第三章 协方差传播律 使用
第三章协方差传播律及权-2
S0
sin sin
L1 , L2
aAC a0 180 L1 L2 ,
xC xA S AC cos Ac,
yc y A S AC sin a AC .
现在提出这样一个问题：观测值的函数的中误差值的中 误差之间，存在着怎样的关系？观测值函数的协因数与观测 值的协因素之间，存大着怎样的关系？本节将导出这些关系 式，我们把这些关系式称为广义传播律。
m1
k20
km0
,
则上式可写为
Z K
m1 mn
X
n1
K0
m1
也就是要求Z的协方差阵DZZ。
因为Z 的数学期望为
EZ EKX K0 KX K0
所以，Z的协方差阵为
DZZ E Z EZ Z EZ T E KX KX KX K X T
KE X x X x T K T ,
所以
DZZ
2 z
KDXX K T .
将上式展1,1开成纯量形式，得
DZZ
2 Z
k12
2 22
kn2
2 nn
2k1k212 2k3k313
1,1
2k1kn1n 2kn1kn n1,n
第三章 协方差传播律及权
2020年1月31日星期五
1
第一节 协方差传播律
一、协方差传播律
在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直
接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来
的，即常常遇到的某些量是观测值的函数。这类例子很多，
例如，在一个三角形中，观测了三内角L1、L2、L3，其闭合
3.1 第三讲 协方差传播律
1、几个名词
误差 测量误差 (观测误差) 真误差 名 词 方差 中误差 平均误差 偶然误差 随机误差 系统误差 粗差 精度 精确度 准确度
衡量精度的指标
或然误差
极限误差
相对误差 绝对误差
回 顾
2、一个事实 3、基本假设 4、统计规律
不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。
在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统 误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差服从正态分布。 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值， 即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零； 绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概 率大； 绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同； 偶然误差的理论平均值为零。
1 ˆ L1 L2 L3 180 ; L Li (i 1,2,3)协方差 3
2 1 1 ˆ L1 L1 L2 L3 60 3 3 3 ˆ 1 L 2 L 1 L 60 L 2 1 2 3 3 3 3 ˆ 1 L 1 L 2 L 60 L 3 1 2 3 3 3 3
0 0 1
I
2
3. 方差-协方差阵
设有观测值向量 X 和
n ,1
X Y ，它们的数学期望分别为 n ,1
r ,1
X 和 Y 。令： Z ;则 Z 的方差阵为： DZZ r ,1 Y
DZZ
D XX DYX
D XY DYY
DZZ K DXX K T
t ,t t ,n n ,n n ,t
协方差传播律
三、多个观测值线性函数的协方差阵
设另有Ｘ的r个线性函数：
Y2 f 21 X 1 f 22 X 2 f 2 n X n f 20 Yr f r1 X 1 f r 2 X 2 f rn X n f r 0
误差理论与平差基础-第3章 协方差传播率及权
2 0 0 2 DLL 0 0 2 0 0
2 0 0 2 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 0 2 0 1 / 3 2 / 3 1 / 3 DL ˆL ˆ 2 1 / 3 1 / 3 2 / 3 0 0 1 / 3 1 / 3 2 / 3
106.1 7.8 121 2.6 6.8 244.3
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。 三角形闭合差: w 180 L1 L2 L3
1 2 1 1 ˆ L1 L1 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 1 1 2 1 ˆ L2 L2 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 ˆ L 1 W 1 L 1 L 2 L 60 L 3 3 1 2 3 3 3 3 3
a1( X A X s ) b1 (YA YS ) c1 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
a 2 ( X A X s ) b2 (YA YS ) c2 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
XY
XY XY
表示X、Y 间互不相关，对于 正态分布而言，相互独立。
YX XY 0
YX XY 0
表示X、Y 间相关。
二、协方差传播律
第三章 协方差传播率
