高考数学：求解含绝对值函数问题的基本策略

纵观近几年的高考试卷，有关含绝对值函数的问题呈现出综合性强、立意新颖、难度大等特点，正日益成为高考的热点.

利用绝对值函数的图象和性质

在解有关含绝对值函数的客观题时，要运用好绝对值函数的图象和性质，根据题意，利用函数y=f（x）图象的翻折和平移得到y=f（x），y=f（x），y=f（x-m）等含绝对值函数的图象，然后利用图象求解.

对于常见的含绝对值的函数的图象和性质，要熟练掌握，才有利于提升解题速度.如：y=ax（a>0，a≠1），y=ax-1，y=logax，y=logax（a>0，a≠1），y=ax2+bx+c，y=，y=x+（a>0），y=ax-b，y=ax2+bx+c等.

例1 函数f（x）=2xlog0.5x-1的零点个数为 .

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

解析：由f（x）=2xlog0.5x-1=0可得log0.5x=x，设h（x）=x，g（x）=log0.5x，在同一坐标系中分别画出函数g（x）和h（x）的图象（如图1所示），可以发现两个函数的图象有2个交点，即函数f（x）有2个零点.所以答案选B.

点评：解例1的关键是作出g（x）=log0.5x的图象，然后观察它与函数h（x）=x 的图象的交点个数，交点个数即为函数f（x）零点的个数.

例2 已知函数f（x）=x-4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）=x+b的图象为 .

解析：f（x）=x-4+=（x+1）+-5≥2-5=1，当且仅当x+1=时函数f（x）取到最小值1，即（x+1）2=9. 因为x∈（0，4），故x=2.由题意可知：a=2，b=1，故g（x）=x+1，其图象可由函数y=x的图象先进行翻折变换得到函数y=x的图象，然后再将所得图象向左平移1个单位后得到，所以答案为B.

点评：根据均值不等式及其取等条件求得a，b的值，再根据函数图象变换得出函数g （x）的图象.

转化为分段函数，进行分类讨论

一般地，对于y=f（x）和y=f（x）这两种最典型的含绝对值的函数，可根据f（x）或x取值的正负分类，得到分段函数：y=f（x）= f（x），f（x）≥0，-f（x），f（x）<0和y=f （x）= f（x），x≥0，f（-x），x<0.

对于含有x-a的绝对值函数，可先根据x≤a和x>a进行分类，再结合函数的图象求解.对于含参数的问题，还要对参数进行分类讨论.

例3 函数f（x）=2log2x-x-的大致图象为 .

解析：函数f（x）的定义域为（0，+∞），其中1是log2x和x-的零点，所以可先根据零点将f（x）转化为分段函数：

当0

当x>1时，f（x）=2log2x-x-=.

即：f（x）=，x>1，x，0

点评：例3中虽有两个绝对值符号，但它们有共同的零点x=1，故可根据01这两种情况，将函数f（x）转化为分段函数进行求解.

例4 函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰好有两个交点，则实数k的取值范围是.

解析：函数y==（x≠1），其中x2-1的零点为：x=±1.

当x>1时，y=x+1;当-1≤x<1时，y=-x-1;当x<-1时，y=x+1.故函数y=x+1，x>1，-x-1，-1≤x<1x+1，x<-1.，

函数y=kx-2的图象为恒过定点（0，-2）的直线族.如图2所示.要使函数y=的图象与y=kx-2的图象有两个不同的交点，则直线族y=kx-2应在图中阴影所示的两个区域内.

边界线l1经过点（1，2）和点（0，-2），可得l1的斜率k==4，但是x≠1，函数y=kx-2的图象不经过点F（1，2），故k≠4;

l2经过点（2，0）和（0，-2），可得l2的斜率k==1，但是当k=1时直线l2与函数y=的图象只有一个交点，故k≠1.

l3与x轴平行，又x≠1，故函数y=kx-2的图象不经过点E，即k≠0.

综上所述，实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）.

点评：例4根据x2-1的零点将函数y=分段为x>1，-1≤x<1，x<-1这三种情形，然后画出函数图象，利用数形结合的方法求解.

通过去绝对值分离参数，等价转化为求函数最值问题

对于绝对值含参恒成立问题，一般可通过去绝对值、分离参数进行等价转化. 常规解题

思路为：

a-f（x）≤g（x）恒成立？圳-g（x）≤a-f（x）≤g（x）恒成立？圳f（x）-g（x）≤a≤f（x）+g（x）恒成立？圳a≥[f（x）-g（x）]max且a≤[f（x）+g（x）]min.

a-f（x）≥g（x）恒成立？圳a-f（x）≤-g（x）恒成立或a-f（x）≥g（x）恒成立？圳a≤f （x）-g（x）恒成立或a≥f（x）+g（x）恒成立？圳a≤[f（x）-g（x）]min或a≥[f（x）+g （x）]max.

例5 已知函数f（x）=1+a·x+x.

（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域.

（2）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）≤3成立，求实数a的取值范围.

解析：（1）当a=1时，f（x）=1+x+2x，令t=x，则f（t）=t+x+.因为x∈（-∞，0），所以t∈（1，+∞）. 而f（t）在（1，+∞）上是增函数，又f（1）=3，所以所求值域为（3，+∞）.

（2）令t=x，则f（t）=1+at+t2，由x∈[0，+∞）知t∈（0，1].因此f（x）≤3在x∈[0，+∞）上恒成立等价于f（t）≤3在t∈（0，1]上恒成立，所以-3≤f（t）≤3，整理得-4-t2≤a·t≤2-t2，即--t≤a≤-t在t∈（0，1]上恒成立.

令h（t）=--t，g（t）=-t，若要满足题意则h（t）max≤a≤g（t）min.因为h（t）在（0，1]上递增，g（t）在（0，1]上递减，所以h（t）max=h（1）=-5，g（t）min=g （1）=1，故-5≤a≤1，实数a的取值范围为[-5，1].

点评：例5的求解过程，体现了分离参数、将问题等价转化为求相关函数最值问题的思路.

例6 已知函数f（x）=x-a+（x>0）.

（1）当a=1时，求f（x）的最小值.

（2）若对于任意的正数x，f（x）≥恒成立，求a的取值范围.

解析：（1）当a=1时，f（x）=x-1+=x+-1，x≥1，1+-x，01，因此f（x）的最小值为1.

（2）f（x）≥恒成立可转化为：a-x≥-在x>0时恒成立.

当-<0，即0