第八章 点的合成运动

二、点的加速度合成定理 动点M的相对加速度 ~2 r ′ = d 2 = &&′i ′ + &&′j ′ + &&′k ′ x y z ar dt 动点M的牵连加速度 牵连加速度是牵连点M'相 对于定系的加速度，该点是 动系上的点，它相对于动系 静止不动，故它在动系上的 坐标x'、y'、z'是常量。 2 2 d r M ′ d (r O′ + r ′) = ae = 2 dt d t2 && = &&O′ + x′&&′ + y′&&′ + z′k ′ i j r
ω
M A
B
二、基本概念 1.合成运动： 1.合成运动：物体相对于某一参考体的运动由相对 合成运动 于其他参考体的几个运动组合而成。 2.两个坐标系 2.两个坐标系 •定参考系：习惯上把固定在地球 定参考系： 上的坐标系称为定参考系，简称 定系，以Oxyz坐标系表示。 定系 •动参考系：把固定在相对于地球 动参考系： 运动的参考体上的坐标系称为动 参考系，简称动系 动系，以O'x'y'z'坐 动系 标系表示。
【例8-5】平底凸轮机构如图示。凸轮O半径为R，偏 心距为 e，以角速度ω和角加速度 ε 绕O转动，并带动 平底从动杆 BCD 运动。试求该瞬时杆BCD的速度和 加速度。 【解】1）取凸轮中心A为动点，杆BCD为动系。 2）求 BCD杆的速度 相对运动：水平直线运动。 牵连运动：铅垂直线运动。 绝对运动：以O为圆心，e为 半径的圆周运动。 va = eω 解得： vBCD = ve = e ω sinθ
则位移： rM = rO'+ r' 动系上与动点重合的点 （牵连点）记为M'，它 牵连点） 在定系中的矢径为rM' 。 图示瞬时： rM = rM'
二、点的速度 相对速度
~ ~ d r ′ d ( x′i ′ + y′j ′ + z ′k ′) = vr = dt dt
M z M' O’ i' O x y
第八章 点的合成运动
§ 8-1 § 8-2 § 8-3 相对运动·牵连运动 绝对运动 相对运动 牵连运动·绝对运动 牵连运动 点的速度合成定理 点的加速度合成定理
§ 8-1 相对运动·牵连运动·绝对运动 相对运动·牵连运动·
一、问题的引出 一水平放置的圆板绕过中心 O的铅 直轴以角速度ω旋转，在圆板上有 一光滑直槽AB，槽内放一小球 M。 AB M 1）若以圆板为参考系，小球M将 如何运动? 2）若以地面为参考系，小球M将 如何运动?
B
B va ve vr P C
A
C va
ve vr A O
先选杆AC上的点A为动点，动系建立 于杆O1D上； 绝对运动：沿杆AC的水平直线运动； 相对运动：为沿杆O1D的直线运动； vAe 牵连运动：杆O1D的转动。
vAa
D A vAr vBr C
再选杆OB上的点B为动点， vBa 动系仍建立于杆O1D上； 绝对运动：以O为圆心、 vBe 以OB为半径的圆周运动； 相对运动：沿杆O1D的直线运动； ω 牵连运动：杆O1D的转动。 O
A x' z O x y z' M O' B y'
ω
动系的选择要确保动点与之有相对运动且相对运动状 态易判断，故动点和动系不能在同一物体上。
3.三种运动 3.三种运动 •相对运动：动点相对于动系的运动。 相对运动： •牵连运动：动系相对于定系的运动，是刚体的运动。 牵连运动： •绝对运动：动点相对于定系的运动。 绝对运动： 4.两种轨迹 4.两种轨迹 •相对轨迹：动点相对于动系的轨迹。 相对轨迹： •绝对轨迹：动点相对于定系的轨迹。 绝对轨迹： 5.牵连点 5.牵连点 在某瞬时，动系上与动点相重合 的点为动点在该瞬时的牵连点 牵连点。 牵连点 牵连点相对于动系静止不动。
ve C θ eθ O vr
BD 杆作水平平动，其速度为C点的牵连速度 vBD = ve = va cosθ =eω cosθ
B
D
ar
a C θ e e O
ω
aa A
3）求BD 杆的加速度 C点绕O点作匀速圆周运动， 其绝对加速度aa= eω2 C点的相对加速度：ar= aa cosθ =eω2 cosθ BD 杆作水平平动，其加速度为C点的牵连加速度 aBD = ae = aa sinθ =eω2 sinθ
