【高中数学】《复数》考试知识点
高三复数的知识点归纳总结
高三复数的知识点归纳总结复数在高中数学中是一个重要的概念，它涉及到实数的扩充，提供了更广阔的数学思维空间。
复数的理解和运算是高三数学学习中必备的知识点，下面对高三复数的知识点进行归纳总结。
1. 复数的定义和表示方法复数由实部和虚部组成，用a+bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
实部和虚部都是实数。
实部为0时，复数为纯虚数，形如bi。
虚部为0时，复数为实数，形如a。
2. 复数的相等性两个复数相等的条件是它们的实部相等且虚部相等，即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d。
3. 复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，只需将实部和虚部分别相加或相减即可。
4. 复数的乘法复数的乘法遵循分配律和乘法公式。
当两个复数相乘时，将实部和虚部按照乘法公式展开计算，并应用i^2=-1进行简化。
5. 复数的除法复数的除法通过乘以共轭复数实现。
将除数和被除数同时乘以除数的共轭复数，并应用i^2=-1进行简化。
6. 复数的模复数的模表示复数到原点的距离，用|z|表示，其中z=a+bi为复数。
复数的模定义为|z|=√(a^2+b^2)。
7. 复数的幅角复数的幅角表示复数与正实轴之间的夹角，用arg(z)表示，其中z=a+bi为复数。
复数的幅角可以用三角函数计算，即arg(z)=arctan(b/a)。
8. 欧拉公式欧拉公式是复数运算中的一个重要公式，它建立了复数与三角函数之间的联系。
欧拉公式表示为e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中e为自然对数的底，i为虚数单位。
9. 求解复数方程求解复数方程时，可以利用已学的代数方法解方程，例如使用因式分解、配方法等。
在解方程的过程中，要注意实部和虚部分别相等。
10. 复数的应用复数在高等数学和物理学中有广泛的应用，例如电路分析、信号处理、谐振等领域。
复数的运算和性质为求解和分析这些问题提供了便利。
通过对高三复数的知识点进行归纳总结，我们对复数的定义和表示、加减乘除运算、模和幅角、欧拉公式以及应用有了更深入的理解。
数学复数高考知识点总结
数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。
1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。
1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。
1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。
二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。
2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。
2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。
2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。
高中复数知识点
高中复数知识点高中复数知识点复数是高中数学中的一个重要概念，它包含了实数和虚数。
在高中数学中学习复数的知识要点主要有以下几个方面。
一、复数的定义和表示复数由实部和虚部构成，一般表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
复数的实部和虚部都可以是实数，当虚部为0时，复数就是一个实数。
二、复数的加法和减法复数的加法和减法遵循实数加法和减法的运算规律。
实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i。
三、复数的乘法和除法复数的乘法和除法遵循实数乘法和除法的运算规律。
即实部与实部相乘，虚部与虚部相乘，虚部的平方等于-1。
例如：(a+bi)·(c+di) = ac+adi+bci+bdi^2 = (ac-bd)+(ad+bc)i。
四、复数的模和幅角复数的模表示复数到原点的距离，可以用公式|a+bi| =√(a^2+b^2)来计算。
复数的幅角表示复数与实轴正半轴的夹角，可以用反三角函数来计算。
例如：复数a+bi的幅角为arctan(b/a)。
五、复数的乘方和开方对复数进行乘方，可以按照实数的乘方规则进行运算。
开方时，复数的开方有两个解，其中一个解是取正号，另一个解是取负号。
例如：开方公式为：√(a+bi) = ±√(r)e^(it/2)，其中r是模，t是幅角。
六、复数的共轭和商复数的共轭是将复数的虚部改为相反数得到的复数，表示为a-bi。
复数的商是对复数进行除法得到的值，其中分子和分母都可以为复数。
七、复数方程复数方程指的是含有复数未知数的方程。
解复数方程时，可以根据方程的形式进行变形和求解。
例如：线性复数方程的解是一个复数；二次复数方程的解可以用求根公式进行计算。
八、复数函数复数函数指的是函数的定义域和值都是复数。
复数函数包括代数函数和三角函数。
对于代数函数，其运算规则和实数函数一样。
对于三角函数，可以用欧拉公式将三角函数表示为指数函数的形式。
复数的高考必备知识点
复数的高考必备知识点复习高考，是所有学生必须经历的一段时间，而其中最重要的就是掌握高考的必备知识点。
高考的题目范围广泛，考查的知识点也非常繁多，掌握这些知识点，对于备战高考至关重要。
本文将为大家总结复数的高考必备知识点，并从不同学科的角度进行讲解。
一、语文1. 名词复数形式的构成：大多数名词在单数形式后面加-s构成复数形式，如book-books。
以-s、-sh、-ch、-x结尾的名词，在单词后面加-es构成复数，如class-classes。
以-o结尾的名词，一般加-es构成复数，如potato-potatoes。
但也有例外，如photo-photos。
2. 不可数名词没有复数形式。
例如：information，water。
二、数学1. 复数的基本概念：复数是实数和虚数的总称，形如a+bi的数称为复数，其中a是实部，b是虚部，而i是虚数单位。
2. 复数的加减法：实部相加，虚部相加，例如(3+2i)+(1+3i)=4+5i。
实部相减，虚部相减，例如(3+2i)-(1+3i)=2-1i。
3. 复数的乘法：实部相乘减虚部相乘，例如(3+2i)*(1+3i)=(3*1-2*3)+(3*2+1*3)i=3-6+6i+3i=9-3+9i=6+9i。
4. 复数的除法：利用复数的共轭进行计算，例如(3+2i)/(1+3i)=(3+2i)(1-3i)/(1+3i)(1-3i)=[(3+2i)(1-3i)]/[(1+3i)(1-3i)]=(3-9i+2i-6i^2)/(1-3i+3i-9i^2)=(3-7i+6)/(1+9)=(9-7i)/10=0.9-0.7i。
5. 复数的幂运算：利用指数法则进行计算，例如(i^2)^3=i^6=(-1)^3=-1。
三、化学1. 元素符号的复数形式：化学元素的符号在表示复数形式时，一般在后面添加-s，如atoms。
2. 化学方程式中的复数：在化学反应方程式中，反应物和生成物的系数表示物质的摩尔比。
高三数学 复数的有关概念总复习
第十四章复数——复数的有关概念（二）知识点详析1．知识体系表解2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位,规定,形如a+bi的数称为复数,其中a，b∈R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)(3)复数的相等设复数，那么的充要条件是：．(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．复数z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：⑴怎样计算？（先求n被4除所得的余数，）⑵是1的两个虚立方根，并且：⑶复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。
⑷棣莫佛定理是：⑸若非零复数，则z的n次方根有n个，即：它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为的圆上，并且把这个圆n等分。
⑹若，复数z1、z2对应的点分别是A、B，则△AOB（O为坐标原点）的面积是。
⑺=。
⑻复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：①轨迹为一条射线。
②轨迹为一条射线。
③轨迹是一个圆。
④轨迹是一条直线。
⑤轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在。
⑥轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在。
4．学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；(2)(3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i 及1的立方虚根ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。
高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580教学内容
高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580专题二 复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 二． 例题分析 【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》知识点总复习含解析