第三章 协方差传播律一、 公式汇编广义传播律T YY XX T ZZ XX T YZ XX D FD F D KD K D FD K ⎫=⎪=⎬⎪=⎭220022002200()()()T YY XX T ZZ XX YZ XX Q F Q F Q K Q K Q F Q K σσσσσσ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭T YY XX T ZZ XX YZ XX Q FQ F Q KQ K Q FQ K ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭独立观测值权倒数22211221111Z n nf f f P L P L P L P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭方差与协因数阵202020XX XX YY YY XY XYD Q D Q D Q σσσ===22022020i iij jj ji ijQ Q Q σσσσσσ===22100XX XX XX D Q P σσ-==权202i ip σσ=二、 解题指南1.观测值及其方差阵 写成向量、矩阵形式,XX X D2 按要求写出函数式，对函数式求全微分，写成矩阵形式 函数式),,2,1(),,,,(21n i X X X f Z n i i ==全微分写成矩阵形式：dZ KdX =3应用协方差传播律求方差或协方差阵。
T ZZ XX D KD K =三、 例题讲解在三角形ABC 中观测三个内角 ，将闭合差平均分配后得到各角值及其方差阵为：123ˆ4010'30"ˆˆ5005'20"ˆ8944'10"L L L L ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ ˆˆ633363336LL D --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 解：1.观测量 及其方差123ˆˆˆˆL L L L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ˆˆ633363336LL D --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 2.写出函数式12033ˆˆsin sin ˆˆsin sin a b L L S S S S LL==线性化01323ˆˆln ln ln sin ln sin ˆˆln ln ln sin ln sin a bS S L L S S LL =+-=+-11332233ˆˆˆˆcot cot ˆˆˆˆcot cot a a a bbbdS S L dL S L dL dS S L dL S L dL=-=-123ˆˆˆ,,LL L 已知边长S0=1500.000m,求Sa 、Sb 的长度及他们的协方差阵 Dss写成矩阵形式1133233ˆˆˆcot 0cot ˆˆˆ0cot cot ˆa a a b b b dLdS S L S L dS dL dS S L S L dL ⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦1313233ˆˆcot cot ˆ0ˆˆˆcot cot ˆ0a a a b b b S L S L dL dS dS dL dS S L S L dL ρρρρ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦133ˆ1146041ˆˆ09625ˆdL dL KdL dL ρ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.应用协方差传播律求方差或协方差阵263311460114604136309620962533645Dss ρ--⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦21.860.770.77 1.32Dss cm -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦四、练习题1. 已知观测值1L ，2L 的中误差12σσσ==，120σ=，设11225,2X L Y L L =+=-，12Z L L =。
3-协方差传播律及权
Xn
§3-2 协方差传播律
1. 误差的传递
（2）非线性函数误差的传递
%
f ( x1 , x2 ,L
, xn
)
f x1
x1
f x2
x2
L
f xn
xn
令
f X i
ki ,
i 1,2,L n
则非线性函数误差的传递公式为：
Y
注意：求偏 导后，代入观 测值xi
Y k1 X1 k2 X 2 ... kn Xn
f1
Z1
Z
2
M
Z
t
X 1 f2 X 1 L
ft
X1
f1 X 2 f2 X 2 L
ft X 2
L
L O L
f1
X
n
f2 X n
L
ft
X1
X
2
M
X
n
X n
Z Z X
t1
X n1
tn
Z
Z
t1
X
tn
X n1
例题：测定待定点G，需测量水平角β和边长s
1. 误差的传递
（3）函数向量误差的传递 若有t 个线性函数
Z1 k11 X1 k12 X 2 ... k1n X n k10
Z2
k21 X1
k22 X 2
...
k2n Xn
k20
... ... ... ...
