理论力学第三章

Fx 0 Fy 0
Mz 0
五、力偶
； 两个大小相等，方向相反且不共线的平行力，就叫做力偶。
a、力偶不存在合力。 力偶作用的效果不能改变刚体平动，只能改变刚体转动。 b、力偶矩 力偶对力偶面内任一点的力矩。
M r2 F2 r1 F1 (r2 r1 ) F r F
x0 ( x)
(a)
x0
(b)

初始时刻
z0 z2
：进动角，
y2
z0
：进动角，
：章动角，


z
y
确定刚体绕这轴线所转过 的角度
：自转角。
y0
O
O

y0
x2 ( N )
x0

N (d)
x
x0
(c)

：章动角，
：自转角。
欧勒动力学方程
k0 k
x i y j z k '
这里只是把 n 看成一个有方向的量，并不确定它是矢量。
O
假设刚体相继完成两次无限小的转动，先绕瞬时轴L1 转过一微小角位移n1

相继绕 L2 瞬时轴再转过一角位移n2 ， 看一下P点的位移
第一次转过后 第二次转过后
r1 n1 r
r2 n2 (r n1 r ) n2 r
P点的总位移
r1 r2 (n1 n2 ) r
表明P点经两个分转动而产生的位移之和等价于一个合转动产生的位移， n n 而这个合转动的角位移是两个分转动的角位移之和 1 。 2
将转动的次序换一下，用同样道理可以得到
第一次转过后 第二次转过后 P点的总位移
v
dr dn r r dt dt
v r
3.3
欧勒角
刚体在做定点运动时自由度为3，需要确定转动轴在空间 的取向（2个独立变量）和刚体绕这轴线所转过的角度 （1个独立变量），这三个角度叫做欧勒角。
z0 ( z1 )
z0 ( z )
ON：节线，
y1
O
O
y0 ( y)

y0 x1
确定转动轴的取向：
r2 n2 r r1 n1 (r n2 r ) n1 r r2 r1 (n2 n1 ) r
(n1 n2 ) r (n2 n1 ) r
r1 r2 r2 r1
合力
F Fi
i
F2
r
P
F1
' F
二、合力矩的求法
M o M i ri Fi
i
注：一般把简化中心选在质心，外力的主矢使质心的平动运动状态发 生变化，主矩使刚体绕通过质心的转动发生变化。
三、刚体运动微分方程
刚体受一般力系的作用可以简化为通过刚体质心的一个力和对质心的一个 力矩。
例题、试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘对垂直于平面且 过中心轴的转动惯量. 解： 取质量元为圆环
dr
J r 2dm
m
R
r 2 2 rdr
0
R
o r
1 4 R 2
1 mR 2 2
例题、求质量为m、长为 L的均匀细棒对下面三种转轴的转动 惯量:(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；(2)转轴通过棒的一 端并和棒垂直；(3)转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。
F
F
注意：作用在刚体上的力虽然可以沿力的作用线滑移，但是力的作用线 的位置不能任意平移。
F
F
应用举例：
F2
F2 F1 F3 F2 F2
F1
r
o
F1
特殊情况：平行力系
F1
F2 ' +力矩 r F 2
一般力系
取任一点O为简化中心，先将各力平移到简化中心O点，为了与原来力 系等效，每一个平移到简化中心的力都必须附加一力矩，此力矩等于 原来各力对简化中心的力矩。
第三章
刚体力学
刚体：一种特殊的质点系，内部任何两点的距离在运动中保 持不变。 刚体是一种理想化模型，当物体的大小变化和形状变化可以 忽略时，可认为是刚体。 内容 1.刚体运动的描述 2.刚体动力学
3.1 刚体运动的描述
一、自由刚体的自由度
自由刚体指运动不受任何限制的刚体。 确定基点A：三个变量，且独立； 三个变量，即轴线与x轴、y轴、z轴 确定过A且与刚体固连的轴线： 的三个方向角，两个独立变量；因为
( e ) m r F c Fi
mxc Fx myc Fy mzc FZ
对于自由刚体，它的质量中心好像一具有质量为m的质点，而所有的外 力都作用在该质点上，该质点的动量对时间的微商等于诸外力的矢量 和。
dJ ' M' dt
（质点系的角动量定理）
刚体在质心坐标系中，对质心的动量矩对时间的微商，等于诸外力对 质心力矩的矢量和。
cos
3.4
质点的平衡条件 刚体的平衡条件
刚体的运动方程与平衡方程
合力=0 合力 合力=0 =0 ？ 合力矩=0 质点系的平衡条件
一、合力的求法
与质点不同的是，力的作用点不在同一点上 1、力的可传性
实验事实表明：如果 F2 F1 ，刚体保持 平衡，证明力具有可传性。
力的可传性：力的作用点可沿其作用线改变，但不会改变刚体的运动效果。 可认为作用在刚体上的力是滑移矢量。
2 Lz mi ri i
2 I r 定义： i mi 为刚体对转轴的转动惯量，则
T
1 I z 2 2
T
1 2 mv 2
Lz I z
p mv
转动惯量：物体转动中惯性大小的量度。 质量：物体平动中惯性大小的量度。
I r 2 dm
转动惯量的大小与质量分布和转轴位置都有关。 例题、质量为m的质点绕轴转动，质点与轴的距离为r，则其对 轴的转动惯量为多少？ I mr 2 例题、试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环对垂直于圆环面 且过中心轴的转动惯量. I mR 2
(1) I O r dm l / 2 x dx
2 2
l / 2
A l/2 A
O
ml 12 12
l
l
3
2
x dx l/2
2 ml 2 I x dx (2) A 0 3 3
l 3
x l h
dx
ml (3) I B l / 2 h x dx mh 2 A 12
盘面的轴的转动惯量；(2)此圆盘对通过其直径的轴的转动惯 量。
二 由转动惯量计算刚体定点运动的角动量和动能
刚体最复杂的自由运动，可分解为随质心的平动和绕 质心的定点运动。 刚体动力学中最复杂最困难的问题是刚体定点运动 动力学问题。 它的困难在于两方面： (1)需要引入张量的概念 (2)动力学方程组是非线性的
n
P
绕OM轴转动微小角度 ，它的大小是 ， 方向沿转轴的方向，用右手螺旋法则决定其指向， 因此，我们可以用 来代表角位移的大小 n 和方向。
r

P
'
M

r r
r
PM r sin r sin n
r n r
分解为平面内某一点的平动和绕垂直于平面的轴的转动， 独立变量为3；
5.定点转动 刚体在运动过程中，只有一点固定不动，刚体绕通过这点的
某一瞬时轴线转动， 确定轴线的空间取向和刚体绕这轴线转过的角度，独立变量为3。
3.2
角速度矢量
有量值有方向的量不一定就是矢量（例如电流强度） 矢量的判断：有大小、有方向、满足矢量对易 A B B A 1、有限大小的角位移不是矢量 2、无限小的角位移是矢量
l / 2 h 2
2
O
l
x
dx
平行轴定理
平行轴定理 — I I C Md 2 垂直轴定理 正交轴定理 Iz Ix I y — I Z I X IY
回转半径
I m k2
把刚体等效于一个质点，使得刚体对某轴的转动惯量等于 该质点对某轴的转动惯量，这个质点到此轴的距离就是对 该轴的回转半径。
cos x sin sin sin sin cos y cos z
k : :
0
0 sin

0
cos
k0 : sin sin
sin cos
n1 n2 n2 n1
这就证明了两个无限小的角位移的合成是可以对易的。 因此无限小的角位移是矢量。 角速度必定是矢量。
3、角速度矢量
n d n lim t 0 t dt
d 方向沿着该时刻的瞬时轴，并用右手螺旋法则判定，大小等于 dt
刚体上任一点的线速度与角速度的关系式
解决刚体定点运动动力学问题的途径： (1)运用质点系的三大定理，通过这种方法，我们对角 动量定理将会有更全面、更深刻的认识 (2)运用分析力学方法
1、刚体定点运动时对定点的角动量的计算
a (b c ) (a c )b (a b )c
确定刚体绕该轴线转过的角度：一个变量
故确定自由刚体位置所需独立变量数为6， 即自由刚体的自由度s=6。
二、刚体运动的分类
1.一般运动 三个平动变量，三个转动变量，独立变量为6；
2.平动 所有质点都有相同的速度和加速度；独立变量为3；
3.定轴转动 独立变量为1； 4.平面平行运动 任意一点的运动轨迹都平行于某一固定平面；