2014年陕西省高考文科数学试卷及答案
2014年陕西高考文科数学试题
）
n −1
D． an = 2
结束
14．已知 f ( x ) = _______．
5．将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（
A． 4π B． 3π C． 2π D． π
） 15． （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A．(不等式选做题)设 a, b, m, n ∈ R ，且 a 2 + b 2 = 5, ma + nb = 5 ，则 m2 + n2 的最小值为 ．
6．从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率
为（
A． 1 5
）
B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5
B． （几何证明选做题）如图， ∆ABC 中， BC = 6 ，以 BC 为直径的半圆分别交 AB, AC 于点 E , F ，若
AC = 2 AE ,则 EF =
⑴若 a ， b， c 成等差数列，证明： sin A + sin C = 2 sin ( A + C ) ； ⑵若 a ， b， c 成等比数列，且 c = 2a ，求 cos B 的值．
⑴若每辆车的投保金额均为 2800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； 17. （本小题满分 12 分） 四面体 ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱 AD ， BC 的平面分别交四面体的棱 AB ， BD ，
2．函数 f ( x) = cos(2 x + ) 的最小正周期是（ 4
π
第二部分（共 100 分） ）
D． 4π
S =1,i =1
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） ．
2014年陕西省高考数学试卷(文科)
高考注意事项1．进入考场时携带的物品。
考生进入考场，只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。
严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。
考场内不得自行传递文具等物品。
由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备，所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品，以免影响入场时间。
2．准确填写、填涂和核对个人信息。
考生在领到答题卡和试卷后，在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。
填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清的答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规的，查实后按照有关规定严肃处理。
监考员贴好条形码后，考生必须核对所贴条形码与自己的姓名、准考证号是否一致，如发现不一致，立即报告监考员要求更正。
3．考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟，为考生提供时间参考。
考场时钟的时间指示不作为考试时间信号，考试时间一律以考点统一发出的铃声信号为准。
2014年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题,每小题5分,共50分）1．（5分）设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2＜1,x∈R},则M∩N=（）A．[0,1]B．（0,1）C．（0,1]D．[0,1）2．（5分）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π3．（5分）已知复数z=2﹣i,则z•的值为（）A．5 B．C．3 D．4．（5分）根据如图所示的框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是（）A．a n=2n B．a n=2（n﹣1）C．a n=2n D．a n=2n﹣15．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是（）A．4πB．3πC．2πD．π6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）下列函数中,满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x8．（5分）原命题为“若＜a n,n∈N+,则{a n}为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是（）A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假9．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．,s2+1002B．+100,s2+1002C．,s2D．+100,s210．（5分）如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）,已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为（）A．y=x3﹣x2﹣x B．y=x3+x2﹣3xC．y=x3﹣x D．y=x3+x2﹣2x二、填空题（共4小题,每小题5分,共25分）11．（5分）抛物线y2=4x的准线方程是．12．（5分）已知4a=2,lgx=a,则x=．13．（5分）设0＜θ＜,向量=（sin2θ,cosθ）,=（1,﹣cosθ）,若•=0,则tanθ=．14．（5分）已知f（x）=,x≥0,若f1（x）=f（x）,f n+1（x）=f（f n（x））,n∈N+,则f2014（x）的表达式为．选考题（请在15-17三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5分）设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为．几何证明选做题16．如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,若AC=2AE,则EF=．坐标系与参数方程选做题17．在极坐标系中,点（2,）到直线的距离是．三、解答题（共6小题,共75分）18．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c．（Ⅰ）若a,b,c成等差数列,证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值．19．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．20．（12分）在直角坐标系xOy中,已知点A（1,1）,B（2,3）,C（3,2）,点P（x,y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上,且=m+n（m,n∈R）（Ⅰ）若m=n=,求||；（Ⅱ）用x,y表示m﹣n,并求m﹣n的最大值．21．（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）01000200030004000车辆数（辆）500130100150120（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率．22．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0,）,离心率为,左右焦点分别为F1（﹣c,0）,F2（c,0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点,与以F1F2为直径的圆交于C、D两点,且满足=,求直线l的方程．23．（14分）设函数f（x）=lnx+,m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时,求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0,＜1恒成立,求m的取值范围．2014年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题,每小题5分,共50分）1．（5分）设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2＜1,x∈R},则M∩N=（）A．[0,1]B．（0,1）C．（0,1]D．[0,1）【分析】先解出集合N,再求两集合的交即可得出正确选项．【解答】解：∵M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2＜1,x∈R}={x|﹣1＜x＜1,x∈R},∴M∩N=[0,1）．故选：D．【点评】本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】由题意得ω=2,再代入复合三角函数的周期公式求解．【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得,函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π,故选：B．【点评】本题考查了三角函数的周期性,以及复合三角函数的周期公式应用,属于基础题．3．（5分）已知复数z=2﹣i,则z•的值为（）A．5 B．C．3 D．【分析】由z求出,然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．【解答】解：由z=2﹣i,得z•=（2﹣i）（2+i）=4﹣i2=5．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算,是基础的计算题．4．（5分）根据如图所示的框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是（）A．a n=2n B．a n=2（n﹣1）C．a n=2n D．a n=2n﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式,根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．=2a i,a1=2,【解答】解：由程序框图知：a i+1∴数列为公比为2的等比数列,∴a n=2n．故选：C．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．5．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是（）A．4πB．3πC．2πD．π【分析】边长为1的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,从而可求圆柱的侧面积．【解答】解：边长为1的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π,故选：C．【点评】本题是基础题,考查旋转体的侧面积的求法,考查计算能力．6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．【分析】设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段,4条长度为1,4条长度为,两条长度为,即可得出结论．【解答】解：设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段,4条长度为1,4条长度为,两条长度为,∴所求概率为=．故选：B．【点评】本题考查概率的计算,列举基本事件是关键．7．（5分）下列函数中,满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x【分析】对选项一一加以判断,先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y）,然后考虑函数的单调性,即可得到答案．【解答】解：A．f（x）=x3,f（y）=y3,f（x+y）=（x+y）3,不满足f（x+y）=f（x）f （y）,故A错；B．f（x）=3x,f（y）=3y,f（x+y）=3x+y,满足f（x+y）=f（x）f（y）,且f（x）在R 上是单调增函数,故B正确；C．f（x）=,f（y）=,f（x+y）=,不满足f（x+y）=f（x）f（y）,故C 错；D．f（x）=,f（y）=,f（x+y）=,满足f（x+y）=f（x）f（y）,但f（x）在R上是单调减函数,故D错．故选：B．【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型,同时考查幂函数和指数函数的单调性,是一道基础题．8．（5分）原命题为“若＜a n,n∈N+,则{a n}为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是（）A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假【分析】先根据递减数列的定义判定命题的真假,再判断否命题的真假,根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假．【解答】解：∵＜a n=⇔a n+1＜a n,n∈N+,∴{a n}为递减数列,命题是真命题；其否命题是：若≥a n,n∈N+,则{a n}不是递减数列,是真命题；又命题与其逆否命题同真同假,命题的否命题与逆命题是互为逆否命题,∴命题的逆命题,逆否命题都是真命题．故选：A．【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系,判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．9．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．,s2+1002B．+100,s2+1002C．,s2D．+100,s2【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义,直接代入即可得到结论．【解答】解：由题意知y i=x i+100,则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100,方差s2=[（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2．故选：D．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系,利用均值和方差的定义是解决本题的关键,要求熟练掌握相应的计算公式．10．（5分）如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）,已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为（）A．y=x3﹣x2﹣x B．y=x3+x2﹣3xC．y=x3﹣x D．y=x3+x2﹣2x【分析】由题设,“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线,由此规律验证四个选项即可得出答案．【解答】解：由函数图象知,此三次函数在（0,0）上处与直线y=﹣x相切,在（2,0）点处与y=3x﹣6相切,下研究四个选项中函数在两点处的切线．A、,将0,2代入,解得此时切线的斜率分别是﹣1,3,符合题意,故A正确；B、,将0代入,此时导数为﹣3,不为﹣1,故B错误；C、,将2代入,此时导数为﹣1,与点（2,0）处切线斜率为3矛盾,故C 错误；D、,将0代入,此时导数为﹣2,与点（0,0）处切线斜率为﹣1矛盾,故D错误．故选：A．【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用,导数的几何意义是导数主要应用之一．二、填空题（共4小题,每小题5分,共25分）11．（5分）抛物线y2=4x的准线方程是x=﹣1．【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出p,再根据开口方向,写出其准线方程．【解答】解：∵2p=4,∴p=2,开口向右,∴准线方程是x=﹣1．故答案为x=﹣1．【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程,一定要先化为标准形式,求出的值,再确定开口方向,否则,极易出现错误．12．（5分）已知4a=2,lgx=a,则x=．【分析】化指数式为对数式求得a,代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．【解答】解：由4a=2,得,再由lgx=a=,得x=．故答案为：．【点评】本题考查了指数式与对数式的互化,考查了对数的运算性质,是基础题．13．（5分）设0＜θ＜,向量=（sin2θ,cosθ）,=（1,﹣cosθ）,若•=0,则tanθ=．【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得2sinθcosθ﹣cos2θ=0,再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ【解答】解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0,0＜θ＜,∴2sinθ﹣cosθ=0,∴tanθ=,故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题．14．（5分）已知f（x）=,x≥0,若f1（x）=f（x）,f n+1（x）=f（f n（x））,n∈N+,则f2014（x）的表达式为．【分析】由题意,可先求出f1（x）,f2（x）,f3（x）…,归纳出f n（x）的表达式,即可得出f2014（x）的表达式【解答】解：由题意．．．…故f2014（x）=故答案为：【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理,由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征．选考题（请在15-17三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5分）设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为．【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号,问题即可解决．【解答】解：由柯西不等式得,（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5,ma+nb=5,∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了柯西不等式,解题关键在于清楚等号成立的条件,属于中档题．几何证明选做题16．如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,若AC=2AE,则EF=3．【分析】证明△AEF∽△ACB,可得,即可得出结论．【解答】解：由题意,∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,∴∠AEF=∠C,∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB,∴,∵BC=6,AC=2AE,∴EF=3．故答案为：3．【点评】本题考查三角形相似的判定与运用,考查学生的计算能力,属于基础题．坐标系与参数方程选做题17．在极坐标系中,点（2,）到直线的距离是1．【分析】把极坐标化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点P（2,）化为=,y=2=1,∴P．直线展开化为：=1,化为直角坐标方程为：,即=0．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三、解答题（共6小题,共75分）18．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c．（Ⅰ）若a,b,c成等差数列,证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值．【分析】（Ⅰ）由a,b,c成等差数列,利用等差数列的性质得到a+c=2b,再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a,b,c成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,将c=2a代入表示出b,利用余弦定理表示出cosB,将三边长代入即可求出cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB,∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）,则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,将c=2a代入得：b2=2a2,即b=a,∴由余弦定理得：cosB===．