高一数学课件：平面向量单元复习2(人教A版必修4)
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人教A版高中数学必修四课件：第二章 阶段复习课 平面向量 (共82张PPT)
择决定命运，环境造就人生！
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，
新课标人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.4向量的数量积复习课件(共15张PPT)
r rC
A
a?b OA ? OC
练习1: 如图， ABCD的两条对角线相交于点M ,且 uuur r uuur r r r uuuur uuur uuuur AB a，AD b，用a、b表示AM、BD、和MD.
rD b
A
C
M
ar B
练习2：在 ABC中，AB=2,AC=4, A
PE ^ AB, PD ^ AC, AD = 2, AE =1,求 E
A
B
P
C
解：Q 点P为线段BC的中点，
\
uuur BP
=
uuur PC
即AP
AB
AC
AP .
AP 1 ( AB AC ). 2
又BC AC AB,从而
A
AP BC AP ( AC AB)
1 ( AB AC ) ( AC AB)
2
B
P
C
1(
AC
2
2
AB ) 6.
2
问题3：在ABC中，AB 2，AC 4， 若点 P为三角形的外心，求 AP • BC的值 。
A
E
D P
C
B
F
uuur uuur 问题3：若点P为DABC的外心, 求 AP ? BC的值.
A
uuur
uuur uuur
解：将BC转化为AC - AB,得
AP BC AP ( AC AB) AP AC AP AB
B
P
图2
C
AP AC cosPAC AP AB cosPAB
A
G B
F P
E
C
小结:
1、向量数量没有运算，向量只是一个 “路标”．因为有了运算，向量的 力量无限．
高中数学 必修四 课件：第二章 平面向量
专题突破
第二章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
专题一 有关向量的共线问题 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．若ka＋2b与2a－4b
平行，求实数k的值． [分析] 本题考查两向量的共线问题，要求学生熟练掌握
两向量共线的条件．
第二章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析] ∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)， 2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， ka＋2b与2a－4b平行， ∴(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0. 解得k＝－1.
→ OP
与
→ OQ
垂
直，求x的值．
第二章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
∵
→ OP
＝(2cosx＋1,2cos2x＋2)，
→ OQ
＝(cosx，－
1)，
∴由两向量垂直的条件得cosx(2cosx＋1)－1×(2cos2x＋2)
＝0，
即2cos2x＋cosx－2(2cos2x－1)－2＝0.
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[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]． 解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
[点拨] 本题易犯的三点错误： (1)求a＝2e1＋e2或b＝－3e1＋2e2的模时，错认为|a|＝ 22＋12 或|b|＝ －32＋22 ，这是因为e1与e2不是互相垂直的 单位向量，所以(2,1)或(－3,2)不是a或b的坐标，要将其转化 成模的平方． (2)求点乘e1·e2时极易漏掉cosθ， 应为e1·e2＝|e1||e2|cosθ(θ为e1与e2的夹角)．
第二章 章末归纳总结
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专题一 有关向量的共线问题 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．若ka＋2b与2a－4b
平行，求实数k的值． [分析] 本题考查两向量的共线问题，要求学生熟练掌握
两向量共线的条件．
第二章 章末归纳总结
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[解析] ∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)， 2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， ka＋2b与2a－4b平行， ∴(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0. 解得k＝－1.
→ OP
与
→ OQ
垂
直，求x的值．
第二章 章末归纳总结
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[解析]
∵
→ OP
＝(2cosx＋1,2cos2x＋2)，
→ OQ
＝(cosx，－
1)，
∴由两向量垂直的条件得cosx(2cosx＋1)－1×(2cos2x＋2)
＝0，
即2cos2x＋cosx－2(2cos2x－1)－2＝0.
