第一章 数学思想方法概述
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A．[－1,1＋2 2]
)
B．[1－2 2，1＋2 2] C．[1－2 2，3]
D．[1－ 2，3]
【 解 析 】 曲 线 方 程 可 化 简 为 (x － 2)2 ＋ (y － 3)2 ＝ 4(1≤y≤ 3)，即表示圆心为 (2,3)，半径为 2 的半圆．依据数 形结合，当直线 y＝x＋ b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3) |2－ 3＋b| 到直线 y＝x＋ b 距离等于 2，∴ ＝ 2，解得 b＝1＋ 2 2 2或 b＝1－2 2.因为是下半圆，故可得 b＝1－ 2 2，当 直线过(0,3)时，解得 b＝ 3，故 1－ 2 2≤b≤ 3，所以 C 正 确．
微观----研究数学中的思想、方法以及法则。属于学科方法 论范畴。
微观的数学方法有以下四个层次：
第一，基本的和重大的数学思想方法。如模型化方法、微积 分方法、概率统计方法、拓扑方法、计算方法等等，它们决定一 个大的数学学科方向，构成数学的重要基础。 第二，一般科学方法相应的数学方法。如类比联想、分析综合、 归纳演绎等等。一般科学方法，在用于数学时应该有它自己的特点。 第三，数学中的特有的方法。如数学等价、数学表示、公理化、 关系映射反演、数形转换等等方法。其中“关系、映射、反演”方 法是徐利治先生的一项创造性的概括．这些方法主要在数学中产生 和适用，当然也可部分地迁移到其他科学。
在知识结论推导阶段-----选用分类讨论、化归、等价转换、特殊与 一般、演绎与归纳等思想方法。
在知识的总结性阶段----可采用结构化、公理化等思想方法。
数学思想方法的教学原则：
◆ 化隐为显原则 ◆ 同步并进原则 ◆ 可接受性原则 ◆ 螺旋上升的原则 ◆ 自我构建原则
比如微积分思想、概率统计思想、变换群下的不变量思想等 等．
另一类是范围较小，内容具体、相对独立的数学成果。 比如函数思想、极限思想、积分思想、方程思想等等．
一般地，同一个数学成就，当用它去解决别的问题时，就称之
为方法。当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，称之为思想。 将这两重意义合在一起，就称为“数学思想方法”。 比如，“极限”，用它去求导数、求积分、解方程时，人们就说 极限方法。当我们讨论它的价值，即将变化过程趋势用数值加以表 示，使无限向有限转化时，人们就讲“极限思想”了。为了将这两 重意思合在一起说，于是也称“极限思想方法”。
e x＋ e x 例 5 [2009· 山东卷 ] 函数 y＝ x － x的图象大致为( e －e
－
)
选A
双曲函数： 双曲正弦： 双曲余弦： 双曲正切：
e x e x shx 2
e x e x chx 2
shx e x e x thx x chx e e x
运用方程思想解决问题主要从四个方面着手： ◆ 通过方程把问题中的已知与未知关系统一起来。 ◆ 找出主要矛盾，抓住关键变量。 ◆ 研究方程所具有的性质和特征。 ◆ 利用常见的数学模型(如函数、曲线等)实现转化。
例 1 对于满足 0≤ p≤ 4 的所有实数 p，不等式 x2＋px＞ 4x ＋p－ 3 都成立，则实数 x 的取值范围是 ____________．
【解析】 原不等式可化为 p(x－1)＋(x2－ 4x＋3)＞ 0， 记 f(p)＝ p(x－1)＋x2－ 4x＋3， 由已知 0≤p≤4，f(p)＞ 0 恒成立，
2 f0＝ x － 4x＋ 3>0， 有 2 f 4 ＝ x － 1>0.
