2012数学强化讲义---张伟---概率

1、事件的独立性 2、独立重复试验
例14 设0 < P( A) < 1, 0 < P(B) < 1, 且P(B | A) + P(B | A) = 1,则必有 ( A)P( A | B) = P( A | B) (B)P(A | B) ≠ P(A | B) (C)P( AB) = P( A)P(B) (D)P( AB) ≠ P( A)P(B)
-6-
第二讲 一维随机变量及其分布
随机变量及其概率分布主要考点
1、随机变量的分布函数 2、离散型随机变量的概率分布 3、连续型随机变量的概率密度 4、常见随机变量的概率分布及其应用 5、随机变量函数的分布
一、随机变量的分布函数
例1
设随机变量X的分布函数为
⎧ 0,
F
(x)
=
⎪5 ⎪⎨16 ⎩
x+ 1,
概率论与数理统计
概率论和数理统计六大类考点
1、随机事件和概率 2、一维随机变量及其分布 3、多维随机变量及其分布 4、随机变量的数字特征 5、大数定律和中心极限定理 6、数理统计的基本概念、参数估计和假设检验
第一讲 随机事件和概率
随机事件和概率部分主要考点
1、随机事件的关系与运算 2、古典型概率与几何型概率 3、概率与条件概率的性质与基本公式 4、事件的独立性与独立重复试验
例20 设事件A, B, C两两独立, 且ABC = φ, P( A) = P(B) = P(C).A, B, C至少有 一个发生的概率为 9 , 求P( A).
16
例21
已知P( A) = a, P(B) = b, A与B独立,
如果C发生, 必然导致A与B同时发生,
则A, B, C都不发生的概率为
P(B | A) = 0.2,
则P( A) =
.
例9 设事件A, B同时发生时, 事件C一定发生, 则 ( A) P(C) ≤ P( A) + P(B) −1. (B) P(C) ≥ P( A) + P(B) −1. (C) P(C) = P( AB). (D) P(C) = P(A ∪ B).
例10
.
例22 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击 命中目标的概率为p(0 < p < 1),则此人第4次 射击恰好第2次命中目标的概率为 ( A) 3 p(1− p)2. (B) 6 p(1− p)2. (C) 3 p2 (1− p)2. (D) 6 p2 (1− p)2.
例23 做一系列独立试验, 每次试验成功的概率 都是p, 试求下列事件的概率 : A ="4次失败在第3次成功之前"; B ="成功10次之前至多失败2次"; C ="现进行n次重复试验,已知试验没有 全部失败, 成功不止一次".
⎪⎩ 0
若x ∈[ 0, 1 ], 若x ∈[ 3, 6 ],
其他.
若使得P{X ≥ k}= 2 , 则k的取值
3
范围是 ______
例11
设随机变量X的密度函数为ϕ(x),且ϕ(−x) = ϕ(x).
F (x)是X的分布函数, 则对任意实数a, 有
∫ ∫ ( A) F (−a) = 1− aϕ(x)dx. (B) F (−a) = 1 − aϕ(x)dx.
-4-
例15 已知A, B, C三事件中A与B相互独立， P(C) = 0, 则A, B, C三事件 ( A) 相互独立 (B) 两两独立， 但不一定相互独立 (C) 不一定两两独立 (D) 一定不两两独立
例16 对于任意二事件A和B， ( A)若AB ≠ φ， 则A, B一定独立. (B)若AB ≠ φ， 则A, B有可能独立. (C)若AB = φ， 则A, B一定独立. (D)若AB = φ， 则A, B一定不独立.
是女生表的概率q.
例13 已知100件产品中有10件正品, 90件次品. 每次使用 正品时肯定不会发生故障, 而在每次使用次品时, 有10%的可能性发生故障. 现从100件产品中随机地 抽取一件, 若使用了n次均未发生故障, 则n至少为 多大时, 才能有70%以上的把握认为该产品为正品.
