高等代数试题2(附答案)
《高等代数》第二章习题及答案
习题2.11. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有哪几个？A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答 只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-922147117②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛213321=()11④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0713********=()111813⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x=233323321331322322221221311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++3. 设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3101，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2③ (AB)T ④ A T B T解 ① (A+B)(A-B)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4040002062223101312131013121 ② A 2-B 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20829401114833101310131213121③ (AB)T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9643946331013121TT④ A T B T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112413011321131013121TT 4. 求所有的与A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011可交换的矩阵． 解 设矩阵B 与A 可交换，则B 必是2×2矩阵，设B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，令AB=BA ，即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111011d c b a d c b a 从而有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c c b a a d cd b c a 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=+=+dc d c c b a d b ac a解得，c=0，a=d ，b 为任意数．即与A 可交换的矩阵B 可写成B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a 0． 5. 设A ，B 是n ×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵．证 已知A 是对称矩阵，即A T =A ，从而 (B T AB)T =B T A T (B T ) T =B T AB ，所以B T AB 也是对称矩阵．6. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b 0，求A 2，A 3，…，A k．解A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222000b ab b b a b b a bA 3=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3232230020b ab b b a b b ab b …A k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----k k k k k k b kabb b a b b ab k b 112100)1(0 7.设B 是2×2矩阵．由B 2=02×2能推出B=0吗？试举反例．（提示：参见上题．） 解 不能．例如令B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000a ，当a ≠0时，B ≠0，但B 2=02×2． 8. 设A ，B 是n ×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2的充分必要条件是A 与B 可交换．证 充分性：若A 与B 可交换，即AB=BA ，则(A+2B)(A-5B)=A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-5AB+2AB-10B 2= A 2-3AB-10B 2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2 即 A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA9. 设A ，B 是n ×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换． 证 因A ，B 是n ×n 对称矩阵，即A T =A ，B T =B ．必要性：若AB 是对称矩阵，则(AB)T =AB ，有因 (AB)T =B T A T =BA ，从而AB= BA ，即A 与B 可交换．充分性：若A 与B 可交换，由必要性证明过程反图推，知AB 是对称矩阵．习题2.21.设A ，B ，C 是矩阵，且满足AB=AC ，证明：如果A 是可逆的，则B=C ．证 已知AB=AC ，两边左乘矩阵A -1，有A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C ，从而有EB=EC ，故B=C ．2.设P 是可逆矩阵，证明：线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．证 设X (1)是AX=β的任一解解，即有AX (1)=β成立，两边左乘矩阵P ，得PAX (1)=P β，说明X (1)也是PAX=P β的解．反之，设X (2)是PAX=P β的任一解，即有PAX (2)=P β成立，两边左乘矩阵P -1，得P -1 (PAX (2))= P -1 (P β)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有AX (2)=β，这说明X (2)也是AX=β的解．综合以上可知，线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．3.设P 是n ×n 可逆矩阵，C 是n ×m 矩阵．证明：矩阵方程PX=C 有唯一解．证 令X *=P -1C ，代入PX=C 中验证知X *是矩阵方程的一个解．反之，设X (1)是矩阵方程PX=C的任一解，即有PX (1)=C 成立，两边左乘P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程PX=C 有唯一解．4. 设A 是n ×n 可逆矩阵，且存在一个整数m 使得A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且(E-A)-1=E+A+…+A m-1．证 由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m =E-A m=E-0=E显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知(E-A)-1=E+A+…+A m-1．5.设P ，A 都是n ×n 矩阵，其中P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP)m =P -1A mP ．证 (P -1AP)m =(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE …AP=P -1A m P6. 设A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有(A+B)-1=A -1+B -1？若不是，试举出反例．解 如果A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001都是可逆的，但A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000是不可逆的． 如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B)-1=A -1+B -1．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001，则A ，B 可逆，A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2002可逆，且(A+B)-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2/1002/1，但A -1+B -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002．显然(A+B)-1≠A -1+B -1．7*.设A ，B 都是n ×n 矩阵，满足ABA=A ，β是n ×1矩阵．证明：当且仅当AB β=β时，线性方程组AX=β有解．证 当AB β=β时，记X *=B β，即X *是AX=β的一个解．反之，若线性方程组AX=β有解，设X (1)是它的一个解，即有AX (1)=β，两边左乘(AB)得(ABA)X (1)=AB β用已知条件ABA=A 代到上式左边得AX (1)=AB β 由于X (1)是AX=β的一个解，即AX (1)=β，所以AB β=β．习题2.31.用行和列的初等变换将矩阵A 化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000E 的形式： A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10030140300400001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---04000100301403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000040001403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000040000003000001→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000010000010000012.