解之得 x＞ 3 或 x＜－ 1.
chx e x e x cthx x shx e e x
双曲余切：
三、有计划有步骤的介绍有关思想方法
在知识形成阶段----选用观察、实验、比较、分析、抽象、 概括等抽象化、模型化的思想方法，字母代替数的思想方法，函数 的思想方法，方程的思想方法，极限的思想方法，统计的思想方法， 等等。
数学思想和数学方法有时也不加区别。
克莱因的巨著《古今数学思想》，其实说的都是 “古今数学方法”．只不过从数学史角度看，人们更多 注意那些数学大家们的思想贡献，文化价值，较少从 “方法”的有用去考虑，因而才称之为数学思想。 进入21世纪，人们更加关注数学的思想内涵，数学 的文化价值，因此也就更多的称为数学思想方法。
波利亚（George Polya,1887-1985）： 《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》
克莱因(Morris Kline,1908-1992)： 《古今数学思想》（1972）
徐利治：《数学方法论选讲》（1983）
第二节 方法 · 数学方法 · 数学思想
一、方法 “方法”是一种元概念。《辞海》中也未收录“方法”辞条， 它和“物质”、“集合”等概念一样，不能逻辑的定义，只能概 略地描述． 例如，把“方法”解释为人们在认识世界和改造世界的活动 中所采取的方式、手段、途径等的统称． 这里的“方式”、“手段”、“途径”等等，都和“方法” 大体上是“同义词”，并非“属”和“种”式的严格定义．
例 2 若关于 x 的方程 x2＋2kx－1＝0 的两根 x1、x2 满足 －1<x1<0<x2<2，则 k 的取值范围是( ) 3 3 A.－ 4，0 B.－4，0 3 3 C.0，4 D.0，4
【解析】 设函数 f(x)＝x2＋ 2kx－ 1，∵关于 x 的方程 x2 ＋ 2kx－ 1＝0 的两根 x1、x2 满足－1<x1<0<x2<2， f－ 1>0， ∴f0<0， f2>0， 2k<0， 即－ 1<0， 4k＋3>0，
例 4[2010· 全国卷Ⅰ] 若变量 x，y 满足约束条件 y≤ 1， x ＋ y ≥ 0 ， x － y － 2 ≤ 0 ， A． 4 C． 2 B． 3 D． 1 则 z＝x－2y 的最大值为( )
1 1 【解析】 z＝x－2y⇒y＝2x－2z，由图可知，当直线 l 经过点 A(1，－1)时，z 最大，且最大值为 zmax ＝1－2×(－ 1)＝3.
第三节 中学数学思想方法教学
《中学数学教学大纲》----数学基础知识是指数学中的概念、性质、 法则、公式、公理、定理，以及由其内容反映出来的数学思想方法。 《高中数学课程标准》-------获得必要的数学基础知识和基本技能， 理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、 应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作 用。
数学思想方法
F· 克莱因：数学教育中的世界通病---“双重忘记”
“骨”（数学专业基础及知识）； “肉”（数学思想与方法）； “汤”（教育教学理论）
我们提出----“双重唤醒”
课程任务---挖掘学过的数学中隐含的数学思想与方法 课程目的---将数学思想与方法内化为教师的数学素养
《数学思想方法》参考书
徐利治院士：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规 律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一 门学问。” 数学方法论从内容上可分为宏观与微观两大类 ： 宏观---研究“数学发展规律”。如数学发展史，数学中的辩证 法、数学中的美学方法、数学中的思维方法等，因此可以看作哲学 的一个分支;
方法是相对于某一目的而言。人在活动中，为达到某一目的，可 以主观能动地选择、组合和创造各种手段、方式加以实行．这便是 方法的真实含义。 人们对方法进行研究，这便产生了“方法论”。
二、数学方法
数学方法是人们从事数学活动时所使用的方法。数学方法论 则是对古往今来的数学方法进行概括、分类、评价以及如何运用 的论述．
一、明确数学思想方法的特点
