索罗模型
高级宏观经济学之索罗增长模型
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的
资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
2020/1/15
高级宏观经济学
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3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
瞬时增长率的定义：
dx / dt x d ln x
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
2020/1/15
高级宏观经济学
12
三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
每单位有效劳动 的实际投资
MPAL
F(K, AL) AL
f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL
F(K, AL) L
A[
f
(k)
kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
2020/1/15
高级宏观经济学
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图形表示
f(k) f(k)
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
2020/1/15
高级宏观经济学
6
2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
高级宏观经济学之索罗增长模型
9
边际产出
资本的边际产出
MPK
F(K, AL) K
ALf (K / K
AL)
f (k)
有效劳动的边际产出
MPAL
F(K, AL) AL
f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL
F ( K , L
AL)
A[
f
(k)
kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
k
2020/10/28
k*
k
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3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y* f (k*)
根据单位有效
y* Y / AL Y y * AL
结论：索罗模
工人产出的定
义可以计算出 ln Y ln y * ln A ln L
总产出的增长 速度：
资本增长率 k*
Y Y
K / AL
L
L
K
A A
k*
n
2020/10/28
2
一、索罗模型简评
几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而 无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在 （如资本产生正的外部性）。
k(t) 0 k下降 k(t) 0 k不变
2020/10/28
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2、稳态
稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的
索罗模型
那么，储蓄率是否越高越好呢？
N(t) c(t) K(t)
+
K ( K(
t t
) )
=
A(t)
K(t)β−1
N(
)t 1−β
=
ρ
+σκ β
.
（7）
根据平衡增长路径定义，K (t) / K (t)是常数，所以方程（7）意味着
N (t)c(t) / K (t)也是常数，令 D = 1 Nc， 求全微分，得：
K
0
=
K K
(t) (t)
设人均消费的增长率 c(t) / c(t) = κ
1）资本价格增长率 （ −σκ ）
由方程（3）得到：
c−σ = θ ⇒ − σ ln c = lnθ θ(t) /θ = −σκ
⇒ θ = −σ c
θ
c
可见，沿着平衡增长路径资本价格增长率为常数。
19
2）资本的边际产出（ ρ + σκ ）
从方程（4）我们得到：
θ = ρ − βA(t)N (t)1−β K (t)β −1 θ
将 θ(t) /θ = −σκ 代入上式，资本的边际产出为：
β A(t)N (t)1−β K (t)β −1 = ρ + σκ
经济增长——索洛模型
消费的最大化表现为一阶导数为0。
dc / dk = df / dk–（n+δ）= 0 于是有：MPk= n+δ
因此，资本的边际产出等于人口增长率加上折 旧率就是消费最大化的基本条件。
2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 15
资本积累的黄金律水平
y （n+δ）k
f(k)
Cg*
0
2014-12-13
2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 22