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵：①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----134112112 ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----153132543 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----100134010112001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102110011200001112→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011200102110001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02/12/110012/12/301002/12/1012→ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/3010112002→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/30102/12/11001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/112/12/32/12/11②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100153010132001543→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------101610013/23/73/10001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---131100032710001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------13110071850105154043 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1311007185010338724003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----131100718501011298001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1317185112982.解下列矩阵方程：①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111152X ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111201021121101X ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X解 ①⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111152→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11521111→⎪⎪⎭⎫⎝⎛---33701111 →⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7/37/3107/47/401 由此得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=7/37/37/47/4X ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101021111121201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---302120112220201101 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----414300112220201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3/43/13/41006/56/13/10103/23/13/1001 由此得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3/43/13/46/56/13/13/23/13/1X ③对等式两端分别转置得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--233141*********T X 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231013111141122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231014112231111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---520102330031111 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---233005201031111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3/21100520103/70011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3/21100520103/82001 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/21523/82TX⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020102B ，又X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程AX 2B=XB ，求矩阵X ．解 (B,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110010020001102→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10011002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12/1010002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/1001012/11002 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/100102/14/12/1001 从以上看出B 可逆，对AX 2B=XB 两边右乘B -1得AX 2=X ．已知X 可逆，对AX 2=X 两边右乘B -1得AX=E ．又(A,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101010111100001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111100101010001001 所以 X=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111010015.①证明：B 与A 行等价⇔存在可逆矩阵P ，使B=PA ．②证明：B 与A 等价⇔存在可逆矩阵P 与Q ，使B=PAQ ．证 若B 与A 行等价，即A 可经有限次初等行变换得到B ，而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对A 依次左乘初等方阵P 1，P 2，…，P K ，使P k …P 2P 1A=B令P=P k …P 2P 1，则P 是可逆矩阵，且B=PA ．反之，若存在可逆矩阵P ，使B=PA ，因为可逆矩阵P 可以写成一系列初等方阵P 1,P 2, …,P k的乘积，即P=P 1P 2…P k ，从而有B=P 1P 2…P k A ，说明A 可经有限次初等行变换得到B ，即B 与A 行等价．② 若B 与A 等价，即对A 经过有限次初等变换得到B ．而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初等方阵．假设对A 左乘的初等方阵依次为P 1，P 2，…，P s ，对A 右乘的初等方阵依次为Q 1，Q 2，…，Q t ，使P s …P 2P 1AQ 1Q 2…Q t =B令P=P s …P 2P 1，Q=Q 1Q 2…Q t ，则P ，Q 都是可逆矩阵，且B=PAQ ．反之，若存在可逆矩阵P 和Q ，使B=PAQ ，因为可逆矩阵P 和Q 均可以写成一系列初等方阵的乘积，设P=P 1P 2 …P s ，Q=Q 1Q 2…Q t ，这里P i ,Q i 都是初等方阵，从而有B=P 1P 2…P k A Q 1Q 2…Q t ，说明A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到B ，即B 与A 等价． 6*.设A 是s ×n 矩阵，B 是s ×m 矩阵，B 的第i 列构成的s ×1矩阵是βj （j=1,2,…,m ）．证明：矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解．证 先证必要性．如果矩阵方程AX=B 有解，设X *是它的解，则X *是n ×m 矩阵，记X *的第j 列为X *j ，根据矩阵先相乘的规则知，A 与X *j 相乘的结果是βj ，即X *j 是AX=βj 的解（j=1,2,…,m ）．再证充分性．若AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解，设X *j 是AX=βj 的解，这里X *j 是n ×1矩阵，令X *=(X *1, X *2,…,X *m )，则X *是n ×m 矩阵，且X *是矩阵方程AX=B 的解． 7*.设A=(a ij )是n ×n 矩阵．①证明：如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②设B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，设l ≠k ．