极坐标及极坐标方程的应用精编版
极坐标系和极坐标方程
极坐标系和极坐标方程一、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条 射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5.极坐标与直角坐标的互化：6.直线的极坐标方程：极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点A(,0)(0)a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是cos a ρθ=.在极坐标系中，过点0A(,)(0)a a θ>，且垂直于直线OA 的直线l 的极坐标方程是0cos()a ρθθ-=. 在极坐标系中，过点00A(,)ρθ，且与极轴成α角的直线的极坐标方程是00sin()cos()ραθραθ-=-.7.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ； 在极坐标系中，以 C(,0)(0)r r >为圆心， r 为半径的圆的极坐标方程是 2cos r ρθ=；在极坐标系中，以 C(,)(0)2r r π>为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 2rsin ρθ=；在极坐标系中，以 00C(,)ρθ 为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是2220002cos()r ρρρρθθ+--=；8.圆锥曲线方程：（1）1cos epe ρθ=-表示离心率为e ，焦点到相应准线距离为p 的圆锥曲线方程。
参数方程与极坐标方程及应用(学生版)
参数方程与极坐标方程及应用简单曲线的极坐标方程题型一：平面直角坐标系中的伸缩变换 1．求椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．2．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：X ＝ax (a ＞0)，Y ＝by (b ＞0)，求a ，b 的值．题型二：极坐标系与直角坐标系的互化【例1】 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．[题型训练]已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cosθ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．题型三：极坐标方程的应用【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[题型训练] 在极坐标系中，求直线ρsinθ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．课后练习1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．3．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .二：参数方程 [常用结论]根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. (1)弦长l ＝|t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|. 题型一：参数方程与普通方程的互化 1．将下列参数方程化为普通方程．(1)x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．题型二：参数方程的应用【例1】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．[题型训练] 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|P A |·|PB |的值．题型三：极坐标、参数方程的综合应用【例2】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．[题型训练] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M为l 3与C 的交点，求M 的极径．课后练习1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．最新两年高考题选做1．(2021年高考全国甲卷理科)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=． (1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．2．(2021年高考全国乙卷理科)在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．(1)写出C 的一个参数方程;(2)过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t= = (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ−+=． (1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ = = ，(θ为参数)，C 2：1,1x t ty t t=+ =−(t 为参数)．(1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t=−− =−+ (t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A 、B 两点．(1)求||AB ；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．。
极坐标系与极坐标方程