【高中数学】《复数》考试知识点(1)一、选择题1．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】 【分析】 由已知求得z ，代入zi，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，2z i =-+，则22(2)()12z i i i i i i i -+-+-===+-． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．3．若复数21z i i=+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．2B ．3C ．5D ．5【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可. 【详解】22(1)121(1)(1)i z i i i i i i +=+=+=+--+，22||125z =+=.故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.4．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25- B ．25C ．7-D ．7【答案】A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题5．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.6．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.7．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i +D ．1i -+【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D 【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.8．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是A ．12R z z ∈B ．12R z z ∈ C ．12R z z +∈D ．12R z z ∈ 【答案】D 【解析】 利用排除法：当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误，1211z i i R z i+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误， 本题选择D 选项.9．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 因为734i i++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.10．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D 【解析】 【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹. 【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选：D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．复数12i2i+=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A 【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.12．若复数1a iz i+=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1C ．12D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ，所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.13．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离， 故该距离的最大值为()()22231412412AB +=--+--+=+，最小值为2412AB -=-，故4M m -=. 故选：B. 【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.14．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若，，则的充要条件是；②若，且，则；③若，则．A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； ③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0. 考点：复数的有关概念.15．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数的基本概念得选项. 【详解】1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425-， z 的共轭复数为342525i +，模为2234125255⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.16．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21z z +=-（ ） A ．1i -- B ．1i +C ．312i -D ．312i +【答案】D 【解析】21z z +=-323122i i i -=+- ，选D.17．已知复数z 满足()11z i i +=-，则z = （ ） A ．i B ．1C ．i -D ．1-【答案】B 【解析】()()1i 1i z +=-，则()()()21i 1i 2i 1i 1i 1i 2z ---====-++-i ，1z ∴=，故选B.18．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为19．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r.故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案. 【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.。
高中数学复数的知识点总结
定义运算法那么加法法那么复数的加法法那么：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。
两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
两个复数的和依然是复数。
即 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.乘法法那么复数的乘法法那么：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = 1，把实部与虚局部别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.除法法那么复数除法定义：满足(c+di)(某+yi)=(a+bi)的复数某+yi(某,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法那么运算，即 (a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]=[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2).开方法那么假设z^n=r(coθ+iinθ)，那么z=n√r[co(2kπ+θ)/n+iin(2kπ+θ)/n](k=0，1，2，3……n-1)复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.(2)复数三角形式的乘方和开方.有局部学生对运算法那么知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的`模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3.复数中的重点(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.。
高考数学知识点复数
高考数学知识点复数复数是数学中一种重要的概念，也是高考数学中常见的知识点之一。
在学习复数的过程中，我们不仅需要掌握复数的定义、运算规则等基础知识，更要理解复数在实际问题中的应用。
本文将从复数的基本定义开始，逐步介绍其运算、表示形式和应用，帮助读者深入理解高考数学中的复数知识。
一、复数的基本定义及运算规则复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。
实数部分a可以看作是复数在实轴上的投影，而虚数部分bi则表示复数在虚轴上的投影。
复数的虚数部分可以用i来表示，i代表了虚数单位。
我们知道，i的平方等于-1，即i^2 = -1。
在进行复数的运算时，我们需要了解复数的加减乘除法规则。
两个复数相加时，实部和虚部分别相加；两个复数相减时，实部和虚部分别相减；两个复数相乘时，根据分配律展开运算，最后再利用i^2 = -1进行简化；两个复数相除时，一般将分子分母同时乘以共轭复数，然后再进行除法运算。
二、复数的表示形式和性质复数可以用不同的表示形式来表示，其中最常见的是代数形式和三角形式。
代数形式可以写成a+bi的形式，而三角形式则可以写成r(cosθ + isinθ)的形式。
其中，a+bi表示复数的实部和虚部，r表示复数的模，θ表示复数的辐角。
复数的辐角可以通过对应的实部和虚部计算得出。
对于两个复数的乘法运算，我们可以利用三角形式更方便地进行计算。
两个复数相乘，其模等于模之积，辐角等于辐角之和。
这个性质在高考数学中经常用到，在解决复数运算问题时非常实用。
三、复数的应用复数在实际问题中有着广泛的应用。
在电路分析中，复数可以用来表示电流和电压的相位关系；在信号处理中，复数可以用来表示信号的振幅和相位；在力学中，复数可以用来描述物体的振动和波动等。
在几何学中，复数可以用来表示平面上的点。
我们可以将平面上的一个点表示为复平面上的一个复数，通过复数的运算，可以进行平面上点的旋转、平移等操作。
