高考数学：求解含绝对值函数问题的基本策略
最新高考数学练习题目详解34绝对值常考题型的解法
【知识要点】一、去绝对值常用的有两种方法.方法一：公式法 0||000x x x x x x ì>ïï==íï-<ïî方法二：平方法 如：||x a = 所以22x a =.（平方时必须保证两边都是非负数） 二、||x a >||x a x a x a a x a ?<-<?<<或三、重要绝对值不等式：||||||||||||a b a b a b -≤-≤+使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.四、解绝对值不等式常用的方法是零点讨论法和数形结合法.五、求绝对值()|||x b |f x x a =+±+的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解. 【方法讲评】【例1】已知关于错误！未找到引用源。
的不等式：错误！未找到引用源。
的整数解有且仅有一个值为2． （1）求整数错误！未找到引用源。
的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：错误！未找到引用源。
．(2)即解不等式错误！未找到引用源。
【点评】解含一个绝对值的不等式，一般利用公式法解答，解答含两个绝对值的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测1】已知函数2()|1|f x x =-. （Ⅰ）解不等式()22f x x ≤+；（Ⅱ）设0a >，若关于x 的不等式()5f x ax +≤解集非空，求a 的取值范围.【例2】已知函数()12f x x x =+-。
（Ⅰ）求不等式()6f x ≤-的解集；（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()1,1,1231,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=+-=+-≤≤⎨⎪->⎩则不等式()6f x ≤-等价于1,16x x <-⎧⎨-≤-⎩或10,316x x -≤≤⎧⎨+≤-⎩或0,1 6.x x >⎧⎨-≤-⎩解得5x ≤-或7x ≥.故该不等式的解集是{5x x ≤-，或}7x ≥. （Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，即关于x 的方程()2log f x a =在实数集上有解，则2log a 的取值范围是函数()f x 的值域.由（Ⅰ）可得函数()f x 的值域是(],1-∞， ∴2log 1a ≤，解得02a <≤.【点评】对于形如||||ax b cx d e +++>的不等式，一般分三种情况分类讨论.注意讨论每一种情况时，要和讨论的标准求交集，最后的结果要求并集，即“小分类求交，大综合求并”. 学科.网【反馈检测2】已知函数()|21||23|.f x x x =++- （1）求不等式6)(≤x f 的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围.【例3】已知函数()|1||3|f x x x =-++. (1)求x 的取值范围,使()f x 为常数函数.(2)若关于x 的不等式()a 0f x -≤解集不是空集,求实数a 的取值范围.(2)方法一:如图,结合(1)知函数()f x 的最小值为4,∴实数a 的取值范围为4a ≥.方法二: |1||3||x 1(x 3)|x x -++≥--+ ∴|1||3|4x x -++≥,【点评】（1）关于x 的不等式()0f x a -≤解集不是空集，即关于x 的不等式()0f x a -≤有实数解，即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是有解问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于a.（2）不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆，所以要理解清楚.()f x a £恒成立等价于max (x)f a £，()f x a £有解等价于min (x)f a £，()f x a ³恒成立等价于min (x)f a ³，()f x a ³有解等价于max (x)f a ³.【反馈检测3】已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+. （1）解不等式|()|5g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.高中数学常考题型解法归纳及反馈检测第34讲：绝对值常考题型的解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[4,]+∞.【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）()22f x x ≤+，即2|1|22x x -≤+，所以22122,1(22),x x x x ⎧-≤+⎪⎨-≥-+⎪⎩由2122x x -≤+，解得13x -≤≤；而21(22)x x -≥-+的解集为R . 所以原不等式的解集为{|13}x x -≤≤.【反馈检测2答案】（1）}21|{≤≤-x x ；（2）3a <-或5a >. 【反馈检测2详细解析】（1）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-即不等式的解集为}21|{≤≤-x x（2）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x4|1|>-∴a 3a ∴<-或5a >.【反馈检测3答案】（1）(2,4)-（2）1a ≥-或5a ≤-.高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a bx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n>⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=. 24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b fb a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)m na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r srsa a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+. 39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. (2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直直线系方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=.(3)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线： (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； (3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ). 136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d',d EA AF =.d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系12E nF =； (2)若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则 其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)． 注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;(2)1mmn n n A A n m-=-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n n A A mA -+=+.(6)1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.。
决战218高考数学，4法破解绝对值问题！
决战218高考数学，4法破解绝对值问题！
含绝对值问题的解法主要有：
(1)定义讨论法
由于利用定义可以把绝对值去掉，因此往往需要分类讨论．其方法是：把每个绝对值为零的零点标在数轴上，则这些零点把数轴分成若干段，再对各段所对应的范围分别进行讨论即可．
(2)性质平方法
因为绝对值的性质有|a|的平方＝a的平方，利用此性质可把绝对值去掉．但这种方法的缺点是平方后往往比较繁，另外要注意何时才能平方，防止出现增根．
(3)等价转化法(合二为一)
利用绝对值的性质等价转化，去绝对值，
如：|ax＋b|<>⇔－c<>＋b<>，|ax＋b|>c⇔ax＋b>c或ax＋b －C．
(4)数形结合法
利用函数的图象解含有绝对值的不等式．
常用结论需牢记：
解含有绝对值的问题经常用到的三性质与三定理
三性质
(1)非负性：|a|≥0.
(2)运算性质：|a·b|＝|a|·|b|，＝，|a|2＝a2.
