4整式的加减(第3课时)
北师大版七年级上册数学 3.4 第3课时 整式的加减 教学课件
2ab +2）bccm2+2ca
大纸盒的表面积是（ （1）做这两个纸盒共用料
6ab + 8b）c cm2+ 6ca
（2ab+2bc+2ca）+（6ab+8bc+6ca）
=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca =(8ab+10bc+8ca) (cm2 ).
2c
2b 1.5a
（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？ 小纸盒的表面积是（2ab+2bc+2ca）cm2 大纸盒的表面积是（6ab+8bc+6ca）cm2
1 (4)( a3 3－2a－6)－ (
a31－4a1－7) 22
答案：(1)
8ab3 a3b5a2b; (2)5m 23m n3n2; 3
(3)7.5x7.8y; (4) 1 a 3 5 ;
12
2
5.某公司计划砌一个形状如下图（1）的喷水池，后有人建议改为如下 图（2）的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够， 请你比较两种方案，哪一种需用的材料多（即比较两个图形的周长）？ 若将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？
解：可能． 理由：A－B＋C ＝(－6x2＋4x)－(－x2－3x)＋(5x2－7x＋1) ＝－6x2＋4x＋x2＋3x＋5x2－7x＋1 ＝1.
由于结果中不含x，所以不论x取何值，A－B＋C的值都是1.
二 整式的加减的应用
例4 一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元.
小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2支；小明买这种
八字诀
去括号、合并同类项
典例精析
3.4第3课时整式的加减(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
d.实际问题转化为整式加减问题：学生可能难以将现实生活中的问题抽象成整式加减运算。
-突破方法：通过案例分析、小组合作等方式，引导学生学会提取问题中的关键信息，并将其转化为数学表达式，逐步培养数学建模的能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《整式的加减》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算多个物品价格总和或长度、面积等总量的问题？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的整式加减密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索整式的加减的奥秘。
课堂上，我发现理论介绍部分，学生对整式的定义和概念掌握得相对顺利。然而，在案例分析时，一些学生在处理具体问题时还是显得有些吃力。特别是在合并同类项和去括号这两个重点上，需要我反复举例和解释。我意识到，这些概念虽然基础，但对一些学生来说仍然具有挑战性。
实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们积极参与，但我观察到有些小组在讨论时，个别成员参与度不高。在未来的教学中，我需要更加注意平衡小组成员之间的互动，确保每个学生都能充分参与到讨论和学习中来。
1.强化基础知识的教学，确保每个学生都能跟上教学进度。
2.增加课堂互动，鼓励更多学生参与到讨论和实验操作中来。
3.提高问题的针对性，引导学生深入思考，培养他们的问题解决能力。
人教版数学七年级上册整式的加减第3课时整式的加减课件
小明 小红
笔记本 ＋ 圆珠笔
小明 小红
活动2 探究新知
化简求值：
求 1 x 2(x 1 y2 ) ( 3 x 1 y2 ) 的值，
2
3
23
其中 x 2, y 2
3
先将式子化简，
再代入数值进行
计算
活动2 探究新知
解：1 x 2(x 1 y2 ) ( 3 x 1 y2 )
＝5(x＋2y)＋3
＝(5x＋10y＋3)名．
答：A，B，C三个课外活动小组共有(5x＋10y＋3)名学生．
随堂练习
1．教材P69 练习第1，2，3题．
2．设M＝2a－3b，N＝－2a－3b，则M－N等于( B ) A．4a－6b B．4a C．－6b D．4a＋6b
3．减去－2x等于－3x2＋2x＋1的多项式是( C )
2
3
23
1 x 2x 2 y2 3 x 1 y2
2
3
3x y2
﹜ 2 3 →去括号 将式子化简 →合并同类项
当 x 2, y 2 时，
3
原式
(3) (2)
2 3
2
6
4 9
6
4. 9
求整式的值时，一般 是先化简（去括号、合 并同类项），再把字母 的值代入化简后的式子
求值．
活动3 知识归纳
活动4 例题与练习
例1 化简下列各式：
（1）8a+2b+（5a-b）；
（2）（5a-3b）-3（a2-2b）；
活动4 例题与练习
例1 做大小两个长方体纸盒，尺寸如下(单位：cm):
长宽高 小纸盒 a b c 大纸盒 1.5a 2b 2c
第3课时 整式的加减
第3课时整式的加减探究点整式的加减运算Ⅰ.整式的加法运算问题1 按教材P91的步骤再写几个两位数重复上面的过程。
这些和有什么规律？这个规律对任意一个两位数都成立吗？可任意写两位数，如12，21，12+21=33；23，32，23+32=55；62，26，62+26=88；……发现这些和都是11的倍数。
猜想这个规律对任意一个两位数都成立。
问题2 如果用ɑ，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为10ɑ+b。
交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是10b+ɑ。
这两个数相加：（10ɑ+b)+(10b+ɑ)= 11（ɑ+b）。
可见11（ɑ+b）是11的倍数。
教师总结：任意一个两位数，经过上述运算程序后的结果一定是11的倍数。
因为（10ɑ+b）+(10b+ɑ)=10ɑ+b+10b+ɑ=11ɑ+11b=11(ɑ+b)。
Ⅰ.整式的减法运算问题1 请你任意写一个三位数，按照上面的步骤试一试，写出结果。
123，321，123-321=-198；514，415，514-415=99；732，237，732-237=495；……问题2 两个数相减后的结果有什么规律？两个数相减后的结果都是99的倍数。
问题3 这个规律对任意一个三位数都成立吗？请说明理由。
猜想这个规律对任意一个三位数都成立。
理由如下：设任意一个三位数的百位数字为ɑ，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可表示为100ɑ+10b+c。
交换这个三位数的百位数字与个位数字后，得到的数为100c+10b+ɑ。
两个数相减，得（100ɑ+10b+c）-（100c+10b+ɑ）=100ɑ+10b+c-100c-10b-ɑ=99ɑ-99c=99(ɑ-c)。
因为=ɑ-c，且ɑ-c为整数，所以这个规律对任意一个三位数都成立。
教师总结：任意一个三位数，经过上述运算程序后的结果一定是99的倍数。
因为（100ɑ+10b+c）-(100c+10b+ɑ)=99(ɑ-c)。
整式的加减第3课时整式的加减课件北师大版数学七年级上册(完整版)4
随堂训练
a-2（a+1）的结果是（ ） A
A.-2
B.2
C.-1
D.1
A和B都是3次多项式，则A+B一定是（ C）
3.计算：
（1）3（2x2-y2）-2（3y2-2x2）；
.