证明：如果P n (l,k)B=BP n (l,k)，b l =b k ．③证明：如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，则A 是一个数量矩阵．证 ①如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则A 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (h(2))A 表示将矩阵A 的第h 行每个元素乘以2得到的矩阵；等式右端的AP n (h(2))表示将A 的第h 列每个元素乘以2得到的矩阵．从等式可知2a hj = a hj （j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），a ih =2a ih （i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），从而得a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②如果P n (l,k)B=BP n (l,k),则B 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (l,k)B 表示将矩阵B 的第l 行和第k 行交换位置；等式右端的BP n (l,k) 表示将矩阵B 的第l 列和第k 列交换位置．由于B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，且l ≠k ，不妨设l<k ，则有P n (l,k)B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n l k b b b b 001=BP n (l,k)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k lb b b b001比较对应元素，可知b l =b k ．③如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，在①中分别令h=1,2,…,n ，可知A 除对角线上元素以外其它元素都是零，即A 可写成diag(b 1, b 2,…, b n )；在②可令l=1，分别令k=2,…,n ，可知A 的对角线上元素都相等．习题2.41.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．求A 3． 解 A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+244221210A A A A A A A 3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+244221210A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++34242421221310A A A A A A A A A2.①设G=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得GBG=G ． ②设A 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得ABA=A ．证 ①构造n ×m 矩阵B 为B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ，则GBG=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE =G②设矩阵A 的秩为r ，则可经过有限次初等变换使A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE 的形式，即存在可逆的n ×n 矩阵P 和可逆的m ×m 矩阵Q 使PAQ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E =D ，即A=P -1DQ -1．定义n ×m 矩阵B 如下：B=QCP ，其中C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ．则有ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1=P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1= P -1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1=A3*.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4210A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．证明：如果A 1，A 4都是可逆的，则A 也是可逆的，进一步，求A 的逆矩阵．证 如果A 1，A 4都是可逆的，令B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A ，其中A 1-1，A 4-1分别是A 1，A 4的逆阵，B 2是s ×t 矩阵．令AB=E ，即有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s E A A B A E 014221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t s E E 00， 从而 A 1B 2+ A 2A 4-1=0，由此得B 2=-A 1-1A 2A 4-1．说明A 也是可逆的，且A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1414211110A A A A A。
高代2期末考试试题及答案
高代2期末考试试题及答案# 高代2期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性空间中，向量组的线性相关性意味着：- A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示- B. 向量组中所有向量都是零向量- C. 向量组中任意向量都可以由其他向量线性表示- D. 向量组中存在非零向量可以由其他向量线性表示答案：A2. 设矩阵A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则称x为矩阵A的：- A. 特征向量- B. 零空间向量- C. 特征值- D. 逆矩阵答案：B3. 矩阵的秩是指：- A. 矩阵中非零行的最大数目- B. 矩阵中非零列的最大数目- C. 矩阵的行向量组的秩- D. 矩阵的列向量组的秩答案：D4. 对于线性变换T: V → W，如果存在矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A和B是：- A. 相似矩阵- B. 等价矩阵- C. 合同矩阵- D. 正交矩阵答案：B5. 线性变换的核是指：- A. 线性变换的值域- B. 线性变换的零空间- C. 线性变换的逆映射- D. 线性变换的映射集合答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 线性空间V的基是一组向量，使得V中任意向量都可以唯一地表示为这组向量的________。
答案：线性组合2. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则矩阵乘积AB的秩r(AB)满足：________。
答案：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))3. 矩阵的特征值是指使得方程________的λ的值。
答案：det(A - λI) = 04. 线性变换的线性组合可以表示为________。
答案：T1 + λT25. 对于线性空间的子空间U和W，它们的和U+W是________。
答案：U和W中所有向量的集合三、简答题（每题5分，共15分）1. 解释什么是线性空间的基，并给出一个例子。
答案：线性空间的基是一组向量，它们线性无关且能生成整个线性空间。
高等代数二练习题答案
高等代数二练习题答案一、多项式运算1. 给定多项式 \( p(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \) 和 \( q(x) =x^2 + 1 \)，求 \( p(x) \) 除以 \( q(x) \) 的商和余数。
2. 计算多项式 \( r(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 3 \) 和 \( s(x) =x - 2 \) 的乘积。
3. 证明多项式 \( t(x) = x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 8x - 9 \) 可以分解为两个二次多项式的乘积。
二、矩阵运算1. 给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \) 和 \( B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 与 \( B \) 的乘积。
2. 若矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的逆矩阵。
3. 判断矩阵 \( D = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix} \) 是否可对角化，并给出相应的对角矩阵。
三、线性方程组1. 解线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 1 \\3x - y + 2z &= 0 \\2x + y + z &= -1\end{align*}\]2. 判断下列线性方程组是否有唯一解：\[\begin{align*}x + y &= 3 \\2x + 2y &= 6\end{align*}\]3. 用克拉默法则解线性方程组：\[\begin{align*}x - y + z &= 2 \\2x + y - z &= 1 \\-x + 2y + z &= 3\end{align*}\]四、特征值与特征向量1. 求矩阵 \( E = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) 的特征值和对应的特征向量。
(24)--13-14学年高等代数(II)试卷及参考答案
得分 五、(10 分) 设 V 是数域 Ω 上的 n 维向量空间, σ 是 V 上线性变换. 证明: 存
在 V 上线性变换 τ , 使得 kerσ = τ (V ), kerτ = σ(V ).
