第一章 数学思想方法概述

数学思想和数学方法有时也不加区别。
克莱因的巨著《古今数学思想》，其实说的都是 “古今数学方法”．只不过从数学史角度看，人们更多 注意那些数学大家们的思想贡献，文化价值，较少从 “方法”的有用去考虑，因而才称之为数学思想。 进入21世纪，人们更加关注数学的思想内涵，数学 的文化价值，因此也就更多的称为数学思想方法。
徐利治院士：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规 律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一 门学问。” 数学方法论从内容上可分为宏观与微观两大类 ： 宏观---研究“数学发展规律”。如数学发展史，数学中的辩证 法、数学中的美学方法、数学中的思维方法等，因此可以看作哲学 的一个分支;
一、明确数学思想方法的特点
隐喻性——数学思想方法隐于知识内部，只有较为模糊的体 现，在数学课本中即使直接“某某思想” “某某方法”也不一 定能起到应有的作用。 活动性——数学思想方法的教学寓于教学活动中，而非静态 的，需要通过精心的教学设计和课堂上的教学活动过程，沟通课 本与学生的认识，在教师主导、学生的参与下去完成。
例 4[2010· 全国卷Ⅰ] 若变量 x，y 满足约束条件 y≤ 1， x ＋ y ≥ 0 ， x － y － 2 ≤ 0 ， A． 4 C． 2 B． 3 D． 1 则 z＝x－2y 的最大值为( )
1 1 【解析】 z＝x－2y⇒y＝2x－2z，由图可知，当直线 l 经过点 A(1，－1)时，z 最大，且最大值为 zmax ＝1－2×(－ 1)＝3.
第四，中学数学中的解题技巧。由于它的内容是初等数学，规律 较为明确，又易于深入解剖，较为中学数学教师所关注。例如因式 分解中的十字相乘法，解二次方程中的配方法，几何中的尺规作图 法，解析几何中确定直线的点斜式、两点式等等。
三、数学思想
数学思想，指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当 完整的数学成果．
A．[－1,1＋2 2]
)
B．[1－2 2，1＋2 2] C．[1－2 2，3]
D．[1－ 2，3]
【 解 析 】 曲 线 方 程 可 化 简 为 (x － 2)2 ＋ (y － 3)2 ＝ 4(1≤y≤ 3)，即表示圆心为 (2,3)，半径为 2 的半圆．依据数 形结合，当直线 y＝x＋ b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3) |2－ 3＋b| 到直线 y＝x＋ b 距离等于 2，∴ ＝ 2，解得 b＝1＋ 2 2 2或 b＝1－2 2.因为是下半圆，故可得 b＝1－ 2 2，当 直线过(0,3)时，解得 b＝ 3，故 1－ 2 2≤b≤ 3，所以 C 正 确．
3 ∴－4<k<0，故选择 A.
数形结合思想
数形结合思想----把问题的数量关系和图形结合起 来考查的思想方法，
华罗庚------“数缺形时少直观，形少数时难入微”． 在寻找解题途径时，“不要得意忘形”．
例 3 若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝3－ 4x－x 有公共点，
2
则 b 的取值范围是 (
例 2 若关于 x 的方程 x2＋2kx－1＝0 的两根 x1、x2 满足 －1<x1<0<x2<2，则 k 的取值范围是( ) 3 3 A.－ 4，0 B.－4，0 3 3 C.0，4 D.0，4
【解析】 设函数 f(x)＝x2＋ 2kx－ 1，∵关于 x 的方程 x2 ＋ 2kx－ 1＝0 的两根 x1、x2 满足－1<x1<0<x2<2， f－ 1>0， ∴f0<0， f2>0， 2k<0， 即－ 1<0， 4k＋3>0，
在知识结论推导阶段-----选用分类讨论、化归、等价转换、特殊与 一般、演绎与归纳等思想方法。
在知识的总结性阶段----可采用结构化、公理化等思想方法。
数学思想方法的教学原则：
◆ 化隐为显原则 ◆ 同步并进原则 ◆ 可接受性原则 ◆ 螺旋上升的原则 ◆ 自我构建原则
第三节 中学数学思想方法教学
《中学数学教学大纲》----数学基础知识是指数学中的概念、性质、 法则、公式、公理、定理，以及由其内容反映出来的数学思想方法。 《高中数学课程标准》-------获得必要的数学基础知识和基本技能， 理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、 应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作 用。
比如微积分思想、概率统计思想、变换群下的不变量思想等 等．
另一类是范围较小，内容具体、相对独立的数学成果。 比如函数思想、极限思想、积分思想、方程思想等等．
一般地，同一个数学成就，当用它去解决别的问题时，就称之
为方法。当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，称之为思想。 将这两重意义合在一起，就称为“数学思想方法”。 比如，“极限”，用它去求导数、求积分、解方程时，人们就说 极限方法。当我们讨论它的价值，即将变化过程趋势用数值加以表 示，使无限向有限转化时，人们就讲“极限思想”了。为了将这两 重意思合在一起说，于是也称“极限思想方法”。