（2）
1 2
a
2
a
1 3
b2
3 2
a
1 3
b2
1
.
解：（1）3（2x2-y2）-2（3y2-2x2）
＝6x2-3y2-6y2+4x2＝10x2-9y2.
（2）
1a 2
2 a
1 b2 3
3a 2
1 b2 3
1
＝ 1 a 2a 2 b2 3 a 1 b2 1
2
3 23
＝ 3a 1 b2 1
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
＝
1 2
(a
b)
1 6
(a
b)
1 4
(a
b)
1 3
(a
b)
＝
1 (a b) 7 (a b)
3
12
当a＝1，b＝-2时，a-b＝3，a+b＝-1，
整式加减 的步骤
去括号
括号前面是“＋”号， 里面各项不变号.
括号前面是“－”号， 里面各项全变号．
合并同类项
整式加减的应用
祝你学业有成
2024年5月3日星期五9时29分6秒
解：（1）（3x2+6x+8）-（6x+5x2+2）＝3x2+6x+8-6x-5x2-2 ＝（3x2-5x2）+（6x-6x）+（8-2）＝-2x2+6.
人教版(2024数学七年级上册4.2 第3课时 整式的加减
(2) 若 |a + 2| + (b - 1)2 = 0，求 2M - N 的值.
(2) 因为 |a + 2| + (b - 1)2 = 0， 且 |a + 2|≥0，(b - 1)2≥0， 所以 |a + 2| = 0，(b - 1)2 = 0， 所以 a + 2 = 0，b - 1 = 0， 所以 a = -2 ，b = 1. 所以 2M - N = a2 + 14ab - 15 = (-2)2 + 14×(-2)×1 - 15 = -39.
法则的运用.
情境导入
游戏 1：请同学在纸片上写一个两位数，交换个位上 的数与十位上的数得到一个新数，将这两个数之和除 以个位与十位的数字的和，老师都能马上猜出结果.
比如：(15 + 51)÷(1 + 5)
你知道这是 为什么吗？
探究新知 知识点1：整式的加减运算
游戏揭秘 如果用 a，b 分别表示一个两位数的十位数字和个位数 字，那么这个两位数可以表示为：10a + b . 交换这个 两位数的十位数字和个位数字，得到的数是：10b + a . 将这两个数相加可得：
第四章 整式的加减
4.2 整式的加法与减法
第 3 课时 整式的加减
教学目标
1. 能根据题意列出式子，会用整式加减的运算法则进 行整式加减运算，并能说明其中的算理.
2. 通过对整式的加减的探索，培养学生积极探索的学 习态度，发展学生有条理地思考及表达的能力，体 会整式的应用价值.
2024版七年级数学上册第五单元解一元一次方程第3课时 利用去括号解一元一次方程(人教版)
课堂小结
利用去括号解一元一次方程的一般步骤：
去 括号
移项
合并 同类项
系数 化为 1
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
3. 编织大、小两种中国结共 6 个，总计用绳 20 m，已知 编织 1 个大号中国结需用绳 4 m，编织 1 个小号中国结 需用绳 3 m. 问这两种中国结各编织了多少个. 解:设编织了 x 个大号中国结. 根据题意，得 4x + 3(6-x) = 20. 解得 x = 2. 所以 6-x = 4. 答:编织了 2 个大号中国结，4 个小号中国结.
当方程中有带括号的 式子时，去括号是常
用的化简步骤.
这个工厂去年上半年平均每月的用电量是 13 500 kW·h.
利用去括号解一元一次方程的一般步骤：
去 括号
移项
合并 同类项
系数 化为 1
例 题 【教材P125】
例 5 解下列方程： （1）2x –(x + 10) = 5x + 2(x – 1)；
3. 已经会解的两种类型的方程： ax + bx = c（a，b，c 为常数） ax + b = cx + d（a，b，c，d 为常数）
新知探索
问题 3 某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比， 月平均用电量减少 2 000 kW·h（千瓦时），全年的用电量是 150 000 kW·h . 这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少？
x = －1
上述解答过程错在哪一步？指出并加以改正.
