等差数列前N项和的公式
等差数列前N项和的公式
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
由(1)+(2) 得 即
Sn=n(a1+an)/2
2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
n(a1 an ) 公式1 Sn 2
n(n 1) n(n 1) 公式2 Sn na1 d nan d 2 2
熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵 活运用解决相关问题．
由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当
知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
例4 等差数列-10，-6，-2，
2，…前多少项的和是54？ 本题实质是反用公式，解一 个关于n 的一元二次函数，注 意得到的项数n 必须是正整数.
解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列
复习回顾
(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质: 在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
n(n 1)10 由题意，得 :100 n (n 2)180 2 解得 n=8 或 n=9（舍）
等差数列的五个公式
等差数列的五个公式
等差数列是指一个数列中的任意两个相邻项之间的差值都相等的数列。
以下是等差数列的五个常用公式：
1. 第n项通项公式（通用形式）：
aₙ= a₁+ (n - 1)d
其中，aₙ表示第n项的值，a₁表示首项的值，d 表示公差，n 表示项数。
2. 第n项通项公式（简化形式）：
aₙ= a + (n - 1)d
其中，aₙ表示第n项的值，a 表示首项的值，d 表示公差，n 表示项数。
3. 前n项和公式：
Sₙ= (n/2)(a + aₙ)
其中，Sₙ表示前n项的和，a 表示首项的值，aₙ表示第n项的值，n 表示项数。
4. 第n项与项数之间的关系：
n = [(aₙ- a₁) / d] + 1
其中，n 表示项数，aₙ表示第n项的值，a₁表示首项的值，d 表示公差。
5. 前n项和与项数之间的关系：
Sₙ= [(2a + (n - 1)d) / 2] * n
其中，Sₙ表示前n项的和，a 表示首项的值，d 表示公差，n 表示项数。
这些公式可以帮助我们计算等差数列中的各种问题，例如求某一项的值、求前n项的和、根据项数求项的值等。
(完整版)等差数列的前n项和与首项、末项之间的关系总结
(完整版)等差数列的前n项和与首项、末
项之间的关系总结
一、定义：
等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数的数列。
它的一般
形式可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d, ...，其中a₁为首项，d为公差。
二、前n项和的计算：
等差数列的前n项和可以通过以下公式求得：
Sn = (n/2)(a₁ + an)
其中，Sn表示前n项和，a₁为首项，an为末项（第n项）。
三、首项、末项与前n项和的关系：
1. 首项和末项的关系：
首项a₁和末项an之间的关系可以表示为：
an = a₁ + (n-1)d
其中，d为公差。
2. 前n项和与首项、末项之间的关系：
根据前n项和的计算公式，可以得出以下关系：
Sn = (n/2)(a₁ + a₁ + (n-1)d)
= (n/2)(2a₁ + (n-1)d)
= (n/2)(2a₁ + nd - d)
= n(a₁ + (n-1)d)/2
四、应用示例：
假设有等差数列{2, 5, 8, 11, ...}，其中首项a₁=2，公差d=3。
计算该数列前n项和的步骤如下：
1. 根据首项和公差，确定该数列的末项计算公式：an = 2 + (n-
1)3。
2. 根据前n项和的计算公式，将首项a₁、末项an代入计算：Sn = n(2 + (n-1)3)/2。
以上就是对等差数列的前n项和与首项、末项之间的关系进行总结的内容。
注意：本文档的内容仅供参考，不涉及法律问题。
等差数列前n项和公式推导
这个故事告诉我们求等差数列前 ｎ项和的一种很重要的思想方法，就
是我们要介绍的“倒序相加”法。
二、等差数列前ｎ项和公式１：
对等差数列ａ１，ａ２，…，ａｎ前ｎ项求和， 得
Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａｎ， Ｓｎ＝ａｎ＋ａｎ－１＋ａｎ－２＋．．．＋ａ２＋ａ１，
上面两式相加得：
解之得：n1=9, n2=-3（舍）所以等 差数列-10，-6，-2，2，…前9项和 是54.
