初三数学上下册知识点总结与重点难点总结

初三数学知识整理及重点难点总结第21章二次根式知识框图理解并掌握下列结论：（1）是非负数；（2）；（3）；I.二次根式的定义和概念：1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。

当a＞0时，√a表示a的算数平方根,√0=02、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。

√ā（a≥0）是一个非负数。

II.二次根式√ā的简单性质和几何意义1）a≥0 ; √ā≥0 [ 双重非负性]2）（√ā）^2=a （a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]3) √(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。

IV.二次根式的乘法和除法1 运算法则√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）√a/b=√a /√b（a≥0，b>0）二数二次根之积，等于二数之积的二次根。

2 共轭因式如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。

V.二次根式的加法和减法1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并Ⅵ.二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化VII.分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/bII.分母是多项式要利用平方差公式如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－bIII.分母是多项式要利用平方差公式如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b第22章一元二次方程知识框图旋转的定义旋转对称中心把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，及初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。

也就是说：①中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能及自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能及另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

中心对称图形正（2N）边形（N为大于1的正整数），线段，矩形，菱形，圆只是中心对称图形平行四边形等．第24章圆知识框图圆和点的位置关系：以点P及圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线及圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆及直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

以直线AB及圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB及⊙O相离，PO＞r；AB及⊙O 相切，PO＝r；AB及⊙O相交，PO＜r。

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。

两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

圆的平面几何性质和定理一有关圆的基本性质及定理⑴圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③S三角=1/2*△三角形周长*内切圆半径④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD及BC分别交PQ于X，Y，则M 为XY之中点。

〖有关切线的性质和定理〗圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点及圆心的连线平分切线的夹角。

〖有关圆的计算公式〗1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr^2;3.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=π（R^2-r^2）5.圆锥侧面积S=πrl第25章概率初步知识框图第26章二次函数知识框图定义及定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

顶点式：y=a(x-h)^2+k交点式（及x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。

）二次函数表达式的右边通常为二次。

x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x&sup2;的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴及抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b&sup2;)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b&sup2;-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a及b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a及b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号事实上，b有其自身的几何意义：抛物线及y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

5.常数项c决定抛物线及y轴交点。

抛物线及y轴交于（0，c）6.抛物线及x轴交点个数Δ= b&sup2;-4ac＞0时，抛物线及x轴有2个交点。

Δ= b&sup2;-4ac=0时，抛物线及x轴有1个交点。

_______Δ= b&sup2;-4ac＜0时，抛物线及x轴没有交点。

X的取值是虚数（x= -b±√b&sup2;－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b&sup2;/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b&sup2;/4a}相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax&sup2;+c(a≠0) 解析式：第27章相似知识框图相似三角形的认识对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

（similar triangles）。

互为相似形的三角形叫做相似三角形相似三角形的判定方法根据相似图形的特征来判断。

（对应边成比例，对应角相等）1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形及原三角形相似；（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）2.如果一个三角形的两个角及另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；直角三角形相似判定定理1.斜边及一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形及原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

射影定理三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的那个的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线及另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线及另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形的特例能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（congruent triangles）全等三角形是相似三角形的特例。

全等三角形的特征：1.形状完全相同，相似比是k=1。

全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。

因此，相似三角形包括全等三角形。

全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；三角形全等的判定公理及推论1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。