Zt kt1 X1 kt 2 X 2 ... ktn X n kt0
db1
S3 a2
da2
S3 b2
db2
S3 a3
da3
S3 b3
db3
S3 cot a1da1 cot b1db1 cot a2da2 cot b2db2 cot a3da3 cot b3db3
4第三章 协方差传播律_第二部分
令： Y1 L1
F1 23
1 3
13
得： Y1F1X1F10
L1
X
1
L
2
L 3
F 0 60o 1
根据协方差传播公式：
21ຫໍສະໝຸດ 003得：
D YYL 21F 1D XXFT
2 3
=7
同理可求
2 L2
2 L3
9
1 3
1 3
0 0
2 0
0
1 3
1
1
3
§1协方差传播律
二、多个观测值线性函数的协方差阵
{[Ssin(0 )]2[Scos(0 )]2}2
2 s
S2
2
2
点位误差另一个计算公式：
c2
s2
S2
2
2
§3 非线性函数的广义传播律
求函数协方差的步骤小结
38
§4 广义传播律在测量中的应用
① 水准测量的精度 ② 一个量独立等精度观测算术中数的中误差 ③ 三角高程测量的精度 ④ 距离丈量的精度
39 39
K 称为单位距离高差的中误差 或每公里高差中误差。
b2
h2
P2
h
mh nm nS s
mh
m s
S
mh K S
§4 广义传播律在测量中的应用
一、水准测量的精度
例2：如图所示水准路线，由两已知水准点测两高差确定 P 点
高程。要求 P 点高程的中误差小于等于10mm。问每公里的观
解测高：H 差中P A误 差1 2 应H 限8kP 定m1在 h1什H 么P 2 范围 P 内1 2 ？H （已A 8 知kmh 点1 高 程H 无B B误 差h ）2
第三章_协方差传播律及权
(3-2-6)
通常将（ ）、（3-2-5）和（3-2-6）诸式称为协方差传播律。 协方差传播律。 通常将（3-2-4）、（ ）、（ ） ）诸式称为协方差传播律 其中（ 其中（3-2-6）式是（3-2-5）式的特例。 ）式是（ ）式的特例。
的地图上， 【例题1】在1:500的地图上，量得某两点间的距离是d = 23.4 mm，d的量距 例题 】 的地图上 的量距 求两点间的实地距离S和其精度 和其精度σ 误差是 σ d = ±0.2 mm 。求两点间的实地距离 和其精度 S。 解：
第三章
协方差传播律及权
本章学习要点： 本章学习要点： 1、数学期望的传播 、 2、协方差传播定律 、 3、协因数和协因数传播律 、 4、由真误差计算中误差的方法 、 5、系统误差的传播 、
在实际测量工作中，往往有些未知量不是直接测定， 在实际测量工作中，往往有些未知量不是直接测定，而是由观测值 按一定函数关系计算出来的，即某些未知量是直接观测值的函数。 按一定函数关系计算出来的，即某些未知量是直接观测值的函数。
1.96 − 1 − 1 = 1.92( ′′)2 σ = KDββ K = (− 1 − 1) − 1 1.96 − 1
2 x T
σ x = ±1.4 ′′
图3-2
二、多个观测值线性函数的协方差阵 1、 设有观测值 X，它的数学期望 µX与协方差阵DXX ， n1
D XX
σ 12 σ 12 2 σ 21 σ 2 = L L σ n1 σ n 2
L σ 1n L σ 2n L L 2 L σn
(3-2-7)
L k1n k10 L k2n k , K0 = 20 , L L t 1 M L ktn kt 0
《测量平差》教案第三章协方差传播律及权(武汉大学版)(中职教育).doc
《测量平差》教案第三章协方差传播律及权第一节数学期望的传播律£(C) = C;E(CX) = CE(X);口/+/+…+ X”)二E(XJ + E(X2)+…+ E(X“)；当X，相互独立时(匸1,2,…,n),E(X“X2,…,XJ = E(XJE(X2)・・・E(XJ第二节协方差传播律协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
一误差的传递1、线性函数课差的传递y = f l x l+f2x2+... + f n x n+f0△F =—\ +/2亠2 + …+推导上述公式，讲解式中符号的含义2、非线性函数误差的传递Y = f(X l X2…兀J+ A A.t+•••+/”△陰2推导上述公式，讲解式中符号的含义3、函数向量误差的传递Y=FX+F0Y=F(X)A Y=F A x讲解式中符号的含义，强调矩阵表达式与纯量表达式之间的相互表式二、协方差的传递1、基木公式函数向量Y=F(X)Z=K(X)其误差向量为A Z=K A X则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为Dy = F D X F TDy = K D X K TDy Z = F D X K TD Z y = K D x F1证明第一、第三式，并说明同理可证二、四式。
2独立观测量函数的方差传递/F D x F r= f»f»^f^讲解式中符号的含义，说明公式应用的条件，强调公式的重耍性。
3、分块向量函数向量的方差传递x「Z - 口t+rA ~ Yr,\Dx D X yD z = F t,rDyx Dxr,f r.r证明上式，对阵中元素加以说明，给出两向量不相关时该矩阵的形式。
通过五个典型例题的讲解说明方差■协方差传播公式的应用方法和计算中需注意的问题。
小结：协方差传播律是观测值（向量）与英函数（向量）之间精度传递的规律，用其解决观测值两数（向量）的精度评定问题。