例 题 【教材P125】
例 6 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了 2 h； 从乙码头返回甲码头逆水而行，用了 2.5 h．已知水流的 速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度.
《整式的加减》整式及其加减PPT课件(第3课时)
①如果括号外的因数是 负，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号
；
相反
②如果括号外的因数是 正 ，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号
.
相同
去括号法则的依据实际是 乘法分配律.
情境导入
小组游戏
任意写一个两位数
交换它的十位
数字与个位数字，又得到
一个数
两个数相加
重复几次看看，谁能先发现这些和有什么规律？对于任意一个两位
答：所求多项式为：-x3-3。
课堂练习
1.比2a2-3a-7小3-2a2的多项式是( C )
A.-3a-4
B.-4a2+3a+10
C.4a2-3a-10
D.-3a-10
2.已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1,则这个多项式是( A )
A.-5x-1
B.5x+1
C.-13x-1
D.13x+1
= 2 + 2
因为x=0.5，y=-0.5
所以 2 + 2 =0.5× (−0.5)2 +0.52 =0.125
本节总结
整式加减的一般步骤是：先去括号，再合并同类项．
注意：
(1)整式加减运算的过程中，一般把多项式用括号括起来；
(2)整式加减的最后结果中不能含有同类项，即要合并到不能再
___ .
1(a+b)
新课讲解
做一做
任意写一个三位数
交换它的百位数字与个
位数字，又得到一个数
两个数相减
你又发现什么了规律？
新课讲解
举例：
原三位数728，百位与个位交换后的数为827,由728 －827= －99.你能
《整式的加减》第三课时教案 (公开课)2022年
3.4 整式的加减〔第三课时〕●教学目标〔一〕教学知识点1.经历用字母表示数量关系的过程，开展符号感.2.会进行整式加减运算，并能说明其中的算理.〔二〕能力训练要求1.在进行整式加减运算的过程中，开展学生有条理的思考及语言表达能力.2.在实际情景中，进一步开展学生的符号感.〔三〕情感与价值观要求1.在解决问题的过程中了解数学的价值，开展“用数学〞的信心.2.在解决问题的过程中，获得成就感，培养学习数学的兴趣.●教学重点1.经历字母表示数的过程，开展符号感.2.会进行整式加减运算，并能说明其中的算理.●教学难点灵活地列出算式和去括号.●教学方法活动——讨论法教师利用活动游戏或根据情况创设情景，鼓励学生通过讨论发现数量关系，运用符号进行表示，再利用所学的合并同类项、去括号的法那么验证自己的发现，从而理解整式加减运算的算理.●教学过程Ⅰ.提出问题，引入新课［师］下面我们先来做一个游戏：〔1〕任意写一个两位数；〔2〕交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数；〔3〕求这个两位数的和.［生］我取了一个两位数12；交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到数21；求得这两个数的和是33.我又取了一个两位数29；交换个位和十位上的数字得到92；求得这两个数的和是121.最后，我取了一个两位数31；交换个位和十位上的数字得到13；求得这两个数的和是44.观察可以发现这些和都是11的倍数.例如33是11的3倍，121是11的11倍，44是11的4倍.［师］这个规律是不是对任意的两位数都成立呢？为什么？〔鼓励同伴之间互相讨论，相互启发〕［生］对于任意一个两位数，我们可以用字母表示数的形式表示出来，设a、b分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字，那么这个两位数可以表示为：10a+b.交换这个两位数的十位数字和个位数字，就得到一个新的两位数是：10b+a.这两个数相加：〔10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=(10a+a)+(b+10b)=11a+11b 根据运算的结果，可知一个两位数，交换它十位和个位上数字，得到一个新两位数，这两数的和是11的倍数.［师］很棒！〔10a+b)+(10b+a)是什么样的运算呢？10a+b与10b+a都是什么样的代数式？［生］10a+b与10b+a是多项式，也就是整式，因此(10a+b)+(10b+a)是整式的加法.［师］如果要是求这两个数的差，又如何列出计算的式子呢？［生］〔10a+b)－(10b+a).［师］这就是整式的减法.你能发现它们的差有何规律吗？［生］〔10a+b)－(10b+a)=10a+b－10b－a=(10a－a)+(b－10b)=9a－9b由此可知，这两个数的差是9的倍数.［师］我们借助于整式的加减法将实际问题中的数量关系用字母表示出来，并发现了其中的规律.在说明(10a+b)+(10b+a)是11的倍数时，每一步的依据的法那么是什么呢？(10a+b)－(10b+a)是9的倍数呢？［生］第一步的依据是去括号法那么；第二步是合并同类项法那么.［师］从上面的例子中可以发现整式的加减法可以帮我们解决实际情景中的问题.因此，我们这节课就来学习整式的加减.Ⅱ.合作讨论新课，学会运算整式的加减1.做一做出示投影片(§1.2.1 A)图1－6两个数相减后，结果有什么规律？这个规律对任意一个三位数都成立吗？为什么？［师］同学们先来按照上面所示的框图的步骤来讨论一下两个数相减后，结果有什么规律？［生］任取一个三位数，经过上述程序后结果一定是99的倍数.［师］是不是任意的三位数都有这样的规律呢？首先我们先要设出一个任意的三位数.如何设呢？［生］可以设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,那么这个三位数为100a+10b+c.［师］任意的一个三位数为100a+10b+c,接下来我们按照框图所示的步骤可得：交换百位和个位上的数字就得到一个新数，是什么呢？［生］100c+10b+a.［师］两个数相减，可得到一个算式为什么呢？［生］(100a+10b+c)－(100c+10b+a).［师］为什么在上面的算式中要加上括号呢？［生］“两个数相减〞，而这两个三位数，我们都是用多项式表示出来的，每一个多项式，它都是一个整体，因此需加括号.［师］这一点很重要，如何说明这个差就是99的倍数呢？［生］化简可得，即(100a+10b+c)－(100c+10b+a)=100a+10b+c－100c－10b－a=(100a －a)+(10b －10b)+(c －100c)=99a －99c也就是说任意一个三位数，经过上述程序后结果一定是99的倍数.2.议一议［师］在上面的问题中，涉及到整式的什么运算？说一说你计算的每一步依据？［生］在上面的问题中，我们涉及到整式的加减法.在进行整式的加减时，我们先去括号，再合并同类项.［师］在去括号和合并同类项时应注意什么呢？