第 5 页 (共 6 页)来自得分 六、(10 分) 设 A1, A2, . . . , Ak 均为 n 阶实对称矩阵, 并且对任意的 i, j 均有
¯ Ý:˦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
(σ + τ )(u)v = u(σ − τ )(v),
(1)
(σ + 2τ )(u)v = uσ(v).
Ý ¦ ÈÙ Þ (2) − (1)
u, v ∈ V ,
τ (u)v = uτ (v).
À τ Ï ©¦». Á Ý (1) ¸ (3) ¦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
b
a + 3b
0
1
下对应的矩阵为
.
5. 设 V 是数域 Ω 上的有限维向量空间, 若 V 上线性变换 σ 的特征多项式
为 f (λ) = nk=1(λ − k)k, 则 dim ker(σ − k∗)k =
, 其中 k = 1, 2, . . . , n.
6. 设 V 是 2014 维欧氏空间, 若 V 上线性变换 σ 既是正交变换, 又是反对称
变换, 则 σ 的特征多项式为
.
7. 设 1, 2 都是 30 阶方阵 A 的特征根, 1 的代数重数为 29, 几何重数为 27,
则满足此条件且互不相似的 A 的总个数为
.
第 1 页 (共 6 页)
得分 二、(15 分) 设 A, B 均是 n 阶实对称矩阵. 证明: A, B 都是半正定矩阵, 当且
高等代数考试题和答案
高等代数考试题和答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 向量空间中，线性无关的定义是（）。
A. 向量空间中的任意向量不能表示为其他向量的线性组合B. 向量空间中的任意向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量空间中的所有向量可以表示为其他向量的线性组合D. 向量空间中的部分向量可以表示为其他向量的线性组合答案：A2. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 可逆或不可逆D. 不能确定答案：B3. 对于实数域上的多项式f(x)，其根的个数（）。
A. 等于其次数B. 小于其次数C. 大于其次数D. 不确定答案：D4. 线性变换T:V→W，若对于V中的任意向量v，都有T(v)=0，则称T为（）。
A. 可逆变换B. 非奇异变换C. 零变换D. 恒等变换答案：C5. 矩阵A与矩阵B相似，则（）。
A. A和B具有相同的秩B. A和B具有相同的行列式C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：C6. 向量组α1, α2, ..., αs在向量空间V中张成V，则称向量组（）。
A. 线性相关B. 线性无关C. 基D. 零向量组答案：C7. 矩阵A的转置记作（）。
A. A'B. A^TC. A^HD. A*答案：B8. 矩阵A的特征多项式为f(λ)=det(A-λI)，则f(λ)的根称为矩阵A的（）。
A. 特征值B. 特征向量C. 特征多项式D. 特征函数答案：A9. 向量空间V的维数等于V的任意一组基的向量个数，这称为（）。
A. 基定理B. 维数定理C. 线性空间定理D. 向量空间定理答案：B10. 矩阵A和B可以进行矩阵乘法，则（）。
A. A的列数等于B的行数B. A的行数等于B的列数C. A的行数等于B的行数D. A的列数等于B的列数答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵A的秩是指矩阵A中线性无关的行（或列）向量的最大个数，记作rank(A)。
12. 矩阵A和B的乘积记作AB，其中A的列数必须等于B的行数。
2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷(含答案)
2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷专业:信计 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷一、填空（5分×10）1在4P 中，向量(1,2,1,1)ξ=在12(1,1,1,1),(1,1,1,1),εε==--3(1,1,1,1)ε=--，4(1,1,1,1),ε=--下的坐标____.2 在[]P x 中定义0()()f x f x ψ=，其中0x 是一个固定的数，判断ψ是不是线性变换____.3 线性空间V 的两组基的过渡矩阵为A ，则这两组基的对偶基的过渡矩阵为____.4设矩阵2323ab ⎛⎝为正交矩阵，则a = ____，b = ____. 5 欧氏空间V 上的线性变换f 称之为正交变换，如果对任意的,V αβ∈____. 6已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵325B A A =-，则____B .（提示：行列式的值等于它所有特征值的乘积.）7试写出线性空间V 上线性变换ψ核的表达式______.8 属于不同特征值的特征向量线性无关是否正确？______. 9 设A 是n 阶矩阵，满足2A A =，则矩阵A 的特征值______.二、计算与解答题 （10分×3）10在空间3P 中设线性变换()()12312231,,2,,A x x x x x x x x =-+.求A 在基()()()0231,0,0,1,1,0,0,0,1εεε===下的矩阵.11设B 是秩为2的54⨯矩阵，()()()1231,1,2,3,1,1,4,1,5,1,8,9T T Tααα==--=--是齐次方程组0Bx =的解向量，求0Bx =的解空间的一个规范正交基.12已知1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求nA .三、证明题 （10分×2）13设12,,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：如果V γ∈满足(),0,1,2,,i i n γα==，则0γ=.14证明： 设123,,εεε是线性空间V 的一组基，123,,f f f 是它的对偶基，1132123323,,αεεαεεεαεε=-=++=+， 试证：123,,ααα是V 的一组基并求它的对偶基.2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷答案专业:信计 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷一、填空（5分×10）1在4P 中，向量(1,2,1,1)ξ=在12(1,1,1,1),(1,1,1,1),εε==--3(1,1,1,1)ε=--，4(1,1,1,1),ε=--下的坐标____.5111,,,4444--2 在[]P x 中定义0()()f x f x ψ=，其中0x 是一个固定的数，判断ψ是不是线性变换____.