(3)等价性：|x|<>⇔－a<><>；|x|>a⇔x>a或x－a．
三定理
定理一：绝对值三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
定理二：最值定理：设a1<>…<>，那么对函数y＝|x－a1| ＋|x－a2|＋…＋|x－an|，。
含绝对值的函数方程解法
含绝对值的函数方程解法
对于含有绝对值的函数方程，求解的过程需要考虑绝对值的两种情况：正数和负数。
下面将介绍两种常见的解法。
1. 正数解法
当绝对值中的变量取正数时，可以将绝对值去除，直接求解函数方程。
例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，其中 $a,b,c$ 都是已知的实数常数，我们可以按照以下步骤求解：
1. 当 $x - a > 0$ 时，$|x - a| = x - a$，因此方程可转化为 $f(x) = x - a + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = c - b + a$。
因此，当 $x - a > 0$ 时，方程的解为 $x = c - b + a$。
2. 负数解法
当绝对值中的变量取负数时，可以将绝对值去除，并加上负号，再求解函数方程。
例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，我们可以按照以下步骤
求解：
1. 当 $x - a < 0$ 时，$|x - a| = -(x - a)$，因此方程可转化为 $f(x) = -(x - a) + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = a + c - b$。
因此，当 $x - a < 0$ 时，方程的解为 $x = a + c - b$。
需要注意的是，在求解含有绝对值的函数方程时，我们需要分
别考虑正数和负数的情况，并得到两组解。
最后，我们可以将两组
解合并为一个解集。
以上就是含绝对值的函数方程的解法。
希望以上内容能对你有
所帮助！。
高中数学绝对值函数的应用实例及解题方法
高中数学绝对值函数的应用实例及解题方法绝对值函数是高中数学中常见的一种函数形式，它在数学建模和实际问题中具有广泛的应用。
本文将通过具体的实例，来介绍绝对值函数的应用和解题方法，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、求解绝对值不等式绝对值不等式是绝对值函数应用的重要形式之一。
我们以一个简单的例子开始，假设有如下的不等式：|2x - 1| < 3要求解这个不等式，我们可以将其拆分为两个不等式，即：2x - 1 < 3 和 2x - 1 > -3解得：x < 2 和 x > -1所以，原始的不等式的解集为 -1 < x < 2。
这个例子展示了如何通过拆分不等式来求解绝对值不等式，这也是解决绝对值不等式常用的方法之一。
二、求解含有绝对值的方程除了不等式，绝对值函数还常常出现在方程的解中。
我们以一个实际问题为例，来说明如何求解含有绝对值的方程。
例题：某地的温度每天都在变化，已知温度的变化规律可以用函数T(t) = |t - 5| - 3来表示，其中t表示时间（单位：小时），T(t)表示温度（单位：摄氏度）。
现在要求解在什么时间温度为0度。
解答：根据题意，我们需要求解方程|t - 5| - 3 = 0。
将绝对值函数的定义展开，得到两个方程：t - 5 - 3 = 0 或者 -(t - 5) - 3 = 0解得：t = 8 或者 t = 2所以，温度为0度的时间有两个解，分别是t = 8和t = 2。
这个例子展示了如何通过将绝对值函数的定义展开，来求解含有绝对值的方程。
这是解决这类问题常用的方法之一。
三、绝对值函数在距离和模型中的应用绝对值函数在距离和模型中的应用也是高中数学中的重要内容。
我们以一个典型的例子来说明。
例题：甲、乙两地相距200公里，甲地有一辆车以每小时50公里的速度往乙地行驶，乙地有一辆车以每小时40公里的速度往甲地行驶。
问多少小时后，两车相遇？解答：设两车相遇的时间为t小时，则甲地车行驶的距离为50t公里，乙地车行驶的距离为40t公里。
高考数学绝对值题 4法破解
4法破解
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绝对值题 4 法破解
[速解技法——学一招]
含绝对值问题的解法主要有 (1)定义讨论法 由于利用定义可以把绝对值去掉， 因此往往需要分类讨论． 其 方法是：把每个绝对值为零的零点标在数轴上，则这些零点把数 轴分成若干段，再对各段所对应的范围分别进行讨论即可． (2)性质平方法 因为绝对值的性质有 |a|2 ＝ a2 ，利用此性质可把绝对值去 掉．但这种方法的缺点是平方后往往比较繁，另外要注意何时才 能平方，防止出现增根．
速解技法——学一招 经典好题——练一手 常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 绝对值题
4法破解
结
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所以
a f(x)的值域为－2，＋∞，若不等式
1 f(x)＋f(2x)< 的 2
1 a 解集非空，则需 >－ ， 2 2 解得 a>－1，又 a<0，所以－1＜a＜0， 故 a 的取值范围是(－1,0)．
第二部分 板块(二) 绝对值题
4法破解
结
束பைடு நூலகம்
(1)若 n 为偶数，则当 a n ≤x≤a n＋1 时，
2
2
有 f(x)min＝(a n＋1＋a n＋2 ＋…＋an)－(a n ＋a n－1 ＋…＋a1)；
2 2
2
2
1 (2)若 n 为奇数，则 f(x)min＝f(a n＋ )． 2
定理三：设 f(x)在闭区间 I 上连续，则min{max|f(x)－b|}＝
1 时，A＝2 ⊆[0,2]，
2 2
当 a＝－1 时，A＝∅⊆[0,2]；
1 当 a≠± 1 时，(a －1)x －2ax＋1＝0 的解为 x1＝ ，x a＋ 1 2 1 ＝ ，要使 A⊆[0,2]， a－ 1 1 <0， a＋1 则需 1 <0 a－1
高考数学专题《一次绝对值函数》填选压轴题及答案