这在解决几何问题时非常有用，有时可以简化问题的求解过程。
高中数学复数知识点总结
1. 复数的概念与表示1.1 复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，形式为a + bi，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。
1.2 复数的表示复数可以用代数形式、几何形式和指数形式表示。
•代数形式：a + bi•几何形式：复平面上的点•指数形式：re^(iθ)2. 复数的运算2.1 复数加减法对于两个复数a + bi和c + di，它们的和与差分别为：•和：(a + c) + (b + d)i•差：(a - c) + (b - d)i2.2 复数乘法对于两个复数a + bi和c + di，它们的积为：(ac - bd) + (ad + bc)i2.3 复数除法对于两个复数a + bi和c + di，它们的商为：((ac + bd) + (bc - ad)i) / (c^2 + d^2)3. 复数的性质与运算规律3.1 复数的模复数a + bi的模为：|a + bi| = √(a^2 + b^2)3.2 复数的共轭复数a + bi的共轭为：a - bi3.3 复数的运算规律•交换律：(a + bi)(c + di) = (c + di)(a + bi)•结合律：((a + bi)(c + di))(e + fi) = (a + bi)((c + di)(e + fi))•分配律：(a + bi)(e + fi) = ae + afi + bei + bfi•单位元：1 + 0i•逆元：对于非零复数a + bi，其逆元为(a + bi)^{-1} = (a^2 + b^2)^{-1}(a - bi)4. 复数的应用4.1 复数与方程许多实系数一元二次方程可以通过配方、因式分解等方法转化为复数根的形式。
4.2 复数与函数复数可以表示为函数的极限、积分和级数。
例如，欧拉公式e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)。
4.3 复数与物理在电磁学、量子力学等领域，复数常用于表示波动方程、能量本征值等物理量。
复数知识点总结
复数知识点总结一、复数的定义复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 均为实数，＄i$ 为虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$ 。
＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。
例如：＄3 ＋ 2i$ ，其中 3 是实部，2 是虚部。
二、复数的表示形式1、代数形式就是我们常见的＄a ＋ bi$ 。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以＄x$ 轴为实轴，＄y$ 轴为虚轴，复数＄a ＋ bi$ 可以用点＄（a, b)＄来表示。
3、三角形式复数＄z ＝ a ＋ bi$ 可以表示为＄z ＝ r(＼cos\theta ＋ i\sin\theta)＄，其中＄r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄称为复数的模，＄＼theta$ 称为复数的辐角。
4、指数形式根据欧拉公式＄e^｛i\theta} ＝＼cos\theta ＋ i\sin\theta$ ，复数可以表示为＄z ＝ re^｛i\theta}＄。
三、复数的运算1、加法＄（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$例如：＄（3 ＋ 2i) ＋（1 4i) ＝ 4 2i$2、减法＄（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i$例如：＄（5 ＋ 3i) （2 i) ＝ 3 ＋ 4i$3、乘法＄（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i$例如：＄（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i) ＝－4 ＋ 7i$4、除法＄＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋d^2}i$例如：＄＼frac{1 ＋ 2i}｛1 i} ＝＼frac{3}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i$四、复数的模复数＄z ＝ a ＋ bi$ 的模为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
高中复数的知识点(优秀5篇)
高中复数的知识点（优秀5篇）复数在高二数学教学中是一个难点，需要学生重点学习。
这次帅气的我为您整理了5篇《高中复数的知识点》，希望能为您的思路提供一些参考。
关于复数的知识点总结篇一1、知识网络图英语复数形式篇二第一部分：规则变化一般情况（包括以e结尾的名词）加-s-s在清辅音[p][t][k] [f]后读[s]在浊辅音和元音后读[z]在辅音[s][z][d ]后读[iz]口诀：清清浊浊元浊e.g. Cups, cats, cakes, roofs, flags, keys, faces以s,x,ch,sh结尾加-es在[s][z]后读[iz]Classes, boxes, watches, brushes以辅音+y结尾变y为i,加es读[z]Cities, countries, studies以元音+y结尾加-s读[z]Boys,rays,days有人还把以下两个加入了名词有规则变复数的行列。
以o 结尾加-es读[z]e.g. Heroes,tomatoes,potatoes,Negroes加-s读[z]Bamboos,radios,zoos,photos,pianos以f,fe结尾变f,fe为v,再加-es读[vz]Leaf-leaves Life-lives加-s读[s]Roofs, proofs, chiefs第二部分：不规则变化我们经常会看到有些名词变复数时并没有遵循上述规则。
这就是名词的不规则变化。
我们经常看见的有man-men,woman-women,child-children等等。
还有一些名词，单复数是同一个形式的。
不过，我们还是可以通过一些比较，发现其中的一些奥妙。
1以-us结尾的名词通常将-us改为-i读音变化：尾音[Es]改读[ai]，其中[kEs]要改读为[sai]，[gEs]要改读为[dVai]。
例：fungus→fungi;abacus→abaci;focus→foci;cactus→cacti;cestus→cesti 2以-is结尾的名词，通常将-is变为-es读音变化：尾音[is]改读[i:z]。
(完整版)高考复数知识点精华总结
1.复数的概念: (1 )虚数单位i ;(2) 复数的代数形式z=a+bi , (a, b € R)； (3) 复数的实部、虚部、虚数与纯虚数 2 .复数集3 .复数a+bi(a, b € R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当 b=0时，a+bi 就是实数，当b 工0时，a+bi 是虚数，其中 a=0且b 工0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若 a=b=0，则a+bi=0是实数。
4. 复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， (1) 加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；(2) 减法:z1 - z2=(a1 - a2)+(b1 - b2)i ； (3) 乘法:z1 z 2=(a1a2 - b1b2)+(a1b2+a2b1)i;z-i (a-i a 2 t 1b 2) (a 2t 1 a-|b 2)i— 2~Z~2(4)除法：z 2a 2b 2;(5) 四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况 (6) 特殊复数的运算：n2①i (n 为整数)的周期性运算； ②(1 ± i) = ±2i ;丄 3③若 3 =- 2 + 2 i ，则 3 3=1 ， 1+ 3 + 3 2=0.5. 共轭复数与复数的模实数(b 复数 a bi (a, b R) 0)无理数(无限不循环小数)虚数(b纯虚数(a 0) 非纯虚数(a 0)(1 )若z=a+bi，则z a bi，z z 为实数,(2)复数z=a+bi 的模|Z|= b ,且z zz z为纯虚数(b工0).2|z| =a2+b2.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
4 •复数a+bi 的共轭复数是a - bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称 若b=0，贝U 实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。
复数知识点总结
复数知识点小结1、复数的概念复数 (,)z a bi a b R =+∈Re Im a z b z ⎧⎨⎩——实部————虚部——，其中21i =-，i 叫做虚数单位. 2、复数的分类 (0) (,)(0) (0b z a bi a b R b a =⎧=+∈⎨≠=⎩实数复数虚数特别地，时为纯虚数)3、两个复数相等定义：如果两个复数),(1R b a bi a z ∈+=和),(2R d c di c z ∈+=的实部与虚部分别相等，即d b c a ==且，那么这两个复数相等，记作di c bi a +=+.只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.4、复平面——建立了直角坐标系来表示复数的平面。
复平面中，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。
5、复数的向量表示OZ Z 向量复平面上点复数↔↔+=),(b a bi a z6、复数的模复数模（绝对值）的定义，几何意义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离。