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[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]． 解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
[点拨] 本题易犯的三点错误： (1)求a＝2e1＋e2或b＝－3e1＋2e2的模时，错认为|a|＝ 22＋12 或|b|＝ －32＋22 ，这是因为e1与e2不是互相垂直的 单位向量，所以(2,1)或(－3,2)不是a或b的坐标，要将其转化 成模的平方． (2)求点乘e1·e2时极易漏掉cosθ， 应为e1·e2＝|e1||e2|cosθ(θ为e1与e2的夹角)．
高一数学人教A版必修4课件：第二章 平面向量
第二章 平面向量章末复习课内容索引0102理网络明结构探题型提能力0304理网络·明结构探题型·提能力题型一 数形结合思想在向量中的运用解析 建立如图所示的直角坐标系.答案 C反思与感悟 数形结合是求解数学问题最常用的方法之一，其大致有以下两条途径：(1)以数解形，通过对数量关系的讨论，去研究图形的几何性质.(2)以形助数，一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如能构造与之相应的图形分析，则能获得更直观的解法，这种解题思想在不少章节都有广泛的应用.答案 C题型二 基底思想在解题中的应用则易知OM⊥BC.答案 反思与感悟 平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.这样，几何问题就转化为代数问题.题型三 向量坐标法在平面几何中的运用例3 已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，因为BB′、CC′为AC、AB边的中线，反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这种解题方法具有普遍性.解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知-2呈重点、现规律1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.。
高中数学必修第二章平面向量复习一全册精品 新人教A版必修4课件
4. 两点间的距离:
|A| B(x 1x 2)2(y1y2)2
5. 夹角公式:
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一、知识要点：
4. 两点间的距离:
|A| B(x 1x 2)2(y1y2)2
5. 夹角公式:
cosab x1x2y1y2
ab x12y12 x22y22
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第二章复习(一)
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一、知识要点：
1. 实数与向量的积的运算律：
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一、知识要点：
1. 实(((321数)))(与((a向a)b量)a)的(积aa)的a运ba算律：
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二、重要结论：
1. AB 中 ,C若 O AO BOC 0, 则 O为 AB 的 C重 . 心 2. AB中 C, 若OAOBOBOC OAOC,则O为AB的 C 垂.心
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二、重要结论：
2
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三、典型例题：
例1.已 O 知 为AB内 C 一,点 AOB15o,0 BOC90o, 设OA a, OBb,OCc, 且a2, b1, c3, 用a与b表 示 c.
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四、基础练习：
3. AB中 C, 若OAOBOC0, 且OAOBOC1, 则ABC 为等边三.角形
|A| B(x 1x 2)2(y1y2)2
5. 夹角公式:
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一、知识要点：
4. 两点间的距离:
|A| B(x 1x 2)2(y1y2)2
5. 夹角公式:
cosab x1x2y1y2
ab x12y12 x22y22
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第二章复习(一)
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一、知识要点：
1. 实数与向量的积的运算律：
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一、知识要点：
1. 实(((321数)))(与((a向a)b量)a)的(积aa)的a运ba算律：
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二、重要结论：
1. AB 中 ,C若 O AO BOC 0, 则 O为 AB 的 C重 . 心 2. AB中 C, 若OAOBOBOC OAOC,则O为AB的 C 垂.心
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二、重要结论：
2
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三、典型例题：
例1.已 O 知 为AB内 C 一,点 AOB15o,0 BOC90o, 设OA a, OBb,OCc, 且a2, b1, c3, 用a与b表 示 c.
高中数学必修第二章平面向量复习一全册精品 新人教A版 必修4
四、基础练习：
3. AB中 C, 若OAOBOC0, 且OAOBOC1, 则ABC 为等边三.角形
人教A版高中数学必修4课件：第二章《平面向量》复习课(共23张PPT)
uur a0 (
2, 2
2) 2
ur b0
(
4
41 41
,
5
41 ) 41
题型二：利用向量知识证明
例27.（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
r
r
证则明rar：arr2 设bra1r2aa1ra2b21,(bar a212,abb2122r,),
b
rb22
(b1,
b2
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
3)坐标表示 a xi y j (x, y)
r uuur a OA (x, y) 点A(x, y)
r uuuur
a MN (xN xM , yN yM )
一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意(2)0 // a(3)0 0(4) 0 0
r
在正八r边形A1Ar2Ar3……A8中，设A1A2= a ，
A1A8u=uubu，r 试uu用uuuar
，b表示：
uuuuur uuuur
uuuuur
uuuur
A2 A3, A2 A4, A4 A5, A5 A6, A6 A7 , A7 A8
A6 A7
A5 A4
A8
A3
b
A1 a A2
uuuur r r A2 A3 2a b
|a|
可正可负可为零
二r.基本运算（r 坐标途径）
若a r
( r
x1,
y1 ),
b
(
x2
,
y2
),
则
1)a b (x1 x2 , y1 y2 ) rr
人教版必修四第二单元平面向量的复习课件
变式：若等边 ABC 的边长为 2
3 ，平面内一点
M
满足 CM
1
CB
2 CA
,则
63
MA• MB ________.