极坐标系及极坐标方程一、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条 射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5.极坐标与直角坐标的互化：6.直线的极坐标方程：极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点A(,0)(0)a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是cos a ρθ=.在极坐标系中，过点0A(,)(0)a a θ>，且垂直于直线OA 的直线l 的极坐标方程是0cos()a ρθθ-=. 在极坐标系中，过点00A(,)ρθ，且与极轴成α角的直线的极坐标方程是00sin()cos()ραθραθ-=-.7.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ； 在极坐标系中，以 C(,0)(0)r r >为圆心， r 为半径的圆的极坐标方程是 2cos r ρθ=；在极坐标系中，以 C(,)(0)2r r π>为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 2rsin ρθ=；在极坐标系中，以 00C(,)ρθ 为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 2220002cos()r ρρρρθθ+--=；8.圆锥曲线方程：（1）1cos epe ρθ=-表示离心率为e ，焦点到相应准线距离为p 的圆锥曲线方程。
极坐标系的性质与极坐标方程的应用
极坐标系的性质与极坐标方程的应用极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用极径和极角来唯一确定一个点的位置。
极坐标系具有一些与直角坐标系不同的性质，同时，极坐标方程也有着广泛的应用。
本文将探讨极坐标系的性质以及极坐标方程在不同领域的应用。
一、极坐标系的性质在极坐标系中，一个点的位置可以由极径和极角来确定。
极径表示该点到原点的距离，而极角表示该点与极轴的夹角。
极坐标系的性质如下：1. 原点：极坐标系的原点即为极坐标的起点，表示为O。
2. 极轴：极轴是极坐标系中的一条直线，通过原点O，并与x轴方向相同。
极轴的角度为0或360度。
3. 极径：极径表示一个点到原点O的距离，通常用r表示。
极径的取值范围可以是非负实数，即r≥0。
4. 极角：极角表示一个点与极轴的夹角，通常用θ（读作西塔）表示。
极角的取值范围可以是[0, 2π) 或[0, 360°)。
5. 制正：在极坐标系中，负极径和负极角并不常见。
一般来说，极径为负表示该点位于极轴的反方向，而极径为正表示该点位于极轴方向。
极角为负表示该点位于极轴的逆时针方向，而极角为正表示该点位于极轴的顺时针方向。
二、极坐标方程的应用极坐标方程是一种通过极坐标表示点的坐标的方程形式。
极坐标方程在各个领域有着广泛的应用，以下将介绍几种常见的应用。
1. 极坐标方程与图形绘制：极坐标方程可以描述各种图形的形状，例如圆、椭圆、双曲线等。
通过调整极坐标方程中的参数，可以绘制出不同形态的图形，实现对图形的变换和调整。
2. 极坐标方程与物体运动：在物体运动的描述中，极坐标方程可以提供更直观的表达方式。
例如，在天文学中，行星绕太阳运动的轨迹可以使用极坐标方程来描述。
3. 极坐标方程与工程设计：在工程设计中，极坐标方程可以用来描述物体的形状和运动规律。
例如，在风力发电机的设计中，可以使用极坐标方程来描述风轮的叶片形状，以实现最大的能量转化效率。
4. 极坐标方程与电磁场分布：在电磁学和电路设计中，极坐标方程可以用来描述电场和磁场的分布情况。
极坐标与参数方程极坐标与参数方程的转化与应用
极坐标与参数方程极坐标与参数方程的转化与应用极坐标与参数方程的转化与应用极坐标与参数方程是数学中常见的两种描述曲线的方式。
它们分别以极坐标形式和参数方程形式表达了曲线上的点的位置。
本文将探讨极坐标与参数方程之间的转化方法以及它们在不同领域的应用。
一、极坐标与参数方程的转化1. 极坐标转参数方程极坐标中，一个点的坐标由极径（r）和极角（θ）表示。
为了将极坐标转化为参数方程，我们可以使用三角函数来表示坐标中的sinθ和cosθ。
考虑一个圆的极坐标方程：r = a，其中a为常数。
我们可以将其转化为参数方程：x = a * cosθy = a * sinθ类似地，对于其他曲线的极坐标方程，可以使用类似的方法进行转化。
2. 参数方程转极坐标要将参数方程转化为极坐标方程，我们可以使用以下方法。
考虑参数方程：x = f(t)，y = g(t)，其中t为参数。
我们可以计算出r和θ的值：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)根据具体的参数方程形式，可以采用类似的方法进行转化。
二、极坐标与参数方程的应用1. 极坐标的应用极坐标常用于描述圆形和对称曲线。
其在物理、工程和计算机图形学等领域有广泛的应用。
例如，在物理领域中，极坐标常常用于描述旋转和循环运动。
在天文学中，极坐标可以描述行星轨道的形状。
此外，在计算机图形学中，极坐标可以用于绘制对称图形，如花瓣、螺旋等。
它可以帮助我们更好地理解和模拟自然界中的曲线形状。
2. 参数方程的应用参数方程能够描述复杂的曲线和曲面。
它在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用。
在物理学中，参数方程常用于描述粒子运动轨迹。
例如，可以通过参数方程来描述自由落体运动中物体的位置随时间的变化。
在工程学中，参数方程可以用于描述曲线或曲面的形状。
例如，在建筑设计中，可以使用参数方程来描述曲线形状的建筑物外观。
在计算机图形学中，参数方程常用于绘制复杂的曲线和曲面。
极坐标系与极坐标方程的应用
极坐标系与极坐标方程的应用极坐标系和极坐标方程是数学中一种常用的坐标系和数学表达方法。
它们在许多领域中具有广泛的应用。
本文将介绍极坐标系和极坐标方程的基本概念，并探讨它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域中的具体应用。
一、极坐标系的基本概念极坐标系是一种二维坐标系，它由一个原点O和一个极轴构成。
极轴是从原点O出发的射线，表示角度的方向。
任意一点P可以用极径r 和极角θ来表示。
极径r是从原点O到点P的距离，极角θ是极轴与射线OP之间的夹角。
二、极坐标方程的基本形式极坐标方程是一种用极径和极角来表示的方程。
一般来说，极坐标方程可以表示为r = f(θ)，其中f(θ)是θ的函数。
三、极坐标系与物理学的应用极坐标系在物理学中有广泛的应用。
例如，在天文学中，极坐标系可以用来描述天体的位置和运动。
天体的轨迹可以由极坐标方程来表示，通过观测其极径和极角的变化来研究天体的运动规律。
此外，在力学中，我们也可以使用极坐标系来描述刚体的运动。
通过将刚体的运动分解为径向和切向两个方向的运动，可以简化力学问题的求解过程，更加方便地分析刚体受力和受力矩的情况。
