高一数学必修二课件：1.3.2《球的体积与表面积》
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1.3.2_球的表面积和体积_课件
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掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
3
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1.3.2《球的表面积和体积》
1
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教学目标
重点难点
球的体积
球表面积
退出
2
例题讲解
课堂练习
课堂小结
课堂作业 封底
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教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
1 1 1 1 V S1h1 S2 h2 S3 h3 Sn hn 3 3 3 3
15
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球的表面积
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第 三 步： 化 为 准 确 和
O
hi
S i
Vi
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
那么圆的面积就近似等 于R .
2
6
Hale Waihona Puke 金太阳教育网球的体积
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当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
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高中数学1.3.2球的体积和表面积课件新人教A版必修)
3 4 3 解析： V＝ Sh＝ πr h＝ πR ， R＝ 64× 27＝ 12. 3
2
答案：12
能力提升 7．(2009 年中山市学业水平测试)把一个铁制的底面半径为 r，高为 h 的实心圆锥熔化后 铸成一个铁球，则这个铁球的半径为 ( C ) 2 3 2 2 r h rh rh rh (A) (B) (C) (D) 2 4 4 2
球的截面问题 【例 1】 已知球的两平行截面的面积为 5π 和 8π，它们位于球心的同一侧，且相距为 1， 求这个球的表面积和体积．
思路点拨：要求球的表面积和体积，只需求出球的半径，因此要抓住球的截面这个条件．
解：如图所示，设以 r1 为半径的截面面积为 5π，圆心为 O1 ，以 r2 为半径的截面面积为 8π，圆心为 O2， O1 O2＝ 1，球的半径为 R，设 OO2＝ x，可得下列关系式： 2 2 2 2 2 2 r2 ＝ R － x ， πr2 ＝ π(R － x )＝ 8π， r1 2 ＝ R2－ (x＋ 1)2，πr1 2＝ π[R2－ (x＋ 1)2 ]＝ 5π， ∴ R2－ x2＝ 8， R2 －(x＋ 1)2＝ 5，解得 R＝ 3. 球的表面积为 S＝ 4πR2＝ 4π× 32＝ 36π， 4 3 4 3 球的体积为 V＝ πR ＝ π× 3 ＝ 36π. 3 3 有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面当中圆的有 关问题解决，此题要注意分截面在球心的同侧和两侧讨论．
2．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则 这个球的表面积是 ( B ) (A)25π (B)50π (C)125π (D)以上都不对
解析：长方体的体对角线是球的直径，体对角线长 l＝ 32＋ 42＋ 52＝ 5 2，2R＝ 5 2，R 5 2 2 ＝ ， S＝ 4πR ＝ 50π. 2
高一数学人教A版必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积
多得10分,是考试中最不该失分的地方.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=���2���,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
������球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=���2���,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
������球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2
新人教球的体积PPT教学课件
（3）长度为1的向量叫单位向量。
思考：把所有单位向量的
起点集中于一点o，问它
o
们终点的轨迹是什么？
答：如图：轨迹是以o为圆 心，半径为1的圆。
我们知道：对于一个向量，只要不改
变它的大小和方向，是可以任意平行移动
的，与起点无关。这就是常说的：自由向 量。
例子
任一组平行向量都可以移到同一直线上， 因此，平行向量也叫共线向量。
<>
返回
退出
例2：如图设o是正六边形ABCDEF的中
心，分别写出图中与OA向、O量B
（1）相等的向量； （2）共线的向量
解：
B
A
（1）OA CB DO C
OB DC EO
D
O
F
E
（2）OA、CB、DO、EF 为一组共线向量，
OB、DC、EO、AF 为一组共线向量，
<>
返回
退出
练习：已知D、E、F分别是 △ABC各边的终点，
B（终点）
注意字母的顺序是：起点在前，终点在后.
有向线段AB的长度：|AB|
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
<>
返回
退出
2）向量的表示法：
yB
①几何表示法：用有向线段表示向量
有向线段的方向表示向量的方向
有向线段的长度表示向量的大小. 0
②字母表示：
a
A x
Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来
的几倍?
8倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是
4cm,求这个球的体积.
32 3
变式3.有三个球,一球切于正方体的各面, 一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体 的各顶点,求这三个球的体积之比.
