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2 3
解法方程，得到 a0 0.8732 ， a1 1.6902 ， 故，所求最佳平方逼近多项式为 S1*(x) 0.8732 1.6902x
例 4、 用
n
4
的复合梯形和复合辛普森公式计算积分
9
1
xdx 。
解：
（1）用 n 4 的复合梯形公式
由于 h 2 ， f x x ， xk 1 2k k 1, 2,3，所以，有
1
4
x1
1 5
x2
1 6
x3
9
1 3
x1
1 4
x2
1 5
x3
8
1 2
x1
x2
2x3
8
4
解：
设
1 1 1
4
A
1 3 1
2
5 1 4
1
6
1
1 5
2
l21 l31
0 1 l32
0 u11
0
0
1 0
u12 u22 0
u13
u23
LU
u33
则由 A LU 的对应元素相等，有
3
4
k 0
f
x
k
1 2
3
2
k 1
f
xk
f
9]
1[1 4 2 4 6 8 2 3 5 7 3] 3
17.3321
例 5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
1128xx1133xx223xx33
15 15
x1 x2 x3 6
解：先消元
12 3 3 15
u11
1 4
， u12
1 5
，
u13
1 6
，
l21u11
1 3
l21
4 3
，
l31u11
1 2
l31
2
，
l21u12
u22
1 4
u22
1 60
，
l21u13
u23
1 5
u23
1 45
，
l31u12
l32u22
1
l32
36
， l31u13
l32u23
u33
2
u33
13 15
因此，
1 1 1
1
A
LU
4
3
0 1
0
4
0
0
5 1
60
6
1 45
2
36
1
0
0
13
15
1
解
Ly
b
，即
4
3
2
0 1 36
0
0
1
y1 y2 y3
9 8 8
，得
y1
9，
y2
4
，
y3
154
1 1 1
4
解 Ux
y
，即
0
0
5 1
60
0
6
1 45
13
x1
x2
x3
9
4
154
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
x 1
1x 2 11 2
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1 2
x
1x
2
l2
(
x)
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
x 2
1x 12
1 1
1 3
x
1x
1
故所求二次拉格朗日插值多项式为
2
L2 (x) yklk x k 0
3
1 6
x
1x
2
0
1 2
x
1x
2
4
1 3
例 1、 已知函数表
x
-1
1
2
f (x)
-3
0
4
求 f (x) 的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。
解：
（1） 由题可知
xk -1 1 2
yk -3 0 4
插值基函数分别为
l0
(x)
x x0
x1 x1
x x2 x0 x2
x 1
1x 2 11 2
1 6
x
1x
2
l1 ( x)
1
0,0 1dx 1,
0
1
,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
,
1
f ,0
0
x2 3x 2
dx 23 6
1
f ,1 x
0
x2 3x 2
dx 9 4
所以，法方程为
1
1
2
1 2 1 3
a0
a1
23 6 9 4
，经过消元得
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
2
6
5 x2 3 x 7 6 23
例 2、 设 f (x) x2 3x 2 ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0,
span1, x的最佳平方逼近多项式。
1]上关于 (x) 1 ，
解：
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，且 (x) 1 ，这样，有
，得
x3
177.69
，
x2
476.92
，
A b 18 3 1 15
1 1 1 6
18 3 1 15
r1r2
12
3 3
15
1 1 1 6
mm321111238,,第第11行行（（））mm第2第311 23行行第第23行行
18 0 0
3 1 76
1 73 17 18
15
5
31 6
18 3 1 15
r2 r3
0
7 6 17 18 31 6
f x1, x2
34 2
5
x0 x2
1 2 6
1
均差表为 xk f (xk ) 一阶 二阶
-1 -3 10 24
3/2 4 5/6
故所求Newton二次插值多项式为
P2 x f x0 f x0, x1x x0 f x0, x1, x2 x x0 x x1
3 3 x 1 5 x 1x 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
x
1x
1
1 x 1x 2 4 x 1x 1
2
3
5 x2 3 x 7 6 23
（2）一阶均差、二阶均差分别为
f x0 , x1
f x0 f x1
x0 x1
3 0 3 11 2
f
x1, x2
f
x1 f x2 0 4
x1 x2
1 2
4
f x0 , x1, x2
f x0 , x1
0 1 7 3 5
m32 76,第2行（）m第323行第3行
18 0
3 76
1 17 18
15
31
6
0 0 22 7 66 7
再回代，得到 x3 3 ， x2 2 ， x1 1
所以，线性方程组的解为 x1 1， x2 2 ， x3 3
例 6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。