四、巩固练习
1、求集合M={m/m=7n,n ∈N ＋且m ＜100}的元 素个数，并求这些元素的和。
2、已知一个等差数列的前100项和是310， 前20项的和是1220，求其前n项和公式.
五、课后作业
S
n
=
na1
n(n 1)d 2
（2）
公式（2）又可化为
n d
S n= 2
2 (a1 d)n 2
当d ≠0时，这是一个常数项为零的关 于n的二项式.
三、讲解例题：
例1、一堆放铅笔的V型架的最下层放一支铅笔，往上 每一层都比它下一层多放一支，最上层放120支，问：这 个V型架上共放多少支铅笔？
解：由题意知，这个V型架上共放120层铅笔且自下而 上各层的铅笔成等差数列，记为{an}其中a1=1,a120=120,根 据等差数列前n项和公式得:
已知等差数列的前n项和为a，前2n 项和为b，求前3n项和。
下课！
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等差数列前n项和公式大全
等差数列前n项和公式大全
等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。
其前n项和公式如下：1. 等差数列首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有：Sn = n/2(2a + (n-1)d)这是最常用的等差数列前n项和公式，也是最基本的公式。
2. 等
差数列首项为a，公差为d，末项为an，前n项和为Sn，则有：Sn =
n/2(a + an)这个公式的推导需要用到等差数列的通项公式an = a + (n-1)d。
3. 等差数列首项为a，公差为d，第m项到第n项的和为Smn，则有：Smn = (n-m+1)/2(2a + (n-m)d)这个公式可以用来求等差数列中任意
一段连续项的和。
4. 等差数列首项为a，公差为d，第k项的值为ak，
则有：ak = a + (k-1)d这是等差数列的通项公式，可以用来求等差数列
中任意一项的值。
以上是等差数列前n项和公式的常见形式，需要根据具
体问题选择合适的公式进行计算。
等差数列前n项和公式大全
等差数列前n项和公式大全为了更好地理解等差数列前$n$项和公式，我们首先来了解等差数列的定义和性质。
等差数列的定义：如果一个数列满足任意相邻两项之间的差值相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式：等差数列的通项公式可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$是数列中的第$n$项，$a_1$是数列中的第一项，$d$是公差。
等差数列的前$n$项和公式：等差数列的前$n$项和可以表示为$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中$S_n$表示前$n$项和。
现在让我们来证明等差数列前$n$项和公式。
我们从等差数列的通项公式出发，再利用数列中第一项与最后一项的关系来推导出前$n$项和公式：设等差数列的第$n$项为$a_n$，而第一项为$a_1$，公差为$d$。
根据通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$。
那么数列的最后一项可以表示为：$a_n=a_1+(n-1)d$。
那么数列的前$n$项和可以表示为：$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)$。
将等差数列的最后一项代入前$n$项和公式，得到：$S_n=a_1+a_n+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-2)d)$。
由于等差数列具有对称性，可以对以上等式进行变形，得到：$S_n=(a_1+a_n)+(a_1+d+a_n-d)+(a_1+2d+a_n-2d)+...+(a_1+(n-1)d+a_n-(n-1)d)$。
将等差数列的前$n$项和重新表示，得到：$S_n=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+...+(a_1+a_n)$。
一共有$n$项，所以：$S_n=n(a_1+a_n)$。
将$a_1$和$a_n$用$a_1 + (n-1)d$来表示，即：$S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。
根据等差数列的前$n$项和公式，我们得到了等差数列前$n$项和的公式。
求等差数列的前n项和公式
求等差数列的前n项和公式等差数列（Arithmetic Progression）是指数列中相邻两项之差始终相等的数列。
在数学中，我们常常需要求解等差数列的前n项和，即将数列中的前n项相加的结果。
一、等差数列的定义在等差数列中，我们用a1表示首项，d表示公差。
其通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d二、等差数列的前n项和公式的推导为了求解等差数列的前n项和，我们需要对数列进行求和操作。