【点评】此题考查了余弦定理,等差、等比数列的性质,熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥平面BDC,即可求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明四边形EFGH是平行四边形,EF⊥HG,即可证明四边形EFGH是矩形．【解答】（Ⅰ）解：由题意,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD的体积V==；（Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH．同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形,∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题考查线面垂直,考查线面平行性质的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．20．（12分）在直角坐标系xOy中,已知点A（1,1）,B（2,3）,C（3,2）,点P（x,y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上,且=m+n（m,n∈R）（Ⅰ）若m=n=,求||；（Ⅱ）用x,y表示m﹣n,并求m﹣n的最大值．【分析】（Ⅰ）由点的坐标求出向量和的坐标,结合m=n=,再由=m+n求得的坐标,然后由模的公式求模；（Ⅱ）由=m+n得到,作差后得到m﹣n=y﹣x,令y﹣x=t,然后利用线性规划知识求得m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1,1）,B（2,3）,C（3,2）,∴,又m=n=,∴．∴；（Ⅱ）∵,∴,两式相减得,m﹣n=y﹣x．令y﹣x=t,由图可知,当直线y=x+t过点B（2,3）时,t取得最大值1,故m﹣n的最大值为：1．【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算,考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．21．（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）01000200030004000车辆数（辆）500130100150120（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率．【分析】（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元,”B表示事件“赔付金额为4000元”,以频率估计概率,求得P（A）,P（B）,再根据投保额为2800元,赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元,问题得以解决．（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数,再求出其频率,最后利用频率表示概率．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元,”B表示事件“赔付金额为4000元”,以频率估计概率得P（A）=,P（B）=,由于投保额为2800元,赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元,所以其概率为P（A）+P（B）=0.15+0.12=0.27．（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100,而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24,所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为,由频率估计概率得P（C）=0.24．【点评】本题主要考查了用频率来表示概率,属于中档题．22．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0,）,离心率为,左右焦点分别为F1（﹣c,0）,F2（c,0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点,与以F1F2为直径的圆交于C、D两点,且满足=,求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得,解出即可．（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及d＜1,可得m的取值范围．利用弦长公式可得|CD|=2．设A（x1,y1）,B（x2,y2）．把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,进而得到弦长|AB|=．由=,即可解得m．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得,解得,c=1,a=2．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1．∴圆心到直线l的距离d=,由d＜1,可得．（*）∴|CD|=2==．设A（x1,y1）,B（x2,y2）．联立,化为x2﹣mx+m2﹣3=0,可得x1+x2=m,．∴|AB|==．由=,得,解得满足（*）．因此直线l的方程为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题．23．（14分）设函数f（x）=lnx+,m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时,求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0,＜1恒成立,求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）m=e时,f（x）=lnx+,利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣,令g（x）=0,求出m；设φ（x）=m,求出φ（x）的值域,讨论m的取值,对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0,＜1恒成立,等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0,+∞）上单调递减；h′（x）≤0,求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时,f（x）=lnx+,∴f′（x）=；∴当x∈（0,e）时,f′（x）＜0,f（x）在（0,e）上是减函数；当x∈（e,+∞）时,f′（x）＞0,f（x）在（e,+∞）上是增函数；∴x=e时,f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0）,令g（x）=0,得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0）,∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0,1）时,φ′（x）＞0,φ（x）在（0,1）上是增函数,当x∈（1,+∞）时,φ′（x）＜0,φ（x）在（1,+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点,且是极大值点,∴x=1是φ（x）的最大值点,∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0,结合y=φ（x）的图象,如图；可知：①当m＞时,函数g（x）无零点；②当m=时,函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时,函数g（x）有两个零点；④当m≤0时,函数g（x）有且只有一个零点；综上,当m＞时,函数g（x）无零点；当m=或m≤0时,函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时,函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0,＜1恒成立,等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0）,则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0,+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0,+∞）上恒成立,∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0）,∴m≥；对于m=,h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[,+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用问题,解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值,应用分类讨论法,构造函数等方法来解答问题,是难题．。
2014年陕西省高考数学试卷(文科)
2014年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1] B．（0，1）C．（0，1] D．[0，1）2．（5分）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2π D．4π3．（5分）已知复数z=2﹣i，则z•的值为（）A．5 B．C．3 D．4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A．an =2n B．an=2（n﹣1）C．an=2n D．an=2n﹣15．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A．4π B．3π C．2π D．π6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x8．（5分）原命题为“若＜an ，n∈N+，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、真、真 B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假9．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B．+100，s2+1002C．，s2D．+100，s210．（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A．y=x3﹣x2﹣x B．y=x3+x2﹣3xC．y=x3﹣x D．y=x3+x2﹣2x二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=4x的准线方程是．12．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x= ．13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．14．（5分）已知f （x ）=，x ≥0，若f 1（x ）=f （x ），f n+1（x ）=f （f n （x ）），n ∈N +，则f 2014（x ）的表达式为 ．选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5分）设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2+b 2=5，ma+nb=5，则的最小值为 ．几何证明选做题16．如图，△ABC 中，BC=6，以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ，若AC=2AE ，则EF= ．坐标系与参数方程选做题 17．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 ．三、解答题（共6小题，共75分）18．（12分）△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ． （Ⅰ）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin （A+C ）； （Ⅱ）若a ，b ，c 成等比数列，且c=2a ，求cosB 的值．19．（12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H ． （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积； （Ⅱ）证明：四边形EFGH 是矩形．20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC 三边围成的区域（含边界）上，且=m +n（m，n∈R）（Ⅰ）若m=n=，求||；（Ⅱ）用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．21．（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．22．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程．23．（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．2014年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1] B．（0，1）C．（0，1] D．[0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）．故选：D．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2π D．4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B．【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．（5分）已知复数z=2﹣i，则z•的值为（）A．5 B．C．3 D．【分析】由z求出，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．【解答】解：由z=2﹣i，得z•=（2﹣i）（2+i）=4﹣i2=5．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A．an =2n B．an=2（n﹣1）C．an=2n D．an=2n﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n．故选：C．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．5．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A．4π B．3π C．2π D．π【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故选：C．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：B．【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．7．（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：A．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；B．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R 上是单调增函数，故B 正确； C ．f （x ）=，f （y ）=，f （x+y ）=，不满足f （x+y ）=f （x ）f （y ），故C 错； D ．f （x ）=，f （y ）=，f （x+y ）=，满足f （x+y ）=f （x ）f（y ），但f （x ）在R 上是单调减函数，故D 错． 故选：B ．【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．8．（5分）原命题为“若＜a n ，n ∈N +，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假【分析】先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假．【解答】解：∵＜a n =⇔a n+1＜a n ，n ∈N +，∴{a n }为递减数列，命题是真命题； 其否命题是：若≥a n ，n ∈N +，则{a n }不是递减数列，是真命题； 又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题， ∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题． 故选：A ．【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．9．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A ．，s 2+1002 B ．+100，s 2+1002 C ．，s 2 D ．+100，s 2【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．【解答】解：由题意知yi =xi+100，则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100，方差s2=[（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2．故选：D．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．10．（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A．y=x3﹣x2﹣x B．y=x3+x2﹣3xC．y=x3﹣x D．y=x3+x2﹣2x【分析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案．【解答】解：由函数图象知，此三次函数在（0，0）上处与直线y=﹣x相切，在（2，0）点处与y=3x﹣6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线．A、，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是﹣1，3，符合题意，故A正确；B、，将0代入，此时导数为﹣3，不为﹣1，故B错误；C、，将2代入，此时导数为﹣1，与点（2，0）处切线斜率为3矛盾，故C错误；D、，将0代入，此时导数为﹣2，与点（0，0）处切线斜率为﹣1矛盾，故D错误．故选：A．【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一．二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=4x的准线方程是x=﹣1 ．【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．【解答】解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=﹣1．故答案为x=﹣1．【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．12．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x= ．【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．【解答】解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos 2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ 【解答】解：∵=sin2θ﹣cos 2θ=2sinθcosθ﹣cos 2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=， 故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．14．（5分）已知f （x ）=，x ≥0，若f 1（x ）=f （x ），f n+1（x ）=f （f n （x ）），n ∈N +，则f 2014（x ）的表达式为．