木节重点是利用协方差传播律解题的方法和步骤，以及只有一个观测值函数，且观测值之间不相关时的协方差传播公式的应用。
第3章 协方差传播律及权
误差理论与测量平差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
介绍协方差传播律公式及 其应用，权的定义，定权的常用 方法 ，协因数(阵)、权阵的计算 ，协因数传播律公式的应用 ， 利用真误差计算中误差的方法， 需重点掌握。
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2) X、Y表达为同一向量的函数
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
X IX 0Y I
Y 0 X IY 0
X 0 Y
X I Y
由协方差传播律得：
DZX A1 DZY A1 DX A2 DYX DX A2 DYX D XY I A1 D X A2 DYX DY 0 D XY 0 A1 D XY A2 DY DY I
10
解: 1) 将函数式改写为:
Z A 1X A 2Y A 0 A 1 X A2 A0 KU A0 Y
式中
K A 1
X A2 , U Y
由方差阵的定义，即可写出U的方差阵为: 由协方差传播律得：
DX DU DYX DXY DY
10
例 1 设有函数Y=4x1-3x2-60, 已知X(= x1 的方差阵为： 7 2 2
x2
T
)
D
X
2 3
cm
试求Y的方差 。
2 Y
解: 将函数写成矩阵形式，即
Y 4x1 3x2 60 4 3x1 x2 60
T
第三章 协方差传播律及权
1弧度=206 264.806247秒
第三章 协方差传播率及权
第三章 协方差传播率及权
§3-3 协方差传播率的应用 1）水准测量的精度 2）同精度独立观测值平均值的精度 3）若干独立误差的联合影响 4）交会定点的精度
第三章 协方差传播率及权
水准测量
a2 a1
1（s)
b2 a
2(s)
b aN
bN
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项， 得到函数的线性表达式；b、应用协方差传播律。 设观测向量的t个非线性函数为：
Z1 f1 X 1 , X 2 , , X n Z t f t X 1 , X 2 , , X n Z 2 f 2 X 1 , X 2 , , X n
已知X的协方差矩阵DXX，求函数Z的方差DZZ
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项， 得到函数的线性表达式；b、应用协方差传播律。
第三章 协方差传播率及权
将Z按台劳级数在X0处展开： 0 0 Z f ( X 10 , X 2 , X n )
f f f 0 0 0 ( )0 ( X 1 X 1 ) ( )0 ( X 2 X 2 ) ( )0 ( X n X n ) X 1 X 2 X n (二次以上项）
又协方差传播率，x的方差为：
第三章 协方差传播率及权
第三章 协方差传播率及权
应用协方差传播律时应注意的问题 （1） 根据实际测量，正确地列出函数式； （2） 全微分所列函数式，并用观测值计算偏导 数值； （3） 计算时注意各项的单位要统一； （4） 将微分关系写成矩阵形式； （5） 直接应用协方差传播律，得出所求问题的 方差—协方差矩阵。
误差理论与测量平差基础第三章协方差传播律及权
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
第三章_协方差传播律及权
对上式两边取数学期望：
E( Z ) E( KX k0 ) KE( X ) k0 K X k0
Z的方差为：
DZZ E (Z E(Z ))((Z E(Z ))T
E ( KX k0 K X k0 )(KX k0 K X k0 )T
1 2
2 2
X Y
n 2
X 1Yr X 2Yr X nYr
T DYX DXY
若有 X 的
t 个线性函数：
Z 1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
DZZ KDXX K T
例1 在1：500的图上，量得某两点间的距离 d =23.4mm,d的量测中的误差 d =±0.2mm，求该两点实地 S 。 距离S 及中误差 解： S 500 d 500 23.4 11700 mm 11.7m
2 s2 5002 d
2k1kn 1n 2kn1kn n1,n
当向量 X i (i 1,2,, n) 中的各分量两两独立时，它们之间的 协方差 ij =0，此时上式为：
2 2 2 DZZ Z k12 12 k22 2 kn2 n
线性函数的协方差传播律叙述为： 设有函数： Z KX K 0 则：
x
y
YY
XY
X E ( X 1 ) X1 X E ( X 2 ) X 2 X X E ( X ) X n n X
误差平差：协方差传播定律及权
非线性函数的线性化
如果函数 f ( x) 在 x 0的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，则 在该邻域内 f ( x) 的泰勒公式为
f ′′(x0 ) f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 +L 2! f (n) (x0 ) + (x − x0 )n +L +L n!