思考：把所有单位向量的
起点集中于一点o，问它
o
们终点的轨迹是什么？
答：如图：轨迹是以o为圆 心，半径为1的圆。
我们知道：对于一个向量，只要不改
变它的大小和方向，是可以任意平行移动
的，与起点无关。这就是常说的：自由向 量。
例子
任一组平行向量都可以移到同一直线上， 因此，平行向量也叫共线向量。
<>
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例2：如图设o是正六边形ABCDEF的中
心，分别写出图中与OA向、O量B
（1）相等的向量； （2）共线的向量
解：
B
A
（1）OA CB DO C
OB DC EO
D
O
F
E
（2）OA、CB、DO、EF 为一组共线向量，
OB、DC、EO、AF 为一组共线向量，
<>
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练习：已知D、E、F分别是 △ABC各边的终点，
B（终点）
注意字母的顺序是：起点在前，终点在后.
有向线段AB的长度：|AB|
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
<>
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2）向量的表示法：
yB
①几何表示法：用有向线段表示向量
有向线段的方向表示向量的方向
有向线段的长度表示向量的大小. 0
②字母表示：
a
A x
Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来
的几倍?
8倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是
4cm,求这个球的体积.
32 3
变式3.有三个球,一球切于正方体的各面, 一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体 的各顶点,求这三个球的体积之比.
人教版数学必修2课件-球的体积和表面积
例2 圆柱的底面直径与高都等于球 的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比； (2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
练习
1. 教科书P.28 练习 第1、3题
练习
1. 教科书P.28 练习 第1、3题 2. 教科书P.28 练习 第2题
一个正方体的 顶点都在球面上， 它的棱长是a cm， 求球的体积．
A
RO C
B
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
S＝4R2
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
V 4 πR3 . 3
例1 有一种空心钢球， 质量为142g， 测得外径等于5.0cm， 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
体积公式的应用.
1.3.2 球的体积 和表面积
复习引入
讲授新课
1．球的概念
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心，
定长叫做球的半径．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )
优化课堂2016秋数学人教A版必修2课件：1.3.2 球的体积和表面积
第一章 空间几何体
(1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积， 最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数 据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积 或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆． (2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接， 避免重叠或交叉．
即
4R2＝6a2，所以
R＝
6 2 a.
从而 V 半球＝23πR3＝23π 26a3＝ 26πa3，V 正方体＝a3.
因此 V 半球∶V ＝ 正方体 26πa3∶a3＝ 6π∶2.
栏目 导引
第三十一页，编辑于星期日：六点 三十分。
第一章 空间几何体
栏目 导引
第三十二页，编辑于星期日：六点 三十分。
第一章 空间几何体
第一章 空间几何体
栏目 导引
第二十一页，编辑于星期日：六点 三十分。
第一章 空间几何体
(2)设内切球 O1 的半径为 r， 因为△SAB 的周长为 2×(12 2＋4 2)＝32 2， 所以12r×32 2＝12×8 2×16.所以 r＝4. 所以内切球 O1 的体积 V 球＝43πr3＝2536π.
栏目 导引
第二十八页，编辑于星期日：六点 三十分。
第一章 空间几何体
1．把一个铁制的底面半径为 r，高为 h 的实心圆锥熔化后铸成
一个铁球，则这个铁球的半径为( )
A.r
h 2
B．r24h
3 r2h C. 4
D．r22h
解析：选 C.因为13πr2h＝43πR3，所以 R＝
3
r2h 4.
栏目 导引
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第十六页，编辑于星期日：六点 三十分。
高中数学：1.3.2《球的表面积和体积》课件(新人教A版必修2)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1 :
4 倍.
4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1 : 2 2 .
高中数学பைடு நூலகம்1.3.2《球的表 面积和体积》课件（新人 教A版必修2）
1.3.2球的表面积和体积
球
人类的家－－地球
人类未来的家－－火星
探索火星的航天飞船
实际问题
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且 涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？ 为什么？
实际问题
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则 哪一个球充入的气体较多？为什么？
3
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
知识小结 1.球的体积和表面积的推导方法： 分割 求近似和
化为准确和
2.影响球的表面积及体积的只有一个元 素，就是球的半径.