四、极坐标方程与工程学的应用在工程学中，极坐标方程有很多应用。
例如，在电磁场分析中，可以使用极坐标方程来描述电荷或电流的分布情况。
通过求解极坐标方程，可以计算出电磁场的分布情况，并用于指导电子器件的设计和优化。
此外，在建筑工程中，极坐标方程也有一些应用。
例如，可以用极坐标方程来描述圆形的建筑物或结构的形状和尺寸。
极坐标方程提供了一种简洁的方式来描述复杂的建筑物形状，有助于工程师进行结构设计和施工规划。
五、极坐标系与计算机图形学的应用在计算机图形学中，极坐标系也有重要的应用。
通过极坐标系，可以方便地描述和生成曲线和图像。
例如，通过调整极径和极角的变化，可以绘制出各种形状的图案和曲线，包括圆、螺旋线、心形线等。
此外，在图像处理中，也可以使用极坐标系来实现图像的旋转和变形等操作。
极坐标方程及其应用(精)
θ1ρ O(,)P ρθx极坐标方程及其应用一、基础知识 1． 极坐标系：平面内的一条规定有单位长度的射线Ox ，O 为极点，Ox 为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系． 2．极坐标系内一点P 的极坐标：平面上一点P 到极点O 的距离||OP 称为极径ρ，OP 与Ox 轴的夹角θ称为极角，有序实数对(,)P ρθ，就叫做点P 的极坐标．（1）一般情况下，不特别加以说明时ρ表示非负数． 当0ρ=时表示极点；当0ρ<时，点(,)P ρθ的位置这样确定：作射线OP ，使xOP θ∠=，在OP 的反向延长线上取一点'P ，使得'||OP ρ=，点'P 即为所求的点．（2）点(,)P ρθ与点(,2)()k k Z ρπθ+∈所表示的是同一个点．综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即(,)ρθ，(,2)k ρπθ+，(,(21))k ρπθ-++均表示同一个点．（3）若0ρ<,则0ρ->,规定点(,)ρθ-与点(,)ρθ关于极点对称，即(,)ρθ-与(,)ρπθ+表示同一点．如果规定0,02ρθπ>≤≤，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示；同时，极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的．3．极坐标与直角坐标的互化：极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不唯一的． 4．直线的极坐标方程：若直线l 经过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α ，求直线l 的极坐标方程． 设直线l 上任意一点的坐标为P (ρ，θ)，由正弦定理，得：)0(n t ,sin ,cos ,222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρsin sin OP OMOMP OPM=∠∠， 整理得直线l 的极坐标方程为00sin()sin()ρθαρθα-=-．一些特殊位置的直线方程如下：经过极点 经过定点M (a ，0)，且与极轴垂直 经过定点M (b ，π2)，且与极轴平行 θ = αρcos θ = aρsin θ = b5．圆的极坐标方程：若圆的圆心为00(,)M ρθ，半径为r ，求圆的极坐标方程． 设P (ρ，θ)为圆上任意一点，由余弦定理，得2222cos PM OM OP OM OP POM =+-∠，则圆的极坐标方程是：2220002cos()0r ρρρθθρ--+-=．一些特殊位置的圆的方程如下(设圆的半径为r)： 圆心在极点 圆心在极点右侧 圆心在极点上方 圆心在极点左侧 圆心在极点下方 ρ = r ρ = 2r cos θ ρ = 2r sin θ ρ = −2r cos θ ρ = −2r sin θ二、典型例题例1．(2003北京)极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（ ）D(A)圆(B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线例2．(2001年全国)极坐标方程ρ=2sin(θ+π)的图形是（）CxOl M (b ，π2)a(A) (B) (C) (D) 例3．(2000年京皖春)直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系（ ）B(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合例4．(2002北京春)在极坐标系中,如果一个圆的方程是ρ=4cos θ+6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（ ）A(A) ρsin θ=3 (B) ρsin θ = –3 (C) ρcos θ =2 (D) ρcos θ = –2 例5．(2003上海)在极坐标系中，定点A(1,2π)，点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是_________．解析：在直角坐标系中，A 点坐标为(0,1)，B 点在直线x +y =0上， AB 最短，则B 为)21,21(-，化为极坐标为)43,22(π． 例6．(2007广东)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2,6π)到直线l 的距离为_________．2例7．(1999年全国)在极坐标系中,曲线ρ= 4sin(θ-3π)关于（ ）B (A) 直线θ=3π轴对称 (B)直线θ=65π轴对称(C) 点(2, 3π)中心对称 (D)极点中心对称例8．(2006上海)在极坐标系中,O 是极点，设点A(4,3π)，B(5,65π-)，则△OAB 的面积是 ． 5例9．（2009辽宁卷）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos()13πρθ-=，M 、N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； （2）设M N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解析：（1）当0θ=时，2ρ=，∴M 的极坐标（2，0）；当2πθ=时，3ρ=，∴N 的极坐标()32π． （2）直线OP 的极坐标方程为,(,)6πθρ=∈-∞+∞．三、巩固练习1．（2013安徽理5）在极坐标系中，点 (,)π23到圆2cos ρθ=的圆心的距离为（ ）D（A ）2 (B)249π+(C)219π+（D)32．