2020春北师版七年级数学下册 第2章 2.3.1 平行线的性质 典中点习题
北师大版七年级下册数学第二章知识点归纳附第二章测试卷及参考答案
4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。
七、平行线的判定方法
1、同位角相等，两直线平行。
2、内错角相等，两直线平行。
3、同旁内角互补，两直线平行。
4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
5、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。
3、尺规作图中直尺的功能是：
（1）在两点间连接一条线段；
（2）将线段向两方延长。
4、尺规作图中圆规的功能是：
（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；
（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；
5、熟练掌握以下作图语言：
（1）作射线××；
（2）在射线上截取××=××；
（3）在射线××上依次截取××=××=××；
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R
四、用心做一做，马到成功！
18、填空完成推理过程：（每空1分，共20分）
[1].如图，∵AB∥EF（ 已知 ）
∴∠A +=1800（ ）
∵DE∥BC（ 已知 ）
∴∠DEF=（ ）
∠ADE=（）
[2].如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1＝∠2．试判断BE与CF的关系，并说明你的理由．
解:BE∥CF.
理由：∵AB⊥BC，BC⊥CD (已知)
∴_______ = _________= ( )
∵ ( )
∴∠ABC－∠1=∠BCD－∠2 ，( )
即∠EBC=∠BCF
∴_______∥________ ( )
[3].如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D。试说明：AC∥DF。
北师版七年级下册数学第2章2.3.1平行线的性质习题课件
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答案呈现
9 10
认知基础练
1 【教材P51练习T1变式】【2021·遵义】如图，已知直 线a∥b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是 (B ) A.30° B．60° C．120°，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为 (D) A．90 ° B．100° C．110° D．120°
认知基础练
3 【2021·长沙】如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交 于 点 G ， H ， ∠ AGE ＝ 100° ， 则 ∠ DHF 的 度 数 为 (A) A．100° B．80° C．50° D．40°
认知基础练
4 【2021·大连】如图，AB∥CD，CE⊥AD，垂足为E， 若∠A＝40°，则∠C的度数为( B ) A．40° B．50° C．60° D．90°
10 如图，点C在直线GF上，AB∥DE∥GF，∠1 :∠D :∠B＝2 :3 :4.求∠1的度数．
解：设∠1＝2x，则∠D＝3x，∠B＝4x. 因为AB∥GF∥DE， 所以∠B＋∠GCB＝180°， ∠D＋∠FCD＝180°.
思维发散练
所以∠GCB＝180°－4x， ∠FCD＝180°－3x. 因为180°－4x＋180°－3x＋2x＝180°， 所以x＝36°. 所以∠1＝72°.
认知基础练
5 【 2021·呼 和 浩 特 】 如 图 ， 在 三 角 形 ABC中 ， ∠ B ＝ 50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°， 则∠EAC的度数是( D ) A．40° B. 50° C. 60° D. 70°
认知基础练
6 【2021·包头】如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交 l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C.若∠3＝50°，∠1 ＋∠2＋∠3＝240°，则∠4等于( B ) A．80° B．70° C．60° D．50°
2020-2021学年北师大版七年级下册数学 2.3平行线的性质 同步习题 (含解析)
2.3平行线的性质同步习题一．选择题1．如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点B，∠ABE＝150°，则∠A为（）A．110°B．120°C．135°D．150°2．如图，若AD∥BC，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4C．∠1＝∠2D．∠2＝∠33．下列各图形中均有直线m∥n，则能使结论∠A＝∠1﹣∠2成立的是（）A．B．C．D．4．如图，AB∥CD，∠A＝30°，∠F＝40°，则∠C＝（）A．65°B．70°C．75°D．80°5．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CED＝46°，那么∠BAF的度数为（）A．48°B．16°C．14°D．32°6．如图，直线MN∥PQ，点A是MN上一点，∠MAC的角平分线交PQ于点B，若∠1＝20°，∠2＝116°，则∠3的大小为（）A．136°B．138°C．146°D．148°7．如图，CE是∠ACD的平分线，CD∥AB，DE⊥CE，若∠DEB＝32°，则∠A的度数为（）A．62°B．64°C．68°D．70°8．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（）A．114°B．142°C．147°D．156°9．如图，直线a∥b，∠1＝70°，∠3＝50°，则∠2＝（）A．80°B．70°C．60°D．50°10．如图，已知直线l交直线a，b于A，B两点，且a∥b，E是a上的点，F是b上的点，满足∠DAE＝∠BAE，∠DBF＝∠ABF，则∠ADB的度数是（）A．45°B．50°C．60°D．无法确定二．填空题11．如图，a∥b，直角三角板直角顶点在直线b上．已知∠1＝50°，则∠2的度数为度．12．如图，一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图，其中两组对边的平行关系没有发生变化，若∠1＝75°，则∠2的大小是．13．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠C＝．14．如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝40°，则∠2等于．15．如图，已知AE∥BD，∠1＝88°，∠2＝28°．则∠C＝．三．解答题16．如图AB∥CD，∠B＝62°，EG平分∠BED，EG⊥EF，求∠CEF的度数．17．已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点G，H；GM平分∠FGB，∠3＝60°．求∠1的度数．18．已知：如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM．求证：∠B＝2∠DCN．参考答案一．选择题1．解：∵∠ABE＝150°，∴∠ABC＝30°，又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝30°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠BCD＝60°，又∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∴∠A＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°．故选：B．2．解：∵AD∥BC，∴∠3＝∠1，故选：A．3．解：A、∵m∥n，∴∠2＝∠1+∠A，∴∠A＝∠2﹣∠1，不符合题意；B、∵m∥n，∴∠1＝∠2+∠A，∴∠A＝∠1﹣∠2，符合题意；C、∵m∥n，∴∠1+∠2+∠A＝360°，∴∠A＝360°﹣∠2﹣∠1，不符合题意；D、∵m∥n，∴∠A＝∠1+∠2，不符合题意；故选：B．4．解：∵∠A＝30°，∠F＝40°，∴∠FEB＝∠A+∠F＝30°+40°＝70°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠FEB＝70°，故选：B．5．解：∵DE∥AF，∴∠CED＝∠EAF＝46°，∵∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAF＝∠BAC﹣∠EAF＝60°﹣46°＝14°，故选：C．6．解：延长QC交AB于D，∵MN∥PQ，∴∠2+∠MAB＝180°，∵∠2＝116°，∴∠MAB＝180°﹣116°＝64°，∵AB平分∠MAC，∴∠MAB＝∠BAC＝64°，△BDQ中，∠BDQ＝∠2﹣∠1＝116°﹣20°＝96°，∴∠ADC＝180°﹣96°＝84°，△ADC中，∠3＝∠BAC+∠ADC＝64°+84°＝148°．故选：D．7．