一阶线性电路的四要素法则

一阶线性电路的四要素法则

提要

·本文提出了计算一阶线性电路的四要素法

·传统的直流一阶电路三要素法仅是四要素法的一个特例

·四要素法比经典法、拉普拉斯变换法简便、直接、清晰。

·四要素法适用于各种信号激励的一阶线性电路完全响应、零输入响应和零状态响应等的计算，它具有普遍意义。

·四要素法中的四要素是：响应的初值、时间常数、强制响应和强制响应初值。

正文

1、1、一阶电路四要素分析法

我们把电路换路瞬时定为t=0设换路后一阶电路的激励为了f(t)、响应为y(t）。描述一阶电路的激励——响应方程的普遍形式为

式中，a、b、c为常系数。

可以发现式（1）为一阶常系数非齐次微分方程。那么我们可以根据已经学过的微分方程理论，式（1 ）之解将由两部分组成，一是微分方程的特解，在电路中我们把它称为强制响应，用y f(t)表示；另一是式（1）所对应的齐次微分方程的通解，在电路中我们一般称为固有响应，用y i(t)表示。于是式（1）之解可写为

y f(t)与激励的形式有关，而y i(t)是一固定形式，为

式中，K是积分常数；S是特征方程之根，S=-b/a

电路中，我们常常将式（3）写成如下形式

其中，积分常数K可由初始条件确定，K=y(0+)-y f(0+)

于是

这就是一阶电路在任意信号源激励时，响应y(t)的计算公式。式中y f(t)、y f(0+)、y(0+)和г称为一阶电路的四要素。y f(t)和y f(0+)是一阶电路的强制响应及其初值，y(0+)是响应y(t)的初值，г是电路的时间常数。用式（6 ）分析一阶电路的方法称为四要素法，式（6 ）为四要素公式。

2 、周期信号源或直流信号源激励时的四要素公式

A、周期信号源激励的情况

一阶电路的激励若为周期信号，则强制响应即为稳态响应，用y s(t)表示，于是我们可以把式（6）写为

这就是周期信号激励时，一阶电路四要素法公式。式中y(0+)和г我们在一阶电路中已经有了充分的认识，也学会了计算他们的基本方法，故这里只讨论y s(t)的计算（其初值y s(0+)

随之可得）。但是当激励是正弦信号时，稳态响应y s(t)，很简单，我们可由在学习正弦稳态电路是学习的相量法简单求得。

B、直流信号源激励时的情况

可以想象，直流信号只是正弦信号的一个特例，故直流激励时的响应可用式（7）进行分析。由于直流稳态响应是一恒量，它与时间无关，而且稳态响应就是响应的终值，因此y s(t)= y s(0+)=，于是直流一阶电路的四要素缩减成了三要素，式（7）变成了

这就是我们所熟知的三要素公式。可见一阶电路三要素法是四要素法的一个特例。在一阶电路中，我们常用直流三要素法来分析电路的响应，非常简单。

学习体会与心得

通过这次小课题的研究，我不但对于一阶电路有了更深的理解，而且对于周期信号为激励的情况下，有了新的一种解题方法。

而且，让我对电路中，运用得最广的三要素法，有了更理性的认识。