四、事件的独立性与独立重复试验
f2 (x)为[−1,3]上的均匀分布的概率密度,
若f
(x)
=
⎩⎨⎧baff21
(x) (x)
则应a, b满足
x ≤ 0 (a > 0,b > 0)为概率密度, x>0
( A) 2a + 3b = 4 (B) 3a + 2b = 4
(C) a + b = 1. (D) a + b = 2
五、随机变量函数的分布
2
2
-7-
二、离散型随机变量的概率分布
例3 设随机变量X服从参数为1的泊松分布, 则P( X = EX 2 ) = .
例4 设随机变量X的概率分布为P( X = k) = c ，
k! k = 0,1,2,...,则EX 2 = .
三、连续型随机变量的概率密度
例5 设X1和X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量, 它们的概率密度分别为f1(x)和f2 (x), 分布函数分别 为F1(x)和F2 (x), 则 ( A) f1(x) + f2 (x)必为某一随机变量的概率密度. (B) f1(x) f2 (x)必为某一随机变量的概率密度. (C) F1(x) + F2 (x)必为某一随机变量的分布函数. (D) F1(x)F2 (x)必为某一随机变量的分布函数.
f
(
x)
=
⎧ ⎨
Ae−
x
⎩0
x > λ,A为常数, λ > 0, x ≤ λ.
则：P(λ < X < λ + a) (a > 0)
( A) 与a无关,随λ增大而增大;
(B) 与a无关,随λ增大而减小;
(C) 与λ无关,随a增大而增大;
(D) 与λ无关,随a增大而减小.
例10
设随机变量X的概率密度为
⎧1 3 f (x) = ⎪⎨2 9
0
20
(C) F (−a) = F (a).
(D) F (−a) = 2F (a) −1.
四、常见随机变量的概率分布及其应用
-9-
例12
已知X ~ U (a, b), (a > 0), P(0 < X < 3) = 1 , 且关于t的方程
4 t 2 + 4t + X = 0无实根的概率为 1 .求
-3-
例11
从数1, 2, 3, 4中任取一个数, 记为X ,
再从1, , X中任取一个数, 记为Y ,
则P{ Y = 2 }=
.
例12 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名 表, 其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地 取一个地区的报名表, 从中先后抽出两份. (1)求先抽取的一份是女生表的概率p; (2)已知后抽到的一份是男生表, 求先抽到的一份
-5-
例19
将一枚硬币独立地掷两次, 引进事件 :
A1 = {掷第一次出现正面}, A2 = {掷第二次出现正面}, A3 = {正反面各出现一次}, A4 = {正面出现两次},则事件
( A) A1, A2 , A3相互独立. (B) A2 , A3, A4相互独立. (C) A1, A2 , A3两两独立. (D) A2 , A3, A4两两独立.
一、随机事件的关系与运算
例1
从一批产品中每次一件抽取三次,用Ai (i = 1,2,3)表示事 件 :"第二次抽取到的是正品".试用文字叙述下列事件 :
(1) A1A2 ∪ A2 A3 ∪ A1A3; (3) A1 ∪ A2 ∪ A3; 再用表示下列事件 :
(2) A1A2 A3; (4) A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3
例17 对于任意二事件A和B,已知0 < P( A) < 1, 则 ( A)若A ⊂ B， 则A, B一定不独立. (B)若B ⊂ A， 则A, B一定不独立. (C)若AB = φ， 则A, B一定不独立. (D)若A = B， 则A, B一定不独立.
例18 设A, B,C是相互独立的随机事件, 且0 < P( AC) < P(C) < 1.则在下列 给定的四对事件中不相互独立的是 ( A) A + B与C. (B) AC与C. (C) A − B与C. (D) AB与C.
P{2 < X < 4}= 0.3,则P{X < 0}= ___ .
例16 设X ~ N (μ,σ 2 ), F (x)为其分布函数, μ < 0, 则对于任意实数a, 有 ( A) F (−a) + F (a) > 1. (B) F (−a) + F (a) = 1. (C) F (−a) + F (a) < 1. (D) F(μ − a) + F(μ + a) = 1 .
