲面立体。
5机械制图平面的投影
的两相交直线，则这两平
面相互平行。
a
c d
c d
b
b d
② 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有积聚
a c
e
性的那组投影必相互平行。
d
b
ac
e
e f
f e
f h
h f
35
例题1 试判断两平面是否平行
a
f
s
b
n
r
e
m c
c m
d
n a d
e s
r
f
b
结论：两平面平行
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面，倾 斜于另两个投影面
平行于某一投影面，垂 直于另两个投影面
投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
5
1） 投影面垂直面
铅垂面
正垂面
侧垂面
6
铅垂面
V P B
c a
b
W
c a
a
a
a bC
b
c
投影特性： H c
c
1、 abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、 侧平面投影abc 反映 ABC实形
14
积聚性
积聚性
a b c a c b
a
实形性
c
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
水平面
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行 的直线。
15
3） 一般位置平面
c
1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性
机械制图电子教案 第三章 点、直线、平面的投影
（a） （b）
课后练习
复习思考题；3-2题、3-3题
第3讲
课题
面的投影
课型
理 论
教学
目的
掌握各种位置平面的投影规律
（一）投影面平行线
平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。
直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线对H面、V面、W面的倾角。
投影面平行线的立体图、投影图及投影特征
名称
正平线（//V）
2．一直线和直线外一点
3．相交两直线4．平行两来自线5．任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等
在投影图上判定两直线是否平行；若两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定；但当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。如图所示，两直线AB、CD均为侧平线，虽然ab∥cd、a′b′∥c′d′，但不能断言两直线平行，还必需求作两直线的侧面投影进行判定，由于图中所示两直线的侧面投影a″b″与c″d″相交，所以可判定直线AB、CD不平行。
（3）面投影e′f′∥OX轴，侧面投
影e″f″∥OYW，且都小于实长。
（1）侧面投影i//j//反映实长。
（2）侧面投影i″j″与OZ轴和OYW轴的夹角β和α分别为EF对V面和H面的倾角。
（3）正面投影i′j′∥OZ轴，水平投影ij∥OYH，且都小于实长。
机械制图课件-投影理论基础知识
2. 直线在三投影面体系中的投影特性
直线相对于三投影面的位置
V
直线相 对 于投 W 影面的位置可 归结 为几类？
H
直线对三投影面均倾斜
—
一般位置线 18
直线相对于三投影面的位置
V
V
W
W
H V
H
//V 正平线
H
水/平/H线
W
直线 // 某一投影面
投影面平行线
//W 侧平线
19
直线相对于三投影面的位置
V
V
W
W
H V
H
V 正垂线
H
H 铅垂线
W
直线 某一投影面
投影面垂直线
W 侧垂线
20
归纳 直线相对于投影面的位置
一般位置线
投影面平行线 水平线： ∥H面 正平线： ∥V面 侧平线： ∥W面
投影面垂直线 铅垂线： H面 正垂线： V面 侧垂线： W面
特殊位置直线
21
一般位置线 对H、V、W面均倾斜的直线
b'
b"
a' b
a
a"
15
1. 直线对一个投影面的投影特性 直线相对投影面的位置
BA
B
A
A
B
b
b
a
ab a
P
平行 垂直 倾斜
16
1. 直线对一个投影面的投影特性
BA
B
A
A
B
b
b
a
ab a
P
AB∥P — 投影反映实长 ab = AB AB P — 投影积聚成一点 a b
（积聚性） AB P — 投影 ab = AB Cos 17
平面的投影
PH
上海理工大学《机械制图》课件
H
[例4] 已知ABC 平面，试过点C 作该平面的正平线， 过点A 作该平面的水平线。
b
m a n c
X
b n m c
a
上海理工大学《机械制图》课件
[例5] 已知点E 在ABC 平面上，且点E 距离H 面15，距离V 面10，试求点E 的投影。
b
m
上海理工大学《机械制图》课件
二、平面上的点和直线
1．点和直线在平面上的几何条件 ①直线在平面上的几何条件是： 直线必通过平面上的两点；或直 线通过平面上的一点，且平行于平面上的另一条直线。
b
e
B F E D
f c
d
a
C
a
A
c d b
f
e
上海理工大学《机械制图》课件
②点在平面上的几何条件是：点必在该平面的某条直线上。
铅垂面----垂直于H面，倾斜于V、W面的平面； 正垂面----垂直于V面，倾斜于H、W面的平面； 侧垂面----垂直于W面，倾斜于V、H面的平面。
上海理工大学《机械制图》课件
(1) 铅垂面
V P B A a a b C PH c c a c a b b c
W
H 投影特性： b 1. abc积聚成一直线； 2. abc、 abc为ABC的类似形； 3 . abc与OX、 OY的夹角，反映对V、W面的倾角、。
§2-4
平面的投影
平面投影一般仍为平面，在特殊情况下才积聚为直线， 称这种性质为积聚性。不在同一直线上的三点或多点可确 定一个平面。 c c c c c ● ● ● ●
●
a●
X
●
a● b ●b
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投影特性： a
b
b
类似性
c c
βc b
a
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该 直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
10
2） 投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
11
水平面
V
a b c b a c
a
b c
b
AB
a W
c
C
b
b
a
a
c
投影特性： H
5.1 平面的投影
一、平面的表示法
1、用几何元素表示平面
c
●
c
●
a●
a●
a●
c
●
d a●
●
c ● a●
● b ●b
a●
● b ●b
a●
● b ●b
a●
● b
●b
a●
●
d
a●
● c
● c
●c
●c
不在同一 直线上的 三个点
直线及线 两平行直线 两相交直线 外一点
c
●
● b ●b
●c
1
2
2、平面的迹线表示法
有多少解？ b
c m
a
●
b
a
●m
c
有无数解
n
n
32
例2：过M点作直线MN平行于V面和平 面ABC。
正平线
b
cm n
a