全部课程结束，预祝大家考试顺利， 2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 暑假愉快！
23
sf(k’)
0
2014-12-13
k’*
中国矿业大学管理学院 徐建博
k
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（三） 技术进步对经济增长的影响
引入技术进步后，虽然在稳定状态有效
劳动的平均资本和平均产出都不变，但人
均产出 Y/L=y’×A 和总产出 Y=y’×A×L
却分别以g和n+g的速度增长。
索罗模型表明技术进步是一个经济长
期持续增长的源泉。
由于规模报酬不变，即λY= F（λK,λL）
令λ=1/L，得Y/L= F（K/L,1）
用y=Y/L代表人均产出，k=K/L代表人均资本存 量，得：y=F（k，1）= f（k）
即人均产出只与人均资本有关。
2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 3
y
f(k)0Βιβλιοθήκη k人均生产函数示意图
2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 4
kg*
中国矿业大学管理学院 徐建博
k
16
通过储蓄率选择黄金律稳态
索罗增长模型
1994 1988 1982 1976 1970 1964 1958 1952 1946 1940 1934 1928 1922 1916 1910 1904 1898 1892 1886 1880 1874 1820
1000
100000
2.4 内生增长理论—实证分析
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
样本是118个经济体 ，1960-1985
全球范围内
5000
10000
15000 不存在趋同
2.4、条件趋同
全球范围内存在条件趋同
（偏）增长速度
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -3 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
-2
-1
0
1
（偏）1960的劳均GDP
法国 18.4 20.8 24.0 26.9 29.5 26.4 24.2 23.7
德国 26.1 29.2 30.3 29.5 28.7 24.7 23.9 23.6
日本 16.1 19.0 26.8 30.7 36.5 32.5 29.4 29.6
英国 12.1 14.3 16.7 18.9 19.6 18.7 16.2 18.8
数据来源于 Jones(1998) 表B2；
数据104个经 济体；
2 样本区间 1960-1990
控制了s
2.4 内生增长理论—实证分析
全球增长速度在加速
近100年来发达国家的
增长是平稳的，但储蓄 率是上升的
年份 1950-1954 1955-1959 1960-1964 1965-1969 1970-1974 1975-1979 1980-1984 1985-1988
第三讲 索罗增长模型
K
(k*)
Y K
K Y
k * f (k*) kk* f (k*)
产出的资本弹性等于资本收入在总收入中所占的份额。
2019/8/6
27
四、储蓄率变化的影响
在多数国家，支付给资本的收入份额约为1/3。则产出的 储蓄率弹性约为0.5。当储蓄率增加10%时，人均产出长 期内仅变化5%。 因此，储蓄的显著变化只会对平衡路径上的产出产生中度 的影响。
2019/8/6
28
四、储蓄率变化的影响
4．储蓄率变化的影响时间
注意“收敛系数” (1K )(n g ) 与s无关。
举例：假设 n g ，6%α=1/3，则λ=4%（表示k和y向k*和y*每
年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初 始收入差距）的一半约需18年时间。
条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越远， 增长越快。
巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。
2019/8/6
30
五、绝对收敛与条件收敛
非稳态图示
(n g )k(t)
2019/8/6
增长率>0
f (k(t))
增长率<0
sf (k (t))
k*
k
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五、绝对收敛与条件收敛
绝对收敛图示
k*
k
2019/8/6
k*
k
16
3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y* f (k*)
根据单位有效 y* Y / AL Y y * AL 结论：索罗模
工人产出的定 义可以计算出
ln Y ln y*ln A ln L
第三讲索罗增长模型
2024/8/2
6
Байду номын сангаас
模型的集约形式
根据规模报酬不变假设可以得到
F(K, AL) AL F(K / AL,1) AL f (K / AL)