专题13 一次绝对值函数【方法点拨】1. 几个常见的含绝对值的一次函数的图象与性质:⑴()f x x a =-的图象关于直线x a =对称，且函数的最小值为0；⑵()f x x a x b =-+-的图象关于直线2a bx +=对称，且函数的最小值为b a -； ⑶()f x x a x b =---的图象关于点02a b +⎛⎫⎪⎝⎭，对称，且函数的值域为a b a b ⎡---⎤⎣⎦，．()f x x a =- ()f x x a x b =-+-（a b <） ()f x x a x b =---（a b <）2. 含绝对值的一次函数的求解策略:（1）根据绝对值的代数意义，利用 “零点分域讨论法”去绝对值，化为分段函数； （2）有时也可根据绝对值的几何意义，转化为x 轴上动点到一些定点距离的和.3. 一般地，设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n (n ∈N *)，f (x )=|x －a 1|+|x －a 2|+|x －a 3|+…+|x －a n |．若n 为奇数，当x =12n a +时，f (x )取最小值；若n 为偶数，则x ∈122[,]n n a a +时，f (x )取最小值．即中间值或中间区间上取最值.【典型题示例】例1 (2022·浙江·9)已知,a b ∈R ，若对任意x ∈R ，|||4||25|0a x b x x -+---≥，则（ ） A. 1,3a b ≤≥ B. 1,3a b ≤≤C. 1,3a b ≥≥D. 1,3a b ≥≤【答案】D【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解． 【解析】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，x=ax=a+b 2bax=a+b 2ba由|||25||4|a x b x x -≥---恒成立，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a≤≤-≤， 故选：D ．例2 若对于任意实数x 和任意正实数a 、b ，不等式2122a bx x m a b a b-+-≥+++恒成立，则实数m 的取值范围是 . 【答案】16m ≤或76m ≥ 【分析】根据基本不等式易求得2223a b a b a b +≤++，故问题转化为对于任意实数x2213x x m -+-≥恒成立，即求m 的取值范围，使函数()21f x x x m =-+-的最小值为23，可利用函数的图象或直接使用绝对值的几何意义求解. 【解析】令2,2a b m a b n +=+=则22,33m n m n a b --+==所以22442()223333333a b m n n m n m a b a b m n m n --+=+=-+≤-=++ 不等式2122a b x x m a b a b -+-≥+++恒成立，即2213x x m -+-≥恒成立 对于多个一次绝对值函数求最值可以分解为： 设11()2122f x x x m x x x m =-+-=-+-+-，对于3个绝对值相加，取得最小值一定是三个绝对值零点的中间值， 如上述函数，中间零点是12，所以上述函数当12x =取得最小值， 1212x x m m -+-≥-所以1223m -≥，解得16m ≤或76m ≥. 【巩固训练】1.设函数a x x x f -++=1)(的图像关于直线1=x 对称，则a 的值为________.2.函数∑=-=191)(i n x x f 的最小值为__________.3.已知函数有最小值，则实常数的取值范围是 .4.函数1)(-+=x a x x f 在()+∞,0上有最大值，则实数a 的取值范围是___5. 设函数()122022f x x x x =++++++122022()x x x x R +-+-++-∈，且)1()23(2-=+-a f a a f ，则满足条件的所有整数a 的和是__________.6. 已知函数f (x )=|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|100x -1|，则当x = 时，f (x )取得最小值．【答案或提示】1.【答案】3【提示】()f x x a x b =-+-的图象关于直线2a b x +=对称，故112a -=，解得3a =.2.【答案】90【提示】利用绝对值的几何意义，知∑=-=191)(i n x x f 即x 轴上动点到1,2,3，···，19距离之和，当10x =时，此时191()10981018990i f x n ==-=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=∑.3.【答案】[]-2,2 【提示】直接去绝对值.4.【答案】(],1-∞- 【提示】直接去绝对值.5.【答案】6【解析】易得()f x 是偶函数，故2321a a a -+=-或232(1)a a a -+=--则1a =或3a =又(0)(1)(1)f f f ==-，所以2a =也满足题意，故答案为6. 6.【答案】171ax x x f +-=22)(R)(∈x a【解析】f (x )=123100111111|1|||||||||||||2233100100x x x x x x x -+-+-+-++-++-++-项项项项， f (x )共表示为5050项的和，其最中间两项均为1||71x -． x =171，同时使第1项|x -1|与第5050项1||100x -的和， 第2项1||2x -与第5049项1||100x -的和，第3项与第5048项的和，…，第2525项与第2526项的和，取得最小值．故所求的x 为171．。
由一道题目谈求含绝对值的函数最值问题的解法
