二项式定理各种题型解题技巧知识讲解
95二项式定理5大题型(精讲)(原卷版)
9.5 二项式定理5大题型【题型解读】【知识储备】1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n C0n a n C1n a n－1C k n n－k k C n n b n*(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n(3)(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．二项式系数的性质[常用结论]若二项展开式的通项为T r＋1＝g(r)·x h(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔T r＋1是常数项．(2)h(r)是非负整数⇔T r＋1是整式项．(3)h(r)是负整数⇔T r＋1是分式项．(4)h(r)是整数⇔T r＋1是有理项．【题型精讲】【题型一求特定项的系数】方法技巧 三项式()()n a b c n N ++∈的展开式：()[()]n n a b c a b c ++=++()n rrr n C a b c -=+++()rq n r q qrn n r C C ab c---=++++r q n r q q r n n r C C a b c ---=++若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式()r q p q r n n r C C a b c p q r N p q r n -∈++=，，，，其中!(r)!!!()!!()!!!!r q n n r n n n C C r n r q n r q p q r --==---叫三项式系数． 例1 （2022·华师大二附中高三练习） 若()()()2880128111x a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则3a = ．例2 在73x⎛ ⎝的系数是 ．例3 （2022·江西模拟）在 5221y x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的展开式中，含 32x y 的项的系数是（ ）A ．10B ．12C ．15D ．20【题型精练】1. （2022·河南高三月考）在732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，5x 项的系数是（ ）A ．280B ．280-C ．560D ．560-2．（2022·全国高三课时练习）61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数和为___________，展开式中常数项为___________.3．（2022·枣庄模拟）在()622x x y-+的展开式中，含52x y 项的系数为（ ）A ．480B ．480C ．240D ．2404. （2022·汕头模拟）100的展开式中系数为有理数项的共有_______项.【题型二 已知项的系数求参】例4 （2022·四川模拟）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则a =（ ） A ．2B ．2C ．2或2D ．4例5 （2022·武昌模拟）()()611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为10，则实数a = .【题型精练】1．（2022·石家庄模拟）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （ ）A ．2B ．2C ．2或2D ．42. （2022·临沂二模）已知 ()5221ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中 x 的系数为（ ） A ．120 B ．40 C ．40 D ．120【题型三 二项式定理的性质】例6 （2022·唐山二模）（多选）已知22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A ．n=9B ．11n =C ．常数项是672D ．展开式中所有项的系数和是1例7 设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【题型精练】1．（2022·高三课时练习）若()*1N nn x ⎛+∈ ⎝⎭的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则n =（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．82.（2022·广东高三模拟）若n 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．3. （2022·浙江高三模拟）在1)2n x 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数为（ ） A ．454B ．358-C ．358D ．7【题型四 二项式系数和及系数和问题】方法技巧 系数和问题2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++，令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+①；令1x =-得奇数项系数和减去偶数项系数和：01230213...()(...)(...)n n a a a a a a b a a a a -+-=-=++-++②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．例8 （2022·福建泉州科技中学月考）在10(23)x y -的展开式中，求： （1）二项式系数的和； （2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； （4）奇数项系数和与偶数项系数和； （5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.【题型精练】1．（2022·常州市新桥高级中学高三模拟）若()5234501234513x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为 ．2.（2022·济北中学高三月考）设 ()()54234501234521x m x a a x a x a x a x a x ++-=+++++ .若01234532a a a a a a +++++= ，则实数 m = ， 3a = ．3. （2022·上虞模拟）已知()102100121031x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则3a = ，1012210333a a a ++⋅⋅⋅+= .【题型五 二项式定理的应用】例9 （2022福建省部分名校高三联合测评）（多选）若202051a +能被13整除，则实数a 的值可以为（ ） A ．0 B ．11 C ．12 D ．25例10 71.95的计算结果精确到个位的近似值为 A ．106 B ．107 C ．108 D ．109【题型精练】1.（2022·全国高三课时练习）(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.342. 若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++，则()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________.。
二项式定理知识点及典型题型总结
二项式定理一、基本知识点１、二项式定理:)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n nn 2、几个基本概念(1)二项展开式:右边得多项式叫做得二项展开式(2)项数:二项展开式中共有项(3)二项式系数:叫做二项展开式中第项得二项式系数(4)通项:展开式得第项,即3、展开式得特点(1)系数 都就是组合数,依次为C,C,Ｃ,…,C(2)指数得特点①a 得指数 由n ０( 降幂)。