（2013北京理3）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是（ ） (A) (1,)2π(B) (1,)2π- (C) (1,0) (D)(1，π)解析：将极坐标方程化为普通方程得：0222=++y y x ，圆心的坐标为)1,0(-，其极坐标为)23,1(π，选B ． 3．（2010北京卷理5）极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（ ） （A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线4．(2000年京皖春)直线θα=和直线sin()1ρθα-=的位置关系（ ） (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合 5．（2012年上海理）在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=．若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式,则=)(θf _________．6．（2012陕西理）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为________．3 7．（2012年湖南）在极坐标系中,曲线1C :(2cos sin )1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上,则a =_______．8．（2008广东卷）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．(23,)6π9．（2012年江苏）在极坐标中,已知圆C 经过点()24P π，，圆心为直线3sin 32ρθπ⎛⎫-=-⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．10．在极坐标系Ox 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫1，α2，B ⎝⎛⎭⎫1，－α2 02πα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，求过AB 的中点，且与OA 垂直的直线的极坐标方程．解：设AB 的中点为C ， 则|OC |＝cos α2，过C 作CD ⊥OA于D ．则|OD |＝|OC |·cos α2＝cos 2 α2．设M (ρ，θ)是直线CD 上的任意一点，则∠MOD ＝θ－α2，在△MOD 中，|OD |＝|OM |cos ⎝⎛⎭⎫θ－α2，即cos 2 α2＝ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－α2，所以直线CD 的极坐标方程为cos 2 α2＝ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－α2．。
高考数学二轮复习-专题30 极坐标与参数方程的应用(解析版)
又因为 O是圆 C 上的点，所以 POQ PCQ π 。
26
【三】最值、几何意义的综合问题
1.距离最值（点到点、曲线点到线、） 距离的最值： ---用“参数法” （1）曲线上的点到直线距离的最值问题 （2）点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 2.面积的最值问题 面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题 3.几何意义及其综合应用：
P(2,
)
在曲线
cos(
)
2
上．
3
3
所以，l的极坐标方程为
cos(
)
2
．
3
（2）设 P(, ) ，在 Rt△OAP 中， | OP || OA | cos 4 cos , 即 4 cos ．
因为P在线段OM上，且
AP
OM
，故
的取值范围是 [
,
]
．
42
所以P点轨迹的极坐标方程为
4 cos ,
（1）分别写出 M1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；
（2）曲线 M 由 M1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在 M 上，且 | OP | 3 ，求 P 的极坐标．
【解析】（1）由题设可得，弧 AB, BC,CD 所在圆的极坐标方程分别为
2 cos ， 2sin ， 2 cos ．
[ ,
] ．[来源:学*科*网]
42
【练习 2】在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P (2 2, ) ，圆心为直线ρsin(θ－π)＝－ 3与极轴的交点，求
（完整版）极坐标与参数方程知识点、题型总结（最新整理）
（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。
，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x xρθ?=+??=≠?3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。
（⼆）．常见曲线的参数⽅程如下：直线的标准参数⽅程1、过定点（x 0，y 0），倾⾓为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的⼏何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|(2)直线上对应的参数是。
极坐标及极坐标方程的应用
极坐标及极坐标方程的应用极坐标是描述平面上点位置的一种坐标系统，它由极径（r）和极角（θ）两个参数组成。
极坐标的引入为我们提供了一种不同于直角坐标系的视角，使得我们能够更加便捷地描述和计算某些几何问题。
本文将介绍极坐标及其方程的基本概念，并阐述其在数学和物理领域的应用。
**一、极坐标的基本概念**在直角坐标系中，我们用(x, y)表示点的位置，x代表水平方向上的距离，y代表垂直方向上的距离。
而在极坐标系中，我们使用(r, θ)来描述点的位置，其中r为该点到原点的距离，θ为该点与极轴的夹角。
在极坐标系中，极轴是一个特殊的直线，通常以水平方向为极轴。
当θ的值为0时，表示点在极轴上；当θ的值为90°时，表示点在极轴的顺时针方向上。