解：∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠DCE，∵DE⊥CE，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠BED+∠AEC＝90°，∵∠DEB＝32°，∴∠AEC＝90°﹣∠DEB＝90°﹣32°＝58°，∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠BED，∴∠DCE＝∠AEC，∴∠ACE＝∠AEC，∴∠A＝180°﹣2∠AEC＝180°﹣2×58°＝64°．故选：B．8．解：∵∠1＝24°，CE⊥直线c于点E，∴∠EAC＝90°﹣∠1＝90°﹣24°＝66°，∵a∥b，∴∠EAC＝∠ABD＝66°，∵∠ABD的平分线交直线a于点C，∴∠CBD＝，∴∠2＝180°﹣∠CBD＝180°﹣33°＝147°，故选：C．9．解：如右图所示，∵a∥b，∴∠1＝∠4，∴∠1＝70°，∴∠4＝70°，∵∠3＝50°，∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣50°﹣70°＝60°，故选：C．10．解：∵a∥b，∴∠EAB+∠ABF＝180°，∵∠DAE＝∠BAE，∠DBF＝∠ABF，∴∠DAB+∠ABD＝×180°＝135°，∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠ABD）＝180°﹣135°＝45°，故选：A．二．填空题11．解：如图，∵∠1+∠3＝90°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣50°＝40°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°，故答案为：40．12．解：如图，∵AD∥BC，∠1＝75°，∴∠3＝∠1＝75°，∵AB∥CD，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．故答案为：105°．13．解：∵AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，∴∠CBD＝∠1＝130°．∵∠BDC＝∠2，∴∠BDC＝30°．在△BCD中，∠CBD＝130°，∠BDC＝30°，∴∠C＝180°﹣130°﹣30°＝20°．故答案为：20°．14．解：∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠1＝40°，∵EF是∠GEB的平分线，∴∠BEF＝∠BEG＝×40°＝20°，∵AB∥CD，∴∠2＝180°﹣∠BEF＝180°﹣20°＝160°．故答案为：160°．15．解：∵AE∥BD，∴∠1＝∠3＝88°，∵∠3＝∠2+∠C，∴∠C＝∠3﹣∠2＝88°﹣28°＝60°，故答案为：60°．三．解答题16．解：∵AB∥CD，∠B＝62°，∴∠BED＝∠B＝62°，∵EG平分∠BED，∴∠DEG＝∠BED＝31°，∵EG⊥EF，∴∠FEG＝90°，∴∠DEG+∠CEF＝90°，∴∠CEF＝90°﹣∠DEG＝90°﹣31°＝59°．17．解：∵EF与CD交于点H，（已知），∴∠3＝∠4．（对顶角相等），∵∠3＝60°，（已知），∴∠4＝60°．（等量代换），∵AB∥CD，EF与AB，CD交于点G，H，（已知），∴∠4+∠FGB＝180°．（两直线平行，同旁内角互补），∴∠FGB＝120°．∵GM平分∠FGB，（已知），∴∠1＝60°．（角平分线的定义）．18．证明：∵AB∥DE，∴∠B+∠BCE＝180°，∠B＝∠BCD，∵CM平分∠BCE，∴∠1＝∠2，∵CN⊥CM，∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4，∵∠3+∠4＝∠BCD，∴∠B＝2∠DCN．。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2-3平行线的性质》知识点分类练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》知识点分类练习题（附答案）一．平行线的性质1．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180°C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°2．如图，AB∥CD，连接AC、BC、BD，且BD⊥BC，下列结论：①若∠A＝2∠BDC，则∠ABC＝∠ACB；②若∠BDC与∠A互补，则2∠ABC+∠ACB＝90°，则（）A．仅①正确B．仅②正确C．①②都正确D．①②都不正确3．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG和∠GHF的平分线交于点M．若∠EGH＝82°，∠HFD＝20°，则∠M的度数为（）A．31°B．36°C．41°D．51°4．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF⊥DE，垂足为F，则∠ABE与∠EDC的数量关系是（）A．∠EDC﹣∠ABE＝90°B．∠ABE+∠EDC＝180°C．∠ABE＝∠EDC D．∠ABE+∠EDC＝90°5．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（）A．140°B．150°C．130°D．160°6．如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（）A．α，β的角度数之和为定值B．α随β增大而增大C．α，β的角度数之积为定值D．α随β增大而减小7．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°8．如图，l1∥l2∥l3，∠1，∠2，∠3如图所示，则下列各式正确的是（）A．∠3＝∠1+∠2B．∠2+∠3﹣∠1＝90°C．∠1﹣∠2+∠3＝180°D．∠2+∠3﹣∠1＝180°9．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④10．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（）A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°11．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为（）A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°12．如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处∠B＝140°，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释这一现象的数学知识是（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行13．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，折痕为DE，∠ABE平分线所在直线与∠EDH 平分线所在直线相交于点F，若∠F＝∠BED，则∠1的度数为．14．如图，点F是长方形ABCD的边BC上一点，将长方形的一角沿AF折叠，点B落在点E处，若AE∥BD，∠ADB＝28°，则∠AFC＝°．15．如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥CD，将纸片沿EF折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过点B，FD′交BC于点G，连结EG，EG平分∠BEF．（1）若∠CFG＝76°，则∠BEG的度数是；（2）若EG∥A′D′，∠A+∠DFE＝125°，则∠CFE的度数是．16．如图1，在矩形纸片ABCD中，点P在AD上，点Q在BC上，将纸片沿PQ折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．PF交BQ于点G．设∠QPG＝α．继续折叠纸片，使GF 落在BC边上（如图2），折痕为GM．（1）若α＝60°，则∠MGF＝°．（2）沿GF继续折叠，若GM恰好是∠PGF的三等分线，则α＝°．17．如图，已知AM∥CN，D为AM，CN之间一点，∠EAD＝32°，∠DCN＝88°，∠EAD 与∠DCN的角平分线交于点B，连结BD交AM、CN与点E、F，若∠ABD：∠CBD＝4：1，则∠ADF：∠CDF的比值为．18．如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．（1）若图中α＝70°，则β＝°（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的CD边与CB边重合（如图2），若继续沿CB边折叠，CE边恰好平分∠ACB，则此时β的度数为度．19．如图1，将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点A′，B'，折叠后A′M与CN相交于点E．（1）若∠B′NC＝48°，求∠A′MD的度数．（2）设∠B′NC＝α，∠A′MN＝β．①请用含α的代数式表示β．②当MA′恰好平分∠DMN时，求∠A′MD的度数．20．如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．（1）当∠FDC+∠ABC＝180°时：①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．②若∠ABC＝130°，求∠DFB的度数．（2）当∠C＝α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．二．平行线的判定与性质21．