|z|=|a+bi|=022≥+b a .[说明] ||||z z a ==为实数时，，所以实数绝对值是复数模的特殊情形。
当且仅当a=b=0时，|z|=07、复数的四则运算性质：R d c b a ∈,,,1）、加法：i d b c a di c bi a )()()()(+++=+++2）、减法：i d b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+3）、乘法：i bc ad bd ac di c bi a )()())((++-=++4）、除法：i d c ad bc d c bd ac di c bi a 2222+-+++=++ （目的：分母实数化） [要点说明]①计算结果一律写成),(R b a bi a ∈+的代数形式；②复数的加法满足交换律、结合律；③复数乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律；交换律：1221z z z z ⋅=⋅结合律：)()(321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅分配律：3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅④实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即n n n mn n m n m n m z z z z z z z z z N n m C z z z 2121*321)(,)(,,,,,=⋅==∈∈+时：8、i 的整数指数幂的周期性特征：414243441, 1, , 1k k k k k i i i i i i ++++==-=-=若为非负实数，则（）；024*******=+++++++k k k k i i i i ）（9、||21z z -的几何意义：设12, (,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈ 则2221)()(|)()(||)()(|||d b c a i d b c a di c bi a z z -+-=-+-=+-+=-几何意义：对应复平面上点12(,), (,)Z a b Z c d 两点间距离22)()(d b c a d -+-=10、共轭复数1）定义： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数，记为bi a z -=问题：当R z ∈时，是否有共轭复数？两者关系如何？z z R z =⇔∈2）运算性质：结论可推广到n 个2121)1(z z z z ±=± 2121)2(z z z z ⋅=⋅ )0()()()3(22121≠=z z z z z 3）模的运算性质：① 121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；② 1212z z z z ⋅=⋅，可推广至有限多个，特别地n n z z= ③ 2121z z z z = ④ 22z z z z ==，特别地，当1=z 时，1=z z 即 1z z=. 11、复数的平方根：在复数集C 内，如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：di c bi a +=+2)(， 则称bi a +是di c +的一个平方根.从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根有两个，且互为相反数.12、复数的立方根 设i 2321+-=ω，则： 322331322(1) 1; (2) 10 ; (3) ;(4) 1,{}3.n n n nT ωωωωωωωωωωω++=++======即是的等比数列 13、实系数一元二次方程根的情况1）20(0)ax bx c a ++=≠实系数一元二次方程在复数集内根的情况：① 0 ,∆>当时有两个不相等的实根；② 0 ∆=当时，有两个相等的实根； ③ 0 ∆<当时，有两个共轭虚根.2）0∆<当时，2212112122Re ,||||b c x x x x x x x a a+==-⋅=== 3）120||x x a∆≥-=当时，；120||||22||b i b i x x a a a --∆<-=-=当时，12||x x -=综上：。
高考复数知识点精华总结
高考复数知识点精华总结1.复数的概念：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
2.复数集：复数集包括整数、有理数、实数（当b=0时）、分数、小数、无理数、纯虚数和虚数。
3.复数a+bi的实部为a，虚部为b，i是虚数单位。
当b=0时，a+bi是实数，当b≠0时，a+bi是虚数。
若a=0且b≠0，则a+bi是纯虚数。
4.复数的四则运算：加法、减法、乘法、除法都可以用实数单位和虚数单位进行运算。
特殊复数的运算包括周期性运算和(1±i)2=±2i等。
5.共轭复数与复数的模：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，模为|z|=√(a^2+b^2)。
共轭复数关于实轴对称，若b=0，则实数a与其共轭复数相等。
6.两个复数相等的定义为a+bi=c+di，其中a、b、c、d都是实数。
复数不能进行大小比较，只能由定义判断它们相等或不相等。
在运算中需要将虚数单位i的平方i^2=-1结合到实际运算过程中去。
6.复数的除法可以通过将分母实化得到，即满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi被称为复数a+bi除以复数c+di的商。
由于两个共轭复数的积是实数，因此可以得到以下公式：a+bi / (c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)i/(c^2+d^2)7.复数a+bi的模表示复数a+bi的点到原点的距离。
1.例1：对于复数z=m+1+(m－1)i，当m=1时，z是实数；当m≠1时，z是虚数；当m=-1时，z是纯虚数；当m<-1时，z对应的点Z在第三象限。
例2：已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x。
y∈R，求x。
y。
解得x=2.y=4.2.例4：对于复数z＝m25+(m2+3m－10)i，当虚部m2+3m－10=0时，z为实数，解得m=2；当虚部m2+3m－10≠0且分母不为零时，z为虚数，解得m≠2且m≠±5；当虚部为0且分母不为零时，z为纯虚数，解得m=-2.3.计算i＋i2＋i3+……+i2005，可以将i的周期性用以下公式表示：i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i。
高中数学人教B版第十章《复数》知识点清单
新教材人教B版2019版数学必修第四册第十章知识点清单目录第十章复数10. 1 复数及其几何意义10. 1. 1 复数的概念10. 1. 2 复数的几何意义10. 2 复数的运算10. 2. 1 复数的加法与减法10. 2. 2 复数的乘法与除法10. 3 复数的三角形式及其运算第十章复数10. 1 复数及其几何意义10. 1. 1 复数的概念一、复数及复数集1. 复数：一般地，当a与b都是实数时，称a+bi为复数(i为虚数单位).2. 复数的代数形式复数一般用小写字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z 的虚部，分别记作Re(z)=a，Im(z)=b.3. 复数集所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C={z|z=a+ bi，a，b∈R}.二、复数的分类1. 对于复数a+bi(a，b∈R)，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a=0且b≠0时，叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集.这样，复数z=a+bi(a，b∈R)可以分类如下：复数z{实数(b=0)，虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用下图表示：三、复数相等两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1=z2. 如果a，b，c，d都是实数，那么a+bi=c+di⇔a=c且b=d. 特别地，当a，b都是实数时，a+bi=0的充要条件是a=0且b=0.提醒：两个复数(如果不全是实数)不能比较大小，只能说它们相等或不相等.四、对复数概念的理解1. 复数的分类问题一般转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为标准形式，列出实部与虚部满足的方程或不等式即可.2. 解题时一定要先看复数是不是a+bi(a，b∈R)的形式，以确定其实部和虚部.3. 若一个复数是实数，则有以下结论：(1)z的虚部为0，则z∈R；(2)z∈R⇔z2≥0.4. 若一个复数是纯虚数，则有以下结论：(1)实部为0且虚部不为0，则z为纯虚数；(2)z是纯虚数⇔z2<0；(3)若z为纯虚数，则z=ki(k∈R且k≠0).五、复数相等的定义利用复数相等的定义时要注意：(1)化为复数的标准形式z=a+bi；(2)实部、虚部中的字母为实数，即a，b∈R；(3)实部和虚部分别对应相等.根据复数相等的定义，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.10. 1. 2 复数的几何意义一、复数的几何意义1. 复数与复平面内的点的一一对应一方面，根据复数相等的定义，复数z=a+bi(a，b∈R)被它的实数与虚部唯一确定，即复数z被有序实数对(a，b)唯一确定；另一方面，有序实数对在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z(a，b). 因此可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即复数z=a+bi↔点Z(a，b). 