于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)： y=f(k) 其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 效劳动的资本
2024/8/2
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。
AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步
被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。
2024/8/2
4
二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
0
量 Y/L
人均产出
g
c(Y/AL) 有效劳动的费人均消
0
C/L
人均消费
g
K/Y
资本产出比
0
2024/8/2
备注证明 k=K/AL
F(cK,cAL)=Lc)F(K,A C=(1-s)Y
y=f(k)=Y/AL c=(1-s)f(k)
17
四、储蓄率变化的影响
下面考察政策控制变量s的变动的影响: 对稳态均衡的影响； 两个稳态均衡之间的动态路径； 对长期增长的影响程度； 对长期增长的影响持续时间。
2024/8/2
9
图形表示
f(k) f(k)
c sf(k)
f(k) sf(k)
[经济学]新第一章 索罗增长模型
![[经济学]新第一章 索罗增长模型](https://img.taocdn.com/s3/m/39cc9fe158fb770bf68a5542.png)
h
（2）边际产出递减
f(k)满足f(0)=0,f’(k)>0,f”(k)<0，f’(k)是 资本的边际产品。
【证明】
Y=ALf(k)两边分别对K、L求导数：
资本的边际产品为： YAL'(kf) 1f'(k)
K
AL
有效劳动的边际产品为：
( A Y ) L f(k ) A'(k L ) [ ( fA K )2 ]L f(k ) k'(k f)
f(k)
k1
K*
k2
(n+g+δ)k
f(k)
sf(k)
K1时的
•
k (t)
K2时的
•
k (t)
•
K*时的 k ( t )
k
24
h
•
k (t)
k的走势：不论k从何处开始，它都向k*收敛。
k*
k
反映变量变化率与其本身关系的曲线图
25
h
二、平衡增长路径： 各个主要变量如何变动？ 绝对量： L，A， AL， K， Y，C 相对量： K/AL K/L Y/AL Y/L C/AL
11
h
f(k)
（3）稻田条件：
lik m of'(k)
lik m f'(k)0 k
资本存量足够小时，资本的边际产品很大 资本存量足够大时，资本的边际产品很小
12
h
三、一个特殊的生产函数：柯布-道格拉斯
F (K ,A) LK (A)1 L 01
这一生产函数易于应用，并且是对实际生产函数的一个好 的初步近似。 • 规模报酬不变： 生产函数的密集型式 f（k）=kα f’（k）=αkα-1 f’’（k）=α（α -1）kα-2 (小于0)
索洛增长模型的基本公式
索洛增长模型的基本公式
索罗模型最基础的公式也就是Kt+1=SF (kt，L)+(1-delta）Kt。
总体生产函数：(E是内生化之后的A，E*L代表的是效率工人）。
人均生产函数的推导：在稳态，人均投资（由储蓄转化而来）等于投资的折旧、广化和深化：其中，K——资本；L——劳动；A——技术发展水平；I——毛投资；S——储蓄；k——有效劳动投入之上的资本密度；s——边际储蓄率；n——人口增长率；g——技术进步率；——资本折旧率；y——有效劳动投入之上的人均产出。
【拓展资料】
梭罗－史旺模型，又称索洛增长模型、新古典经济增长模型、外生经济增长模型，在新古典经济学框架内所提出的著名的经济增长模型。
由罗伯特·索洛与Trevor Swan在1956年各自提出独立提出的经济成长模型。
主要用于解释固定资本增加，对GDP所产生的影响。
模型假设：该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投资转化率假设为1；
该模型假设投资的边际收益率递减，即投资的规模收益是常数；
该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数，从而解决了哈罗德-多马模型中经济增长率与人口增长率不能自发相等的问题。
因为在科布-道格拉斯生产函数中，劳动数量既定，随资本存量的增加，资本的边际收益递减规律确保经济增长稳定在一个特定值上。
该模型没有投资的预期，因此回避了有保证的经济增长率与实际经济增长率之间的不稳定，就此可得出结论：经济稳定增长。
模型结论：经济增长的路径是稳定的。
在长期，只有技术进步是增长的来源。
储蓄率不是常数，决定储蓄率和相应的投资取决于经济个体的决策，即家庭和厂商效用最大化的权衡。
索罗模型