［生］我们上学期已学习过去括号和合并同类项.去括号时，特别要注意括号前面是“－〞号的情况，去掉“－〞号和括号时，里面的各项都需要变号；合并同类项时，先判断哪些项是同类项，利用加法结合律和合并同类项的法那么即可完成.3.例题讲解［例1］计算(1〕2x 2－3x+1与－3x 2+5x －7的和(2〕(－x 2+3xy －21y 2)－(－21x 2+4xy －23y 2) (这样的题目，我们已经训练过，因此可让学生自己完成，叫两个同学板演，同时教师深入到学生之中进行观察，对于发现的问题，可以通过让学生表达算理即去括号法那么和合并同类项法那么，自纠自改〕解：(1)(2x 2－3x+1)+(－3x 2+5x －7)=2x 2－3x+1－3x 2+5x －7=2x 2－3x 2－3x+5x+1－7=－x 2+2x －6(2)(－x 2+3xy －21y 2)－(－21x 2+4xy －23y 2) =－x 2+3xy －21y 2+21x 2－4xy+23y 2 =－x 2+21x 2+3xy －4xy －21y 2+23y 2 =－21x 2－xy+y 2 注：1°列算式时，每一个多项式表示的是一个整体，因此必须加括号.2°在第(2〕小题中，去括号要注意符号问题.［例2］(1〕A=a2+b2－c2,B=－4a2+2b2+3c2,且A+B+C=0，求C.(2〕xy=－2,x+y=3,求代数式(3xy+10y)+［5x－(2xy+2y－3x)］的值.分析：(1〕可用逆运算来代入求解；(2〕求代数式的值，一般是先化简，再求值，这个地方应注意整体代入. 解：(1〕根据A+B+C=0，可得C=－A－B即C=－(a2+b2－c2)－(－4a2+2b2+3c2)=－a2－b2+c2+4a2－2b2－3c2=－a2+4a2－b2－2b2+c2－3c2=3a2－3b2－2c2(2)原式=3xy+10y+［5x－2xy－2y+3x］=3xy+10y+5x+3x－2xy－2y=3xy－2xy+10y－2y+5x+3x=xy+8x+8y=xy+8(x+y)当xy=－2,x+y=3时原式=xy+8(x+y)=－2+8×3=－2+24=22.Ⅲ.随堂练习1.计算：(1〕(4k2+7k)+(－k2+3k－1)(2)(5y+3x－15z2)－(12y－7x+z2)解：(1)原式=4k2+7k－k2+3k－1=4k2－k2+7k+3k－1=3k2+10k－1(2)原式=5y+3x－15z2－12y+7x－z2=5y－12y+3x+7x－15z2－z2=－7y+10x－16z2Ⅳ.课时小结［师］这节课我们学习了整式的加减，你有何收获和体会呢？［生］在实际情景中，利用整式的加减发现了一般规律，使我们认识到学习整式加减的重要性.［生］整式加减运算的步骤是遇到括号先去括号，再合并同类项.［生］在去括号时，特别注意括号前是“－〞号的情况.……Ⅴ.课后作业1.课本P 96、习题3.7，第1、2、3题；2.自己设计一个数字游戏，并用整式加减运算说明其中的规律.Ⅵ.活动与探究(a+12)2+|b+4|=0,求代数式21 (a －b)+41(a+b)+3b a +－6b a -的值. ［过程］由条件可得，两个非负数的和为零的两个非负数都为零，列出方程求出a 、b 的值；在化简代数式时，观察可发现在这个题中遇到括号假设先去括号会较繁，如果将(a+b)、(a －b)当成一个整体，计算起来反而简便.［结果］由(a+12)2+|b+4|=0,得a+12=0,b+4=0,即a=－12,b=－4;当a+b=－16,a －b=－8时21(a －b)+41(a+b)+3b a +－6b a - =(21－61)(a －b)+(41+31)(a+b) =31(a －b)+127(a+b) =31×(－8)+127×(－16) =－12.●备课资料一、参考例题［例1］A+B=3x 2－5x+1,A －C=－2x+3x 2－5,当x=2时，求B+C 的值.解：B+C=(A+B)－(A －C)=(3x 2－5x+1)－(－2x+3x 2－5)=3x 2－5x+1+2x －3x 2+5=－3x+6当x=2时，原式=－3x+6=－3×2+6=0评述：先观察分析到B+C=A+B －A+C=(A+B)－(A －C)是解此题的关键.因此，一定要先观察，再分析.［例2］有理数a 、b 、c 如图1－7所示，化简|a+b|－|c －a|.图1－7解：由得：a<0,b>0,c<0且|a|<|b|,|c|>|a|,所以a+b>0,c －a<0.|a+b|－|c －a|=(a+b)－［－(c －a)］=a+b+c －a=b+c评述：要化简掉绝对值符号，必须判定被绝对值的数的正负，然后由绝对值定义化掉绝对值符号.［例3］y x xy +=2,求代数式y xy x y xy x -+-+-3353的值. 解：由y x xy+=2,得xy=2(x+y)y xy x y xy x -+-+-3353=xyy x xy y x 3)(5)(3++--+ =)(6)()(10)(3y x y x y x y x +++-+-+=)(5)(7y x y x ++-=－57. 评述：此题运用了“整体〞代换的思想，把xy 和x+y 分别看作“整体〞，添括号在形成“整体〞的过程中起了很重要的作用.［例4］三角形的周长为48，第一边长为3a+2b,第二边长的2倍比第一边少a －2b+2,求第三边长.解：根据题意，得48－(3a+2b)－21［(3a+2b)－(a －2b+2)］ =48－3a －2b －21［3a+2b －a+2b －2］ =48－3a －2b －21［2a+4b －2］=48－3a －2b －a －2b+1=49－4a －4b所以第三边的长为49－4a －4b.评述：先求出第二边，利用等式第二边×21=第一边－(a －2b+2),求得第二边为21［(3a+2b)－(a －2b+2)］再利用三角形的周长即可解出答案.1.8 完全平方公式(一)●教学目标(一)教学知识点1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何背景.(二)能力训练要求1.经历探索完全平方公式的过程，进一步开展符号感和推理能力.2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.(三)情感与价值观要求1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.●教学重点1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.2.完全平方公式的应用.●教学难点1.完全平方公式的推导及其几何解释.2.完全平方公式结构特点及其应用.●教学方法自主探索法学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后到达合理、熟练地应用.●教具准备投影片四张第一张：试验田的改造，记作(§1.8.1 A)第二张：想一想，记作(§1.8.1 B)第三张：例题，记作(§1.8.1 C)第四张：补充练习，记作(§1.8.1 D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］去年，一位老农在一次“科技下乡〞活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡〞活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)［生］我能帮这位爷爷.