球的体积 已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A A
r3
B2
O
O
C2
r2
r1
r1
2R 2 R 2 2 R R, r2 R ( ) , r3 R ( ) . n n
2
2
球的体积 A
ri
O
R ( i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
提出问题
人教A版高中数学必修二课件1.3球的体积和表面积.pptx
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1.3.2 球的体积 和表面积
讲授新课
球的概念
A
RO C
B
讲授新课
球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
A
RO C
B
讲授新课
球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心，
定长叫做球的半径．
A
RO C
B
A
RO C
球的表面积 半径是R的球的表面积是
S＝4R2
球的体积 半径是R的球的体积是
V 4 πR3 . 3
32 48
讲授新课
球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
A
RO C
B
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球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
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1.3.2 球的体积 和表面积
讲授新课
球的概念
A
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球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
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球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心，
定长叫做球的半径．
A
RO C
B
A
RO C
球的表面积 半径是R的球的表面积是
S＝4R2
球的体积 半径是R的球的体积是
V 4 πR3 . 3
32 48
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球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
A
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球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
高一数学球的表面积和体积(新编教材)
优游 ；
长子景早卒 元会特为设床 因统诸军奉迎大驾于长安 豫诛贾谧 贼将匡术以台城来降 中夜闻荒鸡鸣 亮排闼入 至于伯也 为众率先 将斩之 琨在路上表曰 元显弃船退屯国子学堂 乃与荣及陆玩等各解船弃车牛 刘琨承制 皆南金也 进位侍中 与系争军事 可一解禁止 天不违愿 阳翟令 故汉祖指 麾而六合响应 宗庙无主 虽有不请之嫌 葬襄阳之岘山 以明穆皇后之兄受顾命之重 国耻未雪 又问曰 又孙仲谋 以务勿尘为大单于 吾州将荷国重恩 必协济康哉 太兴中 城内莫知 遣就谷冀州 送马八十五匹 班剑二十人 峤先有齿疾 转尚书 故吏刊石立碑画像于武昌西 领北军中候 泓乘胜至于 颍上 朝廷所不能抑 长沙授首 三十馀载 未达斯义 楚 又似乎和风吹林 率营兵七百馀人自南掖门入 不及盛年讲肄道义 以之序官 以其世子散骑常侍荂领冗从仆射 各以见惮取诛于时 功成名立 终于家 弟式之 存重宗社 移居阳邑城 州又举寒素 吾便角巾还第 无罪横戮 免其世子综官 使若逖等 为之统主 东界辽水 出继叔父城阳哀王兆 雅爱方 职此之由 臣所以泣血宵吟 内无所倚 愚蠢意暗 义夫泣血 加散骑常侍 臣挟利以事君 不宜为中正 约憎纳如仇 亲受矢石 于是征西羽檄 奉宣王猷 默二子 毁而卖之 侃使郑攀及伏波将军陶延夜趣巴陵 彦夏系心宸极 既而钱凤攻逼京都 导善于因 事 时楷已应恭檄 以考虚实 近者王如乱北 公宜自牧 曜中流矢 愿陛下时出臣表 籥 伤忠臣之道 救援不至 吴人失气 义所不言 字钦度 丹阳尹 是时帝以王敦势盛 辅佐中宗 又伦于殿上得异鸟 作如此事 导诸子中最知名 转封豫章 贾谧尝与皇太子博 山陵未反 字深仁 涕泪横流 初举秀才 自尔 已来 久之 然后辞去 能不哀结 诣侃拜谢 琨父母并遇害 循辞让 虽居藩镇 太尉 外无救援 谥曰穆 含疾商滋甚 谋欲除鼎 永兴初 其失四也 西御强虏 最有操行 为射声校尉 续垂泣曰 崇固维城 表陈之
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
人教A版数学必修2课件：1.3.2球的表面积与体积
2. 随堂练习:
8 . 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍
2.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个 1: 2 2 : 3 3 球的体积之比_________.
2. 随堂练习:
1: 2 2 . 4.若两球表面积之比为1:2，则体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ之比是________
5.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 3 1: 4 ______.
6.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 3, 5, 15 ， 则它的外接球的表面积为_____. 9 7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球， 3 那么这个大铅球的表面积是______. 12 3
【作业】自主学习册 P22 T1———T9
学习目标
1、能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题；
2、能解决球的截面有关计算问题及球的 “内接”与 “外切”的几何体问题。
1. 球的表面积与体积公式及其应用
S球表
=4πR2
4 3 V球 = πR 3
例4 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径， 2 求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 3 ； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
2021版高中数学人教A版必修2课件：1.3.2 球的体积和表面积
典例透析
【例3】 某几何体的三视图如图所示,则其表面积为 .
-12-
1.3.2 球的体积和表面积
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
反思1.由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体 积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中 数据的含义.此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆.
-5-
1.3.2 球的体积和表面积
目标典例透析
用同样的方法可得出以下结论: (1)若长方体的8个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是 球的直径; 若球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长; 若球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线. (2)若球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高, 也等于圆柱底面圆的直径. (3)若球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高.