解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42解题宝典最值问题.但运用该方法解题，过程比较繁琐，容易出现重复和遗漏分类的情况.方法二：利用数轴利用数轴也是解答含绝对值问题的基本方法.在解题时，需利用绝对值的几何意义，将绝对值里面的式子看作是数轴上任意点到定点的距离，从而确定取.图1解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=||t -a +a ，t ∈[4,5]，如图1所示，当a ≤0时，f (t )=||t -a +a =t ≤5成立；当0<a ≤t 时，f (t )=||t -a +a =||a -t +||a -0=t ≤5成立；当a >t 时，f (t )=||t -a +a =a -t +a ≤5恒成立，即a ≤4.5，则a 的范围是(-∞,92].这里首先确定t 的范围，将t 看作数轴上的任意一点，结合数轴找出f (t )的最值，使其小于或等于5，便可求得a 的取值范围.方法三：利用V 型函数V 型函数是一类常见的含绝对值的函数模型.在解题时，可将含绝对值函数转化为分段函数，借助函数的图象来分析函数的最值，将代数问题几何化，运用数形结合思想来解题.axyO 图2解：当f (x )取最大值时|t -a |取最大值，为5-a ，如图2，结合V 型函数图象可得：①当a ≤92时，f (x )max =|5-a |+a =5-a +a =5，符合题意；②当a >92时，f (x )max =|4-a |+a =a -4+a =5，∴a =92（矛盾），舍去；故a 的取值范围是(-∞,92].我们将含绝对值函数转换为分段函数，结合函数的图象便能快速求得a 的取值范围，这样可以获得事半功倍的效果.方法四：分离参数法运用分离参数法解题的基本思路是通过将参数进行分离，将问题转化为不等式恒成立问题来求解，在分离参数后求出函数的值域，验证取等号的条件，便可求出参数的取值范围.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则问题可转化为g (t )=|t -a |+a 在t ∈[4,5]上的最大值是5，则问题等价于ìíî∀t ∈[4,5],|t -a |+a ≤5， ①∃t 0∈[4,5],|t 0-a |+a =5. ② 由①得∀t ∈[4,5], a -5≤t -a ≤5-a ，即a ≤t +52恒成立，所以a ≤æèöøt +52 min =92；由②知，当t 0=5时，|t 0-a |+a =5；综上所述a ≤92.我们先分析对勾函数y =x +4x在x ∈[1,4]上的值域，然后将其看成一个整体，解一次绝对值不等式即可使问题快速获解，这样避免了繁琐的分类讨论，能有效地提高解题的速度和准确性.方法五：以值代参本方法是通过用函数值来代替参数，使问题获解的方法.以值代参既起到了消参作用，又构建了变量与函数值之间的关系.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=|t -a |+a ，t ∈[4,5]，则f (t )的最大值为f (t )max =max{f (4),f (5)}，即ìíîf (4)=|4-a |+a =5，f ()5=|5-a |+a ≤5，或ìíîf (4)=|4-a |+a ≤5，f ()5=|5-a |+a =5，解得{a =4.5，a ≤5，或{a ≤4.5，a ≤5，则a 的取值范围是(-∞,92].我们借助函数值的范围，建立不等式，便求得参数的范围.运用以值代参方法解题,能获得出奇制胜的效果.含绝对值的函数最值问题是一类常考的题目，也是很多同学感觉困难的题目.因此，掌握一些解题的技巧是很有必要的.在解答含绝对值的最值问题时，同学们要注意从绝对值和函数两个角度，通过处理绝对值、分析函数的图象和性质来破解难题.（作者单位：浙江省诸暨市学勉中学）43。
高考重要数学答题技巧归纳
高考重要数学答题技巧归纳高中数学常考题型答题技巧1、解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2、因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3、配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：4、换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5、待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写6、复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0两种情况为且型7、数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：9、观察法10、代数式求值方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法(和积代入法)注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
11、解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论12、恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。
高中数学解绝对值方程的常见技巧和注意事项
高中数学解绝对值方程的常见技巧和注意事项绝对值方程是高中数学中常见的一类方程，解绝对值方程需要掌握一些常见的技巧和注意事项。
本文将通过具体的例题，介绍解绝对值方程的方法和要点，帮助高中学生和家长更好地理解和掌握这一知识点。
一、绝对值方程的基本形式绝对值方程的基本形式为|ax + b| = c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
我们以一道简单的例题来说明解这类方程的方法。
例题1：解方程|2x - 3| = 5。
解法：根据绝对值的定义，可以得到两个方程：2x - 3 = 5和2x - 3 = -5。
解这两个方程可以得到x的两个解：x = 4和x = -1。
二、绝对值方程的注意事项在解绝对值方程时，需要注意以下几个方面：1. 分类讨论：绝对值方程的解可能有一个、两个或无解。
根据绝对值的非负性质，我们可以将绝对值方程分为两种情况进行讨论。
2. 消去绝对值：当绝对值方程中的绝对值表达式与一个常数相等时，可以通过消去绝对值的方式求解。
例如，|x - 2| = 3可以转化为两个方程：x - 2 = 3和x - 2 =-3，解得x = 5和x = -1。
3. 变号取反：在解绝对值方程时，需要注意当绝对值表达式的符号发生变化时，方程的解也会取反。
例如，|x - 2| = -3无解，因为绝对值的值不可能是负数。
4. 联立方程：当绝对值方程中存在多个绝对值表达式时，可以通过联立方程的方式求解。