［师］你能把你的结果展示给大家吗？［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.图1－25［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.［生］也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.Ⅱ.讲授新课1.推导完全平方公式［师］我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料说明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？(出示投影片§1.8.1 A)想一想：(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法那么说明理由吗？(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)［生］用多项式乘法法那么可得(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.［生］也可利用多项式乘法法那么，那么(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b〞代替公式中的“b〞,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.［师生共析］(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2↓↓↓↓ ↓ ↓(a +b)2=a2+2·a ·b + b2=a2－2ab+b2.于是，我们得到又一个公式：(a－b)2=a2－2ab+b2(2)［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.2.应用、升华出示投影片(§1.8.1 B)［例1］利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;(3)(mn－a)2.分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.解：(1)方法一：［例2］利用完全平方公式计算(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2=4y2－4xy+x2；方法二：(－x+2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy+4y2.(2)(－x－y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x2+2xy+y2.(3)(x+y－z)2=［(x+y)－z］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z2=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.(4)方法一：(x+y)2－(x－y)2=(x2+2xy+y2)－(x2－2xy+y2)=4xy.方法二：(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x －y)］［(x+y)－(x －y)］=4xy.(5)(2x －3y)2(2x+3y)2=［(2x －3y)(2x+3y)］2=［4x 2－9y 2］2=16x 4－72x 2y 2+81y 4.Ⅲ.随堂练习课本1.计算： (1)(21x －2y)2;(2)(2xy+51x)2; (3)(n+1)2－n 2.解：(1)(21x －2y)2=(21x)2－2·21x·2y+(2y)2=41x 2－2xy+4y 2 (2)(2xy+51x)2=(2xy)2+2·2xy·51x+(51x)2=4x 2y 2+54x 2y+251x 2(3)方法一：(n+1)2－n 2=n 2+2n+1－n 2=2n+1.方法二：(n+1)2－n 2=［(n+1)+n ］［(n+1)－n ］=2n+1.Ⅳ.课后作业1.课本习题1.13的第1、2、3题.2.阅读“读一读〞，并答复文章中提出的问题.Ⅴ.活动与探究甲、乙两人合养了n 头牛，而每头牛的卖价恰为n 元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下缺乏十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？［过程］因牛n 头，每头卖n 元，故共卖得n 2元.令a 表示n 的十位以前的数字，b 表示n 的个位数字.即n=10a+b,于是n 2=(10a+b)2=100a 2+20ab+b 2=10×2a(5a+b)+b 2.因甲先取10元，而乙最后一次取钱时缺乏10元，所以n 2中含有奇数个10元，以及最后剩下缺乏10元.但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b 2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b 2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.●板书设计1.8. 完全平方公式(一)一、几何背景试验田的总面积有两种表示形式：①a2+2ab+b2②(a+b)2比照得：(a+b)2=a2+2ab+b2二、代数推导(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(a－b)2=［a+(－b)］2=a2－2ab+b2三、例题讲例例1.利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2(2)(4x+5y)2(3)(mn－a)2四、随堂练习(略)●备课资料一、杨辉杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.他著名的数学书共五种二十一卷.著有?详解九章算法?十二卷(1261年)、?日用算法?二卷(1262年)、?乘除通变本末?三卷(1274年)、?田亩比类乘除算法?二卷(1275年)、?续古摘奇算法?二卷(1275年).杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和开展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。
4 第3课时 整式的加减
只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬行 2 个单位长度到达点 B，设点 B
所表示的数为 m.