如图所示：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面. 在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴.2. 复数与平面向量的一一对应因为平面直角坐标系中的点Z(a，b)能唯一确定一个以原点O为始点，Z为终点的向⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以复数也可用向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示，这样也就能在复数集与平面直角坐标系中量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ = 以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z=a+bi↔向量OZ(a，b). 如图所示：二、共轭复数1. 定义一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数. 复数z的共轭复数用z表示.2. 代数形式：a+bi与a-bi(a，b∈R)互为共轭复数，即z=a+bi⇔z=a-bi.3. 几何描述⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、非零复数z1、z2互为共轭复数⇔它们在复平面内对应的点Z1、Z2(或对应向量OZ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )关于实轴对称.OZ2三、复数的模⃗⃗⃗⃗⃗ =(a，b)的长度称为复数z=a+bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，复数z 1. 一般地，向量OZ的模用|z|表示，因此|z|=√a2+b2. 当b=0时，|z|=√a2=|a|.2. 一般地，两个共轭复数的模相等，即|z|=|z|.四、对复数几何意义的理解1. 复平面内的虚轴上的单位长度是1而不是i，由于i=0+1·i，所以用复平面内的点(0，1)表示i时，这一点与原点的距离是1，等于虚轴上的单位长度.2. 当a=0时，对任何b≠0，b∈R，a+bi=0+bi=bi是纯虚数，但当a=b=0时，a+bi=0是实数，所以除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.3. 复数z=a+bi(a，b∈R)中的z，书写时要小写；复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时要大写.4. 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.四、复平面内复数z对应的点Z 的几个基本轨迹1. |z|=0↔点Z组成的集合是原点.2. |z|=r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆.3. |z|>r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆的外部.4. |z|<r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆的内部.5. |z|≥r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆及其外部.6. |z|≤r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆及其内部.7. r1<|z|<r2(r1，r2是正数)↔点Z组成的集合是一个圆环(不包括边界).10. 2 复数的运算10. 2. 1 复数的加法与减法一、复数的加、减运算法则设z 1=a+bi ，z 2=c+di(a ，b ，c ，d∈R).(1)z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i ，(2)z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i.二、复数的加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C，有(1)z 1+z 2=z 2+z 1，(交换律)(2)(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3). (结合律)三、复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线时，以OZ 1和OZ 2为两条邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则z 1+z 2所对应的向量就是OZ⃗⃗⃗⃗⃗ ，如图1所示. 设点Z 满足OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ =Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则z 1-z 2所对应的向量就是OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，如图2所示.由复数加、减法的几何意义可得||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|.四、复数代数形式的加、减运算1. 复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项.2. 复数的加法满足交换律和结合律，利用复数加法的运算律可以简化运算.五、复数加、减运算的几何意义1. 利用复数加、减运算的几何意义解题的常用技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形有关的问题转化成复数的运算进行解题；(2)数转化为形：对于一些复数运算给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中.2. 利用复数的几何意义解题的常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1+z2对应的点为C，O为坐标原点(点O，A，B不共线).(1)四边形OACB为平行四边形；(2)若|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形.10. 2. 2 复数的乘法与除法一、集合的相关概念1. 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，(1)z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；(2)z1z2=a+bic+di=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i(c+di≠0).2. z的n次方(或n次幂)n个相同的复数z相乘时，称为z的n次方(或n次幂)，记作z n.3. 常用结论(1)∀z∈C，z z=|z|2=|z|2.(2)z m z n=z m+n(m，n∈N*).(3)(z m)n=z mn(m，n∈N*).(4)(z1z2)n=z1n z2n(n∈N*).(5)z0=1，z-n=1z n(z≠0，n∈N*).二、复数的乘法运算律对任意z1，z2，z3∈C，(1)z1z2=z2z1；(交换律)(2)(z1z2)z3=z1(z2z3)；(结合律)(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. (分配律)三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集1. 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在复数范围内的解：四、复数代数形式的乘、除运算1. 复数乘、除运算的策略(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘多项式，复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法满足分配律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘分母的共轭复数. 这种方法通常称为“分母实数化”.2. 复数代数运算中的常用结论(1)(1±i)2=±2i，1+i 1−i =i ， 1−i 1+i =-i ； (2) (−12±√32i)3=1， (12±√32i)3=-1； (3)(a+bi)(a-bi)=a 2+b 2(a ，b∈R).五、i n (n∈N)的周期性及其应用1. 虚数单位i 的幂的周期性(1)i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=-1，i 4n+3=-i(n∈N)，其中i 0=1，i -n =1i n (n∈N *). (2)i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0(n∈N).2. 计算(a+bi)n 时，一般按乘法法则进行计算，对于复数1±i，计算它的n(n ≥2且n∈N)次方时，一般先计算它的平方；对于复数±12±√32i ，计算它的n(n ≥3且n∈N)次方时，一般先计算它的立方.六、复数范围内实系数一元二次方程根的问题1. 对于实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0，当Δ=b 2-4ac<0时，方程没有实数根. 因 此，在研究代数方程的问题中，如果仅限于实数集，有些问题就无法解决. 在实数集 扩充到复数集后，就可以对上述方程进行求解了.2. 复数范围内实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式：(1)当Δ≥0时，x=−b±√b 2−4ac 2a ； (2)当Δ<0时，x=−b±√−(b 2−4ac)i 2a. 3. 如果实系数一元二次方程有虚根，那么虚根以共轭复数的形式“成对”出现.4. 