例如，|x - 2| + |x + 3| = 5可以转化为两个方程：x - 2 + x + 3 = 5和x - 2 - (x + 3) = 5，解得x = 1和x = -3。
三、绝对值方程的解题技巧除了上述的基本方法和注意事项外，还有一些解绝对值方程的常见技巧，可以帮助我们更快地求解。
1. 借助图像：可以通过绘制绝对值函数的图像来辅助解题。
例如，对于方程|2x - 3| = 5，可以绘制y = |2x - 3|和y = 5的图像，通过图像的交点来确定方程的解。
解答含参绝对值方程或不等式问题的策略
解答含参绝对值方程或不等式问题的策略当解答含参的绝对值方程或不等式问题时，我们需要采用一定的策略，以下是一些常用的方法：
1. 求解绝对值方程的一般步骤是：先将绝对值表达式分成两个部分，一个取正，一个取负，然后分别解方程，最后求出所有解并检验。
2. 求解绝对值不等式的一般步骤是：先将绝对值表达式分成两个部分，一个大于等于0，一个小于0，然后分别解不等式，最后求出所有解并检验。
3. 在解绝对值方程或不等式时，要注意绝对值表达式中的参数是否为0，如果是的话，需要特殊处理。
4. 在解绝对值方程或不等式时，要注意绝对值表达式中的参数是否为正或负数，这将影响分解式子的方向。
5. 如果绝对值方程或不等式中含有分式，需要先将分式化简成通分式，再进行处理。
6. 在解绝对值方程或不等式时，要注意绝对值表达式中的参数的范围，不能出现使得绝对值无意义的情况。
7. 在解绝对值方程或不等式时，可以使用数轴图像法，将方程或不等式的解用数轴表示出来，更加直观和易于理解。
总之，解答含参的绝对值方程或不等式问题需要灵活运用各种数学方法和技巧，才能得出正确的解答。
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高考数学：求解含绝对值函数问题的基本策略
高考数学：求解含绝对值函数问题的基本策略近年来，含有绝对值函数的高考题目呈现出综合性强、立意新颖、难度大等特点，成为高考的热点。
解这些客观题需要掌握绝对值函数的图像和性质，利用函数y=f（x）图像的翻折和平移得到y=f（x），y=f（x），y=f（x-m）等含绝对值函数的图像，然后利用图像求解。
对于常见的含绝对值的函数的图像和性质，也需要熟练掌握，才能提升解题速度。
例如：y=ax（a>0，a≠1），y=ax-1，y=logax，y=logax（a>0，a≠1），y=ax2+bx+c，y=，y=x+（a>0），y=ax-b，y=ax2+bx+c等。
举例来说，对于函数f（x）=2xlog0.5x-1的零点个数，可以通过求解f（x）=2xlog0.5x-1=0，得到log0.5x=x，设h（x）=x，g（x）=log0.5x，在同一坐标系中分别画出函数g（x）和h（x）的图像，观察它们的交点个数，即为函数f（x）零点的个数。
因此，答案为2，选项B。
对于函数f（x）=x-4+，x∈（，4），当x=a时，f（x）取得最小值b的问题，可以通过求解（x+1）2=9，得到a=2，b=1.然后，根据函数图像的变换规律，可以得到函数g（x）的图像为y=x+1.因此，答案为B。
对于含有x-a的绝对值函数，可以先根据x≤a和x>a进行分类，再结合函数的图像求解。
对于含参数的问题，还需要对参数进行分类讨论。
点评：本文需要进行的修改主要是格式方面的错误和删除一些明显有问题的段落，同时需要对每段话进行小幅度的改写。
修改后的文章如下：例6第（2）小题求解的主要流程是将原恒等式转化为a-xXXX成立的形式，然后通过去绝对值分离参数，最终通过求函数的最值来解题。
在数学中，我们经常需要将一个式子转化为另一个等价的形式，以便于我们进行计算或者求解。
在这个例子中，我们需要将一个绝对值不等式转化为一个普通的不等式，以便于我们进行后续的计算。
高中数学绝对值方程解题技巧
高中数学绝对值方程解题技巧绝对值方程是高中数学中常见的一种题型，解决这类问题需要掌握一些技巧和方法。
本文将介绍一些常见的绝对值方程解题技巧，并通过具体的例题进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这些技巧。
一、绝对值方程的定义和性质绝对值方程是指方程中含有绝对值符号的方程，通常形式为|ax + b| = c。
其中，a、b、c为已知实数，x为未知数。
解绝对值方程的关键在于利用绝对值的定义和性质，将方程转化为两个简单的线性方程。
二、绝对值方程的基本解法1. 消去绝对值符号对于形如|ax + b| = c的绝对值方程，首先要将绝对值符号消去。
根据绝对值的定义，当x满足ax + b = c时，|ax + b| = c成立；当x满足ax + b = -c时，|ax + b| =c也成立。
因此，我们可以得到两个方程：ax + b = c和ax + b = -c。
2. 解线性方程将消去绝对值符号后的方程ax + b = c和ax + b = -c分别解得x的值，即可得到绝对值方程的解。
举例说明：例题1：解方程|2x + 3| = 5。
解答：根据基本解法，我们先消去绝对值符号，得到两个方程：2x + 3 = 5和2x + 3 = -5。
解第一个方程2x + 3 = 5，得到x = 1。
解第二个方程2x + 3 = -5，得到x = -4。
所以，方程|2x + 3| = 5的解为x = 1和x = -4。
例题2：解方程|3x - 2| = 7。
解答：同样地，我们消去绝对值符号，得到两个方程：3x - 2 = 7和3x - 2 = -7。
解第一个方程3x - 2 = 7，得到x = 3。
解第二个方程3x - 2 = -7，得到x = -5/3。
所以，方程|3x - 2| = 7的解为x = 3和x = -5/3。
三、绝对值方程的拓展应用除了基本的绝对值方程解法外，我们还可以将绝对值方程与其他类型的方程相结合，进一步拓展应用。
高考中绝对值问题的解题策略分析
别为 Ｘ １ 、Ｘ ２ ， 则两根满足 的条件是
Ｘｌ Ｘ２ ＜ ０； ０ ＜ Ｘｌ Ｘ２＜ １ ． Ｘｌ Ｘ２ ＝ ｌ；
．
—
—
利用数形结合求方程解（ 或 函数 的零 点） 应 注意三点： （ １ ）讨 论方程 的解（ 或 函数 的零 点） 可 构造 两个 函数， 使 问题 转 化 为 讨 论 两 曲线 的 交 点 问 题， 但 用此法讨 论方程 的解 一定要注意 图像 的 准 确 性 、全 面 性 ， 否 则 会 得 到错 解 或漏 解 ； （ ２ ）正确作 出两个 函数 的图像是解 决此类
上方 不变， 轴 下 方 的 沿 轴 向上 翻 折 后 所 得 ：