索洛经济增长模型一、问题的提出1.什么因素决定了经济增长2.经济增长的一般趋势是什么3.为什么国家或地区之间存在着收入差异4.穷国能否赶上富国二、生产函数1.投入与产出的函数形式AttKtFYL()))(),(()(t其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同[只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]2.生产函数的特性假设（1）规模报酬不变： F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要令c=1/AL,则),(1)1,(AL K F ALAL K F =令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)（2）边际产品递减：f(k)满足f(0)=0,f’(k)>0,f”(k)<0，f’(k)是资本的边际产品 【证明】Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数：资本的边际产品为：)('1)('k f ALk ALf K Y ==∂∂有效劳动的边际产品为：)(')(])()[(')()(2k kf k f AL Kk ALf k f AL Y -=-+=∂∂ （3）稻田条件：∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示f(k)k一个特殊的生产函数：C-D 生产函数)(),(1AL K AL K F αα-=，10<<αααk ALKAL K F k f ===)()1,()( 思考：试证明C-D 生产函数满足3个特性假设。
高级宏观经济学之索罗增长模型
当资本和劳动力投入同时增加相同倍数时，产出也会增加相同的倍数。
资本积累方程与劳动力动态变化
资本积累方程
索罗增长模型中的资本积累方程为ΔK=sY-δK，其中ΔK代表资 本存量的变化量，s代表储蓄率，Y代表产出水平，δ代表资本折 旧率。该方程表明，资本存量的变化量等于储蓄与投资之差。
劳动力动态变化
分析教育水平提高对人力资本积累和经济增长的贡献，以及教育公 平对缩小收入差距的作用。
其他可能改进方向探讨
环境因素与可持续发展
将环境因素纳入索罗增长模型，分析经济增长与环境保护之间的平衡问题，探讨可持续发展的路 径和政策选择。
制度因素与经济增长
考虑制度因素对经济增长的影响，如产权保护、市场竞争、政府治理等，以及如何通过制度改革 促进经济发展。
宏观经济学与微观经济学关系
两者相互补充，共同构成经济学完整体系。
3
宏观经济学重要性
为政府制定经济政策提供理论依据和指导。
索罗增长模型简介
01
02
03
索罗增长模型定义
由美国经济学家罗伯特·索 罗提出，用于分析经济增 长的理论模型。
模型基本假设
储蓄率、人口增长率、技 术进步率等外生变量保持 不变。
模型核心方程
实证结果解读及启示意义
经济增长收敛性
索罗增长模型预测，在资本边际收益递减的作用下，穷国将比富国增长更快，最终实现经济收敛。然而，现 实世界中存在许多导致经济差异持续存在的因素，如技术进步、人力资本积累等。
政策含义
索罗增长模型强调了储蓄率、人口增长率和技术进步对经济增长的重要性。因此，政府可以通过调整税收政 策、教育政策和创新政策等手段来影响这些变量，从而促进经济增长。
索罗模型
索洛经济增长模型一、问题的提出1.什么因素决定了经济增长？2.经济增长的一般趋势是什么？3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？4.穷国能否赶上富国？二、生产函数1.投入与产出的函数形式AttKtFY)(t(L)())((),其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？[只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]2.生产函数的特性假设 （1）规模报酬不变：F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要令c=1/AL,则),(1)1,(AL K F ALAL K F = 令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)（2）边际产品递减：f(k)满足f(0)=0,f ’(k)>0,f ”(k)<0，f ’(k)是资本的边际产品 【证明】Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数： 资本的边际产品为：)('1)('k f ALk ALf K Y ==∂∂ 有效劳动的边际产品为：)(')(])()[(')()(2k kf k f AL Kk ALf k f AL Y -=-+=∂∂ （3）稻田条件：∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示f(k)k一个特殊的生产函数：C-D 生产函数)(),(1AL K AL K F αα-=，10<<αααk ALKAL K F k f ===)()1,()( 思考：试证明C-D 生产函数满足3个特性假设。
第1章 索罗增长模型
k≡ K
(1.6)
L
然后将微分方程(1.5)转化为有关 k 的方程。由于 K = kL ，将 K 全微分，则有
K = kL + kL
(1.7)
其次，假设生产函数为“一次齐次”（homogenous of degree one），即“规模报酬不变”
（3）资本收益率（ r ）几乎不变； （4）资本产出比例（ K Y ）几乎不变； （5）资本收入与劳动力收入占国民收入的比重（ (r + δ)K Y ， wL Y ）几乎不变；
（6）不同国家的人均产出增长率有很大差别。