【分析】由题意，可先求出f 1（x ），f 2（x ），f 3（x ）…，归纳出f n （x ）的表达式，即可得出f 2014（x ）的表达式 【解答】解：由题意．．．…故f 2014（x ）=故答案为：【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征．选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为．【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．几何证明选做题16．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= 3 ．【分析】证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3．故答案为：3．【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．坐标系与参数方程选做题17．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 ．【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P．直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，共75分）18．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH是矩形．【解答】（Ⅰ）解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V==；（Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且=m+n（m，n∈R）（Ⅰ）若m=n=，求||；（Ⅱ）用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．【分析】（Ⅰ）由点的坐标求出向量和的坐标，结合m=n=，再由=m+n求得的坐标，然后由模的公式求模；（Ⅱ）由=m+n得到，作差后得到m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，然后利用线性规划知识求得m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，又m=n=，∴．∴；（Ⅱ）∵，∴，两式相减得，m﹣n=y﹣x．令y﹣x=t，由图可知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为：1．【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．21．（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．【分析】（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，求得P（A），P（B），再根据投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，问题得以解决．（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P（A）=，P（B）=，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为P（A）+P（B）=0.15+0.12=0.27．（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得P（C）=0.24．【点评】本题主要考查了用频率来表示概率，属于中档题．22．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可．（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及d＜1，可得m的取值范围．利用弦长公式可得|CD|=2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|=．由=，即可解得m．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，c=1，a=2．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1．∴圆心到直线l的距离d=，由d＜1，可得．（*）∴|CD|=2==．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣mx+m2﹣3=0，可得x1+x2=m，．∴|AB|==．由=，得，解得满足（*）．因此直线l的方程为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．23．（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m ＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m ＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m ≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．第21页（共21页）。
2014年全国高考文科数学试题及答案-陕西卷
2014年陕西高考文科数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|0,}M x x x R =≥∈，2{|1,}N x x x R =<∈，则MN =（ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D2. 函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 3. 已知复数2z i =-，则Z .z z ⋅ 的值为（ ）A.5B.5C.3D.34. 根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）.2n Aa n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=5. 将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（ ）A.4πB.3πC.2πD.π6. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 7. 下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）A. ()3f x x = B. ()3xf x = C. ()12f x x =D. ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭8. 原命题为“1,2n n n a a a n N +++<∈，则{}n a 为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题的判断依次如下，正确的是（ ）A.真，真，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假9. 某公司10位员工的月工资（单位:元）为1210,,...,x x x ，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这个10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） （A ）22,100x s +（B ）22100,100x s ++（C ）2,x s（D ）2100,x s+10. 如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知欢呼弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）A.x x x y --=232121 B.x x x y 3212123-+=C.x x y -=341D.x x x y 2214123-+=二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.抛物线24y x =的准线方程为___________. 12.已知,lg ,24a x a ==则x =________. 13. 设20πθ<<，向量()()sin 2cos 1,cos a b θθθ==-，，，若0a b ⋅=，则=θtan _______. 14.已知(),01xf x x x=≥+，11()(),()(()),n n f x f x f x f f x n N ++==∈，则2014()f x 的表达式为__________.15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是16. （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 17. （本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面，分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，. （1）求四面体ABCD 的体积； （2）证明：四边形EFGH 是矩形18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且),(R n m n m ∈+= （1）若23m n ==，求||OP ； （2）用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值. 19.（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800圆，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，新司机获赔金额为4000元的概率。
2014年全国高考文科数学试题及答案-陕西卷
2014年陕西高考文科数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|0,}M x x x R =≥∈，2{|1,}N x x x R =<∈，则MN =（ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D2. 函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 3. 已知复数2z i =-，则Z .z z ⋅ 的值为（ ）A.5B.5C.3D.34. 根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）.2n Aa n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=5. 将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（ ）A.4πB.3πC.2πD.π6. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 7. 下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）A. ()3f x x = B. ()3xf x = C. ()12f x x =D. ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭8. 原命题为“1,2n n n a a a n N +++<∈，则{}n a 为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题的判断依次如下，正确的是（ ）A.真，真，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假9. 某公司10位员工的月工资（单位:元）为1210,,...,x x x ，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这个10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） （A ）22,100x s +（B ）22100,100x s ++（C ）2,x s（D ）2100,x s+10. 如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知欢呼弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）A.x x x y --=232121 B.x x x y 3212123-+=C.x x y -=341D.x x x y 2214123-+=二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.抛物线24y x =的准线方程为___________. 12.已知,lg ,24a x a ==则x =________. 13. 设20πθ<<，向量()()sin 2cos 1,cos a b θθθ==-，，，若0a b ⋅=，则=θtan _______. 14.已知(),01xf x x x=≥+，11()(),()(()),n n f x f x f x f f x n N ++==∈，则2014()f x 的表达式为__________.15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是16. （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 17. （本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面，分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，. （1）求四面体ABCD 的体积； （2）证明：四边形EFGH 是矩形18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且),(R n m n m ∈+= （1）若23m n ==，求||OP ； （2）用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值. 19.（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800圆，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，新司机获赔金额为4000元的概率。
2014年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷数学文
2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学文一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1.设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=( )A. [0，1]B. (0，1)C. (0，1]D. [0，1)解析：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|-1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1). 答案：D.2.函数f(x)=cos(2x+)的最小正周期是( )A.B.πC. 2πD.4π解析：根据复合三角函数的周期公式得，函数f(x)=cos(2x+)的最小正周期是π，答案：B.3.已知复数z=2-i，则z•的值为( )A. 5B.C. 3D.解析：由z=2-i，得z·=(2-i)(2+i)=4-i2=5.答案：A.4.根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是( )A. a n=2nB. a n=2(n-1)C.a n=2nD. a n=2n-1解析：由程序框图知：a i+1=2a i，a1=2，∴数列为公比为2的等边数列，∴a n=2n.答案：C.5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A.4πB. 3πC. 2πD. π解析：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，答案：C.6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.B.C.D.解析：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=.答案：B.7.下列函数中，满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=x3B. f(x)=3xC. f(x)=xD. f(x)=()x解析：A.f(x)=x3，f(y)=y3，f(x+y)=(x+y)3，不满足f(x+y)=f(x)f(y)，故A错；B.f(x)=3x，f(y)=3y，f(x+y)=3x+y，满足f(x+y)=f(x)f(y)，且f(x)在R上是单调增函数，故B正确；C.f(x)=，f(y)=，f(x+y)=，不满足f(x+y)=f(x)f(y)，故C错；D.f(x)=，f(y)=，f(x+y)=，满足f(x+y)=f(x)f(y)，但f(x)在R上是单调减函数，故D错.答案：B.8.原命题为“若＜a n，n∈N+，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A. 真、真、真B. 假、假、真C. 真、真、假D. 假、假、假解析：∵＜a n⇔a n+1＜a n，n∈N+，∴{a n}为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若≥a n，n∈N+，则{a n}不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题.答案：A.9.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A.，s2+1002B.+100，s2+1002C. ，s2D. +100，s2解析：由题意知y i=x i+100，则=(x1+x2+…+x10+100×10)=(x1+x2+…+x10)=+100，方差s2=[(x1+100-(+100)2+(x2+100-(+100)2+…+(x10+100-(+100)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=s2，答案：D.10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A. y=x3-x2-xB. y=x3+x2-3xC. y=x3-xD. y=x3+x2-2x解析：由函数图象知，此三次函数在(0，0)上处与直线y=-x相切，在(2，0)点处与y=3x-6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线.A选项，，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是-1，3，符合题意，故A对；B选项，，将0代入，此时导数为-3，不为-1，故B错；C选项，，将2代入，此时导数为-1，与点(2，0)处切线斜率为3矛盾，故C 错；D选项，，将0氏入，此时导数为-2，与点(0，0)处切线斜率为-1矛盾，故D错.答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共25分)11.抛物线y2=4x的准线方程是.解析：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=-1.答案：x=-1.12.已知4a=2，lgx=a，则x= .解析：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=.故答案为：.13.设0＜θ＜，向量=(sin2θ，cosθ)，=(1，-cosθ)，若•=0，则tanθ= . 解析：∵=sin2θ-cos2θ=2sinθcosθ-cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ-cosθ=0，∴tanθ=.答案：.14.已知f(x)=，x≥0，若f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f(f n(x))，n∈N+，则f2014(x)的表达式为 .解析：由题意...…，故f2014(x)=答案：选考题(请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)不等式选做题15.设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为 .解析：由柯西不等式得，(ma+nb)2≤(m2+n2)(a2+b2)，∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴(m2+n2)≥5，∴的最小值为.