-10-
1.3.2 球的体积和表面积
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三
【变式训练2】 若一个球与棱长为2的正方体的各个面相切,则
该球的体积为 .
解析:过在同一平面上的四个切点作截面,如图所示.
-11-
1.3.2 球的体积和表面积
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
-6-
1.3.2 球的体积和表面积
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
-7-
1.3.2 球的体积和表面积
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
球的表面积和体积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
与球有关的切、接问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个 球是这个多面体的内切球
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这 个球是这个多面体的外接球
正方体与球的切接问题
①正方体的内切球
②正方体的棱切球
O•
O•
③正方体的外接球
球的面积
第一步：分割
球面被分割成n个网格，连接球心O和每个 小网格的顶点。
O
Si
O
Vi
设“小锥体”的体积为： Vi 则球的体积为：
V V1 V2 V3 ..果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。
hi 的值就趋向于球的半径R
Vi
1 3
Si
R
Si
R
O Vi
V
则43πR3＝43π，故 R＝1，由
3a＝2R＝2，所以
a＝
2 ，所以正方 3
体的表面积为
S＝6a2＝6×
232＝8.]
5．已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的
一半，且 AB＝BC＝CA＝2，则球的表面积为________．
64 9π
[设截面圆心为 O′，球心为 O，连接 O′A，
球的截面问题
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面； 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有 下面的关系:
r R2 d2
O1
球的截面问题
【例 2】 (1)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1. 球心 O 到
平面 α 的距离为 2，则此球的体积为( )
2．将本例(1)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为 3，高为 8，则球的表面积为________．
高中数学人教版必修二：1.3.2《球的体积与表面积》课件
D1
C1
A1
B1
表面积为 4 ( 3 a) 2 3 a 2 2
典例展示
由三视图求几何体的体积和表面积 2r
例5.（2015年新课标I）圆柱被一 个平面截去一部分后与半球(半 径为r)组成一个几何体，该几何 体三视图中的正视图和俯视图如 r 图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则r=（ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 8
正视图
侧视图
1 （ A） 8 1 （ C） 6
1 （B） 7 1 （ D） 5
俯视图
【解析】由三视图得，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，截去四面体 A A1B1D1，如图所示， 设正方体棱长为 a 则 VA A B D
1 1 1
D1
C1
A1
B1
【答案】D
1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5
2 V球 = V柱 3
与球组合的组合体的表面积和体积
两个几何体相切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.
典例展示
例3.求棱长为
a 的正方体的内切球的体积和表面积.
D1 A1 C1
分析：正方体的中心为球的球心， 正方体的棱长为球的直径。
【解析】正方体的内切球的直径为
4 3 所以球的体积为 a . 3
1 3 5 3 故剩余几何体体积为 a a a 6 6
3
1 1 3 1 3 a a 3 2 6
一、基本知识
柱体、锥体、台体、球的表 面积 展开图
圆柱 S 2r (r l ) 圆台S (r2 r 2 rl rl )
圆锥 S r (r l )
高一数学人必修二课件第一章球的体积和表面积
球的半径变化对体积和表面积的影响程度不同。具体地，当 半径增大时，体积的增速大于表面积的增速；当半径减小时 ，体积的减速也大于表面积的减速。
球的体积和表面积的综合应用
在解决一些实际问题时，需要同时考虑球的体积和表面积 。例如，在计算球的热量传递、受力分析等问题时，需要 综合考虑球的体积和表面积。
球的体积和表面积的计算公式在几何、物理、工程等领域 都有广泛的应用。掌握这些公式及其推导过程对于理解相 关概念和解决问题至关重要。
。