②b 得指数由0 n(升幂)、③ａ与b 得指数与为n 、(3)展开式就是一个恒等式,a,b 可取任意得复数,ｎ为任意得自然数、４、二项式系数得性质:(1)对称性:在二项展开式中,与首末两端等距离得任意两项得二项式系数相等、即(２)增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当就是偶数时,中间一项取得最大值当就是奇数时,中间两项相等且同时取得最大值=(３)二项式系数得与:奇数项得二项式系数得与等于偶数项得二项式系数与、即二项式定理得常见题型一、求二项展开式1、“"型得展开式例1、求得展开式;a２、“”型得展开式例2、求得展开式;3、二项式展开式得“逆用"例3、计算;二、通项公式得应用１。
确定二项式中得有关元素例4、已知得展开式中得系数为,常数得值为2。
确定二项展开式得常数项例5、展开式中得常数项就是３、求单一二项式指定幂得系数例6、展开式中得系数就是三、求几个二项式得与(积)得展开式中得条件项得系数例7。
得展开式中,得系数等于例8。
得展开式中,项得系数就是四、利用二项式定理得性质解题1．求中间项例9、求(得展开式得中间项;。
2．求有理项例1０、求得展开式中有理项共有项;3．求系数最大或最小项（1）特殊得系数最大或最小问题例11、在二项式得展开式中,系数最小得项得系数就是;（2）一般得系数最大或最小问题例12、求展开式中系数最大得项;(３)系数绝对值最大得项例13、在(得展开式中,系数绝对值最大项就是___＿___＿;五、利用“赋值法”求部分项系数,二项式系数与例14。
二项式定理11种题型解题技巧
二项式定理知识点及11种答题技巧【知识点及公式】1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理知识点及题型归纳总结
二项式定理知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二项式定理()nn n r r n r n n n n n nb a C b a C b a C b a C b a 01100+⋯++⋯++=+--()*Nn ∈.展开式具有以下特点： （1）项数：共1+n 项.（2）二项式系数：依次为组合数nn n n n C C C C ，⋯,,,21.（3）每一项的次数是一样的，都为n 次，展开式依a 的降幂、b 的升幂排列展开.特别地，()nn n n n n x C x C x C x +⋯+++=+22111.二、二项式展开式的通项（第1+r 项）二项式展开的通项为r r n r n r b a C T -+=1().,,3,2,1,0n r ⋯=.其中rn C 的二项式系数.令变量（常用x ）取1，可得1+r T 的系数.注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点： ①分清r rn rn b aC -是第1+r 项，而不是第r 项；②在通项公式r r n r n r b a C T -+=1中，含n r b a C T rn r ,,,,,1+这6个参数，只有n r b a ,,,是独立的，在未知n r ,的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n 和r . 三、二项式展开式中的系数 （1）二项式系数与项的系数二项式系数仅指nn n n n C C C C ，⋯,,,21而言，不包括字母b a ,所表示的式子中的系数.例如：()nx +2的展开式中，含有r x 的项应该是n r n r n r x C T -+=21，其中r n C 叫做该项的二项式系数，而rx 的系数应该是r n r n C -2（即含r x 项的系数）.（2）二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即22110,,--===n n n n n n n n n C C C C C C ，…，r n n r n C C -=.②二项展开式中间项的二项式系数最大.如果二项式的幂指数n 是偶数，中间项是第12+n 项，其二项式系数n n C 2最大；如果二项式的幂指数n是奇数，中间项有两项，即为第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数21-n n C 和21+n n C 相等并且最大. （3）二项式系数和与系数和 ①二项式系数和011+12n nnn n n C C C ++⋯+==（） .奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋯=+++⋯=即 .②系数和求所有项系数和，令1x =；求变号系数和，令1x =-；求常数项，令0x =。
二项式定理的常见题型及解法特全版
Cxy
3 7
4
4
，和第 5 项
C
二、通项公式的应用
1 ．确定二项式中的有关元素
例 4．已知 (
a x 9 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为 ，常数 a 的值为 x 2 4
r 3 r 9
解： Tr 1 令
r 9 a x C ( ) 9r ( ) r C9r (1) r 2 2 a 9r x 2 x 2
9 令 18 3x 9, 则 r 3 ，从而可以得到 x 的系数为：
C
3 9
1 21 21 ( ) 3 ， 填 2 2 2
（备用题） ： （05 年山东卷）已知 (3x
1
3
x
2
) n , n N 的展开式中各项系数和为 128，则展
开式中
1 的系数是( x3
1 的展开式中没有 常数项， 且 2≤n≤8， n N* ， ．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。 （备用题） （05 年湖北卷） (
C
1
5
11
(1) 5 462
（2） 一般的系数最大或最小问题 例 12．求 ( x
2 x
4
) 8 展开式中系数最大的项；
解：记第 r 项系数为 Tr ，设第 k 项系数最大，则有
Tk Tk 1 Tk Tk 1
又 Tr
C
r 1 8
.2 r 1 ，那么有
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
高中数学 二项式定理 知识点与常见题型解法
《二项式定理》知识点与常见题型解法一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的r rn r n b a C -叫二项展开式的通项，用1r +T 表示，即通项1r +T =r rn rn b aC -.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数0n C ，C 1n ，...，C n －1n ，nn C .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项2121+-=n nn nCC取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝12-n （奇数项与偶数项的二项式系数和相等）.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项1r +T =r rn rn b aC -，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．常见题型【题型一】求展开特定项例1：(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A.6B.7C.8D.9例2：(2014·大纲)8⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xyyx的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)【题型二】求展开特定项例3：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121 C．－74 D．－121【题型三】求展开特定项例4：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A.－4B.－3C.－2D.－1例5：在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60 C．120 D．