答案：几何证明选做题16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= .解析：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3.答案：3.坐标系与参数方程选做题17.在极坐标系中，点(2，)到直线ρsin(θ-)=1的距离是.解析：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得点(2，)即(，1)；直线ρsin(θ-)=1即x-y=1，即x-y-2=0，故点(，1)到直线x-y-2=0的距离为=1，答案：1.三、解答题(共6小题，共75分)18.(12分)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.(Ⅰ)若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin(A+C)；(Ⅱ)若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值.解析：(Ⅰ)由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；(Ⅱ)由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值.答案：(Ⅰ)∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)，则sinA+sinC=2sin(A+C)；(Ⅱ)∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===.19.(12分)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.(Ⅰ)求四面体ABCD的体积；(Ⅱ)证明：四边形EFGH是矩形.解析：(Ⅰ)证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；(Ⅱ)证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH是矩形.答案：(Ⅰ)由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V==；(Ⅱ)∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥FH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥HG，∴四边形EFGH是矩形.20.(12分)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且=m+n(m，n∈R)(Ⅰ)若m=n=，求||；(Ⅱ)用x，y表示m-n，并求m-n的最大值.解析：(Ⅰ)由点的坐标求出向量和的坐标，结合m=n=，再由=m+n求得的坐标，然后由模的公式求模；(Ⅱ)由=m+n得到，作差后得到m-n=y-x，令y-x=t，然后利用线性规划知识求得m-n的最大值.答案：(Ⅰ)∵A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，∴，又m=n=，∴.∴；(Ⅱ)∵，∴，两式相减得，m-n=y-x.令y-x=t，由图可知，当直线y=x+t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m-n的最大值为1.21.(12分)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(Ⅰ)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(Ⅱ)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.解析：(Ⅰ)设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，求得P(A)，P(B)，再根据投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，问题得以解决.(Ⅱ)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率.答案：(Ⅰ)设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)=，P(B)=，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(Ⅱ)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得P(C)=0.24.22.(13分)已知椭圆+=1(a＞b＞0)经过点(0，)，离心率为，左右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程.解析：(Ⅰ)由题意可得，解出即可.(Ⅱ)由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1.利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及d＜1，可得m的取值范围.利用弦长公式可得|CD|=2.设A(x1，y1)，B(x2，y2).把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|=.由=，即可解得m.答案：(Ⅰ)由题意可得，解得，c=1，a=2.∴椭圆的方程为. (Ⅱ)由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1.∴圆心到直线l的距离d=，由d＜1，可得.(*)∴|CD|=2==.设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立，化为x2-mx+m2-3=0，可得x1+x2=m，.∴|AB|==.由=，得，解得满足(*).因此直线l的方程为.23.(14分)设函数f(x)=lnx+，m∈R.(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(Ⅱ)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数；(Ⅲ)若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围.解析：(Ⅰ)m=e时，f(x)=lnx+，利用f′(x)判定f(x)的增减性并求出f(x)的极小值；(Ⅱ)由函数g(x)=f′(x)-，令g(x)=0，求出m；设φ(x)=m，求出φ(x)的值域，讨论m 的取值，对应g(x)的零点情况；(Ⅲ)由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f(b)-b＜f(a)-a恒成立；即h(x)=f(x)-x在(0，+∞)上单调递减；h′(x)≤0，求出m的取值范围.答案：(Ⅰ)当m=e时，f(x)=lnx+，∴f′(x)=；∴当x∈(0，e)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上是减函数；当x∈(e，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(e，+∞)上是增函数；∴x=e时，f(x)取得极小值f(e)=lne+=2；(Ⅱ)∵函数g(x)=f′(x)-=--(x＞0)，令g(x)=0，得m=-x3+x(x＞0)；设φ(x)=-x3+x(x≥0)，∴φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)；当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上是增函数，当x∈(1，+∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，+∞)上是减函数；∴x=1是φ(x)的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)=；又φ(0)=0，结合y=φ(x)的图象，如图可知：①当m ＞时，函数g(x)无零点；②当m=时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0＜m ＜时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；综上，当m ＞时，函数g(x)无零点；当m=或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0＜m ＜时，函数g(x)有两个零点；(Ⅲ)对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f(b)-b＜f(a)-a恒成立；设h(x)=f(x)-x=lnx+-x(x＞0)，∴h(x)在(0，+∞)上单调递减；∵h′(x)=--1≤0在(0，+∞)上恒成立，∴m≥-x2+x=-+(x＞0)，∴m≥；对于m=，h′(x)=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞).。
2014年陕西省高考数学试卷(文科)
2014年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）22．（5分）（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）B4．（5分）（2014•陕西）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（）5．（5分）（2014•陕西）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几6．（5分）（2014•陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的B（=x8．（5分）（2014•陕西）原命题为“若＜a n，n∈N+，则{a n}为递减数列”，关于其逆9．（5分）（2014•陕西）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工．，s2+1002+100，s2+1002，s2+100，s210．（5分）（2014•陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）﹣y=xy=x二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2014•陕西）抛物线y2=4x的准线方程是．12．（5分）（2014•陕西）已知4a=2，lgx=a，则x=．13．（5分）（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．14．（5分）（2014•陕西）已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N+，则f2014（x）的表达式为．选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5分）（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为．几何证明选做题16．（2014•陕西）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=．坐标系与参数方程选做题17．（2014•陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离是．三、解答题（共6小题，共75分）18．（12分）（2014•陕西）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．19．（12分）（2014•陕西）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．20．（12分）（2014•陕西）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且=m+n（m，n∈R）（Ⅰ）若m=n=，求||；（Ⅱ）用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．21．（12分）（2014•陕西）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．22．（13分）（2014•陕西）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程．23．（14分）（2014•陕西）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．。
2014年普通高等学校招生考试陕西文数
2014年陕西高考数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N = （ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D2.函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π .B π .2C π .4D π 3.已知复数2z i =-，则z z ⋅的值为（ ）.5A B .3C 4.根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）.2n Aa n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）.4A π .3B π .2C π .D π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中， 任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D7.下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()3f x x = （B ）()3x f x = （C ）()23f x x = （D ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，真，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假9.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，学科 网则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）（A ）x ，22s 100+ （B ）100x +，22s 100+（C ）x ，2s （D ）100x +，2s10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲 路段为莫三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ） （A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+- （C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.抛物线24y x =的准线方程为________.12.已知42a =，lg x a =，则x =________.13. 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==，若0=⋅，则=θtan ______.14. 已知0,1)(≥+=x xx x f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的 表达式为________.15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）设R n m b a ∈,,,，且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +的最 小值为______.B.（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC 为直径的半圆分别交AC AB ,于点F E ,，若AE AC 2=，则EF =_______.C.（坐标系与参数方程选做题）学科 网在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=-πθρ的距 离是_______.三、解答题.16. （本小题满分12分）A B C ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. （1）若c b a ,,成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+；（2）若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，求B cos 的值.17.（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面体的棱CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,.（1）求四面体ABCD 的体积；（2）证明：四边形EFGH 是矩形.18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈ .（1）若23m n ==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.19.（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.20.（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. （1）求椭圆的方程；（2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径 的圆交于,C D 两点，且满足||||4AB CD =，求直线l 的方程.21.（本小题满分13分） 设函数()ln ,m f x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值； （2）讨论函数()'()3x g x f x =-零点的个数； （3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.。
陕西高考文科数学试题含答案(Word版).doc