小明和小亮在研究一道数学题，如图EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为E，D，G在AC 上．小明说：“如果∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB”；小亮说：“连接FG，如果FG∥AB，则能得到∠GFC＝∠ADG”．则下列判断正确的是（）A．小明说法正确，小亮说法错误B．小明说法正确，小亮说法正确C．小明说法错误，小亮说法正确D．小明说法错误，小亮说法错误22．如图，AD，BC相交于点O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度数；（用含α的式子表示）（3）若点E在AB上，连接OE，EP平分∠OEB交CM于点P，如备用图所示，求证：∠COE＝2∠EPC+∠B．23．如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．24．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．25．如图，已知∠1+∠BDE＝180°，∠2+∠4＝180°．（1）证明：AD∥EF；（2）若∠3＝90°，∠4＝140°，求∠BAC的度数．参考答案一．平行线的性质1．解：过点E作EM∥AB，如图：∵AB∥CD，EM∥AB∴CD∥EM，∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．故选：C．2．解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∠A+∠ACD＝180°，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠ABC＝∠BCD＝90°﹣∠BDC，①∵∠A＝2∠BDC，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣2∠BDC，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝180°﹣2∠BDC﹣（90°﹣∠BDC）＝90°﹣∠BDC，∴∠ACB＝∠ABC，故①正确；②∵∠BDC与∠A互补，∴∠BDC＝180°﹣∠A，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝∠BDC，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝∠BDC﹣（90°﹣∠BDC）＝2∠BDC﹣90°，∴2∠ABC+∠ACB＝2（90°﹣∠BDC）+（2∠BDC﹣90°）＝90°，故②正确；故选：C．3．解：如图：过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，HK∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD，∵GN∥AB，∴∠AEG＝∠EGN，∵GN∥KH，∴∠NGH＝GHK，∵HK∥CD，∴∠HFD＝∠KHF，∵∠EGH＝82°，∠HFD＝20°，∴∠AEG+∠GHF＝102°，∵EM和MH是角平分线，∴∠AEM+∠NHF＝51°，∵∠HFD＝∠KHF＝20°，∴∠AEM+∠MHK＝31°，∵MP∥AB∥HK，∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠NHK，∴∠EMP+∠PMH＝31°，即∠EMH＝31°．故选：A．4．解：过F点作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠BFG＝∠ABF，∠DFG+∠CDF＝180°，∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABF，∴∠BFG+∠DFG+∠CDF＝∠ABF+180°，∴90°+∠CDE＝∠ABE+180°，即∠EDC﹣∠ABE＝90°．故选：A．5．解：过G作GM∥AB，∴∠2＝∠5，∵AB∥CD，∴MG∥CD，∴∠6＝∠4，∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，∵FB、CG分别为∠EFG，∠ECD的角平分线，∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，∵AB∥CD，∴∠ENB＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，∵∠1＝∠E+∠ENB，∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，∴3∠1＝210°，∴∠1＝70°，∴∠EFG＝2×70°＝140°．故选：A．6．解：过C点作MF∥AB，∵AB∥DE，∴MF∥DE，∴∠α＝∠BCM，∠β+∠DCM＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠BCM+∠DCM＝360°﹣∠BCD＝270°，∴∠α+（180°﹣∠β）＝270°，∴∠α﹣∠β＝90°，∴α随β增大而增大，故选：B．7．解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．8．解：∵l1∥l2∥l3，∴∠1＝∠2+∠4，∠4+∠3＝180°，∴∠1﹣∠2+∠3＝180°，故选：C．9．解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．当AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD时，∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝180°＝90°，即α+β＝90°，又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．故选：D．10．解：A、如图1：∵∠1＝40°，∠2＝140°，∴AB与CD不平行；故本选项错误；B、如图2：∵∠1＝40°，∠2＝40°，∴∠1＝∠2，∴AB与CD平行；故本选项正确；C、如图3：∵∠1＝40°，∠2＝140°，∴∠1≠∠2，∴AB不平行CD；故本选项错误；D、如图4：∠1＝40°，∠2＝40°，∴∠3＝140°，∴∠1≠∠3，∴AB与CD不平行；故本选项错误．故选：B．11．解：当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，由折叠可知，∠K＝∠P＝90°，∠ENM＝90°，∵PK∥MN，∴∠K＝∠Q＝90°，∴∠ENM＝∠Q，∴EN∥KH，∵∠EFC＝37°，∴∠AEF＝37°，∴∠AEN＝74°，∴∠AHQ＝74°，∵∠KHD＝∠AHQ，∴∠KHD＝74°；当PK在AD下方时，延长HK，MN交于点T，由折叠可知，∠HKP＝90°，∠MNE＝90°，∵MN∥KP，∴∠T＝∠HKP＝90°，∴∠ENM＝∠T＝90°，∴EN∥HK，∵∠EFC＝37°，∴∠AEF＝37°，∴∠AEN＝74°，∴∠AHK＝74°，∵∠KHD＝180°﹣∠AHK＝106°；综上所述：∠KHD＝74°或106°，故选：D．12．解：因为拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，所以根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠C＝140°，故选A．13．解：如图．令∠BED＝x，则∠F＝．由题意得：∠BED＝∠DEM＝x，AH∥EM．∴∠BDE＝∠DEH＝x，∠EDH＝180°﹣x．∴∠EBD＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝180°﹣2x．∴∠ABE＝180°﹣∠EBD＝2x．又∵直线BN是∠ABE的角平分线．∴∠ABN＝．∴∠FBD＝∠ABN＝x．又∵直线DF是∠EDH的角平分线所在直线．∴∠FDE＝．∴∠BDF＝∠FDE﹣∠BDE＝（90°+）﹣x＝90°﹣．又∵∠BFD+∠FBD+∠FDB＝180°．∴．∴x＝72°．∴∠1＝∠EBD＝180°﹣2x＝36°．14．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB＝28°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+28°＝118°，∵矩形ABCD沿AF折叠，点B落在点E处，∴∠BAF＝∠EAF＝∠BAE＝×118°＝59°，∴∠AFC＝∠BAF+∠ABF＝59°+90°＝149°．故答案为149．15．解：（1）由折叠可知∠DFE＝∠EFG，∵∠CFG＝76°，∴∠DFE＝52°，∵AB∥CD，∴∠FEB＝∠DFE＝52°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝26°，故答案为：26°；（2）设∠BEG＝α，则∠FEB＝2α，∴∠DFE＝∠FEB＝2α，由折叠可知，∠A＝∠A'，∵∠A+∠DFE＝125°，∴∠A'+2α＝125°，∵EG∥A′D′，∴∠A'+∠A'EB+α＝180°，∴∠A'EB＝55°+α，∵∠AEF+2α＝180°，∴∠A'EB+2α+2α＝180°，∴α＝25°，∴∠DFE＝50°，∴∠CFE＝130°，故答案为：130°．16．解：（1）如图：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠F′GF＝∠GPD，由折叠得：∠GPQ＝∠GPD，∠MGF＝∠F′GF，∴∠MGF＝∠GPQ＝α＝60°，故答案为：60；（2）如图：由折叠得：∠MGF＝∠M′GF＝α，∵BC∥AD，∴∠PGF＝180°﹣∠GPD＝180°﹣2α，∵GM是∠PGF的三等分线，∴分两种情况：当∠MGF＝∠PGF时，∴α＝（180°﹣2α），∴α＝，当∠MGF＝∠PGF时，∴α＝（180°﹣2α），∴α＝36°，综上所述，α＝或36°，故答案为：或36．