设数列的前n项和为Sn，将等差数列的每一项与其对应的倒数相加，可以得到如下结果：S = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an将数列进行反向排列，并在加法操作中得到如下结果：S = an + an-1 + an-2 + ... + a3 + a2 + a1将对应的两个等式相加，我们会发现每一对数列中对应项的和均为d。
按照等号左右两边对应项相加的原则，可以得到如下结果：2S = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ... + (an-1 + a2) + (an + a1)由于等差数列中每一对对应项的和均为d，所以上式的右侧可以化简为如下结果：2S = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an)右侧共有n项相加，故最终得到如下结果：2S = n(a1 + an)将上式两边同时除以2，可以得到等差数列的前n项和公式：S = (n/2)(a1 + an)三、等差数列的前n项和公式的应用等差数列的前n项和公式是求解等差数列问题中的重要工具。
通过将已知的数列首项、公差和项数代入公式，可以快速计算出数列的前n 项和。
例如，已知等差数列的首项a1为3，公差d为4，项数n为8，我们可以通过公式进行计算：S = (n/2)(a1 + an)= (8/2)(3 + a1 + (n-1)d)= 4(3 + 3 + 7x4)= 4(6 + 28)= 4(34)= 136因此，等差数列3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31的前8项和为136。
等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式等差数列是数学中常见且有一定规律的数列，其中每一项与前一项之间的差值保持恒定。
等差数列的求和是一种基本的数学问题，其中一个重要的公式是等差数列的前n项和公式。
本文将详细介绍等差数列以及其前n项和公式。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a + (n-1) * d。
等差数列的性质如下：1. 等差数列的通项公式为an = a + (n-1) * d。
2. 等差数列的首项为a，公差为d，末项为a + (n-1) * d。
3. 等差数列的任意两项之和等于首项与末项之和的一半，即an + a= 2a + (n-1) * d。
4. 等差数列的前n项和可表示为Sn = n * (a + an) / 2。
5. 当n为正整数时，等差数列的前n项和Sn = n * a + (n * (n-1) * d) / 2。
二、等差数列的前n项和公式推导为了推导等差数列的前n项和公式，我们首先将等差数列的前n项和Sn表示为Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n-1)d)，可以观察到每一项与首项之差都是d。
我们可以将等差数列的前n项和倒序排列，即Sn = (a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + ... + (a + d) + a。
将两式相加，我们有2Sn = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
根据等差数列的性质3，等式右边的每一项都等于2a + (n-1)d，共有n项。
则2Sn = n * (2a + (n-1)d)，整理得到Sn = n * (a + an) / 2。
三、等差数列的前n项和公式应用举例为了更好地理解和应用等差数列的前n项和公式，我们来举一个实际的例子。
等差数列n项和公式
等差数列n项和公式
等差数列是数学中常用的一种概念，使用非常广泛。
它是在具有一定规律的数列中，从开始到最后，各项数形成一个等差序列。
等差数列n项和指数列中前n项的和，记为Sn，当n趋于无穷大时，Sn即为等差数列的极限总和。
等差数列通常有一种规律，即它的各项数之差都为恒定的数值，这个恒定的数值被称为公差d。
如果知道数列的第一项a1和公差d，则这个数列的第n项可以表示出来，即an=a + (n-1)d。
等差数列n项和公式是Sn=n (a1 + an) /2。
另外，如果某一等差数列的第一项和最后一项已知，则可以用等差数列求和公式求得它的n项和，公式为S n = n (a1 + an) / 2。
这种公式有诸多应用，例如在物
理中，为求解结果，经常需要累加的数量变化，则等差数列的求和就是最节省时间，最有效率的方法。
总之，等差数列是数学学术和思维的基础，也是理解和处理实际问题的有效工具。
等差数列n项和公式可以用来求解等差数列前n项和，该公式对许多日常应用非常重要。
等差等比数列的前n项和公式
等差等比数列的前n项和公式等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列，公差为d，首项为a。