210例6：已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，的系数为_______.【题型四】求展开特定项例7：求5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x>0)的展开式经整理后的常数项.例8：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A．11B．33C．55D．66 例9：(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20 C．30 D．60【题型五】二项式展开逆向问题例10：若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2C n－1n＋3n－1＝85，则n的值为()A.3B.4C.5D.6【题型六】赋值法求系数（和）问题例11：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7.例12：设nx 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________.例13：已知(x ＋1)2(x ＋2)2014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2016(x ＋2)2016，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016的值为______.【题型七】平移后系数问题例14：若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例15：nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．例16：把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项A ．4B ．5C ．6D ．7例17：(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例18：若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．【题型十】整除问题例19：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12例20：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016答案解析例1：解析 由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：解析 8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8rrx y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8＝()42323881---r r r r y xC ， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70. 例3：解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 例4：解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例5：解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 例6：解析的系数为。
二项式定理知识梳理与题型归纳，这篇文章很全面，请收好！
⼆项式定理知识梳理与题型归纳，这篇⽂章很全⾯，请收好！⼆项式定理，其实是⼀个很好理解的⼩概念。
只是不少同学对其原理的认识和理解不⾜，且训练频率较⼩，导致在考试中遇到时反⽽措⼿不及。
我就多次见过模考中的三项展开式，有些孩⼦怎么也理解不了的情形。
但三项甚⾄更多项的展开，不正体现了⼆项式定理的精髓？这篇推送，其实想写好长时间了。
只是⼀直没有⼀个整段的时间，所以就⼀直拖到了现在。
但希望对孩⼦们有⽤。
基本知识点梳理⼀、定理内容⼆、基本概念①⼆项式展开式：等式右边的多项式叫作(a+b)n的⼆项展开式②⼆项式系数：展开式中各项的系数中的③项数：展开式第r+1项，是关于a,b的齐次多项式.④通项：展开式的第r+1项，记作三、⼏个提醒①项数：展开式共有n+1项.②顺序：注意正确选择a与b，其顺序不能更改，即：(a+b)n和(b+a)n是不同的.③指数：a的指数从n到0, 降幂排列；b的指数从0到n,升幂排列。
各项中a，b的指数之和始终为n.④系数：正确区分⼆项式系数与项的系数：⼆项式系数指各项前⾯的组合数；项的系数指各项中除去变量的部分（含⼆项式系数）。
⑤通项：通项是指展开式的第r+1项.四、常⽤结论由此可得贝努⼒不等式。
当x>-1时，有：n≥1时，(1+x)n≥1+nx;0≤n≤1时，(1+x)n≤1+nx.（贝努⼒不等式常⽤于函数不等式证明中的放缩）五、⼏个性质①⼆项式系数对称性：展开式中，与⾸末两项等距的任意两项⼆项式系数相等。
②⼆项式系数最⼤值：展开式的⼆项式系数中，最中间那⼀项（或最中间两项）的⼆项式系数最⼤。
即：③⼆项式系数和：⼆项展开式中，所有⼆项式系数和等于，即：奇数项⼆项式系数和等于偶数项⼆项式系数和，即：（注：凡系数和问题均⽤赋值法处理）④杨辉三⾓中的⼆项式系数：基本题型归纳⼀、求⼆项展开式⼆、求展开式的指定项说明：凡⼆项展开式中指定项的问题，均直接使⽤通项公式处理.说明：对于位置指定的展开项问题，要注意⽤原式，底数中项的顺序不得随意调整。
二项式定理求解技巧和方法
二项式定理求解技巧和方法二项式定理是高中数学中一个很重要的概念，它描述了一个二次多项式的展开式中，每一项的系数和指数的关系。
在解题过程中，我们可以利用二项式定理来求解一些复杂的多项式表达式。
下面我将介绍一些二项式定理求解的技巧和方法。
1. 使用二项式定理展开二项式定理可以表达为：$ (a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 + \\ldots + C_n^na^0b^n $。
这个定理可以帮助我们将一个二元系数的多项式展开为单项式的和。
我们可以利用这个定理来求解一些复杂的多项式表达式，例如 $(x+1)^n$ 或者 $(2x+3y)^n$。
2. 利用二项式系数的性质二项式系数$C_n^k$ 的计算公式为：$C_n^k = \\frac{n!}{k!(n-k)!}$。
在计算二项式系数时，我们可以利用其性质来简化计算。
例如，对于$C_n^k$ 来说，如果$k>n-k$，我们可以使用$C_n^k = C_n^{n-k}$ 来简化计算。
另外，由于$C_n^k = C_n^{n-k}$，我们也可以利用对称性简化计算。
3. 利用二项式定理求解系数和指数在一些问题中，我们需要求解多项式展开式中某一项的系数和指数。
对于二项式定理，可以通过将多项式展开式中各项的系数和指数与二项式系数进行配对，来求解。
例如，对于$(a+b)^7$ 的展开式，我们要求解其中系数为 35 的项的指数是多少，可以使用二项式系数的计算公式，得到 $C_7^k = 35$，然后求解 $k$ 的值。
4. 应用二项式定理进行变形有时候，在解决实际问题时，我们需要对给定的表达式进行变形，以便更好地应用二项式定理。
在变形过程中，我们可以使用二项式定理的展开式，将表达式转化为二项式定理的形式。
例如，对于表达式 $(x+y)^4 - (x-y)^4$，我们可以将其变形为$(u+v)^4 - (u-v)^4$ 的形式，然后应用二项式定理进行展开。
二项式定理各种题型解题技巧
，由题意 ，
则含有 的项是第 项 ,系数为 。
练：求 展开式中 的系数
解： ，令 ,则
故 的系数为 。
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式 的展开式中的常数项
解： ，令 ，得 ，所以
练：求二项式 的展开式中的常数项
解： ，令 ，得 ，所以
练：若 的二项展开式中第 项为常数项，则
⑥系数的最大项：求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来。
6．二项式定理的十一种考题的解法：
题型一：二项式定理的逆用；
例：
解： 与已知的有一些差距，
练：
解：设 ，则
题型二：利用通项公式求 的系数；
例：在二项式 的展开式中倒数第 项的系数为 ，求含有 的项的系数