2014年陕西高考文科数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =I （ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D【答案】 D 【解析】D N M N M 选，).1,0[∩∴),11-(),∞,0[==+=Θ2.函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ωΘ 3.已知复数 Z = 2 - 1，则Z .z 的值为（ ） A.5 B.5 C.3 D.3 【答案】 A【解析】A z z i z i z 选.514,2∴,-2=+=+==Θ4.根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====Θ5.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（ ）A.4πB.8πC.2πD.π 【答案】 C 【解析】C r S r 选个圆：，则侧面积为，高为为旋转体为圆柱，半径.2ππ*22112==6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 【答案】 B 【解析】B p 选种，的顶点共是中心到种，距离小于边长只能共有中取.52104441025==∴ 7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =【答案】 B 【解析】B y f x f y x f B D y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】 A 【解析】Aa a a a a a n n n n n n 选个命题全真真原命题为真，逆命题为为递减数列，，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.4}{2.11∴∴⇔<⇔<+++Θ9.某公司10位员工的月工资（单位:元）为x 1，x 2，''',x 10 ，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这个10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）（A ）x ，s 2+1002 （B ）x +100, s 2+1002 （C ） x ,s 2 （D ）x +100, s 2【答案】 D 【解析】D 选不变均值也加此数，方差也样本数据加同一个数，.10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A ）x x x y --=232121 （B ）x x x y 3212123-+= （C ）x x y -=341 （D ）x x x y 2214123-+=【答案】 A【解析】Ab ax x x x f x x x y f f 选经计算得出也可设符合经检验只有，且），三次函数过点.))(2-()(.-21-21.3)2(1-)0(,02(),0,0(23+===′=′ 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.抛物线24y x =的准线方程为___________. 【答案】 -1x =【解析】.-1x (1,0),∴,42==准线方程焦点x y Θ 12.已知,lg ,24a x a==则x =________. 【答案】10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以，Θ13. 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若0=⋅b a ，则=θtan ______.【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 20,θcos -θ2sin ∴0).θcos -,1(),θcos ,θ2(sin 22====•==解得即，b a b a Θ已知f （x ）=xx+1，x≥0, f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x)),n ∈N +, 则f 2014(x)的表达式为__________.【答案】 x x20141+【解析】.20141)(,31211,21)(,2111,1)(∴)),(()(,,1)()(,20143211xxx f x x xx x xx f x x x x x x x f x f f x f x x x f x f n n +=+=+++=+=+++==+==+经观察规律，可得ΛΛΘ15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，则22m n +的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+ΘB.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与Θ C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点Θ16. （本小题满分12分） ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 【答案】 （1） 省略 （2）43【解析】 （1）C)sin(A 2sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+=ΘΘ即成等差，c b a（2）.43cosB 434a 2a -4a a 2ac b -a cosB a 2b .∴2ac b ∴,,2222222222==+=+====所以，，，且成等比，c a c c b a Θ17. （本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面体的棱 CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,.（1）求四面体ABCD 的体积； （2）证明：四边形EFGH 是矩形.【答案】 （1） 32（2） 省略【解析】 （1）32ABCD 32122213131BCD -A .BCD -A AD ∴BCD ⊥AD DC,⊥BD Δ,ΔΔBCD -A 的体积为所以，四面体的体积所以，三棱锥的高为三棱锥面且为等腰由题知，=••••=•=AD S V RT BCD BCD（2）.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====ΘΘ18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【答案】 （1） 22 （2）m-n=y-x, 1【解析】 （1）22|OP |22|OP |∴(2,2),OP ∴(2,2))3,3(32)]1,2()2,1[(32)AC AB (32AC AB OP ∴32),,(),2,3(),3,2(),11(22==+====+=+=+===所以，，y x n m n m y x P C B A Θ（2） 1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x,(∴,AC AB OP 最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=Θ19.（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（I ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（II ）在样本车辆中，车主是新司机的占10％，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20％，估计在已投保车辆中，新司机赔获金额为4000元的概率。
2014年陕西省高考数学文科真题及答案
2014年陕西省高考数学文科真题及答案一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求（本大题共10小题，每小题共5分，共计50分）1. 设集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ≥０ Ｘ∈Ｒ｝．Ｎ＝｛Ｘ｜Ｘ２＜１ Ｘ∈Ｒ｝。
则Ｍ∩Ｎ= ( )(A) []0,1 (B) ()0,1 (C) (]0,1 (D) [)0,1 2．函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是 ( )(A) 2π(B) π (C) 2π (D) 4π3. 已知复数z=2-i ，则 z z ⋅ 的值为 ( )(A) 5 (B)5 (C)3 (D)34.根据右边框图，对大于2的整数N,输出的数列通项公式是 ( )(A) 2n a n = (B) 2(1)n a n =- (C) 2n n a = (D) 12n n a -=5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几合体的侧面积是 ( )(A) 4π (B) 3π (C) 2π (D) π 6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )(A) 15(B) 25(C) 35(D) 457.下列函数中，满足 f(x+y)=f(x)f(y) 的单调递增函数是 ( )(A) f(x)=x 3 (B) f(x)=3x(C) f(x) =12x (D) f(x)=x⎪⎭⎫⎝⎛218.原命题为 “若+++∈<N n a a a n n n ,21则{}n a 为递减数列，”关于其逆命题，否命题，逆否命题的判断依次如下，正确的是 ( )(A)真，真，真 (B)假，假，真 (C)真，真，假 (D)假，假，假， 9.某公司10位员工的月工资（单位：元）为x 1，x 2，''',x 10 ，其均值和方差分别是2s x 和，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月的工资的均值和方差分别为 ( )(A)22100,+s x (B),100+x 22100+s (C)x ，2s (D) x +100，2s10.如图，维修一跳公路需要一段环湖曲线路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 ( ) (A)y=x x x --232121 (B)y=x x x 3212123-+ (C) y=x x -341(D) y=x x x 2214123-+二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共计25分）11.抛物线x y 42=的准线方程为 12.已知42,lg a x a ==，则x = 13.设20πθ<<，向量)cos ,2(sin θθ=a ，b=(1,-cos θ),若0=⋅b a ,则tan =θ 14.已知)(x f =,0,1≥+x xx若)()(1x f x f = ,++∈=N n x f f x f n n )),(()(1，则2014f （x ）的表达式为15.（考生注意：在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）设n m b a ,,,R ∈,且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +的最小值为B.(几何证明选做题)如图△ABC 中BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝C. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点（2，6π）到直线ρsin(6-πθ)=1的距离是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共计6小题，共计75分）16.（本小题满分12分）,,,,.(),,sin sin 2sin();()..2,cos ABC A B C a b c a b c A C A C a b c c a B ∆I +=+∏=的内角所对的边长分别为若成等差数列，证明：若成等比数列，且求的值。
2014年高考陕西文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）数学（文科）第一部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年陕西，文1，5分】已知集合{}0,M x x x R =≥∈，{}21,N x x x R =<∈，则M N =（ ）（A ）[0,1] （B ）(0,1) （C ）(0,1] （D ）[0,1) 【答案】D【解析】[0,)M =+∞，(11)N =-，，[0,1)M N ∴=，故选D ． 【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．（2）【2014年陕西，文2，5分】函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）（A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【答案】B【解析】根据复合三角函数的周期公式2T πω=得，22||2T πππω===，故选B ． 【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式2T πω=应用，属于基础题．（3）【2014年陕西，文3，5分】已知复数2i z =-，则z z ⋅的值为（ ）（A ）5 （B （C ）3 （D 【答案】A【解析】由2i z =-，得()()22i 2i 4i 5z z ⋅=-+=-=，故选A ．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题． （4）【2014年陕西，文4，5分】根据右边框图，对大于2的整数N ，求出的数列的通项公式是（ ）（A ）2n a n = （B ）2(1)n a n =- （C ）2n n a = （D ）12n n a -= 【答案】C【解析】12a =，24a =，38a =，n a ∴是12a =，2q =的等比数列，故选C ．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键． （5）【2014年陕西，文5，5分】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 【答案】C【解析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1212ππ⨯⨯=，故选C ．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力． （6）【2014年陕西，文6，5分】从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这两个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）（A ）15 （B ）25 （C ）35（D ）45【答案】B【解析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，442105=，故选B ． 【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．（7）【2014年陕西，文7，5分】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）3()f x x = （B ）()3xf x = （C ）12()f x x = （D ）1()()2x f x =【答案】B【解析】对于A ：3()f x x =，3()f y y =，()3()f x y x y +=+，不满足()()()f x y f x f y +=，故A 错；对于B ：()3x f x =，()3y f y =，()3x y f x y ++=，满足()()()f x y f x f y +=，且()f x 在R 上是单调增函数，故B 正确，对于C ：21)(x x f =，12()f y y =，()12()f x y x y +=+，不满足()()()f x y f x f y +=，故C 错；对于D ：1()()2x f x =，1()()2y f y =，1()()2x y f x y ++=，满足()()()f x y f x f y +=，但()f x 在R 上是单调减函数，故D 错．故选B ．【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．（8）【2014年陕西，文8，5分】原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】A【解析】112n n n n n a a a a a +++<⇔<，n N +∈，∴ {}n a 为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若12n n n a a a ++≥，n N +∈，则{}n a 不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题，故选A ．【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键． （9）【2014年陕西，文9，5分】某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） （A ）x ，22s 100+ （B ）100x +，22s 100+ （C ）x ，2s （D ）100x +，2s 【答案】D【解析】由题意知100i i y x =+，则()()1210121011100101001001010y x x x x x x x =++++⨯=++++=+，方差()()()(){}()()22222211011011s 100100100100s 1010x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++++-+=-++-=⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故选D ．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．（10）【2014年陕西，文10，5分】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则 该函数的解析式为（ ）（A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+-（C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-【答案】A【解析】由函数图象知，此三次函数在()0,0上处与直线y x =-相切，在()2,0点处与36y x =-相切，以下研究四个选项中函数在两点处的切线．A 选项：2312y x x '=--，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是1-，3，符合题意，故A 对；B 选项，2332y x x '=+-，将0代入，此时导数为3-，不为1-，故B 错；C 选项，2314y x '=-，将2代入，此时导数为1-，与点()2,0处切线斜率为3矛盾，故C 错；D 选项，2324y x x '=+-，将0代入，此时导数为2-，与点()0,0处切线斜率为1-矛盾，故D 错， 故选A ．【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一．第二部分（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． （11）【2014年陕西，文11，5分】抛物线24y x =的准线方程为______． 【答案】1x =-【解析】∵24p =，∴2p =，开口向右，∴准线方程是1x =-．【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出2p的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．（12）【2014年陕西卷理科第12，5分】已知42a =，lg x a =，则x =______．【解析】由42a =，得41log 22a ==，再由1lg 2x a ==，得x 【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． （13）【2014年陕西，文13，5分】设02πθ<<，向量(sin 2,cos )a θθ=，(1,cos )b θ=-若0a b ⋅=，则t a n θ=_______．【答案】12【解析】22sin 2cos 2sin cos cos 0a b θθθθθ⋅=-=-=，02πθ<<，2sin cos 0θθ∴-=，∴1tan 2θ=． 【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．（14）【2014年陕西，文14，5分】已知(),01xf x x x=≥+，若11()(),()(()),n n f x f x f x f f x n N ++==∈，则2014()f x 的表达式为_______．【答案】12014xx+【解析】由题意知：()()11xf x f x x ==+，()()()2111211x x x f x f f x x x x +===+++，()()()321213112xx x f x f f x x x x+===+++，()()()11n n x f x f f x nx -===+，故()201412014xf x x=+． 【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征． 考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分．（15A ）【2014年陕西，文15A ，5分】（不等式选做题）设,,,,a b m n R ∈且225,5,a b ma nb +=+=最小值为_______．【解析】由柯西不等式得，()()()22222ma nb m n a b +≤++，∵225a b +=，5ma nb +=，∴225m n +≥，．【点评】本题主要考查了柯西不等式，属于中档题． （15B ）【2014年陕西，文15B ，5分】（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交AB AC 、于点E F 、，若2AC AE =，则EF =_______．【答案】3【解析】由题意，∵以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ，∴AEF C ∠=∠，∵EAF CAB ∠=∠，∴AEF ACB ∆∆∽，∴AE EFAC BC=，∵6BC =，2AC AE =，∴3EF =． 【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．（15C ）【2014年陕西，文15C ，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线sin()16πρθ-= 的距离是_______．【答案】1【解析】根据极坐标和直角坐标的互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭即)；直线sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112x y =，即20x -=，故点)到直线20x -=1=． 【点评】本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）【2014年陕西，文16，12分】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ．（1）若,,a b c 成等差数列，证明sin sin 2sin()A C A C +=+； （2）若,,a b c 成等比数列，且2c a =，求cos B 的最小值． 解：（1）∵,,a b c 成等差数列，∴2b a c =+，利用正弦定理化简得：2sin sin sin B A C =+，∵()()sin sin sin B A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦，∴()sin sin 2sin 2sin A C B A C +==+．（2）∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =，将2c a =代入得：222b a =，即b ，由余弦定理得：2222222423cos 244a cb a a a B ac a +-+-===．【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． （17）【2014年陕西，文17，12分】四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱,AD BC 的平面分别交四面体的棱,,,AB BD DC CA 于点,,,E F G H ．（1）求四面体ABCD 的体积；（2）证明：四边形EFGH 是矩形． 解：（1）由题意，BD DC ⊥，BD AD ⊥，AD DC ⊥，2BD DC ==，1AD =，AD ∴⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积112221323V =⨯⨯⨯⨯=．（2）//BC 平面EFGH ，平面EFGH 平面BDC FG =，平面EFGH 平面ABC =EH ，//BC FG ∴，//BC EH ，//FG FH ∴．同理//EF AD ，//HG AD ，//EF HG ∴，∴四边形EFGH 是平行四边形， AD ⊥平面BDC ，AD BC ∴⊥，EF HG ∴⊥，∴四边形EFGH 是矩形．【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． （18）【2014年陕西，文18，12分】在直角坐标系xoy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ．点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(),OP mAB nAC m n =+∈R ．（1）若23m n ==，求OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值．解：（1）∵(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，()1,2AB =，()2,1AC =，又23m n ==，()()()221,22,12,233OP ∴=+=，∴22OP =（2）∵OP mAB nAC =+，∴()(),2,2x y m n m n =++，∴2x m n =+，2y m n =+，∴m n y x -=-，令y x t -=，由图知，当直线y x t =+过点()2,3B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1．【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．（19）【2014年陕西，文19，12分】某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解：（1）设A 表示事件“赔付金额为3000元，”B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得：()1500.151000P A ==，()1200.121000P B ==，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000 元和4000元，所以其概率为()()0.150.120.27P A P B +=+=． （2）设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为240.24100=，由频率估计概率得()0.24P C =．【点评】本题主要考查了用频率来表示概率，属于中档题．（20）【2014年陕西，文20，13分】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，经过点(，离心率为12，左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ．（1）求椭圆的方程；（2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F 为直径的圆交于C 、D 两点，且满足AB CD =l 的方程． 解：（1）由题意可得22212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a =，b =，1c =．∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=．∴圆心到直线l的距离d =1d <，可得m <．（*）∴CD ===． 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，化为2230x mx m -+-=，可得12x x m +=，2123x x m =-． ∴AB =AB CD=1，解得m =满足（*）．因此直线l的方程为12y x =-±． 【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（21）【2014年陕西，文21，14分】设函数()ln f x x xπ=+，m ∈R ．（1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （2）讨论函数()()3xg x f x '=-零点的个数； （3）若对任意0b a >>，()()1f b f a b a -<-恒成立，求m 的取值范围．解：（1）当m e =时，()ln e f x x x =+，∴()2x ef x x-'=∴当()0,x e ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,e 上是减函数；当(),x e ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(),e +∞上是增函数∴x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef ee e=+=．（2）∵函数()()2133x m x g x f x x x '=-=--（0x >），令()0g x =，得()3103m x x x =-+>； 设()()3103x x x x φ=-+≥，∴()()()2111x x x x φ'=-+=--+；当()0,1x ∈时，()0x φ'>，()x φ在()0,1上是增函数，当()1,x ∈+∞时，()0x φ'<，()x φ在()1,+∞上是 减函数；∴1x =是()x φ的极值点，且是极大值点，∴1x =是()x φ的最大值点，∴()x φ的最大值为()213φ=；又()00φ=，结合()y x φ=的图象，如图；可知： ①当23m >时，函数()g x 无零点；②当23m =时，函数()g x 有且只有一个零点；③当203m <<时，函数()g x 有两个零点；④当0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点；综上，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点．（3）对任意0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，等价于()()f b b f a a -<-恒成立；设()()()ln 0h x f x x x x x xπ=-=+->，∴()h x 在()0,+∞上单调递减；∵()2110m h x x x '=--≤在()0,+∞上恒成立，∴()2211024m x x x x ⎛⎫≥-+=--+> ⎪⎝⎭，∴14m ≥；对于14m =，()0h x '=仅在12x =时成立；∴m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点评】本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．。
2014年陕西卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学本试卷共23题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则M N ⋂=（ ） A ．[0,1]B ．[0,1）C ．(0,1 ]D ．(0,1)2．函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π3．已知复数2z i =−，则z z ⋅的值为（ ）A ．5B C ．3D4．根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）A ．12n n a +=B ．()21n a n =−C ．2nn a =D ．12n n a −=5．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．457．下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭8．原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A ．真，真，真 B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假9．某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A ．x ，22s 100+ B ．100x +，22s 100+ C ．x ，2s D ．100x +，2s10．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）A ．321122y x x x =−− B ．3211322y x x x =+− C ．314y x x =−D ．3211242y x x x =+−第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．抛物线24y x =的准线方程为_____． 12．已知42a =，lg x a =，则x =__________． 13．设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ−==b a ，若0=⋅b a ，则=θtan ______.14．已知，若，则的表达式为________.15．设，且，则的最小值为______..B 16．如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =17．在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=−πθρ的距离是_______. 三、解答题18． ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.（1）若c b a ,,成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+； （2）若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，求B cos 的值.19．四面体及其三视图如图所示，平行于棱的平面分别交四面体的棱于点.（1）求四面体的体积；（2）证明：四边形是矩形.20．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈.（1）若23m n ==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n −，并求m n −的最大值.(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.22．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点，离心率为12，左右焦点分别为1(,0)F c −，2(,0)F c .（1）求椭圆的方程； （2）若直线l ：12y x m =−+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F 为直径的圆交于C ，D 两点，且满足4AB CD =，求直线l 的方程.23．设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =−零点的个数； （3）若对任意()()0,1f b f a b a b a−>><−恒成立，求m 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学(参考答案)1．B【解析】试题分析：由{|0,}[0,)M x x x R =≥∈=+∞，，所以[0,1)M N ⋂=，故选B. 2．B【解析】试题分析：由周期公式2T w π=，又2w =，所以函数()cos(2)6f x x π=−的周期22T ππ==，故选B. 3．A【解析】试题分析：由2z i =−得2z i =+，所以(2)(2)5z z i i ⋅=−⋅+=，故选A. 4．C【解析】试题分析：当1,1S i ==时，11212a =⨯=；当12,2S i ==时，122222a =⨯=；当22,3S i ==时，233222a =⨯=；⋅⋅⋅由此得出数列的通项公式为2n n a =，故选C.5．C【详解】试题分析：将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为1r =的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为22ππ=r ，宽为1，所以所得几何体的侧面积为212ππ⨯=.故选C. 6．B【解析】试题分析：如图，从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，共有2510C =条线段，O 点与A ，B ，C ，D 四点中任意1点的连线段都小于该正方形边长，共有144C =，所以这2个点的距离小于该正方形边长的概率42P ==，故选B. ．【解析】试题分析：A 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3x f x =是定义在R 上增函数，所以B 正确；C 选项：由()()23f x y x y +=+，()()f x f y 2233x y =⋅23()xy =，得()()()f x y f x f y +≠，所以C 错误；D 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义在R 上减函数，所以D 错误；故选B.8．A【解析】试题分析：由12n n n a a a ++<{}1n n n a a a +⇒<⇒为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若{}n a 为递减数列，则12nn n a a a ++<，n N +∈；若{}n a 为递减数列，则1n n a a +<，即12n n n a a a ++<，所以逆命题为真；否命题：若12nn n a a a ++≥，n N +∈，则{}n a 不为递减数列；由{}112n n n n n n a a a a a a +++≥⇒≤+⇒不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题.故选A. 9．D【解析】试题分析：均值为;方差为,故选D.10．A【详解】由题目图象可知：该三次函数过原点， 故可设该三次函数为32()y f x ax bx cx ==++， 则2()32y f x ax bx c ''==++， 由题得：(0)1f '=−，(2)0f =，(2)3f '=即1{84201243c a b c a b c =−++=++=，解得121{21a b c ==−=−， 所以321122y x x x =−−，故选A. 11．1x =−【详解】由抛物线方程可知，抛物线24y x =的准线方程为：1x =−．故答案为：1x =−． 12【解析】试题分析：由42a =得12a =，所以1lg 2x =，解得x =. 13．12【解析】试题分析：因为0a b ⋅=，所以2sin 21cos 0θθ⨯−=，即2sin 2cos θθ=，所以22sin cos cos θθθ=； 因为20πθ<<，所以cos 0θ≠，故2sin cos θθ=，所以sin 1tan cos 2θθθ==，故答案为12. 14．12014xx+【解析】试题分析：111()1111x x f x x x x+−===−+++，0x ≥，11x ∴+≥，111x ∴≤+，1101x ∴−≥+，即()0f x ≥，当且仅当0x =时取等号，当0x =时，(0)0n f =；当0x >时()0f x >，1()(())n n f x f f x +=1()()1()n n n f x f x f x +∴=+，11()111()()()n n n n f x f x f x f x ++∴==+，即1111()()n n f x f x +−=，∴数列1()n f x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1()f x 为首项，以1为公差的等差数列11111(1)1(1)1()()1n nxn n x f x f x x x+∴=+−⨯=+−⨯=+ ()(0)1n x f x x nx ∴=>+，当0x =时，0(0)010n f ==+，()(0)1n x f x x nx ∴=≥+，2014()12014xf x x∴=+15【解析】试题分析：由柯西不等式得：22222()()()a b m n ma nb ++≥+，所以2225()5m n +≥，得225m n +≥≥16．3【解析】试题分析：由四边形BCFE 为圆内接四边形AEF C ⇒∠=∠，AFE B ∠=∠AEFACB ⇒∆∆⇒12AE EF AC BC ==，又因为6BC =，所以3EF =，故答案为3 17．1【解析】试题分析：直线sin()16πρθ−=化为直角坐标方程为11022y x −−=，点(2,)6π的直角坐标为，点到直线11022y x −−=的距离1|110|1d ⨯−===，故答案为1.18．（1）证明见解析；（2）34. 【解析】试题解析：（1）c b a ，，成等差数列2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=−+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）c b a ，，成等比数列22b ac ∴=由余弦定理得22222221cos 2222a cb ac ac a c B ac ac ac +−+−+===−2c a =22243cos 44a a B a +∴== 3cos 4B ∴=19．（1）23；（2）证明见解析.【解析】试题解析：（1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===AD ∴⊥平面BDC∴四面体体积11121223323BCD V AD S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= （2）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD === 由题设，BC ∥面EFGH ,面EFGH ⋂面BDC FG =,面EFGH ⋂面ABC EH =BC ∴∥FG ，BC ∥EH ，FG ∴∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，EF ∴∥HG . ∴四边形EFGH 是平行四边形 , 又,,BD AD AD DC BD DC D ⊥⊥⋂= ∴AD ⊥平面BDC AD BC ∴⊥ BC ∥FG ,EF ∥AD , EF FG ∴⊥ ∴四边形EFGH 是矩形20．（1）（2）m n y x −=−，1. 【解析】试题解析：解：(Ⅰ)2,3m n == ()()1,2,2,1,AB AC ==()()()221,22,12,233OP mAB nAC ∴=+=+=22OP ∴==(Ⅱ)()()()1,22,12,2OP mAB nAC m n m n m n ∴=+=+=++22x m ny m n =+⎧∴⎨=+⎩两式相减，得m n y x −=−令t y x =−，由图知，当直线y x t =+过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m n −的最大值为1.21．