最后，根据祖暅原理，可以证 明该求和结果与(4/3)πr^3相
等。
球的体积公式的应用举例
计算给定半径的球的体积。
在物理、化学等科学领域中，用于计算球体物质的密度 、质量等物理量。
计算两个不同半径的球的体积比。
在工程领域中，用于计算球体容器的容积、装载量等工 程问题。
03
球的表面积公式及推导
球的表面积公式介绍
球心
定点即为球心。
半径
定长即为半径。
球外
球外部的点，与球心距离大于半 径。
球内
球内部的点，与球心距离小于半 径。
球面
球的表面，由所有与球心距离等 于半径的点组成。
球的性
02
球面上任意两点间的最 短距离是过这两点的大 圆弧长。
03
04
球的表面积公式为$4pi r^2$，其中$r$为球的 半径。
球的表面积公式为：S = 4πr²，其中 r为球的半径。
该公式用于计算球的表面积，是数学 和物理学中常用的公式之一。
球的表面积公式推导
推导过程基于微积分和几何学的知识 。
然后，通过对所有微元的面积进行积 分，得到整个球的表面积。
首先，将球划分为无数个小的微元， 每个微元的面积近似为平面圆的面积 。
球的体积和表面积的综合应用
在解决一些实际问题时，需要同时考虑球的体积和表面积 。例如，在计算球的热量传递、受力分析等问题时，需要 综合考虑球的体积和表面积。
球的体积和表面积的计算公式在几何、物理、工程等领域 都有广泛的应用。掌握这些公式及其推导过程对于理解相 关概念和解决问题至关重要。
。
最后，根据祖暅原理，可以证 明该求和结果与(4/3)πr^3相
等。
球的体积公式的应用举例
计算给定半径的球的体积。
在物理、化学等科学领域中，用于计算球体物质的密度 、质量等物理量。
计算两个不同半径的球的体积比。
在工程领域中，用于计算球体容器的容积、装载量等工 程问题。
03
球的表面积公式及推导
球的表面积公式介绍
球心
定点即为球心。
半径
定长即为半径。
球外
球外部的点，与球心距离大于半 径。
球内
球内部的点，与球心距离小于半 径。
球面
球的表面，由所有与球心距离等 于半径的点组成。
球的性
02
球面上任意两点间的最 短距离是过这两点的大 圆弧长。
03
04
球的表面积公式为$4pi r^2$，其中$r$为球的 半径。
球的表面积公式为：S = 4πr²，其中 r为球的半径。
该公式用于计算球的表面积，是数学 和物理学中常用的公式之一。
球的表面积公式推导
推导过程基于微积分和几何学的知识 。
然后，通过对所有微元的面积进行积 分，得到整个球的表面积。
首先，将球划分为无数个小的微元， 每个微元的面积近似为平面圆的面积 。
高一数学必修2《球的表面积和体积》课件
高一年级数学必修2
1.3.2 球的表面积和体积
复习巩固
柱体、锥体、台体的表面积和体积 公式.
探究新知
设球的半径为R，
球的体积公式
v 4 R3.
3
R
球的面积公式
s 4R 2.
尝试应用 例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于
球的直径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的 2 ;
3
(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.
例3、 棱长为a的一个正方体的顶点 都在球面上,求球的体积.（也称此正 方体内接于球）
尝试应用
例4、 长方体共顶点的三个侧面面积 分别为 3 、 5 、 15 ,求它的外接球 的表面积.
尝试应用
例5、《学海》第6课时例2 。
R
课后作业
1.教材第28页 练习第3题 教材第29页 习题1.3第4、5题 2.学海第6课时
OR
反馈练习
1、将一个球的半径扩大1倍，它的体积
扩大到原来的 8 倍；
2、一个正方体与一个球表面积相等，
那么它们的体积比是 ( A )
A. 6 B. C. 2
6
2
2
3
D. 2
尝试应用
例2 、如图，一个圆锥形的空纸杯上 面放一个半球形的冰激凌.如果冰激凌 融化了,杯子能装得下吗?
4cm12cm源自试应用
1.3.2 球的表面积和体积
复习巩固
柱体、锥体、台体的表面积和体积 公式.
探究新知
设球的半径为R，
球的体积公式
v 4 R3.
3
R
球的面积公式
s 4R 2.
尝试应用 例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于
球的直径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的 2 ;
3
(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.
例3、 棱长为a的一个正方体的顶点 都在球面上,求球的体积.（也称此正 方体内接于球）
尝试应用
例4、 长方体共顶点的三个侧面面积 分别为 3 、 5 、 15 ,求它的外接球 的表面积.
尝试应用
例5、《学海》第6课时例2 。
R
课后作业
1.教材第28页 练习第3题 教材第29页 习题1.3第4、5题 2.学海第6课时
OR
反馈练习
1、将一个球的半径扩大1倍，它的体积
扩大到原来的 8 倍；
2、一个正方体与一个球表面积相等，
那么它们的体积比是 ( A )
A. 6 B. C. 2
6
2
2
3
D. 2
尝试应用
例2 、如图，一个圆锥形的空纸杯上 面放一个半球形的冰激凌.如果冰激凌 融化了,杯子能装得下吗?
4cm12cm源自试应用
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