(1)求 m 的值；
解：－2(mn－3m2)－[m2－5(mn－m2)＋2mn] ＝－2mn＋6m2－m2＋5mn－5m2－2mn ＝mn. 当 m＝32，n＝－12时，原式＝32×(－12)＝－34.
图3－4－1
【归纳总结】先对整式去括号、合并同类项，再将字母的值代入 化简后的代数式求值．
【归纳总结】在解决此类问题时，首先要找到问题中“和”“差”间 的等量关系，根据等量关系列式．书写时注意多项式要加括号．
目标二 能熟练准确地进行整式的加减运算
例 2 教材补充例题 化简下列各式： (1)3a2b＋14ab2－34ab2＋a2b； (2)3(2a2b－ab2)－4(ab2－3a2b)； (3)－3(x2－2x)＋232x2－2x－12.
第三章 整式及其加减
4 整式的加减
第三章 整式及其加减
第3课时 整式的加减
目标突破 总结反思
目标突破
目标一 会列式进行整式的加减运算
例1 教材例4针对训练 多项式A与多项式B的和是－x＋3x2， 多项式B与多项式C的和是3x＋3x2，那么多项式A减去多项式C 的差是_－_4_x_____．
[解析] 根据题意，得A＋B＝－x＋3x2，B＋C＝3x＋3x2，则A－C＝(A＋ B)－(B＋C)＝－x＋3x2－3x－3x2＝－4x.
[解析] 括号前是“－”号时，去括号时要改变括号里每项的符号，还要注 意括号前面有数字因数时，去括号时括号里的每一项都要乘这个因数．
(1)3a2b＋14ab2－34ab2＋a2b；
解：3a2b＋14ab2－34ab2＋a2b ＝3a2b＋14ab2－34ab2－a2b ＝2a2b－12ab2.
整式的加法与减法(3课时)-第三课时+整式的加减+课件+2024-2025学年人教版数学七年级上册
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新知预习 导学
重点直击 导析
素养达标 导练
20
7.已知A = 2a2 + 2ab − 2a − 1，B = −a2 + ab − 1.
（2）已知A + 2B的值与a的取值无关，求b的值. 解：A + 2B
= 2a2 + 2ab − 2a − 1 + 2 −a2 + ab − 1
= 2a2 + 2ab − 2a − 1 − 2a2 + 2ab − 2
= 4ab − 2a − 3.
因为A + 2B的值与a的取值无关，即4ab − 2a − 3的值与a的取值无关，
又4ab − 2a − 3 = 4b − 2 a − 3，所以4b − 2 = 0. 故b = 12.
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综合拓展
8.探究与应用 【观察分析】用两种颜色的小正方形纸片（除颜色不同外其他完全
重点直击 导析
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第三课时 整式的加减 素养达标 导练
基础巩固
1.两个四次多项式的和的次数( A ) .
A.不高于四次 B.不低于四次 C.一定是四次 D.可能是八次
2.整式a3 − 2ab2 + 1与a3 − 3a2b + ab2的和是( D ) .
A.2a3 − 3a2b − 3ab2 + 1
图2
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24
【拓展应用】
（3）根据你的发现计算：101 + 102 + 103 + ⋯ + 200.
人教版数学七年级上册《整式的加减》(第3课时)
C
3.已知 则
1
课堂小结
（1）整式加减的实质是去括号、合并同类项； （2）整式的化简求值的步骤：一化，二代，三计算.
(2)2B－2A＝2(－y3＋x3＋2xy2)－2(x3＋2y3－xy2) ＝－2y3＋2x3＋4xy2－2x3－4y3＋2xy2 ＝6xy2－6y3.
例2 求 1 x 2(x 1 y2 ) ( 3 x 1 y2 )
2
3
23
x 2, y 2 3
解： 1 x 2(x 1 y2 ) ( 3 x 1 y2 )
知识讲解
整式的加减
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再 合并同类项.
例1 已知A＝x3＋2y3－xy2，B＝－y3＋x3＋2xy2， 求：(1)A＋B；(2)2B－2A.
解：(1)A＋B＝(x3＋2y3－xy2)＋(－y3＋x3＋2xy2) ＝x3＋2y3－xy2－y3＋x3＋2xy2 ＝2x3＋y3＋的十位数字和个位数字，那么这个两
位数可以表示为： 10a+b .交换这个 两位数的十位数字和个位数字，得到
的数是： 10b+a .将这两个数相加.
（10a+b）+（10b+a） = 10a+b+10b+a = 10a+a+b+10b = 11a+11b=11（a+b）
结论： 这些和都是11 的倍数.