（1）0.27； （2）0.24 【解析】 试题解析：（1）设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得：150()0.151000P A ==，120()0.121000P B ==， 由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，所以其概率为：()()0.150.120.27P A P B +=+=设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11000⨯100=，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.212024⨯= 所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为240.24100= 由频率估计概率得()0.24P C =22．（1）22143x y +=（2）123y x =−+或123y x =−−.【解析】试题解析：（1）由题意可得,解得2,1a b c ===∴椭圆的方程为22143x y +=,由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=∴圆心到直线l 的距离为d =,由1d <1<，可得m <CD ∴===,设1122(,),(,)A x y B x y联立,整理得2230x mx m −+−=,可得：12x x m +=，2123x x m =−AB ∴==4AB CD =1=,解方程得3m =±，且满足2m <∴直线l 的方程为123y x =−+或123y x =−−23．（1）2；（2）当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点；（3）1[,)4+∞. 【解析】试题解析：（1）由题设，当m e =时，()ln ef x x x=+ 易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞221()e x ef x x x x−∴=−='∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上单调递减；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(,)e +∞上单调递增；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2e f e e e=+=∴()f x 的极小值为2（2）函数21()()(0)33x m xg x f x x x x '=−=−−> 令()0g x =，得31(0)3m x x x =−+> 设31()(0)3x x x x ϕ=−+≥ 2()1(1)(1)x x x x ϕ∴=−+=−−+'当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，此时()ϕx 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，此时()ϕx 在(1,)+∞上单调递减；所以1x =是()ϕx 的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是()ϕx 的最大值点，∴()ϕx 的最大值为12(1)133ϕ=−+=又(0)0ϕ=，结合y=()ϕx 的图像（如图），可知①当23m >时，函数()g x 无零点；②当23m =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203m <<时，函数()g x 有两个零点； ④0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点.（3）对任意()()0,1f b f a b a b a −>><−恒成立，等价于()()f b b f a a −<−恒成立设()()ln (0)mh x f x x x x x x=−=+−>， ()h x ∴等价于在(0,)+∞上单调递减21()10m h x x x∴=−−≤'在(0,)+∞恒成立 2211()(0)24m x x x x ∴≥−+=−−+>恒成立14m ∴≥（对14m =，x =0h '（）仅在12x =时成立），m ∴的取值范围是1[,)4+∞。
14年高考真题——文科数学(陕西卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|0M x x =≥，{}2|1,N x x x R =<∈，则M N =（ ）（A ）[]0,1 （B ）()0,1 （C ）(]0,1 （D ）[)0,1 2．函数()cos 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是( ) （A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π3．已知复数2z i =-，则z z ⋅ 的值为（ ） （A ）5 （B ）5 （C ）3 （D ）34．根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是( ) （A ）2n a n = （B ）()21n a n =- （C ）2n n a = （D ）12n n a -=5．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（ ） （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) （A ）1 （B ）2 （C ）35 （D ）457．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是( )（A ）()12f x x =（B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =8．原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 ( )（A ）真，真，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假9．某公司10位员工的月工资（单位：元）为1210,,,x x x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这个10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） （A ）x ，22100s +（B ）100x +，22100s +（C ）x ，2s（D ）100x +，2s10．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A ）x x x y --=232121 （B ）x x x y 3212123-+=（C ）x x y -=341 （D ）x x x y 2214123-+=二．填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．抛物线24y x =的准线方程为___________。
2014年高考(陕西卷)文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试(陕西)文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2014陕西，文1)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝()．A．[0,1] B．(0,1) C．(0,1] D．[0,1)答案：D解析：由于M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}＝{x|－1＜x＜1}，所以M∩N＝{x|0≤x ＜1}＝[0,1)，故选D.2．(2014陕西，文2)函数π()cos(2)4f x x+＝的最小正周期是()．A．π2B．πC．2πD．4π答案：B解析：函数f(x)的最小正周期为2π=π2，故选B.3．(2014陕西，文3)已知复数z＝2－i，则z z⋅的值为()．A．5 B C．3 D答案：A解析：z z⋅＝(2－i)·(2＋i)＝22－i2＝4－(－1)＝5，故选A.4．(2014陕西，文4)根据下边框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是()．A．a n＝2n B．a n＝2(n－1)C．a n＝2n D．a n＝2n－1答案：C解析：由程序框图可知a1＝2×1＝2，a2＝2×a1＝2×2＝4，a3＝2a2＝2×4＝8，…，因此在{a n}中满足a1＝2，a n＝2a n－1.所以{a n}是首项和公比均为2的等比数列，故a n＝2·2n－1＝2n，故选C.5．(2014陕西，文5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()．A．4πB．3πC．2πD．π答案：C解析：依题意，知所得几何体是一个圆柱，且其底面半径为1，母线长也为1，因此其侧面积为2π×1×1＝2π，故选C.6．(2014陕西，文6)从正方形4个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )．A ．15 B ．25 C ．35 D ．45答案：B解析：设正方形的四个顶点为A ，B ，C ，D ，中心为O ，从这5个点中任取2个点，一共有10种不同的取法：AB ，AC ，AD ，AO ，BC ，BD ，BO ，CD ，CO ，DO ，其中这2个点的距离小于该正方形边长的取法共有4种：AO ，BO ，CO ，DO .因此由古典概型概率计算公式，可得所求概率42105P ==，故选B. 7．(2014陕西，文7)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )． A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3xC ．12()f x x = D ．1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭答案：B解析：对于函数f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3， f (x )f (y )＝x 3·y 3，而(x ＋y )3≠x 3y 3，所以f (x )＝x 3不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故A 错误；对于函数f (x )＝3x ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ＝f (x )f (y )，因此f (x )＝3x 满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x 是单调递增函数，故B 正确； 对于函数12()f x x =，12()()f x y x y +=+，()()111222()f x f y x y xy =＝，而1122()()x y xy +≠，所以()12f x x ＝不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故C 错误； 对于函数()1)2xf x ＝(，()()111())()()222x yx y f x y f x f y ++==⋅=(， 因此1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭不是单调递增函数，故D 错误．8．(2014陕西，文8)原命题为“若12nn n a a a ++<，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )．A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 答案：A解析：由12n n n a a a ++<，得a n ＋a n ＋1＜2a n ，即a n ＋1＜a n ， 所以当12nn n a a a ++<时，必有a n ＋1＜a n ， 则{a n }是递减数列；反之，若{a n }是递减数列，必有a n ＋1＜a n ，从而有12n n n a a a ++<. 所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均为真命题，故选A. 9．(2014陕西，文9)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )．A ．x ，s 2＋1002B ．100x +，s 2＋1002C ．x ，s 2D ．100x +，s 2 答案：D解析：由题意，得121010x x x x +++=，222212101[()()()]10s x x x x x x =-+-++-．因为下月起每位员工的月工资增加100元， 所以下月工资的均值为121010010010010x x x (+)+(+)++(+)＝12101010010010x x x x (+++)+⨯)=+， 下月工资的方差为110[(x 1＋100－x －100)2＋(x 2＋100－x －100)2＋…＋(x 10＋100－x－100)2]＝110[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 10－x )2]＝s 2，故选D. 10．(2014陕西，文10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )．A ．321122y x x x =-- B ．3211322y x x x =-- C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+-答案：A解析：由已知图形，可知该三次函数有0和2两个零点，因此可设其解析式为y ＝ax (x －2)(x ＋m )．因为y ＝ax (x －2)(x ＋m )＝ax 3＋amx 2－2ax 2－2amx ， 所以y ′＝3ax 2＋2amx －4ax －2am .又因为直线y ＝－x 和y ＝3x －6分别是该三次函数图象在点(0,0)和(2,0)处的切线，由导数的几何意义知y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，于是有21,124823,am a am a am -=-⎧⎨+--=⎩解得1,21.a m ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以所求三次函数的解析式为321122y x x x =--，故选A. 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2014陕西，文11)抛物线y 2＝4x 的准线方程为__________． 答案：x ＝－1解析：在抛物线y 2＝4x 中，由2p ＝4，得12p=. 又因为其开口向右，故其准线方程为x ＝－1.12．(2014陕西，文12)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝__________.解析：由4a＝2，可得41log 2=2a =.所以1lg 2x =，即1210x ==13．(2014陕西，文13)设π02θ<<，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b＝0，则tan θ＝__________.答案：12解析：由a ·b ＝0，可得sin 2θ－cos 2θ＝0，即2sin θcos θ－cos 2θ＝0， 整理得cos θ(2sin θ－cos θ)＝0. 又因为π02θ<<，所以cos θ≠0. 所以2sin θ－cos θ＝0，即2sin θ＝cos θ. 所以sin 1tan cos 2θθθ==. 14．(2014陕西，文14)已知()1xf x x=+，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 014(x )的表达式为__________． 答案：12014xx+解析：依题意，()()11x f x f x x ==+，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x＝x1＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝1()11211xx xx f x x xx +==++++，…， 由此可猜测()1n x f x nx =+，故f 2 014(x )＝12014xx+.15．(2014陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5的最小值为__________．解析：由柯西不等式，可得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，所以5(m 2＋n 2)≥25.所以m 2＋n 2≥5an ＝bm 时，等号成立．的最小值为 5.B ．(几何证明选做题)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝__________.答案：3解析：由圆内接四边形的性质，可知∠AEF ＝∠ACB ，∠AFE ＝∠ABC ， 所以△AEF ∽△ACB . 所以AE EFAC CB=. 又因为AC ＝2AE ，CB ＝6，所以EF ＝12×6＝3. C ．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线πsin =16ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离是______．答案：1解析：点π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为ππ2cos ,2sin 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，即，又πsin =16ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭1sin cos 12θρθ-=，所以该直线的直角坐标方程为2=0x +.由点到直线的距离公式，可得1d ==.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)． 16．(本小题满分12分)(2014陕西，文16)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．分析：在第(1)问中，由a ，b ，c 成等差数列，可得a ，b ，c 间的等量关系，然后利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，同时结合(A ＋C )＋B ＝π.运用诱导公式可证得结论；在第(2)问中，由a ，b ，c 成等比数列，可得a ，b ，c 间的等量关系，结合c ＝2a 可将b 边也用a 表示，然后运用余弦定理写出cos B 的表达式并化简，即得其值．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b =.由余弦定理得222222423cos 244a cb a a a B ac ac +-+-===. 17．(本小题满分12分)(2014陕西，文17)四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．分析：在第(1)问中，由三视图可知，四面体ABCD中棱DA，DB，DC的位置关系以及这三条棱的长度，然后套用锥体体积公式可求得该四面体的体积；在第(2)问中，应先证四边形EFGH为平行四边形，这可由线面平行的性质定理证得，然后再证两相邻边垂直，这可由线面垂直的性质证得．(1)解：由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC.∴四面体体积112221=323 V=⨯⨯⨯⨯.(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH.∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．18．(本小题满分12分)(2014陕西，文18)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP mAB nAC=+(m，n∈R)．(1)若23m n==，求||OP；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．分析：在第(1)问中，由于m，n的值已知，因此可利用向量的坐标运算法则直接求出OP 的坐标，然后套用公式求得||OP；在第(2)问中，根据向量的坐标运算法则将OP用m，n 表示，然后结合向量相等的条件即可用x，y将m－n表示出来，最后可用线性规划问题的一般解法求得m－n的最大值．解：(1)∵23m n==，(1,2)AB=，(1,2)AC=，∴22(1,2)(2,1)(2,2)33OP =+=．∴2||2OP =+(2)∵OP ＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴2,2,x m n y m n =+⎧⎨=+⎩两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.19．(本小题满分12分)(2014陕西，文19)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．