故：
D = [ F 0] DXX [ 0 K] YZ = FD KT 12
T
协方差传播律小节 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 适用于各观测为相关观测情况； 适用于各观测为相关观测情况； 定律的通式为： 定律的通式为：
若 则
F = KX + K 0 DFF = KDXX K
L
1
ˆ
L2
ˆ
L3
1 8 00 3（ L1 + L2 + L3 − = L− ） 1 1 8 00 3 ） = L2 − （ L1 + L2 + L3 − 1 1 8 00 3 − （ L + L2 + L3 − 1 3 = L ）
1
试求各函数的方差
ˆ σ L，σ Lˆ ，σ
1 2
ˆ
L 3
DLˆ Lˆ
误差理论与测量平差基础
—协方差传播定律及权
第三章 协方差传播律及权
本章内容包括： 本章内容包括：
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 数学期望的传播 协方差传播律 协方差传播律的应用 权与定权的常用方法 协因数和协因数传播律 由真误差计算中误差及其实际应用
误差理论与平差基础-第3章-协方差传播率及权PPT课件
各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元素相等 时，为等精度观测。
.
9
二、协方差传播律
2、观测值线性函数的方差——协方差
观测值 X ( X1 X 2 X n )T,数学期望 E( X ) (E( X1) E( X 2 ) E( X n ))T
2 1
12
1n
方差阵
DXX
12
2 2
244.3
.
18
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。
三角形闭合差: w 180 L1 L2 L3
Lˆ1
L1
1W 3
2 3
L1
1 3
L2
1 3
L3
60
Lˆ2
L2
1W 3
1 3
L1
2 3
L2
1 3
L3
60
Lˆ3
L3
DZY [F1
F2 ]DDYXXX
DXY 0
DYY
I
.
30
二、协方差传播律
矩阵形式的协方差传播
设随机向量 X n1
Y ，其自协方差阵分别是
m1
DXX
DYY ，互协方差阵
是 ， ，求 DXY
Z
t1
F1
tn
X
n1
F2
tm
Y
m1
DZZ DZX
DZY
DZZ [F1
F2
]
DXX DYX
DXY DYY
（3）对有些函数可先取对数在微分
（4）数值带入计算应注意量纲的统一
.
27
二、协方差传播律
空间误差分析第三章协方差传播率及权
A
HE x1 1cm, CE x2 3cm
Y ( y1, y2 )T ,
DYY
2 1
1 2
(mm
2
)
F
X
(x1, x2 )T ,
DXX
2 1
1 2
(mm
2
)
DXY 0
试计算矩形ABFG的面积Z及其方差。
B
C
D
E
GH
§3-2 协方差传播率
例7.设在ΔABC中，观测三个内角L1 , L2 , L3，将闭合差 平均分配后得到的各角之值为
例1：在1：500的地图上，量得某两点间的距离
d=23.4mm，d的量测中误差σd=0.2mm。求实地距 离S及其中误差σS。 例2：设X为独立观测值L1,L2,L3的函数
12 4 X 7 L1 7 L2 7 L3
已知L1、L2、L3的中误差为σ1=3mm，σ2=2mm， σ3=1mm，求函数的中误差σX
t,n
X
n,1
K0
t ,1
求：Z 的协方差阵 DZZ
tt
DZZ
t ,t
K
t,n
DXX
n,n
KT
n,t
§3-2 协方差传播率
DZZ
1,1
K
1,n
DXX
n,n
KT
n ,1
DZZ
t ,t
K
t ,n
DXX
n,n
KT n,t
§3-2 协方差传播率
问题2：设另有X的r个线性函数
Y1 f11X1 f12 X 2 f1r X r f10 Y2 f21X1f22 X2 f2r Xr f20 Yr fr1X1 fr2 X 2 frn X n fr0
第三章 协方差传播率及权
离散型：
E( X ) =
E( X ) =
∑x
i =1
∞
i
pi
连续型：
∫
+∞
−∞
xf ( x ) dx
误差理论与测量平差基础
§3-1 数学期望的传播
2.数学期望的传播规律
1
设C为一常数，则
E (C ) = C
2
设C为一常数，X为一随机变量，则
E (CX ) = CE ( X )
3
设有随机变量X和Y，则
⎣ ⎦
（1）. 令W=(Y Z)T，求W的协方差阵。 （2）. F的方差
σ
2 F
D ZW = E [( Z − E ( Z ))( W − E (W )) T ]
= E [( KX + K 0 − Kμ x − K 0 )( FY + F0 − FμY − F0 ) T ]
= KE [( X − μ x )(Y − μY ) T ]F T
:
1
σ n2
误差理论与测量平差基础
§3-4 权与常用定权的方法
课堂练习
pi
σ = σ
2 0 2 i
§3-4 权与常用定权的方法
1.权的定义（续）