隐喻性——数学思想方法隐于知识内部，只有较为模糊的体 现，在数学课本中即使直接“某某思想” “某某方法”也不一 定能起到应有的作用。 活动性——数学思想方法的教学寓于教学活动中，而非静态 的，需要通过精心的教学设计和课堂上的教学活动过程，沟通课 本与学生的认识，在教师主导、学生的参与下去完成。
第四，中学数学中的解题技巧。由于它的内容是初等数学，规律 较为明确，又易于深入解剖，较为中学数学教师所关注。例如因式 分解中的十字相乘法，解二次方程中的配方法，几何中的尺规作图 法，解析几何中确定直线的点斜式、两点式等等。
三、数学思想
数学思想，指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当 完整的数学成果．
1．邓鹏编著．高等数学思想方法论．成都：四川教育出版社，2003 2．顾泠沅主编．数学思想方法．北京：中央广播电视大学出版社，2005 3．钱珮玲编著．数学思想方法与中学数学．北京：北京师范大学出版社，2008
第一章 数学思想方法概述
第一节 发展的主要历史沿革
19世纪末期，20世纪初世界范围的数学教育改革 运动。改革的热点问题是如何培养学生思考问题与 分析问题的能力，提出中学数学教育的根本宗旨是 “教会年轻人思考”。
◆在代数式中强调抽象概括与分类讨论的思想方法； ◆在平面几何中，强调演绎归纳的思想方法； ◆在二次曲线中强调数形结合、运动变化的思想方法 等等。
函数与方程思想
函数思想----将所研究的问题借助建立函数关系式， 利用函数的图象与性质，加以分析、转化解决问题的 思想。 如，有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数 的取值范围等问题； 方程思想----将问题中的数量关系运用数学语言转化为方 程模型加以解决的思想。
主观性——数学思想方法的教学较多地受教师主观性的 限制。
差异性——数学思想方法的学习主要在于领悟，因此比知 识的学习更具难度，也就是更具差异性。 学生数学思想方法的构建-----潜意识阶段、明朗形成 阶段、深化阶段
二、充分挖掘教材中的数学思想方法
◆在有理数的有关内容中，强调矛盾统一的思想；
Hale Waihona Puke Baidu
◆在解方程和解不等式中，强调相互转换的思想方法；
3 ∴－4<k<0，故选择 A.
数形结合思想
数形结合思想----把问题的数量关系和图形结合起 来考查的思想方法，
华罗庚------“数缺形时少直观，形少数时难入微”． 在寻找解题途径时，“不要得意忘形”．
例 3 若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝3－ 4x－x 有公共点，
2
则 b 的取值范围是 (
)
B．[1－2 2，1＋2 2] C．[1－2 2，3]
D．[1－ 2，3]
【 解 析 】 曲 线 方 程 可 化 简 为 (x － 2)2 ＋ (y － 3)2 ＝ 4(1≤y≤ 3)，即表示圆心为 (2,3)，半径为 2 的半圆．依据数 形结合，当直线 y＝x＋ b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3) |2－ 3＋b| 到直线 y＝x＋ b 距离等于 2，∴ ＝ 2，解得 b＝1＋ 2 2 2或 b＝1－2 2.因为是下半圆，故可得 b＝1－ 2 2，当 直线过(0,3)时，解得 b＝ 3，故 1－ 2 2≤b≤ 3，所以 C 正 确．
微观----研究数学中的思想、方法以及法则。属于学科方法 论范畴。
微观的数学方法有以下四个层次：
第一，基本的和重大的数学思想方法。如模型化方法、微积 分方法、概率统计方法、拓扑方法、计算方法等等，它们决定一 个大的数学学科方向，构成数学的重要基础。 第二，一般科学方法相应的数学方法。如类比联想、分析综合、 归纳演绎等等。一般科学方法，在用于数学时应该有它自己的特点。 第三，数学中的特有的方法。如数学等价、数学表示、公理化、 关系映射反演、数形转换等等方法。其中“关系、映射、反演”方 法是徐利治先生的一项创造性的概括．这些方法主要在数学中产生 和适用，当然也可部分地迁移到其他科学。
在知识结论推导阶段-----选用分类讨论、化归、等价转换、特殊与 一般、演绎与归纳等思想方法。
在知识的总结性阶段----可采用结构化、公理化等思想方法。
数学思想方法的教学原则：