解：因为二项式的幂指数 是奇数，所以中间两项( )的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有 的系数最小， 系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于 ，求 的展开式中系数最大的项
解：由 解出 ,假设 项最大，
，化简得到 ，又 ， ，展开式中系数最大的项为 ,有
练：在 的展开式中系数最大的项是多少
练：在 的展开式中，二项式系数最大的项是多少
解：二项式的幂指数是偶数 ，则中间一项的二项式系数最大，即 ，也就是第 项。
练：在 的展开式中，只有第 项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少
解：只有第 项的二项式最大，则 ，即 ,所以展开式中常数项为第七项等于
例：写出在 的展开式中，系数最大的项系数最小的项
二项式定理各种题型解题技巧
二项式定理
1．二项式定理：
二项式定理知识点和各种题型归纳带答案(可编辑修改word版)
练：求 (x2 1 )9 展开式中 x9 的系数？ 2x
解： Tr1
C9r
(
x
2
)9
r
(
1 2x
)r
C9r
x182r
(
1 2
)r
xr
C9r
(
1 2
)r
x183r
，令18
3r
9 ,则 r
3
故
x9
的系数为 C93 (
1 )3 2
21 2
。
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式 (x2 1 )10 的展开式中的常数项？ 2x
令x则①1, a0 a1 a2 a3 an (a 1)n
令x则 1, a0 a1 a2 a3 an (a 1)n ②
①② 得奇,数a0项 的 a2 系 a数4 和
an
(a
1)n
2
(a
1) n
(
)
①② 得偶,数a1项 a的3 系a数5 和 an
(a
1)n
(a 2
1) n
(
)
n
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 Cn2 取得最大
值。
n1
n1
如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 Cn 2 , Cn 2 同时
取得最大值。
⑥系数的最大项：求 (a bx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分
变形式 Cn1 Cn2 Cnr Cnn 2n 1 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)n Cnn (11)n 0 ，
二项式定理知识点及典型题型总结(经典)强烈推荐
二项式定理知识点及典型题型总结(经典)强烈推荐二项式定理是高中数学中的重要概念之一。
它表示了一个二元多项式的n次幂可以用二项式系数展开成一系列项的和。
其中，二项式系数是组合数，表示从n个元素中选取r个元素的方案数。
展开式共有n+1项，每一项的系数即为二项式系数。
展开式的指数有一些特点：a的指数从n开始递减，b的指数从0开始递增，a和b的指数之和为n。
需要注意的是，展开式是一个恒等式，a，b可以取任意的复数，n为任意的自然数，一般n≥2.二项式系数具有一些性质。
首先是对称性，即在二项展开式中，与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等。
其次是增减性与最值，二项式系数先增后减，在中间取得最大值。
当n 是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值。
此外，二项式系数的和也有一些特殊的形式。
奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，这可以通过二项式定理的特殊情况得到。
另外，奇数项的系数和与偶数项的系数和也可以用展开式表示出来。
总之，二项式定理是高中数学中的基础概念之一，具有很多特殊的性质。
熟练掌握这些概念和性质，对于高中数学的研究和应用都有很大的帮助。
题型一：利用通项公式求xn的系数例1、在二项式(4x+3)2n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？解析：由条件知系数等于二项式系数，Cn=45，解出n=10，代入展开式中可得：T7=C10,7(4x)7(3)3=210(4)7(3)3=所以含有x3的项的系数为.例2、求展开式(1+x)5中x4的系数。
解析：根据二项式定理可得：1+x)5=C5,0(1)5x0+C5,1(1)4x1+C5,2(1)3x2+C5,3(1)2x3+C5, 4(1)x4+C5,5x5所以x4的系数为C5,4=5.题型二：利用通项公式求常数项例3、求展开式(2x+3)6中的常数项。
解析：根据二项式定理可得：2x+3)6=C6,0(2x)6(3)0+C6,1(2x)5(3)1+C6,2(2x)4(3)2+C6,3( 2x)3(3)3+C6,4(2x)2(3)4+C6,5(2x)(3)5+C6,6(3)6所以常数项为C6,0(2x)6(3)0=2^6=64.题型五：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和。
二项式定理各种题型解题技巧
二项式定理1.二项式定理：(a + b)n = cy + 叫+ ••• + cy-r b r + …+ C；：b" (neN*),2.基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a + b)n的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数C：(厂=0,1,2,•••,“).③项数：共(r + 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第厂+ 1项C；,a n-r b r叫做二项式展开式的通项。
用T r+{ = C；t a''-r b r表示。
3.注意关键点：①项数：展开式中总共有(n +1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(a + b)n与e + a)"是不同的。
③指数：a的指数从"逐项减到0,是降幕排列。
"的指数从0逐项减到〃，是升幕排列。
各项的次数和等于④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是…,C：,…,C；：.项的系数是d与方的系数(包括二项式系数)。
4.常用的结论：令a = \,b = x y (1 + x)n = C：： + C> + C>2 + …+ C；t x r + …+ C；：x” (neN*)令a = \,b = -x, (1-x)n = C；； -C\x + C>2 _... + + …+ (-1)"C；：x”(neN*)5.性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C；【= C；；,・・・U②二项式系数和：令a = h = \,则二项式系数的和为C,； + G +…+ C：+…+ C；： = 2",变形式C* + C； +-. + C； + ..•+ C； = 2n -1 o③奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令"=1/ = 一1,则u _C + c： _ C：+…+(_I)”c;： = (I _ = 0,从而得到：C；：+C：+C：・・・+C,7+••• = (?,；+C； +…+ C；E+••• = [><2“ = 2心2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：①-②得,q +为4,设第厂+1项系数,从而解出r 来。
二项式定理各种题型解题技巧
二项式定理1.二项式定理:011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈,2．基本概念:①二项式展开式:右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅． ③项数:共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项rn rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序:注意正确选择a ,b ，其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数:a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
