正态分布参考值抽样误差

例如：总体均数的可信区间
即按一定的概率估计未知总体均数的所在范 围。 习惯上用总体均数的95%(或99%)可信 区间，表示该区间包含总体均数的概率为 95%(或99%)，用此范围估计总体平均数， 表示100次抽样中，有 95(99)次包含总体均 数。
总体均数可信区间的计算
（1）未知，但样本例数n足够大（如n ﹥50），总体均数的1－α双侧可信区间 为
频 数 35 30 25 20 15 10 5 0 169 170 171 172 173 174 175 176 177
40
100个样本均数频数分布直方图
样本均数的抽样分布具有以下特点： 1. 各样本均数未必等于总体均数；
2. 样本均数之间存在差异；
3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体 均数，中间多、两边少，左右基本对称， 也服从正态分布；
f(x)=(fi/n)
0.25
以频率为纵坐标
相 对 频 率
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
3.8
4
4.2 4.4 4.6 4.8
5
12
5.2 5.4 5.6 5.8
红细胞计数（10 /L) 140名正常男子红细胞计数直方图
随着组段不断分细和观察人数的增多，直条顶端将逐渐接近于 一条光滑的曲线，如下图。这条曲线称为频率密度曲线，呈中 间高、两边低、左右对称，形状似座钟。类似于数学上的正态 分布曲线。 因为频率的总和等于1，故横轴上曲线下的面积等于1。
本例n＝90，可按正态分布近似法计算
X u / 2 s X 4 .5 172 .2 1.96 171 .3,173 .1cm 90
故该市2000年19岁健康男大学生平均身高 的95％可信区间为（171.3，173.1）cm。
t分布
前面讲过，通过u变换，可将正态 分布N(μ, 2)转换成标准正态分布 N(0，1)。同样，若从正态分布N(μ, 2)总体中随机抽样并算得多个样本 均数 X j ,它们仍服从总体均数为μ， 总体标准差为 x 的正态分布 2 N(μ, )，则 X 服从
样本均数 X ：N(μ, )
2
x
均数的标准误及计算
反映均数抽样误差大小的指标是样本 均数 X 的标准差简称标准误（理论值）， 用 X 表示，或SE、SEM。 4.09 x 1.29(cm)
n 10
由于在实际抽样研究中 往往未知，通 常用某一样本标准差 s 来替代 ，得标准误 的估计值 s X (通常也简称为标准误)，其计 算公式为： s s

一、正态分布的密度函数
1 f ( x) e 2 3.14159 ( x )2 2 2
e 2.71828
式中μ为总体均数，σ为总体标准差，π为圆周 率，e为自然对数的底，x为变量，当μ、σ已知， 以x为横轴，f(x)为纵轴，即可给出正态分布曲线 的图形。

二、 正态分布的特征

– 确定研究总体，例如 “正常人”。 – 选择足够数量的观察对象。
– 统一测ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法，控制实验误差，保证数据的可靠性。
– 决定取单侧范围还是双侧范围值 – 选择恰当的百分范围
医学参考值范围的估计

3. 医学参考值范围的计算方法 正态分布法
X us
百分位数法
正态分布法 适用于正态或近似分布资料 公式为：
4. 样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小。
抽样，样 本量为n 样本1( x1 ,s)
总体均数为μ，标准差σ
样本2( x2 ,s)
样本3( x3 ,s)
…
样本m(xm ,s)
x

n
u
x
x
根据正态分布原理，若随机变量X服 从正态分布，则样本均数X也服从正 态分布。
随机变量 X：N(μ, 2)
一般情况下未知，常用 S X 估计抽样误差的大小,也即 X 的估 计值。
例：已知 s＝6.85， n＝100 则样本均数的抽样误差 S X 为多 少？
S SX 0.685 n
标准误的应用 1.反映样本均数的可靠性；
标准误反映抽样误差的大小。标准误大，表 示抽样误差大，则样本均数估计总体均数的可靠性 差。反之，标准误小，抽样误差小，样本均数估计 总体均数的可靠性好。
f1 X 1 f 2 X 2 ...... f m X m X f1 f 2 ...... f m 19000 172.73(cm) 110
fX f
110名20岁健康男大学生的身高均数为172.73cm。

已知Σf＝110，ΣfX＝19000，需要在该表中增加 fx2栏，由第(3)、(4)栏相乘，再将该栏数据相加， 将ΣfX2＝3283646代入公式
因为红细胞数过高或过低均为异常，故按双侧 估计95%参考值 x 1.96s 5.38 1.96 0.44 (4.52,6.24) 1012 / L 故该地成年男子红细胞数的95%参考值范围为 4.52 1012－6.24 1012 / L
百分位数法: 适用于偏态分布资料
例如白细胞数的95％参考值范围:因为白细胞数 无论过高或过低均属异常，则分别计算P2.5和 P97.5，这是双侧95％参考值范围。
X1=173.22cm
s1=4.05cm
X 1 X 2 ...... X n X i X n n
S
X
2