（ ｉ ｉ ）当直 线 一 ａ （ ｘ一１ ） 与函数 ＝ ＋ ３ ｘ 相切 时， ａ＝ ９ ， 此 时 ，（ ） 一ａ Ｉ ｘ一１ Ｉ ＝０ 恰 有２ 个互异的实数根 （ 如图 ２ ）
． 厂 （ Ｉ ｘ １ ） 的图像可以看作 ＝ｔ 厂 （ ｚ ） 的图像在
一
Ｓ （ ｘ ） ＝ｌ Ｘ ２ ＋３ ｘ ｛ （ Ｘ ∈ Ｒ） ． 若方程 Ｓ （ ｘ ） 一ａ ｌ ｘ 一１ ｌ
＝
０ 恰 有 ４个 互异 的 实数 根 ， 则 实数 ａ的取值 范
．
— —
围为
解法 １ ：显然 ａ＞ ０ ．
（ ｉ ） 当 ＝一 ａ（ ｘ一１ ） 与 ＝ 一 Ｘ —３ ｘ 相切 时， ａ＝ １ ， 此时 Ｓ（ ） 一ａ Ｉ ｘ一１ Ｉ ＝０ 恰有 ３ 个
轴右方不变， 并将 轴右方的图像沿 轴 向左
翻 折 后 所 得 ．一 般 含 绝 对 值 的 函数 问题 均 可 由
以上两种基本绝对值 函数组合或变换得到． 二 、常见的绝对值函数的解题策略分析
二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。
二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。
一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。
它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。
例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）内单调递减。
（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）内至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）内单调递减。
（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。
当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。
（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。
本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。
二、合理用公式，灵活换视角公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。
绝对值函数最值问题及解题技巧
绝对值函数最值问题及解题技巧绝对值函数是数学中常见的一种函数形式。
在求解绝对值函数的最值问题时，存在几种常用的解题技巧。
技巧一：图像法绘制绝对值函数的图像是解决最值问题的一个有效方法。
通过观察图像可以获得函数的最值。
例如，对于绝对值函数 $f(x) = |x|$，我们可以绘制其图像，并观察到 $x = 0$ 时，函数取得最小值为 0。
技巧二：函数定义法另一种解决绝对值函数的最值问题的方法是使用函数定义。
对于一般形式的绝对值函数 $f(x) = |g(x)|$，我们可以将其转化为无绝对值的函数定义。
具体步骤如下：1. 当 $g(x) \geq 0$ 时，$f(x) = g(x)$；2. 当 $g(x) < 0$ 时，$f(x) = -g(x)$。
通过转化后的函数定义，我们可以求解函数的最值。
技巧三：矩阵法矩阵法也是解决绝对值函数最值问题的常用技巧。
首先将绝对值函数表示为矩阵形式：$f(x) = \begin{cases} g(x) & \text{if } x \geq 0 \\ -g(x) & \text{if } x < 0 \end{cases}$。
然后，通过求解矩阵中的最值，可以得到绝对值函数的最值。
技巧四：导数法对绝对值函数求导有助于解决最值问题。
对于一般形式的绝对值函数 $f(x) = |g(x)|$，我们可以对其进行求导。
然后，通过求导结果的特点和函数的定义域，可以得到函数的最值。
需要注意的是，当绝对值函数在某点不可导时，可以通过左极限和右极限来确定最值。
以上是解决绝对值函数最值问题的几种常用技巧。
在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的方法来求解最值，可以更高效地解决问题。
_高考中绝对值问题的解题策略分析 (1)
些 性 质 进 而 利 用 这些 特 性 解 决数 学 问 题 的 图 像 利 用 运 动 变 化 的 观 点 结 合 图 像 的 极 ＜ ２ ３ ｌ ｃ ＆ ＜ ａ 置 去 的 例 设／ ⑷ 研 究 参 数 取值 范 围 限 位
，
，
＝
ｘ
－
．
，
，
，
｜
｜
且
ａ
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轴向左
翻 折后 所 得
以
二
．
上 两 种 基 本 绝 对 值 函 数 组 合或 变 换 得 到 常 见 的 绝 对 值 函 数 的 解 题 策 略分 析 快 捷 地 解 决 题 灵 依性 作
＼
＼
一
．
般 含 绝 对值 的 函 数 问 题 均 可 由
．
ｆ
＼
Ｉ
＼
３
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巧
； ，
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ｌ
｜
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：
（
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｜
的 两 个根 分
．
别 为 町 利 用 数 形 结 合 求方程 解 或 函 数 的 零 点 应 ①
３
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、
则两 根 满足 的 条 件 是
丨
；
ｒｉ ａ
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注 思 二 点 ④ ０ ＜ １ 讨 论 方 程 的 解 或 函 数 的 零 点 可 构 造 解
比 较大 小
，
＝
：
丨
（
、
、
，
）
解含绝对值问题的四个角度
D.