４.常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =, (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==，则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
二项定理常考题型及解法
知识篇知识结构与拓展高二数学2021年5月二"#定理常考题型及解法■四川省成都经济技术开发区实验中学校杜海洋一、知识点总结!二项式定理!+#"=+%#+•…+ C；"&#%+--------C$#$($#N$"2.基本概念①二项展开式：上式右边的多项式叫作"+#"的二项展开式$②二项式系数：展开式中各项的系数C；(%=0,1,2,・#,$)$③项数：共$+1项，是关于"与#的齐次多项式$④通项：展开式中的第％+1项叫作二项式展开式的通项，用&%+%=#%"$%#%表＜$3.注意关键点①项数：展开式中总共有$+1项$②顺序：注意正确选择其顺序不能更改&与！是不同的$③指数："的指数从$逐项减到0,是降S排列'的指数从$逐项升到$,是升需排列$每一项的次数和等于$$④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C$&CC$C$，项的系数是"与#的系数(包括二项式系数"%.常用的结论令"=1,#=工，=C$+C%'+ C''2---------+C$'%++C$"$令"=1,#=—',(1—"C$—C$'+ C'2--------C%'%+---------(—1"C$'$!#N$"$5.性质①二项式系数的对称性$与首末两端“相等距离”的两个二项式系数相等，即C$"C$，…，C$"C$($②二项式系数和$令a=b=1,则二项式系数的和为C$+ C1+C2+…+C$+…+C$"2$，变形式为C1+C$--------C$+-----------C$"2$—1$③奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和$在二项式定理中，令a=1,b=—1,则c$—C1+c2—c(-------+(—1$$c$"(1—1$$ "0,从而得到C$+C2+C：…+C%+…" C1+C$--------C%+1+…"2*2$"2$1$④奇数项的系数和与偶数项的系数和$$$0，1$12$22$$，$a +…+C$a0'$"a$+a'1+a?'2+…+ a$'$$同理,''"1,贝U a$+a1+a2+a(…+a$=(a+1$$$①令'"—1，贝U a$—a1+a2—a3+…+a "(a—1$$$②①+②得,a$+a2+a4…= (a+1$$+(a—1$$(奇数项的系数和$2①一②得,a1+a(+a5…" a+1$$—Q"(偶数项的系数和$$⑤二项式系数的最大项$如果二项式的S指数$是偶数时，则中间一项的二项式系数C2取得最大值$如果二项式的S指数$是奇数时，则中间两项的二项式系数C亍，c T同时取得最大值$⑥系数的最大项$求(a+b'$$的展开式中最大的项，一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A1，A2,…，A$+1，设第％+1项系数最大,Jn"""知识篇知识结构与拓展丁今虫""""""高二数学 2021年5月应有*从而解出％的值$% + 2&二、二项式定理常见考题的解法题型一：二项式定理的正逆用伸I ! 设（1+工"="$ + "%工 + "'工2 +24°. 2_° —r 得「n(n — 1)(n — 2)2"3 — 2" 2 " 4 彳得 ,n(n — 1) n(n — 1)(n — 2)(n — 3)"2 •2 • 2 °解得n "5$(2)(方法 一)(1+ 3 )5"C 5 + C 1 3 + #2(3)2+c 5 (3)3 +c 5 (3) + c 5 (3)5 —"+# 3$由于"& ##n $ & 因此 &""#5 + 3#2+-#5= 1 + 30 + 45 "76 & #"#1 +3#3 + -#5 "44$故"2—3#2 = 762 —3 X 442 " — 32$(方法二)(1+ 3)5 " #5 + #1 3 +#2(3)2+#5 (3)3 +#5 (3) + #5 ( 3)5 = "+ # 3, (1 — 3)5 " #5 + #： (— 3) +#2(— 3)2 + #3 ( — 3)3 + #5 ( — 3) + #5(— 3)5 = #0 — #5 3 + #2 ( 3 )2 — #3(3"+ #5(3) —#5(3)5 $由于"，##N $，因此，(1 — 3)5 ""—#3，故"2 — 3#2 " (1 + 3)5 - (1— 3)5 =(1 —3)5"—32$练习1 若#' + #'2 +-------+ C 能被7整除，则 'n 的值可能为()$A*h =4 , n "31*工=4 , n " 4#. ' = 5,n = 4D. ' = 6,n = 5---"”，已知"（=2"'"4$（1） 求n 的值；（2） 设（1+ （" ="+# （，其中"&#N $，求"2 *— 3#2 的值 $解析：（1）由（1 + 工"=#n + c ++--------, n %4 ,可得：n(n — 1)(n — 2),， "4 " #n =n(n — 1) )n — 2) )n — 3)解析：#' + #'2 + …+ #$h " = （1+工）"—1 $当工=5 ,n = 4 时，（1+h ）$ —1 = 6 — 1 =35X37能被7整除，故选#$题型二：利用通项公式求的系数I "（2 ' + 1）6的展开式中'的系数是（）$A. 120B. 60 #.30 D. 15解析：二项式（2 ' + 1）6的展开式的通6 %项为 丁%+1=C % （2 '）6 % =26 %#%'丁 $6 — %令-2 = 1，解得 % = 4$ 则（2 /T + 1）6的展开式中'的系数是22#6 = 60,选B $练习2 若---1）展开式中含一2项''2的系数与含A 项的系数之比为一5,则n 等于）$A. 4B. 6解析：（工一1）#. 8 D. 10展开式的通项为:(2')%+1&ri令 n —2% = —2,解得 % = ^^ $故含1项的系数为（一1）宁2宁#甘CCn +~ 4令 n —2% = —4，解得 % = —2— $-In + 4 n 4 n +含=项的系数为(一1)丁2丁#了ccn +2 n 2 n +2将n = 4,6,8,10代入检验得n = 6,故选B题型三：利用通项公式求常数项i #如果32—2）的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）$A. 10B. 6 #.5 D. 3解析：展开式的通项为&%+1=#；（3工2）%・知识篇知识结构与拓展高二数学2021年5月5由题意得2$—5%"$&$"2%（%=0,1, 2,…，"一1"故当%"2时，正整数$的最小值为5,选C$练习3（2006年山东卷）已知（'2—'）的展开式中第三项与第五项的系数之比为3—肓，其中4"—1,则展开式中常数项是（"A.—45i B45iC.—45D*45解析：第三项的系数为一C2，第五项的系数为#4，由第三项与第五项的系数之比为3，解得$"10$当％"0,4,8时，该项为含'的整数次S 的项，所以展开式中含'的整数次S的项的系数之和为C8+C4+C8"72$题型五：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和%已知（1一'"5"a$+a'+a2'2 +a3'3+a4'4+a5'5,贝U（a$+a?+a4）（a]+ a3+a5）的值等于$解析：令'"1,可得a$+a1+a2+a3+ a4+a5=0$CD再令'"一1,可得a$一a1+a2一a3+ a4a52532$②则&%+1C；$①+②，变形得a$+a2+a4"16$①一②，变形得a1+a3+a5"—16$故（a$+a2+a4）（a1+a3+a5）的值等于—256$中，所有的奇数项的系数和为1024,求它展开式的中间项$解析：因为c$+C2+C4…+C%+…" C1+C3+---------C%+1+…"2$1,所以2$1" 1024,解得$"11$所以第6项、第7项为中间两项，&5+1"（—i"C；0'2$令40—5%"0,解得%"8$故所求的常数项为（—i）8C8$"45,选2$题型四：先利用通项公式，再讨论或确定有理数项!