2 (一) 权的大小随σ 0 而变化，但权比不会发生变化。
2 (二) 选定了σ 0 ，即对应一组权。
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个σ0。 （四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。
第三章 协方差传播率及权
第一节 数学期望的传播 第二节 协方差传播率 第三节 权与定权的常用方法 第四节 协因数与协因数传播率 第五节 由真误差计算中误差及其应用 第六节 系统误差的传播
第三章 协方差传播律应用平差CAI5
解法一
解法二
（1）、列函数式, 由图知:
XC X A S cos
,
0
YC YA S sin
0
（2）、线性化
dX C
cos 0
dS
S
sin 0
d
dYC
sin 0
dS
S
cos 0
d
（3）、应用协方差传播公式可得坐标方差计算式
2 cos2 2 S 2 sin2 2
测量平差CAI
测绘工程等专业应用
第三章 协方差传播律及权
第三节 协方差传播律的应用
授课目的要求: 掌握协方差传播律应用方法 重 点、难 点: 测量上精度计算的方法及应用
本次课主要内容：
水准测量的精度 同精度观测算数平均值的精度 若干独立误差的联合影响 平面控制点的点位精度
水准测量的精度
设水准测量中每一测站观测高差hi的精度相同, 其 方差均为 , 则具有N个测站的水准路线的总高差为
小结：
作业：
3-11、水准测量中若要求每公里观测高差中误差不 超过10mm，水准路线全长高差中误差不超过100mm, 则 该水准路线长度不应超过多少公里？
3-12、已知某台经纬仪一测回的测角中误差为±3", 如果要使各测回的平均值的中误差不超过±1.5", 则至 少应测多少测回？
3-13、在１km的水准测量中，高差观测值的中误 差为２mm. Ａ点为己知水准点，其中误差为３mm，为 了从Ａ点起敷设水准路线以测定Ｂ点高程, 使Ｂ点高程 中误差为１cm, 该水准路线有多长？
* 4.0 0.84cm2
解法二: 由C点纵、横向方差求点位方差
如图AC边上边长方差称为
纵向方差
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第三章 协方差传播律
一、
公式汇编
广义传播律
T YY XX T ZZ XX T YZ XX D FD F D KD K D FD K ⎫=⎪=⎬⎪=⎭220022
002200()()()T YY XX T ZZ XX YZ XX Q F Q F Q K Q K Q F Q K σσσσσσ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭T YY XX T ZZ XX YZ XX Q FQ F Q KQ K Q FQ K ⎫
=⎪⇒=⎬⎪=⎭
独立观测值权倒数
2
2211221111Z n n
f f f P L P L P L P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 方差与协因数阵
202020XX XX YY YY XY XY
D Q D Q D Q σσσ===22022
020i ii
j jj ji ij
Q Q Q σσσσσσ=== 2
210
XX XX
XX
D Q P σσ-== 权2
02i i
p σσ=
二、
解题指南
1.观测值及其方差阵 写成向量、矩阵形式
,XX X D
2 按要求写出函数式，对函数式求全微分，写成矩阵形式 函数式
),,2,1(),,,,(21n i X X X f Z n i i ==
全微分
写成矩阵形式： dZ KdX =
3应用协方差传播律求方差或协方差阵。
T ZZ XX D KD K =
三、
例题讲解
在三角形ABC 中观测三个内角 ，将闭合差平均分配后得到各角值及其方差阵为：
1
23ˆ4010'30"ˆˆ5005'20"ˆ8944'10"L L L L ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
ˆˆ633363336LL D --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 解：1.观测量 及其方差
123ˆˆˆˆL L L L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ ˆˆ633363336LL D --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 2.写出函数式 1
2
3
3
ˆˆsin sin ˆˆsin sin a b L L S S S S L
L
== 线性化 013
2
3
ˆˆln ln ln sin ln sin ˆˆln ln ln sin ln sin a b
S S L L S S L L
=+-=+-
11332
2
3
3
ˆˆˆˆcot cot ˆˆˆˆcot cot a a a b
b
b