17．解：设直线AD与CN交于点Q．∵AM∥CN，∠EAD＝32°，∴∠EAD＝∠DQC＝32°，∵AB为∠EAD的角平分线，CB为∠DCN的角平分线，∠DCN＝88°，∴∠DCB＝∠BCN＝44°，∠DAB＝∠EAB＝16°，∵∠BCN+∠DQC＝∠BAD+∠ABC，即44°+32°＝16°+∠ABC，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝60°，∵∠ABD：∠CBD＝4：1，∴∠ABD＝48°，∠CBD＝12°，∴∠ADF＝∠ABD+∠BAD＝64°，∠CDF＝∠CBD+∠BCD＝56°，∴∠ADF：∠CDF＝8：7．故答案为：8：7．18．解：（1）根据上下边互相平行可知，α＝∠OAD，∵α＝70°，∴∠OAD＝70°．又∠OAD+2β＝180°，∴β＝55°．故答案为：55．（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的∠ACE都相等，而这四个角的和为180°，故每个角为45°，∴∠ACB＝90°，即α＝90°，由（1）中可得，β＝（180°﹣90°）＝45°．故答案为：45．19．解：（1）∵NB′∥A′M，∴∠A′EC＝∠B′NC＝48°，∵CN∥MD，∴∠A′MD＝∠A′EC＝48°．（2）①由（1）得：∠A′MD＝∠B′NC＝α，又∵2∠A′MN+∠A′MD＝180°，∴β＝90°﹣．②∵MA′恰好平分∠DMN，∴∠A′MD＝180°÷3＝60°．20．解：（1）①AD∥BC，理由如下：∵ED∥AB，∴∠EDF＝∠DAB，∵DA是∠CDE的角平分线，∴∠EDF＝∠ADC，∴∠DAB＝∠ADC，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；②∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝130°，∴∠FBC＝65°，∵AD∥BC，∴∠DFB＝180°﹣∠FBC＝115°；（2）作CG∥AB，∵AB∥DE，∴CG∥AB∥DE，∴∠1＝180°﹣∠EDC，∠2＝180°﹣∠ABC，∴∠BCD＝∠1+∠2＝180°﹣∠EDC+180°﹣∠ABC＝180°﹣2∠EDA+180°﹣2∠ABF＝180°﹣2∠DAB+180°﹣2∠ABF＝360°﹣2（∠DAB+∠ABF）＝360°﹣2∠DFB＝α，∴∠DFB＝180°﹣α．二．平行线的判定与性质21．解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，若∠CDG＝∠BFE，∵∠BCD＝∠BFE，∴∠BCD＝∠CDG，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB，故小明说法正确；∵FG∥AB，∴∠B＝∠GFC，故得不到∠GFC＝∠ADG，故小亮说法错误，故选：A．22．证明：（1）∵∠MCD＝∠BCM＝α，∴∠BCD＝∠BCM+∠MCD＝4α＝∠B，∴AB∥CD．解：（2）过O做OF，使OF∥AB∥CD∵AB∥CD，∴∠D＝∠A＝∠B＝3α，∵AB∥OF，∴∠B＝∠BOF，CD∥OF，∴∠FOD＝∠D，∠BOD＝∠BOF+∠FOD＝∠B+∠D＝4α+3α＝7α．证明：（3）过点P作AB、CD的平行线PQ，∵AB∥PQ∥CD，∴∠QPC＝∠PCD＝α，∴∠BEP＝∠EPQ＝∠OEB，∵∠COE＝∠OEP+∠ENO，且∠ENO＝∠B+∠BEN＝∠BNP，∴∠COE＝∠B+∠BEN+∠OEP＝∠B+∠OEB，又∵EP平分∠OEB，∴∠COE＝2∠EPC+∠B．23．（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∴EF∥BC；（2）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．24．（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射线GH是∠BGM的平分线，∴，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵，∴，∴∠FGN＝2β，过点H作HT∥GN，则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．25．（1）证明：∵∠1+∠BDE＝180°，∴AC∥DE，∴∠2＝∠ADE，∵∠2+∠4＝180°．∴∠ADE+∠4＝180°，∴AD∥EF；（2）解：∵AD∥EF，∴∠BAD＝∠3＝90°，∵∠2+∠4＝180°，∠4＝140°，∴∠2＝40°，∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°．。
2020春北师版七年级数学下册 第2章 2.2.1 用“同位角、第三直线”判定平行线 典中点习题
10．如图，若 AB∥CD，CD∥EF，则 AB 与 EF 的位置关系是( A ) A．平行 B．延长后才平行 C．垂直 D．难以确定
11．某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来 相同，则这两次拐弯的角度可能是( A ) A．第一次左拐 30°，第二次右拐 30° B．第一次右拐 50°，第二次左拐 130° C．第一次右拐 50°，第二次右拐 130° D．第一次左拐 50°，第二次左拐 130°
A．1 条
B．0 条
C．1 条或 0 条
D．无数条
7．下列说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②一条直线的平行线只有一条； ③过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 其中正确的有( ) A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
8．在同一平面内，直线 m，n 相交于点 O，且 l∥n，则直线 l
为什么？ 解：在同一条直线上，因为直线 AB，BC 都经过点 B，且都 与直线 l 平行，而过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行，所以 AB，BC 为同一条直线．所以 A，B，C 三点在 同一条直线上．
16．在同一平面内，已知 A，B，C 是直线 l 同旁的三个点． (2)如果 AB⊥l，BC⊥l，那么 A，B，C 三点在同一条直线上吗？
和 m 的关系是( B )
A．平行
B．相交
C．重合
D．以上都有可能
9．【2019·吉林】曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加 了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如 图，A，B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长 度，其中蕴含的数学道理是( A ) A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
七年级数学下册 第2章 相交线与平行线 2.3 平行线的性质精练 (新版)北师大版-(新版)北师大版
3 平行线的性质测试时间:25分钟一、选择题1.如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠1=55°,那么∠2的度数是( )A.20°B.30°C.35°D.50°1.答案 C 如图,∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠3=180°-90°-∠1=35°,∵a∥b,∴∠2=∠3=35°.故选C.2.如图,AB∥CD,DA⊥AC,垂足为A,若∠ADC=35°,则∠1的度数为( )A.65°B.55°C.45°D.35°2.答案 B ∵DA⊥AC,垂足为A,∴∠CAD=90°,又∵∠ADC=35°,∴∠ACD=180°-90°-35°=55°,∵AB∥CD,∴∠1=∠ACD=55°,故选B.3.如图,直线a∥b,点C在直线b上,∠DCB=90°,若∠1=70°,则∠2的度数为( )A.20°B.25°C.30°D.40°3.答案 A 如图,∵a∥b,∴∠3=∠1=70°,∴∠2=90°-∠3=20°.故选A.4.将一副三角板如图放置,使点A在DE上,BC∥DE,则∠ACE的度数为( )A.10°B.15°C.20°D.25°4.答案 B ∵BC∥DE,∴∠BCE=∠E=30°,∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=45°-30°=15°,故选B.二、填空题5.如图,直线a,b被直线c所截,a∥b,∠1=∠2,若∠3=40°,则∠4等于.5.答案70°解析∵∠1+∠2+∠3=180°,∠3=40°,∴∠1+∠2=140°.∵∠1=∠2,∴∠1=70°.∵a∥b,∴∠4=∠1=70°.6.图①是我们常用的折叠式小刀,图②中刀柄外形是一个直角梯形挖去一个小半圆,刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段,转动刀片时会形成如图②所示的∠1与∠2,则∠1与∠2的度数和是度.6.答案90解析如图,AB∥CD,∠AEC=90°,作EF∥AB,则EF∥CD,所以∠1=∠AEF,∠2=∠CEF,所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°.7.