$二项式（2+逅'"的展开式中系数为有理数的项共有！）$A.6项B.7项C.8项D-项解析+3'"展开式的通项为&%+1" 25%%25%%2233C%$'%，项的系数为2233C%$$要使系数为有理数&需是6的倍数，所以％"0,6,12,18,24,30,36,42,48$故展开式中系数为有理数的项共有-项，选2$练习％（二+'"的展开式中含'462'15$丁）462'&6+1的整数次幕的项的系数之和为_____$（用数字作答）解析：&%+1"#8('"题型六：最（小）大系数，最大项!&在二项式（'一1）11的展开式中,系数最小的项的系数为_____$（结果用数值表示）解析：在二项式（'一1）11的展开式中，通项公式为&%+1"#11・工11%・（一1）%，要使此项的系数最小，需%为奇数，且c；1最大$根据二项式系数的性质可得，当%"5或6时, C；1最大，故系数最小的项为第6项（%"5）,等于一C11"—462,答案为一462$练习'在（1+2'）10的展开式中系数最大的项是多少？解析：假设&%+1项最大$J>"""""诃"知识篇知识结构与拓展丁今虫"""王""高二数学2021年5月因为&%+1=#0・2'%,所以*+1+1i%+11010。
二项式定理知识点及典型题型总结
二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：(a b)n=C n O a n -C；a nJ b^- -C n r a n^b^- -C n n b n (n ∙N )2、几个基本概念(1)二项展开式：右边的多项式叫做(a ■ b)n的二项展开式(2)项数：二项展开式中共有n ∙1项(3)二项式系数：C；(r =0,1,2,…，n)叫做二项展开式中第r+1项的二项式系数(4)通项：展开式的第r - 1项，即T rI=C n a n丄b r (r = 0,1,…，n)3、展开式的特点(1)系数都是组合数,依次为C n c ,C；,…,C；(2)指数的特点①a的指数由厂0(降幕)。
②b的指数由0 n (升幕)。
③a和b的指数和为n。
(3)展开式是一个恒等式，a, b可取任意的复数，n为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等•即C； =C；"(2)增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值n当n是偶数时，中间一项取得最大值C n2当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值0 12 kC 0+ C 1+ C 2+ …+c k+ …+ C(3)二项式系数的和：n n n nn -1 n C n2=C n2 =2n奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即C0"* …=C1n+c3+…A二项式定理的常见题型一、求二项展开式1•“ (a b)n”型的展开式例1•求(3 ,x1 )4的展开式；a2. “ (a -b)n”型的展开式例2•求(3.X 一1 )4的展开式;J X3•二项式展开式的“逆用”例3•计算1 -3c：∙9c n-27c n •.…•(-1)"3、；；二、通项公式的应用1.确定二项式中的有关元素例4.已知(旦- x )9的展开式中X3的系数为9,常数a的值为____________________ X \ 2 42.确定二项展开式的常数项例5. C-x-J )10展开式中的常数项是__________________站X3.求单一二项式指定幕的系数例6∙（χ2 一丄）9展开式中X9的系数是2 X三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7.（X _1） _（x _1）2∙（X _1）3一（X _1）4•（X _1）5的展开式中，X2的系数等于例8. （X2∙1）（x-2）7的展开式中，X3项的系数是______四、利用二项式定理的性质解题1. 求中间项例9. 求（T X 二）10的展开式的中间项;V XO2. 求有理项例10.求（77-厶）10的展开式中有理项共有____________ 项;VX3. 求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例11. 在二项式（X -1）11的展开式中，系数最小的项的系数是; ____ （2）一般的系数最大或最小问题例12•求（X- 2√8展开式中系数最大的项;（3）系数绝对值最大的项例13.在（X —y）7的展开式中，系数绝对值最大项是五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和例14.若（2x 亠3）4 = a0■ a1x ■ a2χ2■ a3χ3■ a4χ4,则(a0■ θ2 ∙a4)27a1 ■ a3)2的值为__________________ ;例15.设(2x -1)6 =a6χ6■ a5χ5 - ... ■ a1X ■ a0,贝U a°+ a1 +∣a2∣+…+ a6 _______ ；六、利用二项式定理求近似值例16.求0.998 6的近似值，使误差小于0.001 ；七、利用二项式定理证明整除问题例17.求证：5151 -1能被7整除。
《二项式定理》题型突破
《二项式定理》题型突破1.二项式定理的应用正用:将()n a b +展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,可先对其化简再用二项式定理展开.逆用:将多项式整理成()n a b +的展开式的形式,再逆用二项式定理,即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点,例如项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.对于化简多个式子的和时,可以考虑二项式定理的逆用. 2.二项展开式的通项的理解对于1C k n k kk n T ab -+=,应注意： (1)它表示()n a b +的展开式的第1k +项,而不是第k 项. (2)式中a 和b 的位置不能颠倒,且a 与b 的指数和为n .(3)它表示二项展开式中的任意项,只要n 和k 确定,1k T +这一项也随之确定,当k 依次取0,1,2,,n 时,得到展开式的第1,2,,1n +项.(4)对于()n a b -的二项展开式的通项,应是1k T +=(1)C k k n k kn ab --. (5)()n a b +的展开式的通项中,C (0,1,2,,)k n k n =是“二项式系数”,而不是“项的系数”,如在7(12)x +的展开式中,第4项37333343177C 1(2)8C T T x x -+==⨯⨯=,该项的二项式系数为37C ,而项的系数是378C .3.二项式系数与项的系数(1)二项展开式的二项式系数是指01C ,C ,,C n n n n 这些组合数,即()na b +的展开式的通项1C k n k kk n T ab -+=中的C (0,)k n k n k ≤≤∈N .求二项展开式中某一项的二项式系数,关键是要确定k 的值,要注意通项为展开式的第1k +项.(2)项的系数即该项中除变量外的常数部分,求二项展开式的指定项的系数,可直接写出二项展开式的通项,并令该项的次数与指定项的次数相等,求出k 的值,则指定项的系数就是把k 代入组合数式和常数式的乘积计算后所得的值.4.求二项展开式的特定项的常见题型：(1)求第1k +项,1C k n k kk n T ab -+=;(2)求含p x 的项(或p q x y 的项);(3)求常数项;(4)求有理项. 5.求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项,隐含条件是项的字母的指数为0(即0次项).(2)对于有理项,一般是先写出展开式的通项,然后令其所有的字母的指数都等于整数.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,进而求解.典型例题剖析题型1二项式定理的应用例1(1)52322x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为______.