一、点的位移 设O'x'y'z'为动系， i'、 j'、 k'分别为 三个单位矢量。 设动点M在动系中的矢径为r'， 则r'= x' i' + y' j' + z' k' 设Oxyz为定系， 动系坐标原点O'在定系中 的矢径为rO' 设动点M在定系中的矢径 为rM ，
O y x M z M' O' i'
& & & = x′i ′ + y′j ′ + z ′k ′
牵连速度 牵连速度是牵连点M'相对 于定系的速度，该点是动 系上的点，它相对于动系 静止不动，故它在动系上 的坐标x'、y'、z'是常量。
d r M ′ d (r O′ + r ′) = 故 ve = dt dt
& & = r O′ + x′i ′ + y′&′ + z ′k ′ j &
三、相对运动、牵连运动与绝对运动间的关系 相对运动、 在平面运动情况下，设动 点M的相对运动方程为： x'= x' (t), y'= y' (t) 设动系O'x'y'相对于定系 Oxy的牵连运动方程为： xO'= xO' (t), yO' = yO' (t), φ = φ(t)—从x轴正向到x'轴 正向逆时针转的角为正。 设M的绝对运动方程为： x= x (t)， y= y (t) 则相对运动、牵连运动与 绝对运动间的关系为：
D vD B A
ω
O
θ
ve
θ
va C vr
ve v = rω⇒ω= D sin θ r sin θ
【例8-3】图示机构中滑块B套在摇杆 O2A上， 并与曲 柄 O1B以销子连接。当 O1B转动时通过滑块B带动O2A 左右摆动。设 O1B长 r， 以匀角速ω转动。试求杆O2A 的角速度ω1。 【解】取套筒B为动点， 杆O2A为动系。 相对运动：沿杆O2A 的直线运动。 牵连运动：随杆O2A的摆动。 ve = l 2 + r 2ω1
B
A P vr va ve ω O
C
选AB杆上的P点为动点，动系建立于 构件OC上； 绝对运动：铅垂直线运动； 相对运动：沿杆OC的槽的直线运动；ω 牵连运动：杆OC的转动。 O 选轮心A为动点，动系 A 建立于O1BC上； 绝对运动：以O为圆心、轮 半径为半径的圆周运动； 相对运动：平行于 O1 杆O1BC的直线运动； 牵连运动：杆O1BC的转动。
x z M M' O' i’ O y
动点M的绝对加速度
d r M d (r O′ + r ′) = aa = 2 dt d t2 && = &&O′ + ( x′&&′ + y′&&′ + z ′k ′) i j r + ( &&′i ′ + &&′j ′ + &&′k ′) x y z && &j & & + 2( x′i ′ + y′&′ + z ′k ′)
O x y A x' z z' M B O' M' y'
ω
6.三种速度 6.三种速度 •相对速度(vr)：动点相对于动系的速度。 相对速度( •牵连速度(ve)：牵连点相对于定系的速度。 牵连速度( •绝对速度(va)：动点相对于定系的速度。 绝对速度( 7.三种加速度 7.三种加速度 •相对加速度(ar)：动点相对于动系的加速度。 相对加速度( •牵连加速度(ae)：牵连点相对于定系的加速度。 牵连加速度( •绝对加速度(aa)：动点相对于定系的加速度。 绝对加速度(
来自百度文库
动点和动系不能选在同一 物体上，动点与动系之间 要有容易识别的相对运动。 分析三种运动和三种速度。 明确动点的绝对运动和相 对运动、动系的牵连运动。
运用速度合成定理，作出 选取动点、动系和定系。 速度平行四边形。确保绝 所选的参考系应能将动点 对运动速度为平行四边形 的运动分解成相对运动和 的对角线。 牵连运动。动点、动系须 运用速度平行四边形中的 指明，动系可不画出，定 几何关系求解未知数。 系可不用指明也不必画出。
y y M
yO' O xO' x x
x−xO′ cosφ −sin φx′ y − y =sin φ cosφ y′ ′ O
在相对运动方程中消去t可 得到其相对运动轨迹，在 绝对运动方程中消去t可得 到其绝对运动轨迹。