根与系数的关系在复数范围内仍然成立.10. 3 复数的三角形式及其运算一、复数的三角形式一般地，如果非零复数z=a+bi(a ，b∈R)在复平面内对应点Z(a ，b)，且r 为向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模，θ是以x 轴正半轴为始边、射线OZ 为终边的一个角，则r=|z|=√a 2+b 2, 根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ=a r ，sin θ=b r . 因此a=rcos θ，b=rsin θ，如图所示，从而z=a+bi=(rcos θ)+(rsin θ)i=r(cos θ+isin θ)，上式的右边称为非零复数z=a+bi 的三角形式(对应地，a+bi 称为复数的代数形式)，其中的 θ称为z 的辐角. 显然，任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相 差2π的整数倍. 特别地，在[0，2π)内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z.二、复数三角形式的乘除法1. 复数三角形式的乘除法设z 1=r 1(cos θ1+isin θ1)，z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1z 2=r 1(cos θ1+isin θ1)×r 2(cos θ2+isin θ2)=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].特别地，如果n∈N，则[r(cos θ+isin θ)]n =r n [cos(nθ)+isin(nθ)]. z 1z 2=r 1(cos θ1+i sin θ1)r 2(cos θ2+i sin θ2)=r 1r 2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](z 2≠0).2. 复数乘除运算的几何意义(1)复数乘法的几何意义两个复数z 1，z 2相乘时，如图1，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后把向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数就是积z 1z 2.(2)复数除法的几何意义两个复数z 1，z 2相除时，如图2，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后把向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的1r 2，得到向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数就是z 1z 2.图1 图2三、复数的三角形式1. 复数z=r(cos θ+isin θ)的结构特点①r 是复数的模，r ≥0；②式中的三角函数是同一个辐角θ的余弦和正弦；③cos θ在前，sin θ在后；④cos θ和sin θ之间用“+”连接.2. 复数的代数形式化为三角形式的方法将复数的代数形式化为三角形式，要从复数三角形式的概念出发，关键是确定两 个要素，一是复数的模，二是复数的辐角. 复数z=a+bi(a ，b∈R)的模可以直接利用公式r=√a 2+b 2求出；其辐角的求法并不唯一，可以利用cos θ=a r 先求出cos θ，再根据复数的几何意义，由复数在复平面内的对应点的坐标Z(a ，b)确定辐角θ的终边所在的象限，进而求出辐角θ；也可以利用sin θ=b r 或tan θ=b a (a ≠0)求出sin θ或tan θ，再由辐角θ的终边所在的象限，利用“已知三角函数值求角”的方法，求出辐角θ.。
高考复数知识点及总结
高考复数知识点及总结高考对学生来说是一次至关重要的考试，而数学作为其中重要的科目之一，复数知识点在高考中也扮演着重要角色。
掌握好复数的概念和运算规则能够为学生在高考中取得更好的成绩提供有力支撑。
本文将对高考中常见的复数知识点进行总结，帮助同学们更好地应对高考数学考试。
1. 复数的概念复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a和b为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数包括实数和纯虚数两种情况，实部为0的复数称为纯虚数。
2. 基本运算规则2.1 复数的加法和减法对于两个复数(a+bi)和(c+di)，其加法和减法的运算规则分别如下：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i2.2 复数的乘法对于两个复数(a+bi)和(c+di)，其乘法的运算规则如下：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i2.3 复数的除法对于两个复数(a+bi)和(c+di)，其除法的运算规则如下：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i3. 复数的共轭对于复数a+bi，其共轭复数定义为a-bi。
共轭复数的性质是实部相等，虚部的符号相反，即(a+bi)的共轭复数为(a-bi)。
4. 复数的模和幅角4.1 复数的模对于复数a+bi，其模定义为|a+bi|=√(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离。
4.2 复数的幅角对于非零复数a+bi，其幅角定义为arg(a+bi)，表示与正实轴之间的夹角，通常用弧度表示。
5. 复数的指数运算复数的指数运算可以利用欧拉公式来进行计算。
欧拉公式表达为e^(ix)=cosx+isinx，其中e为自然对数的底数。
6. 复数的根对于复数a+bi和正整数n，复数a+bi的n次方根有n个，可以利用公式(a+bi)^(1/n)=r^(1/n)[cos(θ/n)+isin(θ/n)]其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
高中数学第七章复数易错知识点总结(带答案)
高中数学第七章复数易错知识点总结单选题1、已知复数z =(1−i )−m (1+i )是纯虚数，则实数m =（ ） A ．-2B ．-1C ．0D ．1 答案：D解析：利用纯虚数的性质可得m 的值.z =(1−i )−m (1+i )=1−m −(m +1)i ，因为z 为纯虚数且m 为实数， 故{1−m =01+m ≠0，故m =1， 故选：D2、在复平面内，复数1+i 的共轭复数所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D解析：求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限. ∵复数1+i 的共轭复数为1−i ， ∴其对应的点(1,−1)位于第四象限. 故选：D.小提示：本题考查复数的几何意义，属于基础题.3、已知z =a −2+(1+2a)i 的实部与虚部相等，则实数a =（ ） A ．2B ．−2C ．3D ．−3 答案：D分析：由题可得a −2=1+2a ，即得. 由题可知a −2=1+2a ， 解得a =−3. 故选：D ． 4、2−i1+2i =（ ）A．1B．−1C．iD．−i答案：D分析：根据复数除法法则进行计算.2−i 1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i故选：D小提示：本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.5、若a,b∈R，i是虚数单位，a+2021i=2−bi，则a2+bi等于（）A．2021+2i B．2021+4i C．2+2021i D．4−2021i答案：D分析：根据复数相等可得a=2，−b=2021，进而即得.因为a+2021i=2−bi，所以a=2，−b=2021，即a=2，b=−2021，所以a2+bi=4−2021i．故选：D．6、欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e为自然底数，i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e2i在复平面内对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B分析：根据欧拉公式有e2i=cos2+isin2，判断cos2,sin2即可确定e2i对应点所在象限.由题意知：e2i=cos2+isin2，而π2<2<π，∴cos2<0,sin2>0，故e2i对应点在第二象限.故选：B7、已知复数z=2−i20171+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：A分析：根据复数的运算，求得复数z ，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案． 复数z =2−i 20171+i =2−i 1+i =(2−i )(1−i )(1−i )(1+i )=1−3i 2=12−32i ，则z =12+32i所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(12,32)，位于复平面内的第一象限.故选：A8、下列命题正确的是（ ）A ．复数1+i 是关于x 的方程x 2−mx +2=0的一个根，则实数m =1B ．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，若|z 1|=|z 2|，则OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 重合C ．若|z −1|=|z +1|，则复数z 对应的点Z 在复平面的虚轴上(包括原点)D ．已知复数−1+2i ，1−i ，3−2i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （i 是虚数单位，O 为复平面坐标原点，x ，y ∈R ），则x +y =1 答案：C分析：结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.