如图,C岛在A岛的北偏东60°方向,在B岛的北偏西45°方向,则∠ACB=°.7.答案105解析如图,过点C作CD∥AE,则∠DCA=∠CAE=60°.∵CD∥AE,BF∥AE,∴CD∥BF,∴∠DCB=∠CBF=45°.∴∠ACB=∠DCA+∠DCB=105°.8.如图,l∥m,点A在直线m上,若∠ABC=60°,∠1=40°,则∠2=.8.答案20°解析如图,延长CB交直线m于点D,∵∠ABC=60°,∴∠ABD=120°.∵l∥m,∴∠BDA=∠1=40°.∴∠2=180°-∠ABD-∠BDA=180°-120°-40°=20°.9.如图,直线a∥b,∠BAC的顶点A在直线a上,且∠BAC=100°.若∠1=34°,则∠2=.9.答案46°解析如图,因为a∥b,所以∠3=∠1=34°.因为∠3+∠BAC+∠2=180°,∠BAC=100°,所以∠2=180°-34°-100°=46°.10.如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=55°,则∠2的度数为.10.答案35°解析如图,∠3=180°-∠1=180°-55°=125°,∵直尺两边互相平行,∴∠2+90°=∠3,∴∠2=125°-90°=35°.三、解答题11.如图,已知AB∥CD,EF交AB于点E,交CD于点F,FG平分∠EFD,交AB于点G.若∠1=50°,求∠BGF的度数.11.解析∵AB∥CD,∠1=50°,∴∠CFE=∠1=50°.∵∠CFE+∠EFD=180°,∴∠EFD=180°-∠CFE=130°.∵FG平分∠EFD,∠EFD=65°.∴∠DFG=12∵AB∥CD,∴∠BGF+∠DFG=180°,∴∠BGF=180°-∠DFG=180°-65°=115°.12.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠ACB的大小关系,并说明理由.12.解析∠AED=∠ACB.理由:∵∠1+∠4=180°(平角定义),∠1+∠2=180°(已知),∴∠2=∠4(同角的补角相等).∴EF∥AB(内错角相等,两直线平行).∴∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等).∵∠3=∠B(已知),∴∠B=∠ADE(等量代换).∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行).∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).。
(完整版)七年级数学下册2.3平行线的性质同步练习新版北师大版
2.3 平行线的性质一、夯实基础1.如图，已知 AB∥CD，∠ DFE=135°，则∠ ABE的度数为 ( )(A)30 °(B)45 °(C)60 °(D)90 °2. 如图 , 已知 AB∥CD,BC 均分∠ ABE, ∠C=34°, 则∠ BED 的度数是 ( )(A)17 °(B)34 °(C)56 °(D)68 °3.如图，三角形 ABC的三个极点分别在直线 a,b 上，且 a∥ b，若∠ 1＝120°，∠ 2＝80°，则∠3的度数是 ( )(A)40 °(B)60 °(C)80 °(D)120 °4. 如图， AB∥ CD，CE交 AB 于点 E，EF均分∠ BEC，交 CD于 F. 若∠ ECF=40°，则∠ CFE=_______ 度 .5. 如图 , 直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行 , 若量角器的一条刻度线OF的读数为 70°,OF 与 AB交于点 E, 那么∠ AEF=_______度 .6. 如图， AB∥ CD，CD∥ EF，∠ A=110°, ∠E=30°，则∠ACE=_______.二、能力提高7. 如图 , 直线AB,CD 分别与直线AC 订交于点A,C, 与直线BD 订交于点B,D. 若∠ 1=∠ 2,∠3=75°, 求∠ 4 的度数 .8. 如图，∠ B, ∠ D的两边分别平行.在图①中，∠ B 与∠ D的数目关系为_______.在图②中，∠ B 与∠ D的数目关系为_______.试分别说明原因, 并用一句话概括结论.9. 如图，已知AB∥ CD，分别研究下边四个图形中∠APC和∠ PAB，∠ PCD的关系，请从你所得四个关系中选出随意一个，说明你研究的结论的正确性.结论： (1)______________.(2)______________.(3)______________.(4)______________.选择结论： ______________，说明原因 .三、课外拓展10. 以下图，已知∠1+∠2=180°，∠ 3=∠ B，试判断∠ AED与∠ ACB的关系，并说明原因.四、中考链接11.( 广元中考 ) 一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在本来的方向平行行驶，那么这两个拐弯的角度可能是( )(A)先向左转 130°，再向左转 50° (B) 先向左转 50°，再向右转 50°(C) 先向左转50°，再向右转40°(D) 先向左转 50°，再向左转40°参照答案一、夯实基础1.【分析】选 B. 由于∠ DFE=135°，因此∠ CFE=180° - 135°=45°，又由于 AB∥ CD，因此∠ ABE=∠CFE=45°. 应选B.2.【分析】选 D. 由于 AB∥CD,因此∠ ABC=∠C=34°, 又由于B C均分∠ ABE,因此∠ ABE=2∠ABC=68°,因此∠ BED=∠ABE=68°.3.【分析】选A. 由于a∥b，因此∠ 1＝∠ 2＋∠ 3＝120°，又由于∠ 2＝80°，因此∠ 3＝120°－∠ 2＝120°－ 80°＝ 40°.4.【分析】由于 AB∥ CD，因此∠ CFE=∠ BEF，∠ ECF+∠BEC=180°.又由于∠ ECF=40°，因此∠ BEC=140°.由于 EF均分∠ BEC，因此∠ BEF=1∠BEC=70°. 2因此∠ CFE=70°.答案： 705.【分析】直尺的对边相互平行 , ∠ COF与∠ AEF是同位角 , 又∠ COF=70°, 依据两直线平行 , 同位角相等 , 得∠ AEF=70°.答案： 706.【分析】由于 AB∥ CD，∠ A=110°,因此∠ ACD=180° - ∠A=180° - 110°=70°,由于 CD∥EF，∠ E=30°,因此∠ ECD=∠E=30°,因此∠ ACE=∠ ACD-∠ECD=70° - 30°=40°.答案： 40°二、能力提高7.【分析】由于∠ 1=∠ 2, 因此 AB∥ CD.因此∠ 3=∠ 4.由于∠ 3=75°,因此∠ 4=75°.8.【分析】图①中∠ B 与∠ D 相等 . 原因：如图 (1), 由于 BE∥DF，因此∠ CME=∠ D，由于 AB∥DC，因此∠ B=∠ CME，因此∠ B=∠ D.图②中∠ B 与∠ D互补 . 原因：如图 (2) ，由于 BE∥ DF，因此∠ BND+∠D=180°,由于 AB∥DC，因此∠ B=∠ BND，因此∠ B+∠D=180°..结论：假如一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补9. 【分析】结论：(1) ∠ PAB+∠ APC+∠PCD=360°(2) ∠ APC =∠ PAB+∠ PCD(3) ∠ APC =∠ PCD-∠ PAB(4) ∠ APC =∠ PAB-∠ PCD选择结论：答案不唯一，原因： (1) 过点 P 作 PQ∥ AB，由于 AB∥ CD，因此 PQ∥ CD，由 PQ∥AB 可得∠ PAB+∠APQ=180°；由 PQ∥ CD得∠ PCD+∠CPQ=180°, 因此∠ PAB+∠ APQ+∠ PCD+∠C PQ=360°，即∠ PAB+∠APC+∠PCD=360°.(2)过点 P 作 PQ∥AB，由于 AB∥ CD，因此 PQ∥ CD，由 PQ∥ AB可得∠ PAB＝∠ APQ；由 PQ∥ CD得∠PCD＝∠ CPQ，因此∠ APC =∠ PAB+∠ PCD.(3)由于 AB∥ CD，因此∠ PEB＝∠ PCD,又由于∠ AEP+∠ APC+∠ PAB＝180°，∠ PEB+∠ AEP＝180°，因此∠ APC+∠PAB＝∠ PCD，即∠ APC =∠ PCD-∠ PAB.(4)由于 AB∥ CD，因此∠ PED＝∠ PAB,又由于∠ CEP+∠APC+∠ DCP＝180°，∠PED+∠CEP＝180°，因此∠ APC+∠PCD＝∠ PAB，即∠ APC =∠ PAB-∠ PCD.三、课外拓展10. 【分析】∠ AED=∠ ACB.原因以下：由于∠1=∠ DFG(对顶角相等 ) ，又由于∠ 1+∠2=180°( 已知 ) ，因此∠ DFG+∠2=180°( 等量代换) ，因此 AB∥EG(同旁内角互补，两直线平行).因此∠ B=∠ EGC(两直线平行，同位角相等) ，又由于∠ 3=∠ B( 已知 ) ，因此∠ 3=∠ EGC(等量代换 ) ，因此 DE∥BC(内错角相等，两直线平行) ，因此∠ AED=∠ ACB(两直线平行，同位角相等).四、中考链接11.【分析】选 B. 先向左转 a°，再向右转 b°形成的两个角是同位角关系，由于两次拐弯后，仍在本来的方向平行行驶，即两直线平行，因此a°=b°，应选 B.。
北师大版2019-2020年七年级数学下册同步练习 2.3 第1课时 平行线的性质1(含答案)