(2)1212C 4C 2C n nn n n ++++=_______.解析:(1)5051455232C (2)C (2)2x x x x ⋅⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭23233255222333C (2)C (2)222x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭454552552233180C (2)C 3212022x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4710135405243832x x x +- (2)原式01122C C 2C 2C 2(12)n nn n n n n =++++=+3n =.答案:(1)52471018013540524332120832x x x x x x -+-+- (2)3n变式训练1化简:543(2)5(2)10(2)x x x -+-+-+210(2)5(2)x x -+-.答案:原式051423555C (2)C (2)C (2)x x x =-+-+-+3245555C (2)C (2)C 1x x -+-+-56[(2)1]1(1) 1.x x =-+-=--题型2求二项展开式中的特定项或特定项的系数例2在7x ⎛- ⎝的展开式中,含4x 的项为_______.解析:x ⎛⎝的展开式的通项为1k T +=3772772C C (0,1,,7)3kkk k k k x x k --⎛⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝.今3742k -=,解得2k =.中含4x 的项为22447228C 33x x ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭.答案:6283x 解析:写出二项展开式的通项,令x 的指数等于4,求得k 的值,再求出含4x 的项. 总结归纳利用化简后的二项展开式的通项求常数项,只需令字母的指数为0;求有理项,只需令其所有的字母的指数都等于整数.变式训练2求91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数.答案:91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项是919C k k k T x -+=.9291(1)C kk k kx x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.由题意,得923k -=,所以3k =.因此,展开式中3x 的系数为339(1)C 84-⨯=-.解析:利用二项式定理求展开式中的某一项的系数,可以通过二项展开式的通项进行求解.题型3多项展开式问题例3(1)已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5,则a =_____. A.4- B.3- C.2-D.1-(2)5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的系数是______.解析:(1)5(1)x +的展开式的通项为15C k k k T x +=, 令1,2k =得1222535C ,C T x T x ==,因此5(1)(1)ax x ++的展开式中含2x 的系数为2155C C 5a +=,解得1a =-.(2)由多项式乘法的运算法则,可知5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的系数是5(12)x -的展开式中3x 的系数的2倍与5(12)x -的展开式中2x 的系数的和.因为5(12)x -的展开式的通项为15(2)C k k kk T x +=-, 令3k =,得到3x 的系数为358C 80-⨯=-,令2k =,得到2x 的系数为254C 40⨯=, 所以5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的系数是80-⨯240120+=-. 答案:(1)D (2)120- 规律总结1.形如()()m n a b c d ++的展开式中的特定项问题(1)分别对()m a b +与()n c d +的二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘,求和即可. 2.形如()n a b c ++的展开式问题应根据式子a b c ++的特点,将其转化为可以直接使用二项式定理的形式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性.变式训练3 512x x ⎛++ ⎝的展开式中的常数项为______(用数字作答).答案:2解析:551122x x x x ⎡⎛⎛⎫+=+ ⎪⎢⎝⎝⎭⎣,且它的展开式的通项为521512C (0,1,,5)2kk k k x T k x -+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.设512kx x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为515C r k rr k T x--+-=.5552522C (05,)k r r k r r r k k x x r k r -++-+----=-∈N . 令520r k --=,则25k r +=,可得1,2k r ==或3,1k r ==或5k =,0r =.当1,2k r ==时,所求常数项为1122254C 2C 2-⨯⨯⨯=2; 当3,1k r ==时,所求常数项为31152C C 2-⨯⨯=当5,0k r ==时,所求常数项为55C ⨯=综上,512x x ⎛+ ⎝+=. 题型4整除或近似计算例4 8386+被49除所得的余数是( ) A.14- B.0 C.14 D.35解析:由二项式定理展开,得838386(71)6+=++83182812828383837C 7C 7C 716=+⨯++⨯+⨯++278377M =+⨯+(M 是正整数)494912M =+⨯49N =(N 是正整数) 所以8386+被49除所得的余数是0. 答案:B变式训练4计算61.05=_______(精确到0.01). 答案:1.34解析6621.05(10.05)160.05150.05=+=+⨯+⨯++610.0510.30.0375 1.34⨯≈++≈.规律方法总结1.要牢记C k n k kn ab -是展开式的第1k +项,而非第k 项. 2.求解形如()()m n a bcd ++的展开式问题的思路 (1)若,m n 中有一个比较小,可考虑把它展开,如()222()()2()n n a b c d a ab b c d ++=+++,然后根据已知条件求解.(2)观察()()a b c d ++是否可以合并,如57(1)(1)x x +-⋅()55222[(1)(1)](1)1(1)x x x x x =+--=--.(3)分别得到(),()m n a b c d ++的二项展开式的通项,综合考虑. 3.二项式定理应用的常见题型及求解策略(1)整除问题和求近似值是能运用二项式定理解决的两类常见问题,整除问题中关注展开式的最后几项,而求近似值则关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用,注意选择合适的形式. (3)利用二项式定理进行近似计算:当n 不很大,||x 比较小时,0011(1)C C 1n n n x x x nx +≈+=+.若精确度要求较高,则可使用更精确的公式0011(1)C C n n n x x x +≈++222(1)C 12n n n x nx x -=++.。
二项式定理题型种种及解析
二项式定理题型种种及解析
二项式定理主要应用在排列组合概念上，可以求解给定n个物体，选择m个物体排列组合成一组并且可以重复计算出选择不同个数的物体组合的数量。
二项式定理考题主要有以下几种：
一、从n个元素中取m个元素的所有可能性
这种考题的关键就在于搞清楚n个元素中取m个元素的所有可能性有多少种。
二项式定理可以游刃有余的解决这种题目，前提条件是没有重复的元素选择。
具体的求解方法是运用二项式定理：Cnm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)／m!