运用方程思想解决问题主要从四个方面着手： ◆ 通过方程把问题中的已知与未知关系统一起来。 ◆ 找出主要矛盾，抓住关键变量。 ◆ 研究方程所具有的性质和特征。 ◆ 利用常见的数学模型(如函数、曲线等)实现转化。
例 1 对于满足 0≤ p≤ 4 的所有实数 p，不等式 x2＋px＞ 4x ＋p－ 3 都成立，则实数 x 的取值范围是 ____________．
微观----研究数学中的思想、方法以及法则。属于学科方法 论范畴。
微观的数学方法有以下四个层次：
第一，基本的和重大的数学思想方法。如模型化方法、微积 分方法、概率统计方法、拓扑方法、计算方法等等，它们决定一 个大的数学学科方向，构成数学的重要基础。 第二，一般科学方法相应的数学方法。如类比联想、分析综合、 归纳演绎等等。一般科学方法，在用于数学时应该有它自己的特点。 第三，数学中的特有的方法。如数学等价、数学表示、公理化、 关系映射反演、数形转换等等方法。其中“关系、映射、反演”方 法是徐利治先生的一项创造性的概括．这些方法主要在数学中产生 和适用，当然也可部分地迁移到其他科学。
e x＋ e x 例 5 [2009· 山东卷 ] 函数 y＝ x － x的图象大致为( e －e
－
)
选A
双曲函数： 双曲正弦： 双曲余弦： 双曲正切：
e x e x shx 2
e x e x chx 2
shx e x e x thx x chx e e x
chx e x e x cthx x shx e e x
双曲余切：
三、有计划有步骤的介绍有关思想方法
在知识形成阶段----选用观察、实验、比较、分析、抽象、 概括等抽象化、模型化的思想方法，字母代替数的思想方法，函数 的思想方法，方程的思想方法，极限的思想方法，统计的思想方法， 等等。
方法是相对于某一目的而言。人在活动中，为达到某一目的，可 以主观能动地选择、组合和创造各种手段、方式加以实行．这便是 方法的真实含义。 人们对方法进行研究，这便产生了“方法论”。
二、数学方法
数学方法是人们从事数学活动时所使用的方法。数学方法论 则是对古往今来的数学方法进行概括、分类、评价以及如何运用 的论述．
主观性——数学思想方法的教学较多地受教师主观性的 限制。
差异性——数学思想方法的学习主要在于领悟，因此比知 识的学习更具难度，也就是更具差异性。 学生数学思想方法的构建-----潜意识阶段、明朗形成 阶段、深化阶段
二、充分挖掘教材中的数学思想方法
◆在有理数的有关内容中，强调矛盾统一的思想；
◆在解方程和解不等式中，强调相互转换的思想方法；
◆在代数式中强调抽象概括与分类讨论的思想方法； ◆在平面几何中，强调演绎归纳的思想方法； ◆在二次曲线中强调数形结合、运动变化的思想方法 等等。
函数与方程思想
函数思想----将所研究的问题借助建立函数关系式， 利用函数的图象与性质，加以分析、转化解决问题的 思想。 如，有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数 的取值范围等问题； 方程思想----将问题中的数量关系运用数学语言转化为方 程模型加以解决的思想。
【解析】 原不等式可化为 p(x－1)＋(x2－ 4x＋3)＞ 0， 记 f(p)＝ p(x－1)＋x2－ 4x＋3， 由已知 0≤p≤4，f(p)＞ 0 恒成立，
2 f0＝ x － 4x＋ 3>0， 有 2 f 4 ＝ x － 1>0.
解之得 x＞ 3 或 x＜－ 1.
1．邓鹏编著．高等数学思想方法论．成都：四川教育出版社，2003 2．顾泠沅主编．数学思想方法．北京：中央广播电视大学出版社，2005 3．钱珮玲编著．数学思想方法与中学数学．北京：北京师范大学出版社，2008
第一章 数学思想方世纪初世界范围的数学教育改革 运动。改革的热点问题是如何培养学生思考问题与 分析问题的能力，提出中学数学教育的根本宗旨是 “教会年轻人思考”。
数学思想方法
F· 克莱因：数学教育中的世界通病---“双重忘记”
“骨”（数学专业基础及知识）； “肉”（数学思想与方法）； “汤”（教育教学理论）
我们提出----“双重唤醒”
课程任务---挖掘学过的数学中隐含的数学思想与方法 课程目的---将数学思想与方法内化为教师的数学素养
《数学思想方法》参考书
波利亚（George Polya,1887-1985）： 《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》
克莱因(Morris Kline,1908-1992)： 《古今数学思想》（1972）
徐利治：《数学方法论选讲》（1983）
第二节 方法 · 数学方法 · 数学思想
一、方法 “方法”是一种元概念。《辞海》中也未收录“方法”辞条， 它和“物质”、“集合”等概念一样，不能逻辑的定义，只能概 略地描述． 例如，把“方法”解释为人们在认识世界和改造世界的活动 中所采取的方式、手段、途径等的统称． 这里的“方式”、“手段”、“途径”等等，都和“方法” 大体上是“同义词”，并非“属”和“种”式的严格定义．