√ 39
[−2
3, ] 16
解析 x
x
根据题意,
对任意
x∈ x
R
有:
−f (x) −x2
≤
a
≤
f (x)
−
. 2
设
g(x)
=
−f (x)
−
, h(x) 2
=
f (x) −
. 2
原命题
等价于 g(x)max ≤ a ≤ h(x)min. 又由于
−x2 + x − 3,
x ≤ 1,
g(x) =
2 32 − x− ,
x > 1;
2x x2 − 3x + 3,
x ≤ 1,
h(x) = x + 22,
x > 1,
{2 x 47
√}
47
可 得 g(x)max = max {}
− , −2 16
3
=
−, 16
h(x)min
=
39
min , 2 = 2. 故答案为 A.
16
总结: 该解法的过程可总结为通过定义去绝对值, 再分
2020 年第 3 期 (上)
中学数学研究
27
解含绝对值问题的四个角度
广东省佛山市罗定邦中学 (528300) 龙 宇
处理带有绝对值的不等式问题一般思路是利用绝对值 的定义去绝对值, 再通过分类讨论求得结果. 本文在此基础 上再介绍以下几种方法: 利用绝对值不等式、最大值函数以 及距离公式解决一类含绝对值的最值问题, 供读者参考.
a cos2
x
+
b
sin
x+ (π
= |a + c| ≤ 1, f
解答含参绝对值方程或不等式问题的策略
解答含参绝对值方程或不等式问题的策略含参绝对值方程或不等式是高中数学中常见的一类问题，其解题方法相对比较复杂，需要掌握一定的策略和技巧。
下面介绍几种解答含参绝对值方程或不等式问题的策略：1. 利用绝对值的定义进行分段讨论对于含参绝对值方程或不等式，通常可以利用绝对值的定义进行分段讨论。
我们可以将方程或不等式分为两种情况，即x≥0和x<0。
当x≥0时，|x|=x，方程或不等式可以表示为一个关于x的一元二次方程或不等式，解法和常规的一元二次方程或不等式相同。
当x<0时，|x|=-x，方程或不等式可以表示为一个不等式或方程组，也可以采用类似上述的方法解决。
2. 利用绝对值的性质进行转化绝对值有一些特殊的性质，可以利用这些性质进行转化，简化问题的求解。
具体来说，绝对值的性质包括：（1）|a|=|-a|（2）|a|≥0，当且仅当a=0时，|a|=0（3）|ab|=|a||b|（4）|a+b|≤|a|+|b|，即绝对值的三角不等式（5）|a-b|=|b-a|（6）|a-b|≤|a-c|+|c-b|，即绝对值的三角形不等式利用上述性质，我们可以将含参绝对值方程或不等式进行转化，消去绝对值符号，从而得到更简单的方程或不等式。
例如：|x-2|+|x-5|=5可以利用绝对值的三角不等式，得到：|x-2|+|x-5|≥|2-5|=3然后再进行分段讨论，即可得到方程的解。
3. 利用图像理解解题思路含参绝对值方程或不等式的解法在某些情况下可能比较复杂，此时可以利用图像的方式来理解问题的解题思路。
我们可以利用数学软件或手绘图形，将含参绝对值方程或不等式所表示的函数的图像画出来，然后找到其零点或拐点的位置，进而推导出解的范围和特征。
总之，解答含参绝对值方程或不等式问题需要掌握一定的基本原理和方法，灵活运用各种数学工具和技巧，根据具体情况选择最优的解法。
通过不断练习和实践，我们可以更好地掌握这一类问题的解题思路和技能，提高数学解题的能力和水平。
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纵观近几年的高考试卷，有关含绝对值函数的问题呈现出综合性强、立意新颖、难度大等特点，正日益成为高考的热点.
利用绝对值函数的图象和性质
在解有关含绝对值函数的客观题时，要运用好绝对值函数的图象和性质，根据题意，利用函数y=f（x）图象的翻折和平移得到y=f（x），y=f（x），y=f（x-m）等含绝对值函数的图象，然后利用图象求解.
对于常见的含绝对值的函数的图象和性质，要熟练掌握，才有利于提升解题速度.如：y=ax（a>0，a≠1），y=ax-1，y=logax，y=logax（a>0，a≠1），y=ax2+bx+c，y=，y=x+（a>0），y=ax-b，y=ax2+bx+c等.
例1 函数f（x）=2xlog0.5x-1的零点个数为 .
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解析：由f（x）=2xlog0.5x-1=0可得log0.5x=x，设h（x）=x，g（x）=log0.5x，在同一坐标系中分别画出函数g（x）和h（x）的图象（如图1所示），可以发现两个函数的图象有2个交点，即函数f（x）有2个零点.所以答案选B.
点评：解例1的关键是作出g（x）=log0.5x的图象，然后观察它与函数h（x）=x 的图象的交点个数，交点个数即为函数f（x）零点的个数.
例2 已知函数f（x）=x-4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）=x+b的图象为 .
解析：f（x）=x-4+=（x+1）+-5≥2-5=1，当且仅当x+1=时函数f（x）取到最小值1，即（x+1）2=9. 因为x∈（0，4），故x=2.由题意可知：a=2，b=1，故g（x）=x+1，其图象可由函数y=x的图象先进行翻折变换得到函数y=x的图象，然后再将所得图象向左平移1个单位后得到，所以答案为B.
点评：根据均值不等式及其取等条件求得a，b的值，再根据函数图象变换得出函数g （x）的图象.
转化为分段函数，进行分类讨论
一般地，对于y=f（x）和y=f（x）这两种最典型的含绝对值的函数，可根据f（x）或x取值的正负分类，得到分段函数：y=f（x）= f（x），f（x）≥0，-f（x），f（x）<0和y=f （x）= f（x），x≥0，f（-x），x<0.