题型五: 向量与三角函数的综合
例 已知向量 a (sin ,2) 与 b (1, cos ) 互相垂直，其中 (0, ) ．
2 （1）求 sin 和 cos 的值；
（2）若 sin( ) 10 , 0 ，求tan( )的值．
4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理， 平面向量基本定理，三角形四心与向量有关的常见结论等。
1. (湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,
且 =2 ， =2 ， =2 ,则
（）
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
A
解:
E F
D.既不平行也不垂直
B
C
D
仿照上题，用坐标运算的方法解决下列问题：
例 已知 ABC，AD 为中线，求证 AD2 1 AB2 AC2 BC 2
2
2
例 设两个向量 e1 、e2 ，满足| e1 | 2 ，| e2 | 1 ，e1 、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1 7e2
与向量 e1 te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.
3
3
OM ,ON, MN
B
D
M
N C
A O
题型三: 向量平行与垂直的条件
4、已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，
且 PA• PB PB • PC PC • PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的
人教A版数学必修四第二章平面向量单元复习课件ppt
D
A
M
MN
C N
B
1 3
MC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例4
在Rt△ABC中，已知斜边BC=2，
线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量 B C 与
P Q 的夹角为60°，求 BP CQ .
（5）相等向量： 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. （7）平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量. （8）向量的数量积： a·b=|a||b|cosθ.
例1设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，
c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，
2(a－c），d 的有向线段首尾相接能构 成四边形，求向量d 的坐标.
d＝(－2，－6)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Cபைடு நூலகம்
Q
BPCQ 2 A
B
P
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
知识梳理 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
高中数学 第二章 平面向量复习课课件 新人教A版必修4
第四章 平面向量复习
完整版ppt
1
(二) 要点概述 1.平面向量的有关概念：相等向量 相反向量 平行向量 共线向量 2.平面向量的运算：加法 减法 数乘 数量积 3.平面向量基本定理与共线向量定理 4.平面向量的坐标运算 5.平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 6.平面向量与三角、物理等知识的融合
完整版ppt
2
四、典型题归纳： （一）向量的基本概念和运算律
完整版ppt
3
（二）向量的坐标运算
完整版ppt
4
（三）向量与函数的交汇 （四）平面向量与三角的交汇
完整版ppt
5
（五）平面向量的判断题
完整版ppt
6
[作业精选，巩固提高]
• 复习参考题：A组2，3,5
完整版pห้องสมุดไป่ตู้t
7
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1
(二) 要点概述 1.平面向量的有关概念：相等向量 相反向量 平行向量 共线向量 2.平面向量的运算：加法 减法 数乘 数量积 3.平面向量基本定理与共线向量定理 4.平面向量的坐标运算 5.平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 6.平面向量与三角、物理等知识的融合
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2
四、典型题归纳： （一）向量的基本概念和运算律
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3
（二）向量的坐标运算
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4
（三）向量与函数的交汇 （四）平面向量与三角的交汇
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5
（五）平面向量的判断题
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6
[作业精选，巩固提高]
• 复习参考题：A组2，3,5
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7
人教A版高中数学必修四第二章平面向量复习课件
解：设点 B 的坐标为（x,y），
则 OB (x, y), AB (x 5, y 2)
OB AB
∴ x（ x-5） +y（ y-2） =0
即 x2+y2 – 5x – 2y=0
①
又 OB AB
∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2 即 10x+4y=29 ②
2024/11/3
由①、②解得：
2
2a b
b2
3
ab
3
2024/11/3
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15、如图，E是正方形ABCD的边AB延
长线上的一点，F在BC上，且BE=BF， 用向量的坐标法证明：AF⊥CE
2024/11/3
D
C
F
A
BE
上页 下页 返回
3、已知三个力 f1、f2、f3 作用于同一质点,且 | f1 | 20, | f2 | 30, | f3 | 40 (单位:牛)若三个力在同一平面
内且两两的夹角都为1200,求协力的大小和方向
y
B
f2
oθ
f3
x
C
A f1
2024/11/3
上页 下页 返回
例2:已知向量a (cos 3 x,sin 3 x),b (cos x , sin x),
22
2
2
且x
0,2
,
求
:
(1)a
b及
a
b
;
(2)若f
(x)
a
b
2
a
b
的最小值是-
3 2
, 求的值.