是3 线性空间V 的两组基的过渡矩阵为A ，则这两组基的对偶基的过渡矩阵为____. ()1'A -4设矩阵2323ab ⎛⎝为正交矩阵，则a = ____，b = ____.1,03. 5 欧氏空间V 上的线性变换f 称之为正交变换，如果对任意的,V αβ∈____.()(),,f f αβαβ=6已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵325B A A =-，则____B .（提示：行列式的值等于它所有特征值的乘积.）【解】设()325f x x x =-，则B 的特征值为()()()14,16,212f f f =--=-=-.于是()()()4612288B =-⋅-⋅-=-.7试写出线性空间V 上线性变换ψ核的表达式______.(){}10|0x V x ψψ-=∈= 8 属于不同特征值的特征向量线性无关是否正确？______. 是 9 设A 是n 阶矩阵，满足2A A =，则矩阵A 的特征值______.【解】设λ是A 的特征值，α是其对应的特征向量，则,0A αλαα=≠，22A A αλαλα==，又由2A A =得到2A A ααλα==，所以2λαλα=.20,0,1λλλ-==.二、计算与解答题 （10分×3）10在空间3P 中设线性变换()()12312231,,2,,A x x x x x x x x =-+.求A 在基()()()0231,0,0,1,1,0,0,0,1εεε===下的矩阵.【解】略.11设B 是秩为2的54⨯矩阵，()()()1231,1,2,3,1,1,4,1,5,1,8,9TTTααα==--=--是齐次方程组0Bx =的解向量，求0Bx =的解空间的一个规范正交基.【解】既然B 是秩为2，解空间的维数为2，又12,αα线性无关，所以12,αα是解空间的一个基，()()()()1121221111,1,2,3,,14,2,10,6.,3TTβααββαβββ===-=-- 再单位化，))1121,1,2,3,2,1,5,3.TTηαη===--12已知1122A ⎛⎫=⎪⎝⎭，求nA . 【解】（1） 求A 的特征值，2300,3E A λλλλλ-=-=⇒==.(2) 求A 的特征向量，当3λ=时，112α⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0λ=时，211α⎛⎫=⎪-⎝⎭.令()12,P αα=，则13000A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是11111130303300002323nn n n nn n A P P P P ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 三、证明题 （10分×2）13设12,,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：如果V γ∈满足(),0,1,2,,i i n γα==，则0γ=.【证明】根据(),0γγ=.14证明： 设123,,εεε是线性空间V 的一组基，123,,f f f 是它的对偶基，1132123323,,αεεαεεεαεε=-=++=+，试证123,,ααα是V 的一组基并求它的对偶基.证明：()()123123011,,,,112111g g g f f f -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭。
(完整word版)高等代数(二)期末考试样卷
《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（ ）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（ ） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（ ） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（ ） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的 维数为（ ）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（ ） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的 （ ）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。
高等代数(北大版)第2章习题参考答案
第二章 行 列 式1. 求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3)9 8 7 6 5 4 3 2 1;解:1) 所求排列的逆序数为:()1011033110134782695=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
2) 所求排列的逆序数为:()1810345401217986354=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
3) 所求排列的逆序数为:()()36219912345678987654321=-=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
2.选择i 与k 使1) 1274i 56k 9成偶排列； 2) 1i 25k 4897成奇排列。
解: 1) 当3,8==k i 时, 所求排列的逆序数为:()()10011314001274856399561274=+++++++==ττk i ，故当3,8==k i 时的排列为偶排列.。
2)当6,3==k i 时, 所求排列的逆序数为:()()5110110101325648974897251=+++++++==ττk i ，故当6,3==k i 时的排列为奇排列。
3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换。
解: 12345()()()2534125431214354,35,22,1−−→−−−→−−−→−。
4.决定排列()211 -n n 的逆序数,并讨论它的奇偶性。
解: 因为1与其它数构成1-n 个逆序,2与其它数构成2-n 个逆序,……n n 与1-构成1个逆序,所以排列()211 -n n 的逆序数为()[]()()()时排列为奇排列。
当时，排列为偶排列；故当34,2414,4211221211++=+=-=+++-+-=-k k n k k n n n n n n n τ5.如果排列n n x x x x 121- 的逆序数为k ,排列121x x x x n n -的逆序数是多 少?解: 因为比i x 大的数有i x n -个,所以在121x x x x n n -与n n x x x x 121- 这两个排列中,由i x 与比它的 各数构成的逆序数的和为i x n -.因而,由i x 构成的逆序总数 恰为 ()()21121-=-+++n n n 。