对于A ：复数1+i 是关于x 的方程x 2−mx +2=0的一个根，所以：(1+i )2−m (1+i )+2=0， 2i −m −mi +2=2−m +(2−m )i =0,2−m =0,m =2，故A 错误； 对于B ：设复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，若|z 1|=|z 2|， 即这两个向量的模长相等，但是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定重合，故B 错误；对于C ：若|z −1|=|z +1|，设z =x +yi (x,y ∈R )，故：√(x −1)2+y 2=√(x +1)2+y 2，整理得：x =0，故z =yi ，故C 正确；对于D ：已知复数−1+2i ，1−i ，3−2i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ， 若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(3,−2)=x (−1,2)+y (1,−1)， (3,−2)=(−x,2x )+(y,−y )=(y −x,2x −y )，{y−x=32x−y=−2，解得：x=1，y=4，故x+y=5，故D错误．故选：C．多选题9、设z为复数，则下列命题中正确的是（）A．|z|2=zzB．z2＝|z|2C．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2D．若|z﹣1|＝1，则0≤|z|≤2答案：ACD分析：根据复数的运算法则，以及其几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 设z=x+yi(x,y∈R)，则z=x−yi，对A：|z|2=x2+y2=(x+yi)(x−yi)=zz，故A正确；对B：z2=(x+yi)2=x2−y2+2xyi≠x2+y2=|z|2，故B错误；对C：若|z|=1，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，而|z+i|表示复数z对应点到(0,−1)的距离，故当且仅当z对应点为(0,1)时，取得最大值2，故C正确；对D：若|z−1|=1，其表示复数z对应的点是以(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点，又|z|表示复数z对应点到原点的距离，显然|z|∈[0,2]，故D正确.故选：ACD.10、已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A．i+i2+i3+i4=0B．复数z=3−i的虚部为−iC．若z=(1+2i)2，则复平面内z对应的点位于第二象限D．已知复数z满足|z−1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线分析：根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.A选项，i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故A选项正确.B选项，z的虚部为−1，故B选项错误.C选项，z=1+4i+4i2=−3+4i,z=−3−4i，对应坐标为(−3,−4)在第三象限，故C选项错误.D选项，|z−1|=|z+1|=|z−(−1)|表示z到A(1,0)和B(−1,0)两点的距离相等，故z的轨迹是线段AB的垂直平分线，故D选项正确.故选：AD11、已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）A．若复数z=1+i1−i，则z30=−1B．若复数z满足|z−1|=|z−i|，则复平面内z对应的点Z在一条直线上C．若(x2−1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1D．复数z=2−i的虚部为−i答案：AB分析：根据复数的运算直接计算可知A；由复数的模的公式化简可判断B；根据纯虚数的概念列方程直接求解可知C；由虚部概念可判断D.对于A：因为z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i，所以z30=i30=i4×7+2=i2=−1，故A正确；对于B：设z=x+yi(x,y∈R)，代入|z−1|=|z−i|，得√(x−1)2+y2=√x2+(y−1)2，整理得y=x，即点Z在直线y=x上，故B正确；对于C：(x2−1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则{x 2−1=0,x2+3x+2≠0，即x=1，故C错误；对于D：复数z=2−i的虚部为−1，故D错误.故选：AB.12、已知复数ω=−12+√32i（i是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（）A．ω2=ω B．ω3=−1 C．ω2+ω+1=0 D．ω>ω分析：计算ω2可判断A ；计算ω3可判断B ；计算ω2+ω+1可判断C ；根据虚数不能比较大小可判断D. ∵ω=−12−√32i ， ∴ω2=14−√32i −34=−12−√32i =ω，故A 正确，ω3＝ω2ω＝(−12−√32i)(−12+√32i)=14−(−34)＝1，故B 错误，ω2+ω+1=−12−√32i −12+√32i +1＝0，故C 正确；虚数不能比较大小，故D 错误. 故选：AC ．小提示：本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．难度中等． 13、已知a ，b ∈R ，(a −1)i −b =3−2i ，z =(1+i )a−b ，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部是2i B ．|z |=2C ．z =−2iD ．z 对应的点在第二象限 答案：BC分析：根据复数相等的定义，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征逐一判断即可.由复数相等可得{−b =3,a −1=−2,解得{a =−1,b =−3,所以z =(1+i)a−b =(1+i)2=2i ，对于A ，z 的虚部是2，故A 错误； 对于B ，|z|=|2i|=2，故B 正确； 对于C ，z =−2i ，故C 正确；对于D ，z 对应的点在虚轴上，故D 错误. 故选：BC 填空题14、已知复数z 1＝3－bi ，z 2＝1－2i ，若z1z 2是实数，则实数b ＝________.答案：6分析：化简z1z 2，利用虚部为零，计算出b 即可.z 1z 2＝3−bi 1−2i ＝(3−bi)(1+2i)(1−2i)(1+2i)＝3+2b+(6−b)i5，∵z 1z 2是实数，∴6－b ＝0，即b ＝6.所以答案是：615、若z ∈C ，且2z−5=i ，则Re(z)=________. 答案：5分析：推导出(z −5)i =2，从而z =2i +5=5−2i ，由此能求出Re (z ).解：∵z ∈C ，且2z−5=i ， ∴(z −5)i =2，∴z =2i +5=5+2ii 2=5−2i ， ∴Re (z )=5. 所以答案是：5.小提示：本题考查复数的实部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.关键是利用复数的运算求出z 的标准形式，并注意准确掌握实部的概念.16、已知复数z 1=1+3i ，z 2=t +i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2是实数，则实数t =___________. 答案：13分析：由共轭复数定义和复数乘法运算可求得z 1⋅z 2，利用实数定义可构造方程求得t . ∵z 1⋅z 2=(1+3i )⋅(t −i )=(t +3)+(3t −1)i 为实数，∴3t −1=0，解得：t =13. 所以答案是：13.解答题17、已知点P(√3,1),Q (cosx,sinx ),O 为坐标原点，函数f (x )=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )=4,BC =3，求△ABC 周长的最大值. 答案：(1)2π(2)3+2√3分析：（1）先利用向量数量积和辅助角公式化简得到f (x )=4−2sin (x +π3)，进而求出最小正周期；（2）利用余弦定理求出(b +c )2−9=bc ，使用基本不等式求出b +c ≤2√3，进而得到△ABC 周长的最大值. (1)f (x )=OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1)⋅(√3−cosx,1−sinx)=3−√3cosx +1−sinx =4−2sin (x +π3)故f (x )的最小正周期T =2π， (2)f (A )=4−2sin (A +π3)=4，解得：sin (A +π3)=0，而A ∈(0,π)，故A +π3∈(π3,4π3)，故A +π3=π，所以A =2π3；又BC =3，设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,由余弦定理得：cosA =b 2+c 2−92bc=−12，所以(b +c )2−9=bc ，又bc ≤(b+c )24，故(b +c )2−9≤(b+c )24，解得：b +c ≤2√3，当且仅当b =c =√3时等号成立， 故a +b +c ≤3+2√3，即△ABC 周长的最大值为3+2√3. 18、已知O 为坐标原点，向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ､OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别对应复数z 1，z 2，且z 1=3a+5+(10−a 2)i ，z 2=21−a+(2a −5)i(a ∈R)，若z 1+z 2是实数. (1)求实数a 的值；(2)求以OZ 1､OZ 2为邻边的平行四边形的面积. 