5
下面来验证索罗模型是否与“Kaldor Facts”相符。
（1）,（2）：显然与索罗模型一致。
索罗对19091949年美国经济的应用经济增长核算对战后发达国家的经济增长贡献进行分解表明七十年代以来技术进步估算表明技术进步是对人均收入增长的最大贡献因素高达875而资本积累仅贡献了其余的125
第 1 章 索罗增长模型
1.1 什么是宏观经济学？ 简单来说，宏观经济学就是将一个国家的经济运行状态作为一个整体来研究的学问，它 关心的是宏观经济变量（比如：GDP、消费、投资、通胀率、失业率）之间的关系。 宏观经济学的方法（最优控制、动态规划等）已经渗透到经济学的各个领域，比如：金 融。 思考： （1）“好的经济学家”与“坏的经济学家”区别何在？ （2）宏观经济学的分析工具与框架主要发展与西方发达国家，适用于中国吗？
存线上挣扎的经济而言（subsistence economy），可能为了生存而无法储蓄，不得不“杀鸡取 卵”。另外，贫困陷阱也可能是由于制度而引起的。另一方面，从实证的角度，贫困陷阱是否 存在还没有定论。
索罗模型
索洛经济增长模型一、问题的提出1.什么因素决定了经济增长？2.经济增长的一般趋势是什么？3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？4.穷国能否赶上富国？二、生产函数1.投入与产出的函数形式AttKtFYL()))(),(()(t其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？[只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]2.生产函数的特性假设（1）规模报酬不变：F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要令c=1/AL,则),(1)1,(AL K F ALAL K F = 令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)（2）边际产品递减：f(k)满足f(0)=0,f ’(k)>0,f ”(k)<0，f ’(k)是资本的边际产品【证明】Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数： 资本的边际产品为：)('1)('k f ALk ALf K Y ==∂∂ 有效劳动的边际产品为：)(')(])()[(')()(2k kf k f AL K k ALf k f AL Y -=-+=∂∂ （3）稻田条件：∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示f(k)k一个特殊的生产函数：C-D 生产函数)(),(1AL K AL K F αα-=，10<<αααk ALK AL K F k f ===)()1,()( 思考：试证明C-D 生产函数满足3个特性假设。
第10讲基本索罗模型
因为 Kt 和 Lt 在任何时期都是预先决定的， rt 和 wt 也 如此决定.
Kt 和 Lt 预先决定: 这意味着什么?
©The McGraw-Hill Companies, 2005
收入分配
' rt FK Kt ,Lt rt Kt FK' Kt ,Lt Kt ' wt FL Kt ,Lt wt Lt FL' Kt ,Lt Lt
Kt Kt ' ' rt FK Bt 和 wt FL 1 Bt Lt Lt rt Kt wt Lt 和 1 Yt Yt
1
柯布道格拉斯函数看起来是一个长期中的现实假设. 我们可 以进一步相信 1 / 3 .
Yt Ctp Ctg Itp Itg Stp Stg 6444 47 4444 8 64 47 44 8 Yt Tt Ctp Tt Ctg =I tp I tg
• 代入恒等式
Kt 1 Kt Itp Itg Kt
St 6447 448 Kt 1 Kt = Stp Stg K t
'' '' FLK 0, FLK 0
•
利润最大化: 给定 rt 和 wt , 厂商选择 Yt ,Ktd 和 Ld t :
d d max Yt rt K td wt Ld , s.t . Y F K ,L t t t t
必要条件:
' FK Ktd ,Ldt rt , FL' Ktd ,Ldt wt
1
பைடு நூலகம்
United Kingdom Ct / Yt
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LECTURE 7 Economic Growth I
slide 7
消费函数The consumption function
s = 储蓄率the saving rate, 我们假设s 是一个外生变量is an
exogenous parameter
Note: s 是唯一的一个不等于它的大写形 除以L 的小写字母the only lowercase variable that is not equal to its uppercase version divided by L
k = 0.
这一不变的值 k* 就是 稳态资本存量。This constant value, denoted k*, is called the steady state capital stock.