等差数列的前n项和Sn可表示为：Sn=(n/2)某(a+(a+(n-1)d))其中，n为要求的项数。
等差数列的前n项和公式的推导如下：设等差数列的首项为a，公差为d，共有n项，最后一项为an。
则有：an = a + (n-1)d （1）通项公式的推导如下：首项：a1=a第二项：a2=a+d第三项：a3=a+2d...第n项：an = a + (n-1)d等差数列前n项和：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an将等差数列的通项公式代入，得到：Sn = (a1 + an)某n / 2代入(1)得到：Sn=(2a+(n-1)d)某n/2化简得：Sn=(n/2)某(2a+(n-1)d)化简后的公式即为等差数列的前n项和公式。
例如，假设有一个等差数列的首项a为2，公差d为3，要求前5项的和Sn。
代入公式Sn=(n/2)某(2a+(n-1)d)，得到：Sn=(5/2)某(2某2+(5-1)某3)Sn=(5/2)某(4+12)Sn=(5/2)某16Sn=40所以，该等差数列的前5项和为40。
对于等比数列，其通项公式为：an = a 某 r^(n-1)其中，a为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的前n项和Sn可表示为：Sn=a某(r^n-1)/(r-1)其中，n为要求的项数。
等比数列的前n项和公式的推导如下：首项：a1=a第二项：a2=a某r第三项：a3=a某r^2...第n项：an = a 某 r^(n-1)等比数列前n项和：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an等比数列的前n项和可以通过等差数列的前n项和公式推导得到。
首先，将等比数列的各项都除以首项a，得到新的数列。
新数列的首项为1，公比为r。
对新数列来说，其前n项和Sn可以表示为：Sn'=1+r+r^2+...+r^(n-1)其中，n为项数。
如何求等差数列前n项和公式
如何求等差数列前n项和公式等差数列是数学中常见的数列形式，它的每一项与前一项之差都相等。
求等差数列前n项和是数学中的一个重要问题，下面将介绍如何通过公式来求解等差数列的前n项和。
我们来回顾一下等差数列的定义。
一个等差数列可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差。
等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d，其中an表示第n项。
现在我们来推导等差数列前n项和的公式。
设等差数列的前n项和为Sn，我们将等差数列从首项到第n项的和分别与从第n项到首项的和相加，可以得到：2Sn = (a + an) + (a+d + an-d) + (a+2d + an-2d) + ... + (an + a)根据等差数列的通项公式，将等式中的an替换为a + (n-1)d，可以得到：2Sn = n(a + an)= n(a + a + (n-1)d)= n(2a + (n-1)d)将等式两边都除以2，可以得到等差数列前n项和的公式：Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)这就是等差数列前n项和的公式。
通过这个公式，我们可以快速计算等差数列的前n项和，而不需要逐个相加。
下面我们通过一个例子来说明如何使用等差数列前n项和的公式。
假设有一个等差数列的首项a为1，公差d为2，我们来计算前n 项和。
我们需要确定首项a和公差d的值，a为1，d为2。
然后，我们根据公式Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)来计算前n项和。
假设我们要计算前10项的和。
代入公式，可以得到：S10 = 10/2 * (2*1 + (10-1)*2)= 5 * (2 + 9*2)= 5 * (2 + 18)= 5 * 20= 100因此，等差数列的前10项和为100。
通过以上的例子，我们可以看到，使用等差数列前n项和的公式可以快速计算等差数列的前n项和，而不需要逐个相加。
这样的计算方法在数学和实际问题中都具有重要的应用价值。
等差数列的前n项和性质+练习
1、等差数列{a n }前n 项和公式： n S = n a n 2a 1+=d n n n a 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--。
等差数列的前n 项之和公式可变形为，若令A ＝，B ＝a 1－，则＝An 2+Bn.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个。