分析：在第(1)问中，可先用频率估计概率，得到赔付金额为3 000元、4 000元时对应事件的概率，然后将欲求概率的事件转化为两互斥事件的和，即可求得其概率；在第(2)问中，应分别计算出在已投保车辆中，车主为新司机的车辆数以及赔付金额为4 000元的车主为新司机的车辆数，然后求出新司机车主获赔金额为4 000元的频率，最后以频率估计概率即得．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得()1500.151000P A =＝，()1200.121000P B =＝.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24=0.24100， 由频率估计概率得P (C )＝0.24.20．(本小题满分13分)(2014陕西，文20)已知椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)经过点，离心率为12，左右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程； (2)若直线l ：12y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||||4AB CD =，求直线l 的方程． 分析：第(1)问中，可由两已知条件及a 2＝b 2＋c 2建立参数a ，b ，c 的方程组，求出a ，b的值即得椭圆方程；在第(2)问中，求直线l 方程的关键是求出参数m 的值，可根据圆中的弦长公式将|CD |用m 表示，再将直线l 的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式结合根与系数的关系将|AB |用m 表示出来，然后再由条件||||CD AB =建立关于m 的方程，求解得到m 的值即可求出l 的方程．解：(1)由题设知2221,2,b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩解得a ＝2，b c ＝1.∴椭圆的方程为22=143x y +. (2)由题设知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l的距离d = 由d ＜1得||2m <.(*)∴||CD ===设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得x 2－mx ＋m 2－3＝0， 由求根公式可得x＋x ＝m ，x x＝m 2－3.∴||AB ==由||||4AB CD =1=，解得3m =±，满足(*)．∴直线l 的方程为123y x =-+或122y x =--.21．(本小题满分14分)(2014陕西，文21)设函数()ln mf x x x=+，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数()()3xg x f x '-＝零点的个数； (3)若对任意b ＞a ＞0，1f b f a b a()-()<-恒成立，求m 的取值范围． 分析：在第(1)问中，由于m 的值已知，可按求函数极值的一般步骤求得f (x )的极小值；在第(2)问中，讨论函数g (x )零点的个数，即研究方程g (x )＝0根的个数，然后将问题转化为讨论直线y ＝m 与函数φ(x )的图象交点个数的问题，从而可研究φ(x )的单调性、极值．画出φ(x )的图象通过数形结合的方法求解；在第(3)问中，将已知不等式1f b f a b a()-()<-等价转化为函数f (x )－x 在(0，＋∞)上的单调性，然后借助导数，再转化为不等式的恒成立问题，即可求得m 的取值范围．解：(1)由题设，当m ＝e 时，()e ln f x x x =+，则()2e x f x x-'＝， ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee＝2， ∴f (x )的极小值为2. (2)由题设()()2133x m xg x f x x x ='-=-- (x ＞0)， 令g (x )＝0，得313m x x =-+(x ＞0)， 设31()3x m x x ϕ=-+(x ≥0)， 则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为2(1)3ϕ=. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图)，可知①当23m >时，函数g (x )无零点； ②当23m =时，函数g (x )有且只有一个零点；③当203m <<时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当23m >时，函数g (x )无零点； 当23m =或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点； 当203m <<时，函数g (x )有两个零点．(3)对任意的b ＞a ＞0，1f b f a b a()-()<-恒成立， 等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立． 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx－x (x ＞0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由()2110mh x x x '--≤=在(0，＋∞)恒成立， 得m ≥－x 2＋x ＝21124x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(x ＞0)恒成立，∴111=,0=442m m h x x ⎛⎫≥'()= ⎪⎝⎭对仅在时成立，∴m 的取值范围是14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷,解析版)
2014年陕西高考文科数学试题〔文〕一．选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，如此M N =〔 〕.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D【答案】 D 【解析】D N M N M 选，).1,0[∩∴),11-(),∞,0[==+=2.函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是〔 〕 .2A π.B π.2C π.4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω复数 Z = 2 - 1，如此Z .z 的值为〔 〕 A.5 B.5 C.3 D.3 【答案】 A 【解析】A z z i z i z 选.514,2∴,-2=+=+==4.根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是〔 〕.2n A a n =.2(1)n B a n =-.2n n C a =1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】Cq a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是〔 〕A.4πB.8πC.2πD.π 【答案】 C 【解析】C r S r 选个圆：，则侧面积为，高为为旋转体为圆柱，半径.2ππ*22112==6.从正方形四个顶点与其中心这5个点中，任取2个点，如此这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为〔 〕1.5A 4.5D【答案】 B 【解析】如下函数中，满足“()()()f x y f x f y +=〞的单调递增函数是〔 〕〔A 〕()12f x x = 〔B 〕()3f x x = 〔C 〕()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 〔D 〕()3xf x =【答案】 B 【解析】B y f x f y x f B D y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“假设12,z z 互为共轭复数，如此12z z =〞，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的答案是〔 〕〔A 〕真，假，真 〔B 〕假，假，真 〔C 〕真，真，假 〔D 〕假，假，假 【答案】 A 【解析】9.某公司10位员工的月工资〔单位:元〕为x1，x2，''',x10 ，其均值和方差分别为x 和s2，假设从下月起每位员工的月工资增加100元，如此这个10位员工下月工资的均值和方差分别为〔 〕〔A 〕x ，s2+1002 〔B 〕x +100, s2+1002 〔C 〕 x ,s2 〔D 〕x +100, s2【答案】 D 【解析】D 选不变均值也加此数，方差也样本数据加同一个数，.10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道为某三次函数图像的一局部，如此该函数的解析式为〔 〕x x x y --=232121 〔B 〕x x x y 3212123-+= 〔C 〕x x y -=341 〔D 〕xx x y 2214123-+=【答案】 A 【解析】填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每一小题5分，共25分〕.抛物线24y x =的准线方程为___________. 【答案】 -1x = 【解析】.-1x (1,0),∴,42==准线方程焦点x y,lg ,24a x a ==如此x =________.【答案】 10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以，13. 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，假设0=⋅b a ，如此=θtan ______. 【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 20,θcos -θ2sin ∴0).θcos -,1(),θcos ,θ2(sin 22====•==解得即，b a b a f 〔x 〕=x x+1，x ≥0, f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n ∈N+, 如此f2014(x)的表达式为__________.【答案】 x x20141+【解析】.20141)(,31211,21)(,2111,1)(∴)),(()(,,1)()(,20143211x xx f x x xx x xx f x x x x x x x f x f f x f x x x f x f n n +=+=+++=+=+++==+==+经观察规律，可得15.〔考生注意：请在如下三题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第一题评分〕.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，的最小值为.B 〔几何证明选做题〕如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，假设2AC AE =,如此EF =.C 〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1 【解析】 A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CB EFAC AE ACB AEF ，且相似与C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点16. 〔本小题总分为12分〕ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. 〔I 〕假设c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； 〔II 〕假设c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 【答案】 〔1〕 省略 〔2〕43【解析】 〔1〕C)sin(A 2sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+= 即成等差，c b a〔2〕.43cosB 434a 2a -4a a 2ac b -a cosB a 2b .∴2ac b ∴,,2222222222==+=+====所以，，，且成等比，c a c c b a〔本小题总分为12分〕四面体ABCD 与其三视图如下列图，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面体的棱CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,.〔1〕求四面体ABCD 的体积； 〔2〕证明：四边形EFGH 是矩形.【答案】 〔1〕 32〔2〕 省略【解析】 〔1〕32ABCD 32122213131BCD -A .BCD -A AD ∴BCD ⊥AD DC,⊥BD Δ,ΔΔBCD -A 的体积为所以，四面体的体积所以，三棱锥的高为三棱锥面且为等腰由题知，=••••=•=AD S V RT BCD BCD〔2〕.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====18.〔本小题总分为12分〕在直角坐标系xOy 中，点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域〔含边界〕上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈.假设23m n ==，求||OP ；〔2〕用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【答案】 〔1〕 22 〔2〕 m-n=y-x, 1【解析】 〔1〕22|OP |22|OP |∴(2,2),OP ∴(2,2))3,3(32)]1,2()2,1[(32)AC AB (32AC AB OP ∴32),,(),2,3(),3,2(),11(22==+====+=+=+===所以，，y x n m n m y x P C B A 〔2〕1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x,(∴,AC AB OP 最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=〔本小题总分为12分〕某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进展抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：〔I 〕假设每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；〔II 〕在样本车辆中，车主是新司机的占10％，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20％，估计在已投保车辆中，新司机赔获金额为4000元的概率。
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（2）设 OP mAB nAC(m, n R) ，用 x, y 表示 m n ，并求 m n 的最大值.
2014 陕西文数答案：
1D 2B 3A 4C 5C 6B 7B8 A9 D10 A
11. x =—1
12.
10
1
13.
14.
x
15.A 5 B.3 C.1
2 1 2014x
16.
19.
20.
17. 18.
21.
（I）若 a，b，c 成等差数列，证明： sin A sin C 2sinA C ；
（II）若 a，b，c 成等比数列，求 cosB 的最小值.
17. （本小题满分 12 分）
四面体 ABCD及其三视图如图所示，过被 AB 的中点 E 作平行于 AD ， BC 的平面分 别交四面体的棱 BD，DC，CA 于点 F ，G，H .
8.原命题为“若 z1, z2 互为共轭复数，则 z1 z2 ”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，
正确的是（ ） （A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假 9.某公司 10 位员工的月工资
（单位:元）为 x1，x2，''',x10 ，其均值和方差分别为 x 和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这个
10 位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
（A） x ，s2+1002 （B） x +100, s2+1002 （C） x ,s2 （D） x +100, s2
10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 （）
A.an 2n B.an 2(n 1) C.an 2n D.an 2n1
20.（本小题满分 13 分）
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)经过
点 (0,
3) ，离心率为 1 ，左右焦点分别为 F1（—c,0）. 2
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线 l ：y= 1 x m 与椭圆交与以 F1F2 为直径的圆交与 C,D 两点，且满足 | AB | 5 3 , 求直线 l 的方
2014 年陕西高考文科数学试题（文）
7.下列函数中，满足“ f x y f x f y ”的单调递增函数是（ ）
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.
1.已知集合
A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1) 2.函数 f (x) cos(2x ) 的最小正周期是（ ）
2
| CD | 4
程。
18.（本小题满分 12 分）
在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1), B(2,3),C(3,2) ，点 P(x, y) 在 ABC三边围成的
区域（含边界）上
（1）若 PA PB PC 0 ，求 OP ；
21.（本小题满分 14 分）
设函数 f (x) ln(1 x), g(x) xf '(x), x 0 ，其中 f '(x) 是 f (x) 的导函数. （1） g1(x) g(x), gn1(x) g(gn (x)), n N ，求 gn (x) 的表达式； （2）若 f (x) ag(x) 恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）设 n N ，比较 g(1) g(2) g(n) 与 n f (n) 的大小，并加以证明.
19.（本小题满分 12 分） 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
C. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点 (2, ) 到直线 sin( ) 1的距离是
6
6
16. （本小题满分 12 分）
ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c .
6 A. B. C.2 D.4
2 3.已知复数 Z = 2 - 1，则 Z . z 的值为（ ） A.5 B. 5 C.3 D. 3 4.根据右边框图，对大于 2 的整数 N ，得出数列的通项公式是（ ）
则M N （ ）
1
（A） f x x2
（B） f x x3
（C）
f
x
1 2
x
（D） f x 3x
13.
设0
，向量 a
sin
2
，cos
，b cos
，1
，若
a
//
b
，则
tan
_______.
2
14.已知 f（x）= x ，x≥0, f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n N+, 则 f2014(x)的表达式为__________. 1 x
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
5.将边长为 1 的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（ ）
A.4 B.8 C.2 D.
6.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 55 55
（A） y 1 x3 1 x2 x （B） y 1 x3 1 x2 3x
22
22
（C） y 1 x3 x 4
（D） y 1 x3 1 x2 2x 42
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 2方程为___________.
12.已知 4a 2, lg x a, 则 x =________.