2018-2019北京市丰台区高三第一学期期末数学(理科)试卷及答案

丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 2019.01

第一部分 （选择题 共40分）

一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B = （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}-

（D ）{|22}x x -≤≤

2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a = （A ）3

（B ）

13

（C ）13

-

（D ）3-

3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为

（A ）34 （B ）

45 （C ）56

（D ）67

4．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =. 若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 （A ）30 （B ）45 （C ）90

（D ）186

5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为 （A ）2 （B

（

C

）（D ）

俯视图

侧（左）视图

正（主）视图

6．设a ，b 是非零向量，则“=a b ”是“2

=a a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点

A ，另一端固定在点

B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使

铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为

（A ）

6

5

（B ）

54

（C ）

32

（D ）

52

8．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分 别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线

1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值

为 （A

（B ）1 （C

（D ）2

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．在极坐标系中，圆C ：2sin =ρθ的圆心到点(1,0)的距离为____． 10．5(21)x -展开式中2x 的系数为____． 11．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>b

a

，则>b a ”是假命题的一组整数．．,a b 的值依次为____．

12．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪

-⎨⎪-+⎩

≥≤≥ 则2z x y =-的最大值为____．

13．动点(,)A x y 在圆221x y +=上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间0t =时，

C 1

A 1

点

A

的坐标是1

)2

，则当06t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的值域为____．

14．已知函数33,,

()2,

.x x x a f x x x a ⎧-+=⎨<⎩≥

① 若0a =，则函数()f x 的零点有____个；

② 若存在实数m ，使得函数()y f x m =+总有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是____．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15．（本小题13分）

在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3a =

，b =，1

cos 3

B =. （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求AB

C △的面积.

16．（本小题14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，Q 为棱PD 的中点，PA AB =．

（Ⅰ）求证：AQ CD ⊥；

（Ⅱ）求直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角C AQ D --的余弦值．

17．（本小题13分）

2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：

备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．

（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；

（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.

（i ）记X 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X 的分布列；

（ii ）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％.记Y 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量,X Y 的均值()E X 和()E Y 的大小.（只需写出结论）

18．（本小题14分）

已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为1

2，直线:(4)

l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ，直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：||||FA FB =.

19．（本小题13分）

设函数()sin cos ,[0,]2

f x a x x x x π

=-∈． （Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；

（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值．

20．（本小题13分）

将m n ⨯阶数阵1112

12122212

,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j s t a a =）.如果对于任意的1,2,3,

,i m =，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