需要注意的是，极角θ的取值范围通常为[0, 2π)或者[-π, π)，因为角度的周期性使得我们不必限定θ的值只在一段特定的范围内。
**二、极坐标方程的表达形式**在极坐标系中，点的位置可以通过极坐标方程来表示。
极坐标方程的一般形式为(r, θ) = f(θ)，其中f(θ)为定义在给定区间上的函数。
通过调整函数的形式和定义域，我们可以绘制出各种各样的曲线。
最常见的极坐标方程形式是：- r = f(θ)，其中r表示极径关于极角θ的函数。
- θ = f(r)，其中θ表示极角关于极径r的函数。
通过调整极坐标方程的形式，我们可以绘制出各种曲线，如直线、圆、椭圆、双曲线等。
而且，这些曲线在极坐标系下的方程往往更加简洁和直观，因为它们与极径和极角之间的关系更为紧密。
**三、极坐标在数学中的应用**极坐标在数学中有许多应用，其中较为常见的有极坐标方程的图形分析和曲线积分。
**1. 图形分析**极坐标方程可以用于描述和分析各种曲线的形状和特性。
通过观察极坐标方程的性质，我们可以获得曲线的极值点、渐近线、对称轴等特点，从而更好地理解和研究曲线的性质。
例如，对于极坐标方程r = a(1 + cosθ)表示的曲线，我们可以发现它是一个心脏形状的曲线，其中a为常数。
极坐标的几个应用
方程为 ρ(θ) = a(1 ? cosθ) 的心脏线的面积为：S=3（πa^2）/2
双纽线也称伯努利双纽线， 双纽线
设定线段AB长度为2a,动点M满足 MA*MB=a^2 那么M的轨迹称为双纽线
编辑本段方程
取AB为x轴，中点为原点，那么A,B坐标分别为(-a,0),(a,0) 设M(x,y),则 根号[(x+a)^2+y^2]*根号[(x-a)^2+y^2]=a^2 整理得 (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2) 这就是 双纽线直角坐标方程。 在极坐标中，可化简得 ρ^2=a^2*cos2θ 另一个双纽线的方程是：ρ^2=a^2*sin2θ 极坐标方程下：x=ρcosθ,y=ρsinθ
圆锥曲线
r= e*p / (1 + e*cosθ) 其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。
方程
在笛卡儿坐标系中，心脏线的参数方程为： x(t)=2r(cost-cost^2) y(t)=2r(sint-sin2t^2) 其中r是圆的半径。曲线的尖点位于（r，0）。 在极坐标系中的方程为： ρ(θ)=2r(1-cosθ)
设定线段AB长度为2a,动点M满足 MA*MB=a^2 那么M的轨迹称为双纽线
编辑本段方程
取AB为x轴，中点为原点，那么A,B坐标分别为(-a,0),(a,0) 设M(x,y),则 根号[(x+a)^2+y^2]*根号[(x-a)^2+y^2]=a^2 整理得 (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2) 这就是 双纽线直角坐标方程。 在极坐标中，可化简得 ρ^2=a^2*cos2θ 另一个双纽线的方程是：ρ^2=a^2*sin2θ 极坐标方程下：x=ρcosθ,y=ρsinθ
（完整版）极坐标几何意义的运用
（完整版）极坐标几何意义的运用极坐标、参数方程几何意义的应用一、t 几何意义的理解：1、(2018·武汉调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为?x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 与曲线C交于A ，B 两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)已知点P 的极坐标为22，π4，求|PA |·|PB |的值.2、(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为?x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点. (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.二、ρ几何意义的理解：3、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R).(1)求曲线C 的极坐标方程；4、（2019顺德一模）在直角坐标系xOy中，曲线12cos :2sin x C y ?=+=?? （?为参数），直1cos sin x t l y t αα=??=?：（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 与1l 的极坐标方程；（2）当63ππα-<<时，直线1l 与C 相交于O A 、两点；过点O 作1l 的垂线2l ，2l 与曲线C 的另一个交点为B ，求OA OB +的最大值．5、（2019广州）已知曲线C的极坐标方程为2sin ρθθ+，直线1:()6l πθρ=∈R ，直线2:()3l πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,OB 两点，求AOB △的面积．6、已知曲线C 的参数方程为x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π6＝4. (1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6与曲线C 交于O ，P 两点，求△PAB 的面积.7、(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为?x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.8、(2018·湖南六校联考)已知直线l 的参数方程为x ＝1＋2 018t ，y ＝3＋2 0183t(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋23ρsin θ－4. (1)求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|OA |·|OB |.极坐标、参数方程几何意义的应用参考答案：1、解 (1)l 的普通方程为x ＋y －1＝0；又∵ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，∴x 2＋y 2＋y 2＝2，即曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2 ＝1.(2)点P 的直角坐标为12，12.