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北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期高等代数（II ）期末考试（A 卷）答案一、填空题(每题3分,共30分)1、设W 1和W 2是R n ⨯n 的两个子空间，其中W 1是由全体n 阶实反对称矩阵构成，W 2是由全体n 阶实下三角矩阵构成, 则 W 1+W 2的维数等于2n ．2. 设ε1 = (1,0,0), ε2 = (0,1,0), ε3 = (0,0,1), η1 = (0,0,2), η2 =(0,3,0), η3 = (4,0,0) 是线性空间P 3的两组基, 则从基η1, η2, η3到基ε1, ε2, ε3的过渡矩阵是 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡413121。
3、线性空间22⨯R 中，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5432A 在基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00011E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00112E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01113E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11114E 下的坐标为： ()T5111---.4、设P 3的线性变换T 为：T(x 1, x 2, x 3) = (x 1, x 2, x 1 + x 2)，取P 3的一组基：ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1)，则T 在该基下的矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111010001． .5、设欧氏空间R 3[x ]的内积为dx x g x f x g x f )()())(),((11⎰+-=则一组基1, x, x 2的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡520320323202． 6、已知三阶矩阵A 满足03E A 2E A E A =-=-=-，则=A 6 ．7、已知矩阵A 的初等因子组为λ2，(λ－１)2，则其Jordon 标准形矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110100 8、欧氏空间V 中两个向量βα,满足βαβα-=+，则α与β的夹角是090．9、3维欧氏空间R 3 (取标准内积)中的向量(2, 3,－1), (1, 1, 0),(0, 1,－1)生成的子空间的正交补空间的维数是 1 ．10、设321,,εεε是数域P 上的3维线性空间V 的一组基，f 是V 上的一个线性函数。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
高等代数试题二
⎩-=n ny y x 2125.(6.2)求把二次型3231212322211048392x x x x x x x x x --+++化为二次型⎩=y x 336.(6.3) 在复数域中化下列二次型为规范形并写出相应线性变换。
则321321),,(y y y x x x f +-= Y C X ∙=(2) 同样方法可得),,,(4321x x x x f 的秩为3，符号差19.(6.3) 求下列二次型的秩与符号差⎭⎝20A ⎭⎝20B 1122证：如果1A 与1B 合同，所以1111PB P A '=所以(1P 是可逆矩阵)；元素全为零，则由归纳假设结论已经成立，不然经过行列的同时对换，可设再利用1，-1将最后；两行两列的其他元素化成零，则A又化成级矩阵也成立，从而对于任意级数的反对称矩⎭⎝E 02112P 是可逆0=AB 。
的实二次型的正惯性指数有1+r 种因此元实二次型的合同总数为证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于2而⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-------X A X X A X X A A X I n n n n n1111110010其中()11--'=ACCB ,由0<A 必定有n p <使()0,,0021='=AX X x x x f n11 == i j∴二次型f 的矩阵A A 'A r A A r ='∴二次型f 的秩等于A 的秩25.(6.4) 证明：如果()ji ij i j j i ija a x x a=∑∑==11是正定二次型⎭⎝⎭⎝⎭⎝000000D而⎪⎪⎭⎝=--0pr E D。
(完整word版)高等代数试卷及答案(二),推荐文档
一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。
2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。
3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。
4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。
5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。
6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。
7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。
8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。
9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。
10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。
二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。
（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。
（ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。
（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （ ）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。
高等代数期末考试题库及答案解析
高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。