《整式的加减》(第3课时)
人教版数学七年级上册
生动有趣的课程,搭配各个互动环节助理您教学成功
感谢所有辛勤付出的人民教师
学习目标
1.熟练进行整式的加减运算.（重点） 2.能根据题意列出式子，表示问题中的数量关系.（难点）
4.2 第3课时整式的加减课件 2024-2025学年人教版数学七年级上册
(3)－3(3x+2y)－0.3(6y－5x)；
(4)(13a3－2a－6)－12 (12a3－4a－7). 答案：（1）− 83ab3+a3b-5a2b；（2）5m2-3mn-3n2；
（3）-7.5x-7.8y；（4）112a3− 52.
6.一列火车上原有乘客（6a-2b）人，中途有一半乘客下车，同时 又有若干乘客上车，此时车上共有乘客（10a-6b）人，则中途上车 的乘客有多少人？当a=200，b=100时，中途上车的乘客有多少人？
结论：这些和都是11的倍数.
新知探究
做一做
任意写一个三位数
交换它的百位 数字与个位数字，
又得到一个数
两个数相减
你又发现什么了规律？
新知探究
设原三位数为100a+10b+c，百位数字与个 位数字交换后的数为100c+10b+a,则它们的差为：
(100a+10b+c)－( 100c+10b+a) =100a+10b+c－100c－10b－a
=99a－99c =99(a－c). 结论：这些和都是99的倍数.
新知探究
在上面的两个问题中，分别涉及了整式的什 么运算？说说你是如何运算的？
整式的加减运算 八字诀
去括号、合并同类项
注意：合并同类项和去括号 是进行整式加减运算的基础， 利用它们就可以进行整式的 加减云算.
新知探究
典型例题 例1 计算： （1）（2x-3y）+（5x+4y）；（2）（8a-7b）-（4a-5b）.
新知探究
知识点 2 整式的化简求值
3.4 整式的加减(第3课时) 课件 2021-2022学年北师大版数学 七年级上册
2．下列去括号正确的是( D )
A．3(x＋y)＝3x＋y
B．－(m－2)＝－m－2
1
1
C．2(－a＋3)＝－2a＋6
D．－[－x－(1－x)]＝1
3．下列各式中，去括号不正确的是( D )
A．x＋2(y－1)＝x＋2y－2
B．x－2(y－1)＝x－2y＋2
第一个正方形用4根，每增加一个正方形增加3根，那么搭x
个正方形就需要火柴棒 [4+3(x-1)]根.
把每一个正方形都看成是用4根火柴棒搭成的，然后再减多
算的根数，得到的代数式是
4x-(x-1)
.
第一个正方形可以看成是3根火柴棒加1根火柴棒搭成的.此
后每增加一个正方形就增加3根，搭x个正方形共需(3x+1)根.
(3)(40a2＋45a＋5πa2＋3πa)元
再 见
化简下列各式：
(1)3(xy－2z)＋(－xy＋3z)；
解：3(xy－2z)＋(－xy＋3z)
＝3xy－6z－xy＋3z
＝2xy－3z.
(2)－4(pq＋pr)＋(4pq＋pr)；
解：－4(pq＋pr)＋(4pq＋pr)
＝－4pq－4pr＋4pq＋pr
＝－3pr.
(3)(2x－3y)－(5x－y)；
解：不成立.6x＋5＝6（x＋ ）.
(3)－(x－6)＝－x－6； 解：不成立．－(x－6)＝－x＋6.
(4)－a＋b＝－(a＋b)． 解：不一定成立．
方法点拨
(1)去括号时，不仅要去掉括号，还要连同括号前面的符号一起去掉．
(2)去括号时，首先要弄清括号前是“＋”号还是“－”号．
(3)注意法则中的“都”字，变号时，各项都变号；不变号时，各项都
《整式的加减》第3课时示范课教学课件【数学七年级上册北师大】
＝2x2-3x2-3x+5x+1-7
＝2x2-3x+1-3x2+5x-7
计算.
解：(2) (-x2+3xy- y2 )-(-x2+4xy- y2)
＝-x2+3xy- y2 + x2-4xy+ y2
＝-x2+ x2+3xy-4xy- y2+ y2
＝- x2-xy+ y2.
进行整式加减运算时，通常要先去括号，再合并同类项．
分析
计算：(1) (4k2+7k)+(-k2+3k-1)
进行整式加减运算时，通常要先去括号，再合并同类项．
解：原式
＝4k2+7k-k2+3k-1
＝4k2-k2+7k+3k-1
＝3k2+10k-1.
分析
计算：(2) (5y+3x-15z2)-(12y+7x+z2)
4 整式的加减
第3课时
北师大版七年级数学上册
1.使学生经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感，体会整式加减运算的必要性.2.灵活准确地运用整式的加减步骤进行运算. 3.理解整式加减运算的算理，并能熟练进行计算.4.通过探索整式加减运算的法则，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力.
重点
难点
解：2(3a2-2a+1)-3(5a2-3a+2)
＝(6a2-4a+2)-(15a2-9a+6)
＝6a2-4a+2-15a2+9a-6
＝6a2-15a2-4a+9a+2-6
＝-9a2+5a-4.
3.4整式的加减(第三课时)(课件)七年级数学上册(北师大版)
课堂小结
1.整式加减运算的实质
去括号 合并同类项
由特殊到一般 2. 整式的加减应用体现数学思想 整体思想
化归思想.