§ 8-2 点的速度合成定理
四、例题 【例8-1】用点的合成运动方法确定图示各机构中的 动点、动系、绝对运动、相对运动和牵连运动的形 式，画出速度平行四边形。 【解】选OP杆的P点为动点， 动系建于构件ABC上； 绝对运动：以O为圆心，OP为 半径的圆周运动； 相对运动：沿AC槽的水平直 线运动； 牵连运动：构件ABC沿铅垂方 向平移。
l O1
ω θ
ve φ vr B
va
A
ω1 φ
O2
绝对运动：以O1为圆心 r为半径的 圆周运动。va = rω 2 ω r2 r ω ⇒ ω1 = 2 2 ve = va sin ϕ ⇒ l 2 + r 2ω1 = 求解： 2 2
l +r
l +r
§ 8-3 点的加速度合成定理
一、动系中单位矢量对时间的导数 设动系绕定系的z轴作定轴 转动，转动角速度矢为ωe。
B D
C
ω
A θ O e ve
ε R vr
θ
va
3）求BCD杆的加速度 A点的相对加速度沿水平方向。 A点的牵连加速度亦即杆BCD的加速度，沿铅垂向下。 因aa = ar + ae 故aax + aay = arx + ary + aex + aey D 故aay = ary + aey = ae 即A点的牵连加速度大小为 A点的绝对加速度沿铅垂方 向的投影。 ae= aancosθ+ aatsinθ aBCD= eω2cosθ+ eεsinθ
z O' i' y
d rA = ωe × r A 因 vA = dt 而 r A = r O′ + k ′ d rA = ωe × (r O′ + k ′) 故 dt d r O′ dk ′ = + dt dt d r O′ 同理知 v O′ = dt = ωe × r O′
ωe
O x
dk ′ = ωe × k ′ 故 dt di ′ = ωe × i ′ 同理 dt dj ′ = ωe × j ′ dt 动系作任意运动时， 上述关系均成立。
2 2
考虑到 & i ′ = ωe × i ′
&′ = ωe × j ′ k ′ = × k ′ & ωe j
ωe
&& &j & & 则2( x′i ′ + y′&′ + z ′k ′) & & & = 2 ωe × ( x′i ′ + y′j ′ + z ′k ′) = 2 ωe × v r
令aC=2ωe×vr—科氏加速度 科氏加速度 科氏加速度是由于动系为 转动时，牵连运动与相对 运动互相影响产生的， 其方向按右手定则确定。
绝对速度
d r M d (r O′ + r ′) = va = dt dt
& & = r O′ + [( x′i ′ + y′&′ + z ′k ′) j & & & & + ( x′i ′ + y′j ′ + z ′k ′)]
va = ve + v r
点的速度合成定理： 点的速度合成定理： 动点在某瞬时的绝对速度 等于它在该瞬时的牵连速 度与相对速度的矢量和。 三、解题步骤
B O1
【例8-2】曲柄导杆机构如图示。 已知OA=r，曲杆BCD速度为vD。 求该瞬时杆 OA转动的角速度ω。 【解】1）取滑块A为动点，曲 杆BCD为动系。 绝对运动：以O为圆心r为半 径的圆周运动。 va = rω 相对运动： 水平直线运动。 牵连运动：沿铅垂直线 平动。 ve = vD
va =
ωe vr θ aC
z
M M'
O' i’ y
O x
aa = ar + ae + ac
点的加速度合成定理： 点的加速度合成定理： 动点在某瞬时的绝对加速 度等于该瞬时它的相对加 速度、牵连加速度与科氏 加速度的矢量和。 牵连运动为平动时aC=0。
aC=2ωevrsinθ
【例8-4】 半径为r、偏心距为e的偏心圆凸轮以等角 速度 ω绕定轴O逆时针转动，并带动拨叉A和固接于A 的控制杆 BD沿水平作往复运动，拨叉与凸轮接触表 面铅垂。 D B 用角θ表示杆BD的 速度和加速度。 【解】1）取轮心C为动点， 杆BD为动系。 A ω 2）求BD 杆的速度 C点绕O点作匀速圆周运动， 其绝对速度va= eω C点的相对速度： vr= va sinθ =eω sinθ