对于含有x-a的绝对值函数，可先根据x≤a和x>a进行分类，再结合函数的图象求解.对于含参数的问题，还要对参数进行分类讨论.
例3 函数f（x）=2log2x-x-的大致图象为 .
解析：函数f（x）的定义域为（0，+∞），其中1是log2x和x-的零点，所以可先根据零点将f（x）转化为分段函数：
当0
当x>1时，f（x）=2log2x-x-=.
即：f（x）=，x>1，x，0
点评：例3中虽有两个绝对值符号，但它们有共同的零点x=1，故可根据01这两种情况，将函数f（x）转化为分段函数进行求解.
例4 函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰好有两个交点，则实数k的取值范围是.
解析：函数y==（x≠1），其中x2-1的零点为：x=±1.
当x>1时，y=x+1;当-1≤x<1时，y=-x-1;当x<-1时，y=x+1.故函数y=x+1，x>1，-x-1，-1≤x<1x+1，x<-1.，
函数y=kx-2的图象为恒过定点（0，-2）的直线族.如图2所示.要使函数y=的图象与y=kx-2的图象有两个不同的交点，则直线族y=kx-2应在图中阴影所示的两个区域内.
边界线l1经过点（1，2）和点（0，-2），可得l1的斜率k==4，但是x≠1，函数y=kx-2的图象不经过点F（1，2），故k≠4;
l2经过点（2，0）和（0，-2），可得l2的斜率k==1，但是当k=1时直线l2与函数y=的图象只有一个交点，故k≠1.
l3与x轴平行，又x≠1，故函数y=kx-2的图象不经过点E，即k≠0.
综上所述，实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）.
点评：例4根据x2-1的零点将函数y=分段为x>1，-1≤x<1，x<-1这三种情形，然后画出函数图象，利用数形结合的方法求解.
通过去绝对值分离参数，等价转化为求函数最值问题
对于绝对值含参恒成立问题，一般可通过去绝对值、分离参数进行等价转化. 常规解题
思路为：
a-f（x）≤g（x）恒成立？圳-g（x）≤a-f（x）≤g（x）恒成立？圳f（x）-g（x）≤a≤f（x）+g（x）恒成立？圳a≥[f（x）-g（x）]max且a≤[f（x）+g（x）]min.
a-f（x）≥g（x）恒成立？圳a-f（x）≤-g（x）恒成立或a-f（x）≥g（x）恒成立？圳a≤f （x）-g（x）恒成立或a≥f（x）+g（x）恒成立？圳a≤[f（x）-g（x）]min或a≥[f（x）+g （x）]max.
例5 已知函数f（x）=1+a·x+x.
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域.
（2）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）≤3成立，求实数a的取值范围.
解析：（1）当a=1时，f（x）=1+x+2x，令t=x，则f（t）=t+x+.因为x∈（-∞，0），所以t∈（1，+∞）. 而f（t）在（1，+∞）上是增函数，又f（1）=3，所以所求值域为（3，+∞）.
（2）令t=x，则f（t）=1+at+t2，由x∈[0，+∞）知t∈（0，1].因此f（x）≤3在x∈[0，+∞）上恒成立等价于f（t）≤3在t∈（0，1]上恒成立，所以-3≤f（t）≤3，整理得-4-t2≤a·t≤2-t2，即--t≤a≤-t在t∈（0，1]上恒成立.
令h（t）=--t，g（t）=-t，若要满足题意则h（t）max≤a≤g（t）min.因为h（t）在（0，1]上递增，g（t）在（0，1]上递减，所以h（t）max=h（1）=-5，g（t）min=g （1）=1，故-5≤a≤1，实数a的取值范围为[-5，1].
点评：例5的求解过程，体现了分离参数、将问题等价转化为求相关函数最值问题的思路.
例6 已知函数f（x）=x-a+（x>0）.
（1）当a=1时，求f（x）的最小值.
（2）若对于任意的正数x，f（x）≥恒成立，求a的取值范围.
解析：（1）当a=1时，f（x）=x-1+=x+-1，x≥1，1+-x，0<x<1.当x≥1时，f （x）递增，故f（x）≥f（1）=1;当0<x<1时，f（x）递减，故f（x）>1，因此f（x）的最小值为1.
（2）f（x）≥恒成立可转化为：a-x≥-在x>0时恒成立.
当-<0，即0<x<2时，a-x≥-恒成立，这时a∈R.
当-≥0，即x≥2时，a-x≥-恒成立可转化为：a-x≥-或a-x≤--恒成立，即a≥x-+或a≤x+-在x≥2时恒成立.
令h（x）=x-+，g（x）=x+-. a≥h（x）恒成立等价于a≥h（x）max，又h（x）在[2，+∞）上单调递增，并且当x→+∞时，h（x）→+∞，所以a≥h（x）max不能成立.a ≤g（x）恒成立等价于a≤g（x）min，又g（x）在[2，+∞）上单调递增，所以g（x）min=g（2）=2，因此a≤2.
综上所述，当a≤2时，f（x）≥恒成立.
点评：例6第（2）小题求解的主要流程就是先将原恒等式转化为求a-x≥-恒成立的形式，再通过去绝对值分离参数，最终通过求函数的最值来解题.
在求解含绝对值的函数问题时，要根据绝对值的意义，结合常见的含绝对值的函数的图象和性质，充分运用分类讨论、数形结合、等价转化和函数与方程的数学思想求解.。