●
c a
m●
n
b
唯一解
33
例题3
d
试判断直线AB是否平行于定平面
c
b
g
f
a
e
e f d
a
g c
结论：直线AB不平行于定平面
b
34
⒉两平面平行 b
① 若一平面上的两相交直
a
线对应平行于另一平面上
16
一般位置平面
b
a
B
b
b a
b
a
c
c
A
a
b
C c
b
a
c
c
a
投影特性
1 、 abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形
2 、 不反映、、 的真实角度
17
三、平面上的直线和点
⒈ 平面上取任意直线
判断直线在平 面内的方法
定 理一
若一直线过平面 上的两点，则此 直线必在该平面 内。
定 理二
若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
b
A a
a b
H
C PH c
投影特性：1、 abc积聚为一条线
c
b
2 、 abc、 abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小 7
正垂面
V
b
QV
a
A
c
C
b c
a α
W B
c
Q
a
b c
a
H
投影特性：1、 abc 积聚为一条线
b
2 、 abc、abc ABC的类似形 8
平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直
的直径的投影；
30
包括
5.3直线与平面及两平面的相对位置
相对位置包括平行、相交和垂直。 一、平行问题
直线与平面平行 平面与平面平行 ⒈ 直线与平面平行
定理：
若一直线平行于平面上的某一直 线，则该直线与此平面必相互平行。
31
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
正平线，过点A作属于该平面 的水平线。
b
m
a
n
b m
c
n c
28
a
例：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下 15mm、在点A之前20mm处。
29
5.2 圆的投影
圆的投影特性：
1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；
2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆 的直径；
3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的
的两相交直线，则这两平
面相互平行。
a
c d
c d
b
b d
② 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有积聚
a c
e
性的那组投影必相互平行。
d
b
ac
e
e f
f e
f h
h f
35
例题1 试判断两平面是否平行
a
f
s
b
n
r
e
m c
c m
d
n a d
e s
r
f
b
结论：两平面平行
18
19
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任 作一条直线。
解法一
根据定理一
b
m a
n c
解法二
a
根据定理二
d b
c
mb a
b d
a
n c 有多少解？
c
有无数解。 20
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距 离为10mm。
10
a 有多少解？
m
n
c 唯一解！
b
b
c
n
m
a
21
⒉ 平面上取点
22
面上取点的方法： 首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线， 然后再在该直线上确定点的位置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
① a
b
k●
c
②
b d
●k
c
a’
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
23
例题2 已知 ABC给定一平面，试判断点D是 否属于该平面。
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面，倾 斜于另两个投影面
平行于某一投影面，垂 直于另两个投影面
投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
5
1） 投影面垂直面
铅垂面
正垂面
侧垂面
6
铅垂面
V P B
c a
b
W
c a
b
e d c
a
c a
e
d
24
b
例3：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一
b
解法二 b
a
k
c a
c
d
d
d
d
a
k
ca
c
b
b
25
3、平面上的投影面平行线 一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行
线，不存在投影面垂直线。
26
27
例题 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的
V
PV
P
H PH
V
QV
Q H QH
PV
PH QV
QH
3
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
投 影特性
★ 平面平行投影面-----投影就把实形现
★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
实形性 积聚性
类似性
4
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
c
1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性
2 、 水平投影abc反映 ABC实形
12
正平面
V
b
b
b
a
B
b
c
W
A a
c
a
a
c
C
c
c
投影特性：H
b
a
c
ba
1、abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、正平面投影abc反映 ABC实形
13
侧平面
b
V
c
B
b
a
b a
b
W c
c
a
A
3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
侧垂面
b
V
S B
SW
b
a
W
b c β c
α a
c
b
C
a
c
A
H
a
投影特性：1、 abc积聚为一条线
2 、 abc、 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的面？ a
积聚性
a
a
a bC
b
c
投影特性： H c
c
1、 abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、 侧平面投影abc 反映 ABC实形
14
积聚性
积聚性
a b c a c b
a
实形性
c
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
水平面
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行 的直线。
15
3） 一般位置平面