5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。
–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。
(完整word版)免费-高等代数试卷二及答案
高等代数试卷二一、 单项选择题（每小题2分，共10分）【 】1、设)(x f 为3次实系数多项式，则A.)(x f 至少有一个有理根B. )(x f 至少有一个实根C.)(x f 存在一对非实共轭复根D. )(x f 有三个实根.【 】2、设,A B 为任意两个n 级方阵，则如下等式成立的是 A. 222()2A B A AB B +=++ B. A B A B +=+ C. AB B A = D. A B A B -=-【 】3、设向量组12,αα线性无关，则向量组1212,a b c d αααα++线性无关的充分必要条件为A. ad bc ≠B. ad bc =C. ab cd ≠D. ab cd = 【 】4.一个(2)n ≥级方阵A 经过若干次初等变换之后变为B , 则一定有A. A B =B. 0Ax =与0Bx =同解C. 秩()A =秩()BD. **A B =【 】5、设矩阵A 和B 分别是23⨯和33⨯的矩阵，秩()2A =，秩()3B =，则秩()AB 是A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题2分，共20分）1．多项式)(x f 没有重因式的充要条件是 . 2 .若()()1f x g x +=,则((),())f x g x = .3. 设1230231002A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则*1()A -= .4. 行列式1230000a a a 的代数余子式之和:313233A A A ++为______________. 5.设3级方阵1211222,2A B ααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,i i αβ均为3维行向量。
若16,2A B ==，则A B -= .6. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为0, 则 r(A)= .7.线性方程组 121232343414x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩, 有解的充要条件是 .8. 若向量组12,,r ααα可由12,,s βββ线性表示，且12,,r ααα线性无关，则r s.9.设A 为3级矩阵, 且12A =, 则 1*A A --= 10. 设001200373*******A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭, 则1A -= .三、判断题（每小题2分，共10分）【 】1、若不可约多项式p(x)是()f x '的2重因式,则p(x)是)(x f 的3重因式.【 】2、设n 级方阵A 为可逆矩阵，则对任意的n 维向量β，线性方程组Ax β=都有解。
高等代数期末考试题库及答案解析 (2)
高等代数期末考试题库及答案解析1. 矩阵运算1.1 矩阵加法考察矩阵的相加，要求加法可交换。
题目：已知矩阵 A = \(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\)，矩阵 B = \(\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)。
求 A + B 的结果。
答案解析：根据矩阵加法的定义，对应位置的元素相加，即有：\[ A + B = \begin{bmatrix} 3+5 & 1+2 \\ 2+1 & 4+3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \]1.2 矩阵乘法考察矩阵的相乘，要求乘法满足结合律。
题目：已知矩阵 A = \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\)，矩阵 B = \(\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\)。
求 A * B 的结果。
答案解析：根据矩阵乘法的定义，对应位置元素相乘并求和，即有：\[ A \times B = \begin{bmatrix} 2 \cdot 5 + 3 \cdot 3 & 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \\ 1 \cdot 5 + 4 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 8 \\ 17 & 6 \end{bmatrix} \]2. 矩阵的特征值和特征向量2.1 特征值和特征向量的定义考察特征值和特征向量的定义和性质。
题目：设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)，求 A 的特征值和特征向量。
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科目名称：《高等代数》
姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌
≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌
一、填空题（每小题5分，共25分）
1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。
2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。
3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。
4、假设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。
5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为
二、是非题（每小题2分，共20分）
1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。
（ ）
2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。
（ ）
3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。
（ ）
4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。
（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。
其中
),,,()(2