法一 P 12，12在直线l 上，直线l 的参数方程为x ＝12－22t ′，y ＝12＋22t ′(t ′为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程得12－22t ′2＋212＋22t ′2－2＝0，即32t ′2＋22t ′－54＝0，|PA |·|PB |＝|t 1′|·|t 2′|＝|t 1′t 2′|＝56. 2、解(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点. 当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O交于两点当且仅当??21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4. 综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l 的参数方程为x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4<α<3π4).设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4<α<3π4).3、解 (1)将方程x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，∴曲线C 的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ＝12.(2)设A ，B 两点的极坐标分别为ρ1，π6，ρ2，π6，由ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6消去θ得ρ2－23ρ－12＝0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，∴ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12，∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝215.4、解：（1）因为曲线12cos :2sin x C y ?=+=?? （?为参数），所以曲线C的普通方程为：22(1)(4x y -+=………………………1分由cos ,sin x y ρθρθ==得C的极坐标方程为22cos sin 0ρρθθ--=．化简得：2cos ρθθ=+……………………………………2分因为直线1cos sin x t l y t αα=??=?：（t 为参数），所以直线1l 的极坐标方程为：()θαρ=∈R (4)分（漏写ρ∈R 不扣分）（2）设点A 的极坐标为(,)A ρα，63ππα-<<，则2cos 4sin 6A πρθθα??=+=+……6分点B 的极坐标为,2B πρα??+，则4sin 4cos 266B πππραα??=++=+ ? ??………7分54sin 4cos 6612A B OA OB πππρρααα∴+=+=+++=+ ? ? ???????……8分所以当12πα=时，()maxOA OB+=………………………………………10分解法二：由已知得：90AOB ∠=?，AB ∴为O e 的直径…………………5分故有2222416OA OB AB +===，………………………………………6分222822OA OB OA OB+?+∴= ?≤，……………………8分即OA OB +=≤9分当且仅当OA OB ==时，OA OB +取得最大值10分5、解：(1) 依题意，直线1l的直角坐标方程为y x =，2l的直角坐标方程为y =．…2分因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，………3分所以22(3)(1)4x y -+-=，……………………………4分所以曲线C的参数方程为32cos 12sin x y αα=+??=+??（α为参数）．……………………5分（2）联立6=23cos 2sin πθρθθ?=?+?得14OA ρ==，……………………………6分同理，223OB ρ==．……………………………………………………………7分又6AOB π∠=，………………………………………………………………………8分所以111sin 42323222AOBS OA OB AOB ?=∠==，…………………9分即AOB ?的面积为23．……………………………………………………………10分6、解 (1)由?x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ.得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.从而曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，因为直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋1 2ρcos θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0.(2)依题意，联立射线θ＝π3与曲线C 的极坐标方程，得A ，B 两点的极坐标分别为2，π3，4，π3，联立射线θ＝11π6与曲线C 的极坐标方程，得P 点极坐标为23，11π6，∴|AB |＝2，∴S △PAB ＝12×2×23sin π3＋π6＝2 3. 7、解 (1)由l 1：?x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)消去t ，得l 1的普通方程y ＝k (x －2)，①(2)将直线l 3化为普通方程为x ＋y ＝2，联立x ＋y ＝2，x 2－y 2＝4得x ＝322，y ＝－22，∴ρ2＝x 2＋y 2＝184＋24＝5，∴l 3与C 的交点M 的极径为 5.8、解 (1)由x ＝1＋2 018t ，y ＝3＋2 0183t消去t ，得y －3＝3(x －1)，即y ＝3x . ∴直线l 的普通方程为y ＝3x . 曲线C ：ρ2＝4ρcos θ＋23ρsin θ－4. ∴其直角坐标方程x 2＋y 2＝4x＋23y －4，即(x －2)2＋(y －3)2＝3.(2)易由y ＝3x ，得直线l 的极坐标方程为θ＝π3.代入曲线C 的极坐标方程为ρ2－5ρ＋4＝0，所以|OA |·|OB |＝|ρA ·ρB |＝4.。
极坐标系的方法和应用(教师版)
y
∵ PO PA ∴ x y
2 2
P
A
x 5 y t
2