1. 如图，已知a，b，c，d四条直线，a∥b，c∥d，∠1＝110°，则∠2等于( )A．50° B．70° C．90° D．110°2. 如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交于A，C两点，AB⊥AC 于点A，交直线b于点B.已知∠1＝42°，则∠2的度数是( )A．38° B．42° C．48° D．58°3. 如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1＝50°，则∠2等于( )A．60°B．50°C．40°D．30°4. 新农村建设中一项重要工程是“村村通自来水”，如图所示是某一段自来水管道，经过每次拐弯后，管道仍保持平行(即AB∥CD∥EF，BC∥DE)．若∠B＝70°，则∠E等于( )A．70° B．110° C．120° D．130°5.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A.30°B.25°C.20°D.15°6.如图．己知AB∠CD，∠1=70°，则∠2的度数是（）A.60°B.70°C.80°D.1107.已知：直线l1∠l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（）A.30°B.35°C.40°D.45°8.如图，已知AB∠CD，∠C=70°，∠F=30°，则∠A的度数为（）A.30°B.35°C.40°D.45°9.如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，如果∠1=25°，那么∠2的度数是（）A.100°B.105°C.115°D.120°10. 一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________度．11. 如图是某次考古挖掘出的一个四边形残缺的玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A＝115°，∠D＝110°.已知在四边形ABCD中，AD∥BC，则∠B＝_________，∠C＝______________．12. 如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点B在直线b上，∠C＝90°，∠1＝36°，则∠2的度数是_________．13.如图，已知DB∠FG∠EC，∠ABD=84°，∠ACE=60°，AP是∠BAC的平分线．求∠PAG的度数．14.如图，AB∠CD，E为AB上一点，∠BED=2∠BAD．（1）求证：AD平分∠CDE；（2）若AC∠AD，∠ACD+∠AED=165°，求∠ACD的度数．15. 如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF ＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF.(1) 判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；(2) 求出∠AFD与∠AED之间的数量关系．16. 如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，求∠BCD的度数．答案：1.B2.C3.C4.B5.B6.D7.B8.C9.C10..270 11.65° 70° 12.54° 13.解：∠DB∠FG∠EC，∠∠BAG=∠ABD=84°，∠GAC=∠ACE=60°；∠∠BAC=∠BAG+∠GAC=144°，∠AP是∠BAC的平分线，∠∠PAC=∠BAC=72°，∠∠PAG=∠PAC﹣∠GAC=72°﹣60°=12°．14.（1）证明：∠AB∠CD，∠∠BED=∠EDC，∠BAD=∠ADC，∠∠B E D=∠B A D+∠A D E，∠∠B ED=2∠B A D，∠∠B A D=∠A D E，∠A D E=∠A C D，∠AD平分∠CDE；（2）解：依题意设∠ADC=∠ADE=∠BAD=x，∠∠BED=∠EDC=2x，∠AED=180°﹣2x，∠AB∠CD，∠∠BAC+∠ACD=180°，即∠ACD=90°﹣x，又∠∠ACD+∠AED=165°，即90°﹣x+180°﹣2X=165°，∠x=35°，∠∠ACD=90°﹣x=90°﹣35°=55°．15.解：(1)∠AED＝∠BAE＋∠CDE.理由如下：过点E作EG∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥CD，∴∠AEG＝∠BAE，∠DEG ＝∠CDE.∵∠AED＝∠AEG＋∠DEG，∴∠AED＝∠BAE＋∠CDE；(2)同(1)可得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF.∵∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF，∴∠BAE＋∠CDE＝32∠BAF＋32∠CDF，∴∠AED＝32∠AFD.16.解：∵AB∥CF，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，∵DE∥CF，∴∠DCF＝180°－∠CDE＝50°，∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝20°。
2020春北师版七年级数学下册 第2章 全章热门考点整合应用 典中点习题
14．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A 与∠C，∠B 与∠D 的大小关系如何？请说明理由．
解：∠A＝∠C，∠B＝∠D.理由如下． 因为 AB∥CD，BC∥AD， 所以∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝180° (两直线平行，同旁内角互补)． 所以∠A＝∠C(同角的补角相等)．同理得∠B＝∠D.
9．如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OM⊥AB. (3)若∠1＝14∠BOC，求∠AOC 和∠MOD 的度数． 解：因为∠1＝14∠BOC，所以∠BOC＝4∠1. 所以∠BOM＝3∠1.又易知∠BOM＝90°， 所以∠1＝30°. 所以∠AOC＝90°－∠1＝60°，∠MOD＝180°－∠1＝150°.
6．在同一平面内，直线 a 与 b 满足下列条件，写出其对应的位 置关系．
(1)a 与 b 没有公共点，则 a 与 b 平行 ； (2)a 与 b 有且只有一个公共点，则 a 与 b 相交 Ｗ．
7．如图，在方格纸中，有两条线段 AB，BC.利用方格纸完成以 下操作：
(1)过点 A 作 BC 的平行线； (2)过点 C 作 AB 的平行线，与(1)中
BC 的平行线交于点 D； (3)过点 B 作 AB 的垂线 BE.
解：如图．
8．如图，三角形 ABC 中，CD 是 AB 边上的高，M 是 AB 边的 中点，点 C 到边 AB 所在直线的距离是（ C ） A．线段 CA 的长度 B．线段 CM 的长度 C．线段 CD 的长度 D．线段 CB 的长度
17 见习题
8C
13 C
18 见习题
4 80°;80°;100° 9 D
14 见习题 19 见习题
5 见习题
10 A
15 见习题
北师大版七年级数学下册 第二章 2.3 平行线的性质 同步练习题(含答案)
第二章相交线与平行线2.3 平行线的性质同步练习题第1课时平行线的性质基础题知识点1 两直线平行，同位角相等1.如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠1的度数为(C)A.45°B.60°C.90°D.120°2.(2019·苏州)如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B.若∠1＝54°，则∠2等于(A)A.126°B.134°C.136°D.144°3.(2019·资阳)如图，l1∥l2，点O在直线l1上.若∠AOB＝90°，∠1＝35°，则∠2的度数为(B)A.65°B.55°C.45°D.35°4.(2019·柳州)如图，若AB∥CD，则在图中所标注的角中，一定相等的角是∠1＝∠3.知识点2 两直线平行，内错角相等5.如图，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为(D)A.140°B.60°C.50°D.40°6.(2019·岳阳)如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC.若∠ABC＝50°，则∠C的度数是(B)A.20°B.25°C.30°D.50°7.(2019·随州)如图，直线l l∥l2，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上.若∠1＝35°，则∠2的度数是(B)A.65°B.55°C.45°D.35°8.如图所示，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则∠ABC 等于60°.知识点3 两直线平行，同旁内角互补9.(2019·长沙)如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是(C)A.80°B.90°C.100°D.110°10.(2019·黄冈)如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD平分∠BAC.已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为50°.易错点1 利用平行线的性质时忽视两直线平行这一前提条件11.已知∠1与∠2是同旁内角.若∠1＝60°，则∠2的度数是(D)A.60°B.120°C.60°或120°D.不能确定易错点2 不能正确画出图形导致漏解12.(2018·秦皇岛抚宁区期末)一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.中档题13.(2019·深圳)如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是(B)A.