◆ 化隐为显原则 ◆ 同步并进原则 ◆ 可接受性原则 ◆ 螺旋上升的原则 ◆ 自我构建原则
比如微积分思想、概率统计思想、变换群下的不变量思想等 等．
另一类是范围较小，内容具体、相对独立的数学成果。 比如函数思想、极限思想、积分思想、方程思想等等．
一般地，同一个数学成就，当用它去解决别的问题时，就称之
为方法。当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，称之为思想。 将这两重意义合在一起，就称为“数学思想方法”。 比如，“极限”，用它去求导数、求积分、解方程时，人们就说 极限方法。当我们讨论它的价值，即将变化过程趋势用数值加以表 示，使无限向有限转化时，人们就讲“极限思想”了。为了将这两 重意思合在一起说，于是也称“极限思想方法”。
e x＋ e x 例 5 [2009· 山东卷 ] 函数 y＝ x － x的图象大致为( e －e
－
)
选A
双曲函数： 双曲正弦： 双曲余弦： 双曲正切：
e x e x shx 2
e x e x chx 2
shx e x e x thx x chx e e x
运用方程思想解决问题主要从四个方面着手： ◆ 通过方程把问题中的已知与未知关系统一起来。 ◆ 找出主要矛盾，抓住关键变量。 ◆ 研究方程所具有的性质和特征。 ◆ 利用常见的数学模型(如函数、曲线等)实现转化。
例 1 对于满足 0≤ p≤ 4 的所有实数 p，不等式 x2＋px＞ 4x ＋p－ 3 都成立，则实数 x 的取值范围是 ____________．
【解析】 原不等式可化为 p(x－1)＋(x2－ 4x＋3)＞ 0， 记 f(p)＝ p(x－1)＋x2－ 4x＋3， 由已知 0≤p≤4，f(p)＞ 0 恒成立，
2 f0＝ x － 4x＋ 3>0， 有 2 f 4 ＝ x － 1>0.
解之得 x＞ 3 或 x＜－ 1.
chx e x e x cthx x shx e e x
双曲余切：
三、有计划有步骤的介绍有关思想方法
在知识形成阶段----选用观察、实验、比较、分析、抽象、 概括等抽象化、模型化的思想方法，字母代替数的思想方法，函数 的思想方法，方程的思想方法，极限的思想方法，统计的思想方法， 等等。
数学思想和数学方法有时也不加区别。
克莱因的巨著《古今数学思想》，其实说的都是 “古今数学方法”．只不过从数学史角度看，人们更多 注意那些数学大家们的思想贡献，文化价值，较少从 “方法”的有用去考虑，因而才称之为数学思想。 进入21世纪，人们更加关注数学的思想内涵，数学 的文化价值，因此也就更多的称为数学思想方法。
波利亚（George Polya,1887-1985）： 《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》
克莱因(Morris Kline,1908-1992)： 《古今数学思想》（1972）
徐利治：《数学方法论选讲》（1983）
第二节 方法 · 数学方法 · 数学思想
一、方法 “方法”是一种元概念。《辞海》中也未收录“方法”辞条， 它和“物质”、“集合”等概念一样，不能逻辑的定义，只能概 略地描述． 例如，把“方法”解释为人们在认识世界和改造世界的活动 中所采取的方式、手段、途径等的统称． 这里的“方式”、“手段”、“途径”等等，都和“方法” 大体上是“同义词”，并非“属”和“种”式的严格定义．
例 2 若关于 x 的方程 x2＋2kx－1＝0 的两根 x1、x2 满足 －1<x1<0<x2<2，则 k 的取值范围是( ) 3 3 A.－ 4，0 B.－4，0 3 3 C.0，4 D.0，4
【解析】 设函数 f(x)＝x2＋ 2kx－ 1，∵关于 x 的方程 x2 ＋ 2kx－ 1＝0 的两根 x1、x2 满足－1<x1<0<x2<2， f－ 1>0， ∴f0<0， f2>0， 2k<0， 即－ 1<0， 4k＋3>0，
例 4[2010· 全国卷Ⅰ] 若变量 x，y 满足约束条件 y≤ 1， x ＋ y ≥ 0 ， x － y － 2 ≤ 0 ， A． 4 C． 2 B． 3 D． 1 则 z＝x－2y 的最大值为( )
1 1 【解析】 z＝x－2y⇒y＝2x－2z，由图可知，当直线 l 经过点 A(1，－1)时，z 最大，且最大值为 zmax ＝1－2×(－ 1)＝3.