2
2
O
①
x
整理得10 x 2t y 25 t 0
APO 120，
tan APO tan120
k AP yt y ，kOP ， x 5 x
k AP kOP 1 k AP kOP
1
1
1
方法三：应用正弦定理 设 OAP 则在ΔAOB 中
1
2
sin( ) 3
同理在ΔAOP 中
1
2 3 1 1 tan sin 2 2 2
sin(
1 2
3
)
sin
1 3 1 tan 2 2
∴
1 1 1 1 1 1即 1 2 2
所以 0 则有
2 , 0 2 cos 0 ， 5
2 2 cos ， 5
所以 5cos ． 仔细分析题目，本题的实质就是定圆 2cos 上的点的极径 变成原来的 样按照我们给出的规律可以快速找到答案。 解： 由题意
5 倍，这 2
OQ 5 5 2 2 ， 即 变为原来的 倍， 则 ， 在所求曲线为 2 cos ， OP 2 2 5 5
化简为 5cos 。 2、 旋转 例3、 极坐标系中，直线
cos( ) 2
6
6
cos 2
和直线
6
cos( ) 2 的位置关系为（ ）
6
A．平行 C．相交但不垂直 B．垂直 D．不能确定 O
极坐标方程及其应用
考点一极坐标方程及其应用例题(2015山西四校联考)在直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程x = 1 + cos ©(©为参数)•以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. y = sin©①求圆C 的极坐标方程；n n② 直线I 的极坐标方程是2 p in E+ 3 = 3 3,射线OM : A3与圆C 的交点 为O 、P ,与直线I 的交点为Q ,求线段PQ 的长.【审题立意】本题考查极坐标方程，属于中档题. 【技能突破】求解极坐标方程的题应注意两点：(1) 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程时，如果不容易直接转化，要先变 形. (2) 已知两曲线的极坐标方程求交点时，可首先化为直角坐标方程，求出直 角坐标交点，再化为极坐标.【解题思路】把直角坐标方程化为极坐标，注意化简，联立求交点坐标. 【参考答案】①圆C 的普通方程为(x - 1)2 + y 2= 1，又x = p os O, y = p in 9, 所以圆C 的极坐标方程为2cos 9.尸 2cos 9②设P(p, 9),则由 n ，解A ；p sin 9+ 3cos 9 = 3 3设Q( p, 9)，则由 n缸3 所以 |PQ|= 2. 【变式训练】(2015课标全国卷I )在直角坐标系xOy 中，直线C 1： x =- 2,圆C 2： (x - 1)2 + (y - 2)2= 1,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1, C 2的极坐标方程；冗(2)若直线C 3的极坐标方程为 =4( p€ R)，设C 2与C 3的交点为M , N ,求 △ C 2MN 的面积.解析：(1)因为x = p os 9, y = p in 0所以C 1的极坐标方程为 p os 0=- 2, C 2的极坐标方程为 p-2 p os 9-4 psin 9+ 4 = 0.⑵将 9=才弋入 p - 2 p os 9— 4 p in 9+ 4= 0, 得 p-3.2 p+ 4 = 0,n,解得 p = 3, 0=3.解得 p = 2 2, p= 2.故 p — p= .2,即 |MN|= 2.1由于C 2的半径为1，所以△ C 2MN 的面积为$ 考点二极坐标与参数方程例题1 (2015陕西高考)在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为(t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系C 的极坐标方程为 尸 2 3sinB.(1) 写出。
极坐标与参数方程知识点+典型例题与详解(可编辑修改word版)
⎩ ⎩ 极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个变数 t 的函数，即⎧x = ⎨y = f (t ) f (t )并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1. 过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：x = x 0 + t cos y = y 0 + t sin（t 为参数）其中参数 t 是以定点 P （x 0，y 0）为起点，对应于 t 点 M （x ，y ）为终点的有向线段 PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离． 根据 t 的几何意义，有以下结论．○1 ．设 A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t A 和 t B ，则 AB ＝ t B -t A ＝．t A + t B．线段 AB 的中点所对应的参数值等于 ．22. 中心在（x 0，y 0），半径等于 r 的圆：x = x 0 + r cosy = y 0 + r s in（为参数）3. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的椭圆：x = a c os y = b s in（为参数） （或x = b c os ）y = a s in中 心 在 点 （ x0,y0） 焦 点 在 平 行 于 x 轴 的 直 线 上 的 椭 圆 的 参 数 方 程⎧x = x 0 + a cos ,⎨y = y + b sin (为参数） .4. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的双曲线：(t B - t A ) - 4t ⋅ t2A B○2 0x = a s ec （为参数） （或x = b tg）y = b tgy = a s ec5. 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：x = 2 pt 2 y = 2 pt（t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x ，y ），倾斜角为的直线的参数方程是⎧x = x 0 + t cos（t 为参数）．⎨⎩ y = y 0+ t sin（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点 O ，叫做极点，引一条射线 Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