二、从n个元素中取m个元素的组合数
二项式定理也可以求解从n个元素中取m个元素的组合数，它可以求出在选取不需要重复元素的情况下，挑选m个组合的数量。
公式是：组合数＝C（n，m）/m!
三、n的阶乘的计算
二项式定理也可以求解n的阶乘，其计算公式是：n!=n(n－1)(n－2) (1)
／2!，也就是二项式定理中NSm=0时的值。
二项式定理考点与题型归纳
二项式定理考点与题型归纳一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)❶；(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n❷.2.二项式系数的性质(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量[例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________.[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40.(2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·C r 5·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3. (3)⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量.考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n ＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4. 令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2， 于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06 ·(－1)0·C 24＋C 16 ·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3.(2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. [答案] (1)B (2)25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30D.60(2)将⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6x 3－k .令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.[题组训练]1.(2018·洛阳第一次统考)若a ＝∫π0 sin x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中的常数项为( )A.－15B.15C.－240D.240解析：选D 由a ＝∫π0 sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r ，令3－32r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 26·24＝240.2.(2019·福州四校联考)在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)解析：二项展开式中，含x 5的项是C 562x 5－x 3C 2624x 2＝－228x 5，所以x 5的系数是－228.答案：－2283.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)的展开式中的常数项为________.解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322.答案：6322考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A.63x B.4x C.4x 6xD.4x或4x 6x (2)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解析] (1)令x ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x .(2)⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ， 因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.[答案] (1)A (2)255 (3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可.(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[题组训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A.1B.243C.121D.122解析：选B 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.2.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.解析：令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.答案：－3或13.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.解析：由已知得C n－2n ＋C n－1n＋C n n＝121，则12n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C715(3x)7和T9＝C815(3x)8.答案：C715(3x)7和C815(3x)8考点三二项展开式的应用[典例精析]设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解析]由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝C02 018522 018－C12 018522 017＋…－C2 0172 018521＋1，又13整除52，所以只需13整除1＋a，又0≤a＜13，a∈Z，所以a＝12.[答案]D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[题组训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4解析：选C ∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.2.1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数为________. 解析：∵1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数为1. 答案：1[课时跟踪检测]A 级1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)⎝⎛⎭⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( )A.－32B.32C.6D.－6解析：选D 通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r·(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r ·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－90121解析：选C 由二项式定理，得a 1＝－C 1524＝－80，a 2＝C 2523＝80，a 3＝－C 3522＝－40，a 4＝C 452＝10，所以a 2＋a 4a 1＋a 3＝－34. 3.若二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( ) A.560 B.－560 C.280D.－280解析：选A 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7 ·(x 2)7－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7 ·(－2)r ·x 14－3r .令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560.4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.212解析：选A 由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.5.二项式⎝⎛⎭⎫1x －2x 29的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( ) A.－671 B.671 C.672D.673解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫1x 9－r ·(－2x 2)r ＝C r 9(－2)r ·x 3r －9，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中的常数项为C 39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.6.(2018·石家庄二模)在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A.－5 B.－15 C.－25D.25解析：选B 由题意含x 4项的系数为－2C 35＋C 45＝－15.7.(2018·枣庄二模)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C.1D.2解析：选D ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210.所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2. 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3B.－3C.1D.1或－3解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.9.(2019·唐山模拟)(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 3623(－1)3＝－160.答案：－16010.(2019·贵阳模拟)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，解得a ＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.答案：011.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为________. 解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5－r .令r ＝5，得常数项为C 55＝1，令r ＝3，得常数项为C 35·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 15·C 24＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51.答案：5112.已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项.解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去). (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4(r ＝0,1，…，8)，要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2. (3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－r C r 8，则a r ＋1a r ＝2－r C r 82－(r －1)C r －18＝9－r 2r≥1， a r ＋1a r ＋2＝2－r C r 82－(r ＋1)C r ＋18＝2(r ＋1)8－r ≥1， 解得2≤r ≤3.当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，B 级1.在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 2项的系数是( )A.35B.－35C.－56D.56解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－x －1)r ＝(－1)r C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56.2.已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析：选C 因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63.3.(2019·济南模拟)⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________.解析：令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中含x 4项的系数即是⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和.又⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 3项与含x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－484.设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝( ) A.iB.－iC.－1＋iD.－i －1解析：选D 因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，所以C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1. 5.已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A.39B.310C.311D.312解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.6.设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6展开式中的常数项为________. 解析：a ＝⎠⎛01 2x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15. 答案：15。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n nn n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。
6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=L解：012233(16)6666n n nn n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅L 与已知的有一些差距，123211221666(666)6n n nn n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅L L 0122111(6661)[(16)1](71)666n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-L练：1231393 .n nn n n n C C C C -++++=L 解：设1231393n nn n n n n S C C C C -=++++L ，则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-L L (13)14133n n n S +--∴==题型二：利用通项公式求n x 的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知245n n C -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r r rrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得， 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。
练：求291()2x x-展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222r r r r r r r rr r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-。
题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(x 的展开式中的常数项？ 解：5202102110101()()2r rrrr r r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88910145()2256T C ==练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项？ 解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r rr T C x C xx ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以3346(1)20T C =-=-练：若21()n x x+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==，令2120n -=，得6n =. 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-，令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或， 所以当3r =时，2746r -=，334449(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736r -=，3933109(1)T C x x =-=-。
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .解：设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n nn a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=② 将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=。
练：若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
解：0242132112r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=Q L ，121024n -∴=，解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==，565451462nT C x -+==⋅，611561462T x -+=⋅题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2)2n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+=Q 解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数，434571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，7778141C ()234322T ∴==的系数。
练：在2()na b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即2112nn T T ++=，也就是第1n +项。
练：在(2n x 的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则152n+=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =例：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347T C a b =-的系数最小，43457T C a b =系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项？解：由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22x x +=+Q1111212111212124444r r r r r r r rr r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤Q ，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x ==练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？解：假设1r T +项最大，1102r r rr T C x +=⋅Q111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤Q ，7r ∴=，展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x == 题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为1445423C C x 它的系数为1445423240C C =。