例6 设F1(x)与F2 (x)为两个分布函数, 其相应的概率密度f1(x)与f2 (x) 是连续函数, 则必为概率密度的是
( A) f1(x) f2 (x)(B) 2 f2 (x)F1(x) (C) f1(x)F2 (x) (D) f1(x)F2 (x) + f2 (x)F1(x)
例7 已知随机变量Ｘ的概率密度函数
2
例17 设随机变量 X 服从正态分布 N (0,1), 对给定 的 α (0 < α < 1),数 uα 满足 P( X > uα ) = α , 若 P( X < x) = α ,则 x 等于
( A) uα
2
(B) u1−α 2
(C) u1−α
2
(D) u1−α
- 10 -
例18
设f1 ( x)为标准正态分布的概率密度,
二、古典型概率与几何形概率
例4 从5双不同的鞋中任取4只, 求这 4只鞋中至少有两只 能配成一双的概率.
例5
{ } 随机地向半圆 (x, y) | 0 < y < 2ax − x2
(其中a > 0, 是常数)内掷一点， 则原点和
该点的连线与x轴的夹角小于 π 的概率为 . 4
例6
在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则这两个数之差的绝对值小于
1 的概率为
.
2
-2-
三、概率与条件概率
1、基本性质 2、重要公式
例7
随机事件A, B, 满足P( A) = P(B) = 1 2
和P( A ∪ B) = 1, 则有 ( A) A ∪ B = Ω (B) AB = φ
(C)P( A ∪ B) = 1 (D)P( A − B) = 0
例8 已知P( A ∪ B) = 0.6,
2 (1) X的概率密度; (2) P(1 < X < 5).
例13 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P( X > DX ) = .
例14 设随机Baidu Nhomakorabea量X的密度为f (x) = Ae−x2 +x , − ∞ < x < +∞, 试求常数A.
例15 若随机变量X服从均值为2， 方差为σ 2的正态分布，且
设X ,Y为随机变量, 且P( X ≥ 0,Y ≥ 0) = 3 , 7
P( X ≥ 0) = P(Y ≥ 0) = 4 , 试求下列事件的概率 : 7
A = { max(X ,Y ) ≥ 0 };
B = { max(X ,Y ) < 0, min(X ,Y ) < 0 };
C = { max(X ,Y ) ≥ 0, min(X ,Y ) < 0 }.
7 16
,
x < −1, −1 ≤ x < 1,
x ≥ 1.
则P( X 2 = 1) = .
例2 设随机变量X的分布函数为
⎧ 0,
F
(
x)
=
⎪ ⎨ ⎪ ⎩1
1, 2 − e−
x
,
则P( X = 1) =
x < 0, 0 ≤ x < 1,
x ≥ 1. .
( A)0 (B) 1 (C) 1 − e−1 (D)1− e−1
例19 设随机变量X的概率密度为
⎧ ⎪
1
,
f
x
(
x)
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
2 1
4
,
⎪
⎪⎩ 0,
−1 ≤ x < 0, 0 ≤ x < 2,
其他.
令Y = X 2 , 试求Y的概率密度fY ( y).
f (x) = 1 e− x , − ∞ < x < +∞, 2
则Ｘ的概率分布函数Ｆ(x) = ___ .
-8-
例8 设随机变量Ｘ的概率密度为
f
(x)
=
⎧1 − ⎨
x,
⎩ 0,
x <1 其他.,
试求
(1) X的分布函数F (x);
(2) 概率P(−2 < X < 1 ). 4
例9
设随机变量X的概率密度为
(5)都取到正品;
(6)至少有一件次品;
(7)只有一件次品;
(8)取到次品不多于一件
-1-
例2 A, B为任意两事件,则事件 ( A − B) ∪ (B − C)等于事件 ( A) A − C (B) A∪ (B − C) (C) ( A − B) − C (D) ( A ∪ B) − BC
例3 设事件A和B满足条件AB = AB, 则 ( A) A ∪ B = φ. (B) A ∪ B = Ω. (C) A ∪ B = A. (D) A ∪ B = B.