专题极坐标与参数方程知识点及典例
专题十四------极坐标与参数方程一、极坐标系的概念1、极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做_________，自极点O 引一条射线ox ,叫做________；再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.2、极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的__________，记为ρ；以极轴ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的________，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.【一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.】①特别地，当点M 在极点时，它的极坐标为(0，θ)()R θ∈.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.②如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示；同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)(0)ρθρ≥,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M 直角坐标(,)xy 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y y x xρθ⎧+=⎪⎨=≠⎪⎩在一般情况下,由tan θ确定角时,要根据点M 所在的直角坐标象限来确定角的大小.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆圆心为(,0)r ,半径为r 的圆圆心为(,)2r π,半径为r 的圆过极点,倾斜角为α的直线过点(,0)a ,与极轴垂直的直线过点(,)2a π,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,)ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.典型例题：1、点A 的极坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛65,2π，则点A 的直角坐标是_______________.2、点A 的极坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π，则点A 的直角坐标是_______________.3、点M 的直角坐标是()3,1-，则点M 的极坐标是_______________.。
极坐标与参数方程知识点总结大全精编版
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程半径为的圆,半径为,注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
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极坐标及极坐标方程的
应用
公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
极坐标及极坐标方程的应用1.极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线OX，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。
对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长度，表示从OX到OM的角度，叫点M的极径，叫点M的极角，有序数对，就叫点M的极坐标。
这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M，．若点M在极点，则其极坐标为=0，可以取任意值。
如图1-2，此时点M的极坐标可以有两种表示方法：(1)
(2)同理，与，也是同一个点的坐标。
又由于一个角加后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯一。
但若限定或，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了。
2.在极坐标系中，曲线可以用含有，这两个变数的方程来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程。
求曲线的极坐标方程的方法与步骤： 1°建立适当的极坐标系，并设动点M的坐标为， 2°写出适合条件的点M的集合； 3°列方程， 4°化简所得方程； 5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。
三
种圆锥曲线统一的极坐标方程：
3.极坐标和直角坐标的互化
4.极坐标在平面解析几何中的应用
4.1极坐标法求到定点的线段长度
解析几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。
但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。
巧设极点，建立极坐标系是解决问题的关键。
4.2以定点为极点
如果题设条件与结论中，涉及到过某定点M的线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到M点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通方程为极坐标方程求解。
4.3以原点为极点
如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时，应选取原点为极点，应用互化公式，将直角坐标方程转化极坐标方程求解。
4.4以焦点为极点
凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题，应选取焦点为极点(椭圆左焦点，双曲线右焦点)，应用圆锥曲线统一的极坐标方程求解。