∠1＝∠4B.∠1＝∠5C.∠2＝∠3D.∠1＝∠314.(2018·陕西)如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的角有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个15.(2019·天门)如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是(D)A.20°B.25°C.30°D.35°16.(2019·荆州)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上.若∠1＝40°，则∠2的度数为(B)A.10°B.20°C.30°D.40°17.(2019·绵阳)如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1＋∠2＝90°.18.如图，点A ，C ，F ，B 在同一直线上，CD 平分∠ECB，FG∥CD.若∠ECA 为α度，则∠GFB 为(90－α2)度.(用含α的代数式表示)19.如图，AB∥CD，点E 是CD 上一点，∠AEC＝42°，EF 平分∠AED 交AB 于点F ，求∠AFE 的度数.解：因为∠AEC＝42°，所以∠AED＝180°－∠AEC＝138°. 因为EF 平分∠AED， 所以∠DEF＝12∠AED＝69°.又因为AB∥CD，所以∠AFE＝∠DEF＝69°.20.(教材P54习题T4变式)如图，在三角形ABC 中，DE∥AC，DF∥AB.试问：∠A＋∠B＋∠C＝180°这个结论成立吗？若成立，试写出推理过程；若不成立，请说明理由.解：∠A＋∠B＋∠C＝180°这个结论成立. 理由：因为DE∥AC，所以∠C＝∠BDE，∠CFD＝∠EDF. 因为DF ∥AB ，所以∠B＝∠CDF，∠A＝∠CFD. 所以∠A＝∠EDF.因为∠BDE＋∠EDF＋∠CDF＝180°， 所以∠A＋∠B＋∠C＝180°.综合题21.如图1，2，3，若AB∥CD，则图1中，∠B＋∠D＝180°；图2中，∠B＋∠E1＋∠D＝360°；图3中，∠B＋∠E1＋∠E2＋∠D＝540°.通过以上练习和你的发现，依次类推.若AB∥CD，则∠B＋∠E1＋…＋∠E n＋∠D＝180 (n＋1) °.第2课时平行线性质与判定的综合基础题知识点1 综合运用平行线的性质与判定进行计算或说理1.如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点.若∠1＝50°，则∠2等于(B)A.60°B.50°C.40°D.30°2.(2019·济宁)如图，直线a，b被直线c，d所截.若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是(C)A.65°B.60°C.55°D.75°3.如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论正确的是(D)A.∠1＝∠2B.∠2＝∠3C.∠1＝∠3D.∠2＝∠44.如图，∠1＝∠2，∠A＝60°，则∠ADC＝120°.5.如图，BC∥DE，∠E＋∠B＝180°，则AB和EF的位置关系为平行.6.如图所示，AB∥DC，∠ABC＝∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC.试说明：ED∥BF.解：因为BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC(已知)，所以∠EDC＝12∠ADC，∠FBA＝12∠ABC(角平分线的定义).又因为∠ADC＝∠ABC(已知)， 所以∠EDC ＝∠FBA(等量代换). 因为AB∥DC(已知)，所以∠AED＝∠EDC(两直线平行，内错角相等). 所以∠FBA ＝∠AED(等量代换).所以ED∥BF(同位角相等，两直线平行).7.如图，已知∠B＋∠BCD＝180°，∠B＝∠D.请你观察图形，写出∠E 和∠DFE 满足什么数量关系？并说明理由.解：∠E＝∠DFE.理由如下： 因为∠B＋∠BCD＝180°， ∠B＝∠D，所以∠D＋∠BCD＝180°. 所以AD∥BE. 所以∠E＝∠DFE.知识点2 利用平行线的性质与判定解决实际问题8.如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为(D)A.120°B.100°C.80°D.60°9.如图，在A ，B 两地挖一条笔直的水渠，从A 地测得水渠的走向是北偏西42°，A ，B 两地同时开工，B 地所挖水渠走向应为南偏东42°.10.一条建设中的高速公路要穿过一山体开挖一条隧道，甲、乙两工程队分别从山体两侧的A ，B 两点同时开工，现甲队从A 点测得道路的走向是北偏东55°，为了不浪费人力、物力，问乙队在B 点处应该按∠β等于多少度开挖，才能够保证隧道准确接通？解：因为指北方向平行，且A，B两点走向形成一条直线，即CA∥DB，所以∠α和∠β就构成了一对同旁内角.所以∠a＋∠β＝180°，即∠β＝180°－55°＝125°.因此，乙队在B点处应该按∠β＝125°开挖.中档题11.如图所示，已知∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＋∠4＝180°，则在结论：①a∥b；②a∥c；③b∥c；④∠3＝∠2中，正确的个数是(C)A.1B.2C.3D.412.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C＝(D)A.120°B.130°C.140°D.150°13.如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，则∠3＝72°.14.如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝140°.15.(2019·武汉)如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，试说明：∠E＝∠F.解：因为∠A＝∠1，所以AE∥BF.所以∠E＝∠BGC.因为CE∥DF，所以∠BGC＝∠F.所以∠E＝∠F.16.如图，按下面方法折纸，然后解答问题：若∠1＝40°，你能求出∠2的度数吗？试着做一做.解：因为AP∥BF，所以∠1＝∠CFB＝40°.因为∠CFB＋2∠CFE＝180°，所以∠CFE＝70°.因为AE∥BF，所以∠2＋∠BFE＝180°.所以∠2＝180°－∠CFE－∠CFB＝180°－70°－40°＝70°.17.如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子.已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？解：因为AB∥CD，所以∠2＝∠3.因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4.所以180°－∠1－∠2＝180°－∠3－∠4，即∠5＝∠6.所以l∥m.综合题18.如图所示，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝40°，∠CDE＝140°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由.解：AB∥DE.理由：过点C作FG∥AB，所以∠BCG＝∠ABC＝80°.又因为∠BCD＝40°，所以∠DCG＝∠BCG－∠BCD＝40°.因为∠CDE＝140°，所以∠CDE＋∠DCG＝180°.所以DE∥FG.又因为FG∥AB，所以AB∥DE.。
北师版七年级下册数学课件第2章2.3.1平行线的性质
课堂导练
4．(2019·深圳)如图，已知 l1∥AB，AC 为角平分线，下列说法 错．误．的是( ) A．∠1＝∠4 B．∠1＝∠5 C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠3
课堂导练
【点拨】利用平行线的性质得到∠2＝∠4，∠3＝∠2，∠5＝∠1 ＋∠2，再结合角平分线的定义可得到∠1＝∠2＝∠4＝∠3，∠5 ＝2∠1，从而可对各选项进行判断．
【答案】C
课堂导练
7．(2019·苏州)如图，已知直线 a∥b，直线 c 与直线 a，b 分别 交于点 A，B.若∠1＝54°，则∠2 等于( A ) A．126° B．134° C．136° D．144°
课堂导练
8．(中考·滨州)如图，直线 AB∥CD，则下列结论正确的是( D ) A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1＋∠3＝180° D．∠3＋∠4＝180°
【答案】D
课堂导练
*6.(2019·辽阳)将三角尺按如图所示放置在一张长方形纸片上， ∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG 的度数 为( ) A．130° B．120° C．110° D．100°
课堂导练
【点拨】在长方形纸片上，AD∥BC，∠1＝130°， 所以∠BFE＝180°－∠1＝50°， 在三角形 EFG 中，∠FEG＝30°，∠EGF＝90°， 所以∠EFG＝180°－∠FEG－∠EGF＝60°， 所以∠BFG＝∠BFE＋∠EFG＝50°＋60°＝110°.
∠2＝25°.求∠BPC 的度数． 【思路点拨】在两条平行线间遇到拐点 时，常作平行线构造出同位角、内错角 或同旁内角．通过平行线的性质，得到 题目中所求角与已知角之间的关系， 从而解决问题．
精彩一题
解法一：过点 P 作 PN∥AB，如图①所示． 因为 AB∥CD，PN∥AB，所以 PN∥CD. 所以∠4＝∠2＝25°. 因为 PN∥AB，所以∠3＝∠1＝32°. 所以∠BPC＝∠3＋∠4＝57°.