4232221x x x x =ξδ。
（ ）
6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。
（ ）
7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。
（ ）
8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。
（ ）
9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的
子空间。
（ ）
10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。
（ ）
三、明证题（每小题××分，共31分）
1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。
（10）
2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻，2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。
（11）
3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥=+2121W W W W 。
（10） 四、计算题（每小题8分，共24分）
1、求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使得AP P 1-为对
角形矩阵。
2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=52024202
3A 。
3、化二次型 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=为平方和，并求所用的满秩线性变换。
科目名称：《高等代数》
姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌
≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌
一、填空题（每小题5分，共25分）
1、（3,4,1）
2、秩为2，一个最大无关组为31,αα
3、维（1V ）+维（2V ）=维（21V V +）+维（ 21V V ）
4、特征根是1，1，2，特征向量分别为()(),1,1,2,1,1,121-==αα
5、秩为 3
二、是非题（每小题2分，共20分）
1、（是 ）
2、（是 ）
3、（是 ）
4、（否 ）
5、（否 ）
6、（否 ）
7、（是 ）
8、（是 ）
9、（是 ） 10、（是 ）
三、明证题（每小题××分，共31分）
1、证明 设A 可逆，则1-A 存在，且1-A 也是V 的线性变换，（1） 若n A A A εεε,,,21 线性相关，则)(,),(),(12111n A A A A A A εεε--- ，(2)
即n εεε,,,21 也线性相关，这与假设n εεε,,,21 是基矛盾，故n A A A εεε,,,21 线性无关。
(5)反之，若n A A A εεε,,,21 线性无关，因V 是n 维线性空间，故它也是V 的一组基，(7) 故对V
中任意向量1α有)(22111n n k k k A εεεα+++= ，即存在
)(2211n n k k k εεεα+++= ，使1)(αα=A ，故A 为V 到V 上的变换。
(8) 若
又
有
n
n l l l εεεβ+++= 2211，使
1
)(αβ=A ，即
)(22112211n n n n A k A k A k A l A l A l A εεεεεεβ+++=+++= ，
因为n A A A εεε,,,21 是基，),,2,1(,n i k l i i ==，即βα=，从而A 又是一一的变换，故A 为可逆变换。
（10）
2、证：()()()()()()ξξξδξδξδξξδξξδξ
ξδ,,2,,2
+-=--=-,(4)
=()()()()ξξδξξξδξ,,2,2+- ,(8)
=()()()()ξδξδξδξ2,2,2-, (10)
=0 ,（11）
3、证：（1）()() ⊥⊥⊥
⊥⊥⊥
⊆+⇒∈⇒+∈∀21212121W W W W W W W W ξξ,(5)
同理() ⊥⊥⊥
⊇+2121W W W W ， (8)
则() ⊥⊥⊥
=+2121W W W W 。
（10）
四、计算题（每小题8分，共24分）
1、解：A E -λ=)4()2(2-+λλ，则A 的特征根为22,1-=λ，43=λ, (3)
i λ)3,2,1(=i ，它们对应的特征向量分别为⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211,011,101321ααα， (6)
易知321,,ααα线性无关，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201110111P ，那么就得⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=-4000200021
AP P 。
(8)
2、解：)7)(4)(1(---=-λλλλA E ，则特征根为7,4,1321===λλλ， (3)
对应它们的线性无关的特征向量分别为⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221,212,122321ααα，
(6)
他们单位化后分别为
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=323231332313223132321,,βββ，取正交矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=323
23
13
2313
23132
3
2U ， (7) 则,⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=700040001'AU U 。
(8)
3、解 332122
11y x y y x y y x =-=+= ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=1000110111C ，得 (2)
3
213212121)(2)(2))((4y y y y y y y y y y f -+++-+-=
整理得2322232112231214)(4444y y y y y y y y f ++--=++-= (4)
在令3
32
23
2111y z y z y y z ==-=，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=10001001212C ， (6)
23222144z z z f ++-=，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==100111121
2121C C C , (8)。