1．长方形的长是2a，宽是3a﹣b，则长方形的周长是（ A ） A．10a﹣2b B．7a﹣b C．10a+2b D．7a+b
2．已知A＝3x2+2x﹣1，B＝mx+1，若关于x的多项式A+B不含 一次项，则m的值（ D ）
A．2
B．﹣3
C．4
D．﹣2
当堂测试
3．当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为 2 ． 4．一个长方形的长是a+1，宽是a，则这个长方形的周长为 4a+2 ．
5．当m＝
时 ， 关 于 x 的 多 项 式 8x2 ﹣ 3x+5 与 多 项 式
3
解：原式＝3x 2 12x 3 x 3 4 x 2 2 （先去括
＝ x3 3x2
4 x2
3 12x 3 2
号） （降幂排
3
列）
＝ x 3 5 x 2 12x 1 （合并同类项，化简完成）
3
当x=-2时 （代入）
原式＝ (2)3 5 (2)2 12 (2) 1 ＝8 20 24 1
将2A﹣B看成了2A+B，求得结果为3x2﹣2x，已知A＝x2+3x﹣2．
（1）则多项式B＝
；
（2）求2A﹣B的正确结果为
．
6．一辆客车上原有（6a﹣2b）人，中途下车一半人数，又上车若干人 ，这时车上共有（12a﹣5b）人．则中途上车的乘客是（__9_a_-_4_b__）人．
整式的加减第3课时教学设计人教版数学七年级上册
巩固整式加减运算法则，培养学生的列式计算能力，同时使学生体会到数学来源于生活，应用于生活的价值美.
环节四
课堂实训
【课堂检测】
1.设M＝2a－3b，N＝－2a－3b，则M－N等于(B)
A.4a－6bB．4a
C．－6bD．4a＋6b
＝6ab＋8bc＋6ca－2ab－2bc－2ca
＝4ab＋6bc＋4ca.
【变式训练】
在解“当x＝－2，y＝ 时，求 x－2(x－ y2)＋(－ x＋ y2)的值”时，甲同学不小心把“y＝ ”写成“y＝－ ”，但计算结果也是正确的，这是为什么？
解：原式＝ x－2x＋ y2－ x＋ y2＝－3x＋y2.
大纸盒的表面积是(6ab＋8bc＋6ca) cm2.
(1)做这两个纸盒共用料(单位：cm2)
(2ab＋2bc＋2ca)＋(6ab＋8bc＋6ca)
＝2ab＋2bc＋2ca＋6ab＋8bc＋6ca
＝8ab＋10bc＋8ca.
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料(单位：cm2)
(6ab＋8bc＋6ca)－(2ab＋2bc＋2ca)
因为(x－2)2＋|y－ |＝0，
所以x＝2，y＝ .
所以原式＝－ ×2＋ ×( )2
＝－3＋
＝－2 .
例3做大小两个长方体的纸盒，尺寸如下(单位：cm)：
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
2b
2c
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
解：小纸盒的表面积是(2ab＋2bc＋2ca) cm2，
《整式》整式的加减PPT教学课件(第3课时)
2.1 整式 第3课时
导入新知
知识回顾
1.什么叫单项式？
2.单项式
的3系ab数2c是 ，次数是 5
3 . 5
4
3. 2a和3b都是单项式，那2a+3b又是什么呢？
素养目标
3. 会用整式解决简单的实际问题． 2. 会用整式表示简单的数量关系，并根据整式中字母的值求多 项式的值．
分析：该多项式最高次项为－4xmy2，其次数为m＋2， 故m＋2=6.
解：由题意得m＋2=6，
所以m=4. 所以该多项式为－5x4＋104x5－4x4y2.
归纳总结：解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数. 然 后根据题意，列出方程，求出m的值.
巩固练习
把m，n当作已知常数看待 ，属于系数部分。
若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m 、n的值.
分析：多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0. 解：由题意得m=0，n－1=0，所以n=1.
探究新知
素养考点 3 利用多项式解答实际问题
例3 如图，用式子表示圆环的面积．当R=15cm，r=10cm 时，求圆环的面积（π 取3.14）．
1. 理解多项式、多项式的项和次数、整式的概念．
探究新知
知识点
1. 温度由t℃下降5℃后是
多项式的有关概念
℃(；t-5)
列式表示下 列数量
2. 买一个篮球需要x元，买一个排球需要y 元，买一个足球需要z元
，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要
元.
(3x+5y+2z)
探究新知
探究： 下列各式是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么 关系？
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全班分成多个四人小组,小组内
每名学生任写一个两位数,将两数字
交换位置后得到的新的两位数与原
数相加,写出自己得到的结果,小组内
交流结果,根据以下问题进行讨论.
讨论讨论11
这些和有什么规律?
讨论讨论22
这个规律对任何一个两位数
都成立吗?为什么?
如果用a,b分别表示一个两位
数的十位数字和个位数字,那么这
个两位数可以表示为 ,交
换这个两位数的十位数字和个位
数字后得到的两位数为 ,
七年级数学·上 新课标 [北师]
第三章 整式及其加减
学习新知 检测反馈
小游戏
请你任想一个正整数,先减去2,再加上它本
身,再乘5,再加上3,再加上一个小于10的正整
数,最后把答案告诉我,我就能马上猜出你想的
两个数.你信吗?
学 习 新 知
这两个两位数的和为 .