七年级数学下册2.3.1平行线的性质同步练习2北师大版
2.3.1 平行线的性质一、选择题1．如果1∠和2∠是同旁内角,且︒=∠751,那么2∠等于（ ）A ．75° B．105° C．75°或105° D．大小不定2．下面的说法中正确的是（ )A ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．以上都不对3．两条平行直线被第三条直线所截，下列说法错误的是（ ）A ．同位角的平分线互相平行B ．内错角的平分线互相平行C ．同旁内角的平分线互相垂直D ．A 、B 、C 不全对4．下列角的平分线中,互相垂直的是（ ）A ．平行线的同旁内角的平分线B ．平行线的同位角的平分线C ．平行线的内错角的平分线D ． 对顶角的平分线5．已知βα,是某两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角，若︒=∠50α，则β∠等于（ ）A ．40° B．50° C．130° D．140°二、填空题6．如图,如果21//l l ，则____42,3____2,2____1=∠+∠∠∠∠∠；7．如图，如果BC AE //,则ACB EAC ∠=∠，理由是__________,如果BC AE //，且AE平分CAD ∠，则ACB ABC ∠∠_______．8．如图：已知：︒=∠801,//b a ，则_______2=∠9．如图：已知：︒=∠︒=∠︒=∠1103,982,821，则_______4=∠三、解答题10．如图：已知C D CD AB ∠=∠︒=∠,45,//α，你能求出C D ∠∠、和B ∠的度数吗？11．如图，已知CB A CD AB ,100,//︒=∠平分ACD ∠．回答下列问题:(1)ACD ∠等于多少度？为什么？（2）ACB ∠、BCD ∠各等于多少度？为什么？(3)ABC ∠等于多少度？为什么?12．如图，已知1∠和2∠互补，︒=∠1003，求4∠的度数．参考答案1．D 2．D 3．D 4．A 5．C6．＝、＝、180°；7．两直线平行、内错角相等；＝；8．100°;9．110°10．︒45∠45135D=CB︒=∠=∠︒11．(1）︒=40,因为CB平分ACD∠ (3）40°,两直线平行，内错角相∠80ACD（2）︒等．12．100°尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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解：因为在三角形 EFG 中，∠EFG＝90°，∠E＝35°， 所以∠EGF＝180°－90°－35°＝55°. 因为 GE 平分∠FGD，所以∠EGF＝∠EGD＝55°. 因为 AB∥CD，所以∠EHB＝∠EGD＝55°. 又因为∠EHB＝180°－∠AHE＝∠EFB＋∠E， 所以∠EFB＝∠EHB－∠E＝55°－35°＝20°.
12．如图，已知 AD⊥BC 于 D，EG⊥BC 于 G，∠E＝∠3.AD 是∠BAC 的平分线吗？若是，请说明理由．
解：AD 是∠BAC 的平分线．理由如下： 因为 AD⊥BC，EG⊥BC，所以 EG∥AD. 所以∠3＝∠1，∠E＝∠2. 又因为∠E＝∠3，所以∠1＝∠2， 即 AD 是∠BAC 的平分线．
4．【2018·德阳】如图，直线 a∥b，c，d 是截线且交于点 A，若 ∠1＝60°，∠2＝100°，则∠A＝( A ) A．40° B．50° C．60° D．70°
5．【2019·十堰】如图，直线 a∥b，直线 AB⊥AC，若∠1＝50°， 则∠2＝( C ) A．50° B．45° C．40° D．30°
第二章 相交线与平行线
3 平行线的性质 第1课时 平行线的性质
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6C 7A 8C 9C 10 D
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1．【201Leabharlann ·百色】如图，已知 a∥b，∠1＝58°，则∠2 的大小是( C )
A．122° B．85°
10．已知∠1 与∠2 是同旁内角．若∠1＝50°，则∠2 的度数是
(D)
A．50°
B．130°
C．50°或 130° D．不能确定 【点拨】本题易忽略利用平行线的性质的前提而误用平行线的性
质．本题没有说明两直线平行，因此同旁内角的数量关系是不确
定的．
11．【2018·重庆】如图，AB∥CD，三角形 EFG 的顶点 F，G 分 别落在直线 AB，CD 上，GE 交 AB 于点 H，GE 平分∠FGD. 若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB 的度数．
_∠_A__P_C_＝__∠__A_－__∠_C_____．
EFG 分割为两个角；思路(2)是构造平行线的截线．
(答案不唯一)解：(一)利用思路(1)．过点 F 作 FH∥AB，如图①. 因为 EF⊥AB，所以∠BOF＝90°. 因为 FH∥AB，所以∠HFO＝∠BOF＝90°. 因为 AB∥CD，所以 FH∥CD， 所以∠FGC＋∠GFH＝180°. 因为∠FGC＝125°，所以∠GFH＝55°， 所以∠EFG＝∠GFH＋∠HFO＝55°＋90°＝145°.
14．直线 AB∥CD，点 P 是直线 AB， CD 外的任意一点，连接 PA，PC.
(1)探究猜想： ①如图①，若∠A＝30°，∠C＝40°，则∠APC＝___7_0____°. ②如图①，若∠A＝40°，∠C＝60°，则∠APC＝___1_0_0___°. ③猜想图①中∠A，∠C，∠APC 三者之间有怎样的等量关系？
解：(二)利用思路(2)．延长 EF 交 CD 于 M，如图②. 因为 EF⊥AB，所以∠BOF＝90°. 因为 CD∥AB，所以∠CMF＝∠BOF＝90°. 因为∠FGC＝125°，所以∠1＝55°. 因为∠1＋∠2＋∠GMF＝180°，所以∠2＝35°. 因为∠GFO＋∠2＝180°，所以∠GFO＝145°，即∠EFG＝145°.
并说明理由．
解：∠APC＝∠A＋∠C. 理由如下：过 P 点向左侧作 PE∥AB，则∠APE＝∠A. 因为 AB∥CD，所以 PE∥CD.所以∠CPE＝∠C. 又因为∠APC＝∠APE＋∠CPE，所以∠APC＝∠A＋∠C.
(2)拓展： ①如图②，若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠APC＝___3_0____°； ② 猜 想 图 ③ 中 ∠ A ， ∠ C ， ∠ APC 三 者 之 间 的 关 系 为
A．75°
B．90°
C．105°
D．115°
8．【2019·陕西】如图，OC 是∠AOB 的平分线，l∥OB，若∠1 ＝52°，则∠2 的度数为( C ) A．52° B．54° C．64° D．69°
【点拨】因为 l∥OB，所以∠AOB＝180°－∠1＝128°.因为 OC 平分∠AOB，所以∠BOC＝64°.所以∠2＝∠BOC＝64°.
6．【2019·宜昌】如图，将一块含有 30°角的直角三角板的两个顶 点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝135°，则∠β 等 于( C ) A．45° B．60° C．75° D．85°
7．【2019·东营】将一副三角板(∠A＝30°，∠E＝45°)按如图所示
方式摆放，使得 BA∥EF，则∠AOF 等于( A )
9．【2019·齐齐哈尔】如图，直线 a∥b，将一块含 30°角(∠BAC ＝30°)的直角三角尺按图中方式放置，其中 A 和 C 两点分别 落在直线 a 和 b 上，若∠1＝20°，则∠2 的度数为( C ) A．20° B．30° C．40° D．50°
【点拨】因为直线 a∥b，所以∠1＋∠BCA＋∠BAC＋∠2＝180°. 因为∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°，所以∠2＝40°.
C．58°
D．32°
2．【中考·十堰】如图，AB∥DE，FG⊥BC 于点 F，∠CDE＝40°， 则∠FGB＝ ( B ) A．40° B．50° C．60° D．70°
3．【2019·湘西州】如图，直线 a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，则 ∠3 的度数为( B ) A．40° B．90° C．50° D．100°
13．如图：已知 AB∥CD，EF⊥AB 于点 O，∠FGC＝125°，求 ∠EFG 的度数．下面提供三种思路： (1)过点 F 作 FH∥AB； (2)延长 EF 交 CD 于 M； (3)延长 GF 交 AB 于 K. 请你利用三个思路中的两个思路，将图形补充完整，求∠EFG 的度数． 【点拨】解本题时思路(1)是构造平行线，将∠