2、等差数列{a n }前n 项和的性质性质1:S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n , …也在等差数列,公差为n 2d性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1) (a n ,a n+1为中间两项),此时有:S 偶－S 奇= nd , 性质3:(2)若项数为奇数2n －1,则 S 2n-1=(2n － 1)a n (a n 为中间项), 此时有:S 奇－S 偶= a n ,1-n n s =偶奇s 性质4:数列{nn s }为等差数列 性质5:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则2121n n n n a S b T --= 典型例题：热点考向1：等差数列的基本量（a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个）例1、在等差数列{n a }中，已知81248,168S S ==，求1,a 和d 已知6510,5a S ==，求8a 和8S训练： 1、在等差数列{}n a 中，已知102030,50a a ==.（1）求通项公式{}n a ；（2）若242n S =，求n .2.在等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列{n S n }的前n 项和，求n T 3、已知等差数列的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
4. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
等差数列前N项和的公式
Sn
d d 则 S =An2+Bn n 令 A , B a1 2 2
n (a1 )n 2 2
2
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
㈡【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的 方法叫 倒序相加法 ；
②等差数列的前n项和公式类同 于 梯形的面积公式 ； 2+bn S = an ③{an}为等差数列 n ，这 是一个关于 n 的没有 常数项 的 “ 二次函数 ” （ 注意 a 还可以是 0）
3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B)
A.63
B.45
C.36
D.27
例2：已知等差数列{an }中，共有10项,S偶 =15,S奇 =12.5, 求a1与d。
解: 该等差数列的项数为10项, 1 S偶 S奇 =n d即15-12.5=5 d,解得d 2 又 S偶 S奇 1 10 9 2 S10即15 12.5 10a1 2
例 题 讲 解 1 2 例3.已知数列{an}的前n项和为Sn n n, 求这个数列 2 的通项公式，这个数列是等差数列吗?如果是，它的 首项与公差分别是什么？
解：Sn a1 a2 an1 an
2
1 1 1 2 a n s n s n1 n n [( n 1) (n 1)] 2n 当n >1时： 2 2 2 1 3 ① 2 当n=1时：a1 s1 1 1 也满足①式. 2 2 1 数列{an }的通项公式为an 2n . 3 2 由此可知：数列{an}是以 为首项，公差为2的等差数列. 2
等差数列的前n项和的性质
由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. „„12分
方法二：先求出公差 d=-2（同方法一），„„„6分 ∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由
1 n 13 2 n 1） 0 25 （ 2 解得 , 25 2n 0 n 12 1 2 1 1 即12 n 13 . 又n∈N*
或利用二次函数Sn=an2+bn(a,b为常数)
求Sn的最值。
举例应用:
【例1】(12分)有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和
a5 S 7n 2 n 分别为Sn和Tn，若 . ，求 b5 Tn n 3
【解答】方法一：
a 5 2a 5 b5 2b5
S9 T9 93
65 . 12
d<-3 a 3 +4d<0 a7 <0 24 24 - <d<-3 7 a6 +a7 >0 2a 3 +7d>0 d> 7
例3.
a6 a7 0 S12 0 2)分析： 注意： S13 0 a7 0
解：
练习：在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9， 求Sn的最大值. 【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn 的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公 式an求n使得an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等 于零的项.
已知n, a1 , d , an中的三个.