答案：(1)a =3 (2)118分析：（1）由已知结合z 1+z 2为实数求得a 的值，（2）求得OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的点的坐标，再由OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值计算夹角的正余弦，则可求面积． （1）由z 1=3a+5+(10−a 2)i ，得z 1=3a+5−(10−a 2)i ，则z 1+z 2=3a+5+21−a +[(a 2−10)+(2a −5)]i 的虚部为0，∴a 2+2a −15=0． 解得：a =−5或a =3． 又∵a +5≠0，∴a =3． （2）由（1）可知z 1=38+i ，z 2=−1+i ．OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(38，1)，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)．∴OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =58．所以cos 〈OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=58√64⋅√2=√146，所以sin 〈OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=√146，所以以OZ 1､OZ 2为邻边的平行四边形的面积S =|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin 〈OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=118。
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【解析】
【分析】
利用复数除法运算法则化简原式可得 ，再利用复数相等列方程求出 的值，从而可得结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，则 ，故选B.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
11．已知i是虚数单位，则复数 的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（ ），所在的象限为第一象限．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简z,复数 在复平面中对应的点到原点的距离为 利用模长公式即得解.
【详解】
由题意知复数 在复平面中对应的点到原点的距离为
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据虚数单位i的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．
【详解】
故选B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．
故选C.
【点睛】
本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．
16．设 ，其中 ，则以下结论正确的是（）
A． 对应的点在第一象限B． 一定不为纯虚数
C． 对应的点在实轴的下方D． 一定为实数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 ， 可正可负也可为0，即可判定.
【详解】
， 不可能为实数，所以D错误；
【分析】
【详解】
，选B.
5．若 且 ，则 的最大和最小值分别为 ，则 的值等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数差的模的几何意义可得复数 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到 ，从而可得 的值.
【详解】
因为 ，
故复数 在复平面上对应的点 到 对应的点 的距离小于或等于2，
故选
【点睛】
本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
19．复数 （i为虚数单位）的共轭复数是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题； ，则共轭复数为： ．
考点：复数的运算及共轭复数的概念.
20．已知i是虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.
【详解】
因为 ) ) ，
所以
因为 ，所以 ，选B.
【点睛】
本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
2．已知复数 ，则（）
A． B． 的实部为 C． 的虚部为 D． 的共轭复数为
【答案】C
【解析】
分析：由题意首先化简复数z，然后结合z的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法.
详解：由复数的运算法则可得： ，
则 ，选项A错误；
的实部为 ，选项B错误；
的虚部为 ，选项C正确；
的共轭复数为 ，选项D错误.
故选：A．
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
12．设 是虚数单位，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．已知复数 ，其中 是虚数单位，则 的模 = ( )
A． B． C．3D．5
【答案】B
【解析】
，故选B．
4．a为正实数，i为虚数单位， ，则a=（）
A．2B． C． D．1
【答案】B
【解析】
所以 在以 为圆心，半径为2的圆面内或圆上，
又 表示 到复数 对应的点 的距离，
故该距离的最大值为 ，
最小值为 ，故 .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数中 的几何意义，该几何意义为复平面上 对应的两点之间的距离，注意 也有明确的几何意义（可把 化成 ），本题属于中档题.
6．已知复数 （ ），其中i为虚数单位，若 为实数，则 的值为（）
18．已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z .则其中正确命题的个数为( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.
【详解】
解：设 ,
可得： ，
则 ，
，
可得： ，
可得： ，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.
13．设复数 （i是虚数单位），则 （）
A． B． C． D．0【答 Nhomakorabea】D【解析】
【分析】
先化简 ，再根据所求式子为 ，从而求得结果．
【详解】
解：复数 是虚数单位），
【高中数学】《复数》考试知识点
一、选择题
1．已知复数 满足 （其中 为 的共轭复数），则 的值为( )
A．1B．2C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
按照复数的运算法则先求出 ，再写出 ，进而求出 .
【详解】
，
，
.
故选：D
【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.
15．“ ”是“复数 在复平面内对应的点在第一象限”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案．
【详解】
若复数 在复平面内对应的点在第一象限，则
解得 ，故“ ”是“复数 在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.
7．若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为 ，所以 ， ，故选B.
8．设 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 的值为（）
A．-3B．-1C．1D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
因 ,
故由题设 ,
故 ,故选D．
考点：复数的概念与运算.
9．已知复数 ，则 （）
A． B． C． D．
对应的点在实轴的上方，又 与 对应的点关于实轴对称， 对应的点在实轴的下方，所以C正确；
， 对应的点在第二象限，所以A错误；
， 可能为纯虚数，所以B错误；
C项正确.
故选：C
【点睛】
此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
17．已知 ， ，其中 为虚数单位，则 =（）
A．-1B．1C．2D．3
【详解】
对于①中复数 和 的模相等,例如 , ,则 和 是共轭复数是错误的;对于② 和 都是复数,若 是虚数,则其实部互为相反数,则 不是 的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数 是实数,令 ,则 所以 ,反之当 时,亦有复数 是实数,故复数 是实数的充要条件是 是正确的.综上正确命题的个数是 个.
【答案】C
【解析】
分析：首先根据题中所给的复数z，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得 ，从而求得结果.
详解：根据 ，可得 ，且 ，所以有 ，故选C.
点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.
10．已知复数 满足 ，其中 是虚数单位，则复数 在复平面中对应的点到原点的距离为（）
而 ，
而 ，
故 ，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．
14．若 ，则 在复平面内对应点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到 ，得到答案.
【详解】
，对应的点在第一象限.
故选： .
【点睛】
本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.