dS S L dL S L dL dS S L dL S L dL
=-=-
写成矩阵形式
11
332
33ˆˆˆcot 0cot ˆˆˆ0cot cot ˆa a a b b b dL
dS S L S L dS dL dS S L S L dL ⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎢⎥⎣⎦
1
313
2
33ˆˆcot cot ˆ0ˆˆˆcot cot ˆ0a a a b b b S L S L dL dS dS dL dS S L S L dL ρρρ
ρ⎡⎤⎡⎤-⎢
⎥⎢⎥⎡⎤
⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣
⎦133ˆ1146041ˆˆ09625ˆdL dL KdL dL ρ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3.应用协方差传播律求方差或协方差阵
263311460114604136309620962533645Dss ρ--⎡⎤⎡⎤
-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦
1
2
3
ˆˆˆ,,L L L 已知边长S0=1500.000m,求Sa 、Sb 的长度及他们的协方差阵 Dss
2
1.860.770.77 1.32Dss cm -⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
四、
习题
1. 下列各式中的()1,2,3i L i =均为等精度独立观测值，其中误差为σ，试求X 的中误差：
（1）()12312X L L L =
++；
（2）123
L L
X L = 2. 已知观测值1L ，2L 的中误差12σσσ==，120σ=，设11225,2X L Y L L =+=-，
12Z L L =。
试求X ，Y ，Z 的中误差。
3. 设有不等精度的独立观测值1L 、2L 及3L ，他们的中误差分别为1σ、2σ及3σ，试求
下列各函数的中误差。
1)、1110F k L L =+ （10,k L 为常数）
2)、2
3213F L L =-
3)、231231
()2
F L L L =
+- 4. 设有观测向量[]1
2
331
T L L L L =，其协方差阵为400030002LL D ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
分别求下列函数的
的方差：（1）1133F L L =-；（2）2233F L L =
5. 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm ，今要求从已知点推算待定点的高
程中误差不大于5cm ，问可以设多少站？有一角度测4个测回，得中误差为0.42〃，问再增加多少个测回其中误差为0.28〃？ 6. 已知观测值向量21
L 的权阵为5224LL P -⎡⎤
=⎢
⎥
-⎣⎦
，试求观测值的权1L P 和2L P 7. 在某一个三角形中，各个角的中误差分别是4''±、3''±、2''±。
求此三角形三角和、
及其闭合差的中误差。
8. 已知一组观测值321,,L L L ，其方差阵是I D LL =⨯3
3，有函数∑==
3
1
i i
i L
a x 、∑==
3
1
i i
i L
b y 。
求向量⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=y x Z 的方差阵。
9. 已知随机向量13⨯L 的自协方差阵是⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=210130004LL
D。
求函数向量⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=3221
L L L Z 的方差阵。
10. 已知观测值向量L ，其协因数阵为单位阵。
有如下方程：
L BX V -=，
0=-L B BX B T T ，
L B B B X T T 1)(-=，V L L
+=ˆ 式中：B 为已知的系数阵，B B T 为可逆矩阵。
求（1）协因数阵XX Q 、L L Q ˆˆ；（2）证明V 与X 和L ˆ均互不相关。
五、思考题
1. 误差传播定律是用来解决什么问题的？
2. 试述应用误差传播定律的实际步骤。
3.
三角形闭合差是真误差？如何由三角形闭合差
计算测角中误差？
4.
权是怎样定义的？权与中误差有何关系？为什
么要引进权的概念？如何
理解单位权中误差，单位权观测值、单位权的概
念？
5. 权有没有单位？举例说明
6.
指出水准测量的两种定权公式，式中符号各代表
什么意义？
7. 导线测量中的观测量是什么？如何定权？ 8. 应用权倒数传播律时，应注意什么问题？ 9.
协因数传播律与误差传播律有何异同？
10.协因数如何定义的，为什么要引入协因数的概念？
11.方差阵、协因数阵、权阵之间的关系。