引入:
d 2 d Sn =na1 + d= n + a1 - n 2 2 2 可见d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的二次 函数，其二次项系数是公差的一半。
sn等差前n项和公式
sn等差前n项和公式
前n项和公式，也称为等差数列前n项和公式，是数学中常见且重要的概念之一。
它可以帮助我们求解等差数列的前n项的和，为我们解决问题提供了便利。
等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差保持恒定的数列。
以sn等差前n项和公式为例，我们可以用它来求解等差数列的前n 项的和。
这个公式的形式是：
Sn = n(a1 + an) / 2
其中，Sn表示等差数列的前n项的和，n表示项数，a1表示首项，an表示末项。
这个公式的推导过程并不复杂，但它的应用却非常广泛。
通过这个公式，我们可以轻松地计算等差数列的前n项的和。
无论是在数学课堂上还是在日常生活中，我们都可以用它来解决一些实际问题。
例如，在数学课堂上，老师可以利用这个公式来帮助学生计算等差数列的前n项的和，从而加深他们对等差数列的理解。
在日常生活中，我们也可以用这个公式来解决一些实际问题，比如计算某个商品的总价格，或者计算某个项目的总成本等。
当然，除了等差数列的前n项和公式，还有许多其他的数学公式可
以帮助我们解决各种问题。
数学是一门非常重要的学科，它不仅可以帮助我们提高逻辑思维能力，还可以帮助我们解决实际问题。
希望通过学习和应用数学公式，我们能够更好地理解和应用数学知识，从而提高自己的综合素质。
同时，也希望我们能够将数学知识与实际问题相结合，为自己和社会创造更多的价值。
让我们一起努力，用数学的力量改变世界。
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假设1+2+3+ +100=x,
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
高斯
这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…，
n，…的前100项的和。
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问题3:
求:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
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探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题，不 能简单模仿偶数个项求和的办法， 需 要 把 中 间 项 11 看 成 首 、 尾 两 项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高斯 “首尾配对” 的算法还得分奇、 偶个项的情况求和。
有无简单的方法？
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-------知三求二
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课本P118:习题3.3 第七题 第九题
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21
1
问题2
一个堆放铅笔的V形架 的最下面一层放一支铅 笔，往上每一层都比它 下面一层多放一支，最 上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支 铅笔？
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
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问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁 时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1
2S n(n 1),
n(n 1)
S 2
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下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,…
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
这是一个等差数列, 各项的和是
S14
14 (7 98) 2
=735
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答: 集合M中的元素共有14个, 它们的和为735.
小结：
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个
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问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃 所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而 成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界 七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案 之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同 大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见 左图），奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
；
用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式， 这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差 数列前n项和的两个公式.
n
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例1． 某长跑运动员7天里每天的训 练量（单位：m）是：
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，
记为｛an}, 其中 a1=7500, a7=10500.
根据等差数列前n项和公式，得
7 (7500 10500)s7 2 Nhomakorabea3000
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答：这位长跑运动员7天共跑了63000m.
例2 等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是54？
本题实质是反用公式，解一 个关于n 的一元二次函数，注 意得到的项数n 必须是正整数.
因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和
是54.
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例3 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且
m<100}的元素个数, 并求这些元素的和. 解: 由7n<100得 n<100／7, n 14 2 .
7
由于满足它的正整数n共有14个, ∴集合M中的元素共有14个. 即
7, 14, 21, … , 91, 98.
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解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
根据等差数列前n项和公式： sn =
na1 +
n(n 2
1) d
有- 10n + n(n- 1)? 4 54成立 2
整理后, 得n2 - 6n- 27 = 0
解得 n1=9, n２=－3(舍去)
由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
即 Sn=n(a1+an)/2
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即前n项的和与首项末项及项数有 关
若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？
因为 an= a1+（n-1）d 所以 Sn=na1+n (n-1)d/2
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
借助几何图形之 直观性，使用熟悉的 几何方法：把“全等 三角形”倒置，与原 图补成平行四边形。
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探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
1 2 3
21 20 19
获得算法：
s21
(1
21) 21 2
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由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
Sn
n(a1 an ) 2
即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
上面的公式又可以写成
Sn
na1
n(n 1) 2
d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
公式共涉及到5个量：a1, d, n, an , Sn.已知其中3个可求另2个
正所谓：知三求二 下一页
等差数列前n项和公式补充知识
【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 倒序相加法 ； ②{an}为等差数列 Sn=an2+bn，这是一个关于 n 的
没有 常数项 的“二次函数 ”（ 注意 a 还可以是 0）
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【公式记忆】 梯形的面积公式
等差数列的前n项和公式类同于
等差数列前n项和公式
复习回顾 问题呈现 例题讲解 小结与作业
复习回顾
(1) 等差数列的通项公式:
已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d
已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq