2018-2019北京市丰台区高三第一学期期末数学(理科)试卷及答案

丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 2019.01第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B = （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}-（D ）{|22}x x -≤≤2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a = （A ）3（B ）13（C ）13-（D ）3-3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（A ）34 （B ）45 （C ）56（D ）674．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =. 若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 （A ）30 （B ）45 （C ）90（D ）1865．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为 （A ）2 （B（C）（D ）俯视图侧（左）视图正（主）视图6．设a ，b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（A ）65（B ）54（C ）32（D ）528．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分 别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为 （A（B ）1 （C（D ）2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．在极坐标系中，圆C ：2sin =ρθ的圆心到点(1,0)的距离为____． 10．5(21)x -展开式中2x 的系数为____． 11．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>ba，则>b a ”是假命题的一组整数．．,a b 的值依次为____．12．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥ 则2z x y =-的最大值为____．13．动点(,)A x y 在圆221x y +=上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间0t =时，C 1A 1点A的坐标是1)2，则当06t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的值域为____．14．已知函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-+=⎨<⎩≥① 若0a =，则函数()f x 的零点有____个；② 若存在实数m ，使得函数()y f x m =+总有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15．（本小题13分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3a =，b =，1cos 3B =. （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求ABC △的面积.16．（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，Q 为棱PD 的中点，PA AB =．（Ⅰ）求证：AQ CD ⊥；（Ⅱ）求直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角C AQ D --的余弦值．17．（本小题13分）2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.（i ）记X 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X 的分布列；（ii ）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％.记Y 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量,X Y 的均值()E X 和()E Y 的大小.（只需写出结论）18．（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，直线:(4)l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ，直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：||||FA FB =.19．（本小题13分）设函数()sin cos ,[0,]2f x a x x x x π=-∈． （Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值．20．（本小题13分）将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j s t a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m =，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A .（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列； （Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2018~2019学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2019．01二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空3分，第二空2分） 9 10．40-11． 满足0b a <<且,a b ∈Z 即可12．1 13．1[,1]2- 14．2；0a <且1a ≠- 三、解答题（共6小题，共80分） 15.（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为3a =，b =，1cos 3B =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， (2)分可得2230c c --=， (4)分所以3c =，或1c =-（舍）． (6)分（Ⅱ）因为1cos ,(0,)3B B =∈π，所以sin 3B ==. 所以ABC △的面积11sin 33223S ac B ==⨯⨯⨯=. …………….13分16.（共14分）解：（Ⅰ）因为底面，底面，所以，正方形中， 又因为，所以平面，⊥PA ABCD ⊂CD ABCD CD PA ⊥ABCD CD AD ⊥A AD PA = ⊥CD PAD因为平面，所以． (4)分（Ⅱ）正方形中，侧棱底面.如图建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设. 依题意，则(0,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(0,1,1)A C P Q ，所以. 设平面的法向量，因为0AC AQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，所以.令，得，即， 所以1cos ,3||||CP CP CP <>==⋅n n n ，所以直线与平面所成角的正弦值为； ………………11分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以为平面的法向量，因为3cos ,||||DC DC DC <>==⋅n n n ， 且二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． …………………14分17．（共13分）⊂AQ PAD CD AQ ⊥ABCD AD AB ⊥⊥PA ABCD 2=AB ()()()110022222,,,,,,,,==--=ACQ =n ()z ,y ,x ⎩⎨⎧=+=+022z y y x 1=x ⎪⎩⎪⎨⎧=-==111z y x =n ()111,,-PC ACQ31⊥CD PAD ()0,0,2=PAD D AQ C --DAQ C --33解：（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，其中备受关注的智能及高端装备企业共家，设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A , 所以. ………………4分 （Ⅱ）消费电子及家电备受关注的企业有家，医疗器械及医药保健备受关注的企业有家，共36家. 的可能取值为0，1，2.； ； ；………………11分（Ⅲ）………………13分18.（共14分）解：（Ⅰ）由题意得222112.c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C的方程为22143x y += ………………5分 （Ⅱ）设()()112212,,,(11)M x y N x y x x ≠≠且.由()224,1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222433264120k x k x k +-+-=40025%100⨯=1001()360036P A ==6020%12⨯=3008%24⨯=X 22423646(0)105C P X C ===11122423616(1)35C C P X C ===21223611(2)105C P X C ===()()E X E Y >依题意()()()2222=3244364120k k k ∆--⋅+⋅->，即2104k <<. 则2122212232,436412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………8分 因为121211MF NF y yk k x x +=+-- ()()12124411k x k x x x --=+-- ()()()12121225811k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦=-- ()()222212641232258434311k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--0=.所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OFA OFB ∠=∠.因为O ⊥，所以||||FA FB =. …………………14分19．（共13分）解：（Ⅰ）因为1a =，所以()sin cos ,f x x x x =-()sin f x x x '= .当[0,]2x π∈时，()0f x '≥恒成立，所以 ()f x 在区间[0,]2π上单调递增，所以(f x =≥. . .. …… …….5分（Ⅱ）因为()sin cos ,[0,]2f x a x x x x π=-∈，所以()(1)cos sin f x a x x x '=-+.①当1a =时，由（Ⅰ）知，()0f x ≥对[0,]2x π∈恒成立；②当1a >时，因为[0,]2x π∈，所以()0f x '>. 因此()f x 在区间[0,]2π上单调递增， 所以()(0)0f x f =≥对[0,]2x π∈恒成立；③当1a <时，令()()g x f x '=，则()(2)sin cos g x a x x x '=-+， 因为[0,]2x π∈，所以()0g x '≥恒成立， 因此()g x 在区间[0,]2π上单调递增， 且(0)10()022g a g ππ=-<=>，， 所以存在唯一0[0,]2x π∈使得0()0g x =，即0()0f x '=.所以任意0(0,)x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 上单调递减. 所以()f x f <=，不合题意. . .. …… …….12分综上可知，a的最小值为1. . .. …… …….13分20．（共13分）解：（Ⅰ）4,6,8,102,3,5,71,9,11,12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）. . .. …… …….4分 （Ⅱ）数阵{}i j m n b ⨯具有性质A .只需证明，对于任意的1,2,3,,i n =，都有(1)i j i j b b +<，其中1,2,3,,1j n =-.下面用反证明法证明：假设存在(1)pq p q b b +>，则(1)(2),,,p q p q mq b b b ++都大于(1)p q b +，即在第q 列中，至少有1m p -+个数大于(1)p q b +，且(1)(1)(1)2(1)1(1)p q p q q q b b b b +-+++>>>>.根据题意，对于每一个(1)(1,2,,)t q b t p +=，都至少存在一个t i qa第 11 页 共 11 页 {}(1,2,3,,)t i m ∈，使得(1)t i q t q a b +<，即在第q 列中，至少有p 个数小于(1)p q b +. 所以，第q 列中至少有11m p p m -++=+个数，这与第q 列中只有m 个数矛盾. 所以假设不成立.所以数阵{}i j m n b ⨯具有性质A . . .. …… …….13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。