X
n
2
n1
重复100次刚才的抽样，得到100个样本（每个样本 含量均为10个），可算得100个样本均数X。
各样本均数的均数X＝172.66 cm
μ＝172.73cm
0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
4 8 2 4 6 8 5 2 4 6 5. 3. 4. 4. 4. 4. 5. 5. 5. 8
频率密度 f(x)=(fi/n)/i
（i＝0.1）
这条所描述的分布，便近似于我们通常所说 的正态概率分布，简称正态分布。
正态分布是自然界最常见的一 种分布，例如，测量的误差、 人体的身高、体重、许多生化 指标的值（例如血压、血红蛋 白含量、红细胞数等等）等都 属于正态分布或近似正态分布。 还有些偏态资料可经数据转换 成正态或近似正态分布，例如 抗体滴度、血铅值等。
1.正态分布在横轴上方，均数处最高，以均数μ 为中心，左右对称。 2.正态分布的X取值范围理论上没有边界，X离μ 越远，f(X)值越接近0，但不会等于0。 3.正态分布曲线下的面积分布有一定的规律。 所有的正态分布曲 线，在μ左右任意 个标准差范围内面 积相同。
4.正态分布完全由两个参数即均数μ与标准差 σ决定，其中μ是位置参数，σ是变异参数。 常用N(μ,σ2 )来表示。
正态分布
Normal distribution
正态分布和医学参考值范围
例 某地用随机抽样方法检查了140名成年男子的红 细胞数，检测结果如表2－1
5.95
3.82
某地140名正常男子红细胞数频数表
红细胞数 3.80 ～ 4.00 ～ 4.20 ～ 4.40 ～ 4.60 ～ 4.80 ～ 5.00 ～ 组中值 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 频数 2 6 11 25 32 27 17 频率（％） 1.4 4.3 7.9 17.9 22.9 19.3 12.1
5.20 ～ 5.40 ～ 5.60 ～ 5.80～6.00
5.30 5.50 5.70 5.90
13 4 2 1
9.3 2.9 1.4 0.7
频 数 30 25 20 15 10 5 0 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5
12
35
直方图
5.2
5.4
5.6
5.8
红细胞计数（10 /L) 140名正常男子红细胞计数直方图
百分范围 （ %） 单侧 下限 上限 下限 双侧 上限
95
99
P5
P1
P95
P99
P2.5
P0.5
P97.5
P99.5
例 某年某市调查了200例正常成人血铅含量 （μg/100g）如下，试估计该市成人血铅含量95 ％医学参考值范围（用百分位数法计算）。
练习1：
调查某地120名健康女性血红蛋白，直方图 显示，其分布近似于正态分布，其血红蛋白 平均值为117.4（g/L），标准差为10.2 （g/L），试估计该地健康女性血红蛋白的 95％医学参考值范围。
X
n
均数的标准误及计算
以1号样本 X 1 =173.22cm，s1=4.05cm为例：
s 4.05 sX 1.28(cm) n 10
例 2000年某研究者随机调查某地健康成年男 子27人，得到血红蛋白量的均数为125g/L， 标准差为15g/L。试估计该样本均数的抽样误 差。 将X=125g/L,s= 15g/L，n=27代入 S 15 SX 2.89 g / L n 27
2.估计总体均数的可信区间； 3.用于均数的假设检验。
二、总体均数的可信区间估计
即用样本指标（统计量）估计总体指标（参数）
有两种常用方法： 点估计和区间估计
（一）点估计：样本均数（ X ）就是总体均数 的点估计值（μ） 该法简单，但未考虑抽样误差，而抽样误差 在抽样研究中是不可忽视的。
（二）区间估计： 结合样本统计量和标准误可以确定一个具有 一定可信度的包含总体参数的区间，该区间 称为总体参数的1－α可信区间（confidence interval,CI）
u
x

μ＝0、σ＝1的标准正态分布
标准正态分布曲线及其面积分布
三、正态分布的应用
– 不少医学现象服从正态分布或近似正态分布 确定医学参考值范围 质量控制图 – 正态分布是很多统计方法的理论基础
医学参考值范围的估计
1. 医学参考值范围的概念 指特定的“正常”人群的解剖、生理、生化指 标及组织代谢产物含量等数据中大多数个体的 取值所在的范围。 2. 医学参考值范围的确定要求
血红蛋白过高、过低均为异常，应按双侧计算：
x 1.96s 117.4 1.96 10.2 (97.41,137.39) g / L 故该地健康女性血红蛋白的95%参考值范围为 97.41－137.39 g / L
数值变量的参数估计 一、均数的抽样分布与抽样误差

抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
x
x
标准正态分布N(0，1)。在实际工作 中，往往是未知，常用 s X 替代 ，即 X
X
t
Sx
这时，对正态变量 X 采取的不 是u变换而是t变换了，t值的分布 称为t分布。
t分布的特征：
1.单峰分布，以0为中心，左右对称；
2.t 分布是一簇曲线，其形态变化与自由度 s X 与 X 的差别 的大小有关 n-1。越小， 越大，t值越分散，曲线的峰部越矮，尾部越 粗。越大，t分布越接近于标准正态分布。
X us
式中 X 为均数，s为标准差，u值 可根据要求查表。
常用的u界值
参考值范围(%) 单侧 双侧
90 95 99
1.282 1.645 2.326
1.645 1.960 2.576
例
某地调查正常成年男子144人的红细胞数近似 正态分布，得均数为5.38（1012/L）,标准差 为0.44（1012/L），试估计该地成年男子红细 胞数的95%参考值范围。
S
19000 3283646
110 110 1
2
4.09(cm)
110名20岁男大学生的平均身高X＝172.73cm，标准差s＝4.09cm。
假设该110个身高数值作为假设的有限总体，即： μ＝172.73cm， σ＝4.09cm
现在从该总体 中随机抽10个 学生身高为1号 样本。 计算得：
X u / 2 s X
X 1.96S x
总体均数95%的双侧可信区间为：
总体均数99%的双侧可信区间为：
X 2.58S x
例 某市2000年随机测量了90名19岁健康男大 学生的身高，其均数为172.2cm，标准差为 4.5cm，试估计该市2000年19岁健康男大学生 平均身高的95％可信区间。