第三节 中学数学思想方法教学
《中学数学教学大纲》----数学基础知识是指数学中的概念、性质、 法则、公式、公理、定理，以及由其内容反映出来的数学思想方法。 《高中数学课程标准》-------获得必要的数学基础知识和基本技能， 理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、 应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作 用。
数学思想方法
F· 克莱因：数学教育中的世界通病---“双重忘记”
“骨”（数学专业基础及知识）； “肉”（数学思想与方法）； “汤”（教育教学理论）
我们提出----“双重唤醒”
课程任务---挖掘学过的数学中隐含的数学思想与方法 课程目的---将数学思想与方法内化为教师的数学素养
《数学思想方法》参考书
徐利治院士：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规 律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一 门学问。” 数学方法论从内容上可分为宏观与微观两大类 ： 宏观---研究“数学发展规律”。如数学发展史，数学中的辩证 法、数学中的美学方法、数学中的思维方法等，因此可以看作哲学 的一个分支;
方法是相对于某一目的而言。人在活动中，为达到某一目的，可 以主观能动地选择、组合和创造各种手段、方式加以实行．这便是 方法的真实含义。 人们对方法进行研究，这便产生了“方法论”。
二、数学方法
数学方法是人们从事数学活动时所使用的方法。数学方法论 则是对古往今来的数学方法进行概括、分类、评价以及如何运用 的论述．
一、明确数学思想方法的特点
隐喻性——数学思想方法隐于知识内部，只有较为模糊的体 现，在数学课本中即使直接“某某思想” “某某方法”也不一 定能起到应有的作用。 活动性——数学思想方法的教学寓于教学活动中，而非静态 的，需要通过精心的教学设计和课堂上的教学活动过程，沟通课 本与学生的认识，在教师主导、学生的参与下去完成。
第四，中学数学中的解题技巧。由于它的内容是初等数学，规律 较为明确，又易于深入解剖，较为中学数学教师所关注。例如因式 分解中的十字相乘法，解二次方程中的配方法，几何中的尺规作图 法，解析几何中确定直线的点斜式、两点式等等。
三、数学思想
数学思想，指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当 完整的数学成果．
1．邓鹏编著．高等数学思想方法论．成都：四川教育出版社，2003 2．顾泠沅主编．数学思想方法．北京：中央广播电视大学出版社，2005 3．钱珮玲编著．数学思想方法与中学数学．北京：北京师范大学出版社，2008
第一章 数学思想方法概述
第一节 发展的主要历史沿革
19世纪末期，20世纪初世界范围的数学教育改革 运动。改革的热点问题是如何培养学生思考问题与 分析问题的能力，提出中学数学教育的根本宗旨是 “教会年轻人思考”。
◆在代数式中强调抽象概括与分类讨论的思想方法； ◆在平面几何中，强调演绎归纳的思想方法； ◆在二次曲线中强调数形结合、运动变化的思想方法 等等。
函数与方程思想
函数思想----将所研究的问题借助建立函数关系式， 利用函数的图象与性质，加以分析、转化解决问题的 思想。 如，有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数 的取值范围等问题； 方程思想----将问题中的数量关系运用数学语言转化为方 程模型加以解决的思想。
主观性——数学思想方法的教学较多地受教师主观性的 限制。
差异性——数学思想方法的学习主要在于领悟，因此比知 识的学习更具难度，也就是更具差异性。 学生数学思想方法的构建-----潜意识阶段、明朗形成 阶段、深化阶段
二、充分挖掘教材中的数学思想方法
◆在有理数的有关内容中，强调矛盾统一的思想；
Hale Waihona Puke Baidu
◆在解方程和解不等式中，强调相互转换的思想方法；
3 ∴－4<k<0，故选择 A.
数形结合思想
数形结合思想----把问题的数量关系和图形结合起 来考查的思想方法，
华罗庚------“数缺形时少直观，形少数时难入微”． 在寻找解题途径时，“不要得意忘形”．
例 3 若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝3－ 4x－x 有公共点，
2
则 b 的取值范围是 (