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 15
The steady state
k sf(k)
k
k1
k*
LECTURE 7 Economic Growth I
Capital per worker, k
slide 18
向稳态的移动Moving toward the steady state
Investment and
depreciation
k = sf(k) k
k sf(k)
Year
k
y
c
i
δk
k
1
4.000
2.000 1.400 0.600 0.400 0.200
2
4.200
2.049 1.435 0.615 0.420 0.195
3
4.395
2.096 1.467 0.629 0.440 0.189
slide 26
Approaching the Steady State: A Numerical Example
LECTURE 7 Economic Growth I
人均资本, k
slide 6
国民收入恒等式The national income identity
Y = C + I (记住我们假设没有G )
以 “人均per worker” 形式就是:
y=c+i
其中 c = C/L 且 i = I/L
加总形式In aggregate terms: Y = F (K, L )
定义Define: y = Y/L =人均产出
k = K/L =人均资本
假设规模收益不变 constant returns to scale: zY = F (zK, zL ) for any z > 0
提出L, 有：
在水平轴上，找出一个比k* 大的经济初始 资本存量，记为k1. 用刚才的方法看看 k 会随时间怎么变化。 k 会向稳态移动还是其它方向移动呢？
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 23
例子A numerical example
生产函数
Y F (K ,L) K × L K 1/2 L1/2
in chap. 3!)
于是有： i = sy = sf(k)
LECTURE 7 Economic Growth I
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产出，消费和投资Output, consumption, and investment
人均产出, y
f(k)
c1 y1i1k1LECTURE 7 Economic Growth I
存量减少Investment makes the capital stock bigger,
depreciation makes it smaller.
LECTURE 7 Economic Growth I
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Capital accumulation
Change in capital stock = investment – depreciation
集约形式:
Y L
K L 1/2 1 / 2 L
K L
1 / 2
将 y = Y/L and k = K/L 代入得到：
y f (k ) k 1/2
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 24
A numerical example, cont.
消费函数Consumption function:
c = (1–s)y (per worker)
LECTURE 7 Economic Growth I
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储蓄和投资Saving and investment
储蓄（人均） = sy 国民收入恒等式 y = c + i
就是: i = y – c = sy (投资 = 储蓄, like
Assumptions: y k ; s 0.3; 0.1; initial k 4.0
(only to simplify presentation; we can still do fiscal policy experiments)
5. 外表不同Cosmetic differences.
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 4
生产函数The production function
sf(k)
人均资本, k
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折旧Depreciation
人均折旧, k
= 折旧率 = 每期磨损掉的资本比率
k
1
LECTURE 7 Economic Growth I
人均资本, k
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资本积累Capital accumulation
The basic idea基本思想: 投资使 资本存量增大，折旧使 资本
假设: s = 0.3 = 0.1 初始资本存量 k = 4.0
LECTURE 7 Economic Growth I
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向稳态靠拢Approaching the Steady State
Assumptions: y k ; s 0.3; 0.1; initial k 4.0
Y/L = F (K/L , 1)
y = F (k, 1)
y = f(k)
其中 f(k)
= F (k, 1)
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 5
The production function
人均产出, y
f(k)
MPK =f(k +1) – f(k) 1
注意：这一生产函数的资本边 际产量是递减的。Note: this production function exhibits diminishing MPK.
已经成为增长理论的一个范式paradigm: – widely used in policy making – benchmark against which most recent growth theories are compared
寻找经济在长期内增长的决定因素
LECTURE 7 Economic Growth I
k
折旧 depreciation
k1
k*
LECTURE 7 Economic Growth I
Capital per worker, k
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Moving toward the steady state
Investment and
depreciation
k = sf(k) k
8 CHAPTER
Economic Growth I: Capital Accumulation and Population Growth
© 2016 Worth Publishers, all rights reserved
learning objectives
学习封闭经济的Solow 模型。Learn the
3. 消费函数更简单The consumption function is simpler.
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 3
How Solow model is different from Chapter 3’s model
4. 没有G 和T No G or T
Rule” to find the optimal savings rate and capital stock
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 1
索罗模型The Solow Model
Robert Solow, MIT won Nobel Prize for contributions to the study of economic growth
k
=i
– k
由 i = sf(k) , 这就是:
k = sf(k) – k
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 13
K 的变动方程式
k = sf(k) – k
Solow 模型的核心方程式 决定了资本随时间变化的行为 …这样，它也就决定了所有其它 内生变量的行
投资 investment
k
折旧 depreciation
k2
k*
LECTURE 7 Economic Growth I
Capital per worker, k
slide 20
向稳态的移动Moving toward the steady state