x1
y1
7 2
23或xy22
3 为
新课标高中数学人教A版必修四全册课件第二章平面向量复习
2. 已知常数 a 0, 向量 m (0, a),
n (1, 0), 经过定点A(0, a)以m n
为方向向量的直线与经 过定点B(0, a)
以n 2 m为方向向量的直线相交 于点 P, 其中 R. 求点P的轨迹C的方程.
第五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
四、典型例题：
例2. 设平面内的向量OA (1, 7), OB (5, 1), OM (2, 1), 点P是直 线OM上的一个动点, 求当PA PB 取最小值时, OP的坐标及APB的 余弦值.
第三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
三、基础练习：
1. 已知 O 为坐标原点, OA (2, 1), OB (1, 7), OC (5, 1), OD xOA, y DB DC ( x, y R), 求点P( x, y) 的轨迹方程.
第四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
三、基础练习：
第六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课堂小结
利用平面向量求点的轨迹.
第七页，编辑于星期日：十三点 十九分。Fra bibliotek课后作业
《习案》作业二十八.
第八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
第二章复习(二)
第一页，编辑于星期日：十三点 十九分。
一、习题讲解：
《习案》P.173第6题.
第二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
二、典型例题：
例1. 已知圆C：( x 3)2 ( y 3)2 4及 点A(1, 1), M是圆上任意一点, 点N在 线段MA的延长线上, 且MA 2AN , 求点N的轨迹方程 .
n (1, 0), 经过定点A(0, a)以m n
为方向向量的直线与经 过定点B(0, a)
以n 2 m为方向向量的直线相交 于点 P, 其中 R. 求点P的轨迹C的方程.
第五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
四、典型例题：
例2. 设平面内的向量OA (1, 7), OB (5, 1), OM (2, 1), 点P是直 线OM上的一个动点, 求当PA PB 取最小值时, OP的坐标及APB的 余弦值.
第三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
三、基础练习：
1. 已知 O 为坐标原点, OA (2, 1), OB (1, 7), OC (5, 1), OD xOA, y DB DC ( x, y R), 求点P( x, y) 的轨迹方程.
第四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
三、基础练习：
第六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课堂小结
利用平面向量求点的轨迹.
第七页，编辑于星期日：十三点 十九分。Fra bibliotek课后作业
《习案》作业二十八.
第八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
第二章复习(二)
第一页，编辑于星期日：十三点 十九分。
一、习题讲解：
《习案》P.173第6题.
第二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
二、典型例题：
例1. 已知圆C：( x 3)2 ( y 3)2 4及 点A(1, 1), M是圆上任意一点, 点N在 线段MA的延长线上, 且MA 2AN , 求点N的轨迹方程 .
高一数学(人教A版)必修4课件：第二章 平面向量本章整合2
1 ������������ ������������ ,故 4 ������������
1-������2 = ������1 , ������2 =
1 4 ������1 3
,
1 4
∴λ2=4.
= ,即 BE= BA.
明目标、知重点
知识网络
专题一 专题二 专题三 三 专题四 四
专题归纳
高考体验
本章整合
明目标、知重点
-1-
知识网络
核心归纳
高考体验
明目标、知重点
知识网络
核心归纳
高考体验
明目标、知重点
知识网络
核心归纳
高考体验
明目标、知重点
知识网络
专题一 专题二 专题三 专题四
专题归纳
高考体验
专题一 向量的基本运算及几何意义 向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,进行向量 的运算常见的方法有两种:定义法和坐标法. (1)在定义运算中,要会根据题意寻找或画出三角形或平行四边形, 利用三角形法则或平行四边形法则,结合平面向量的基本定理求解. (2)若条件是坐标的向量,则直接进行运算.若向量在含有垂直关系 的几何图形中给出,则可以建系利用坐标进行向量的运算,从而转 化为实数的运算求解.
即 (1-λ2)������������ +λ2������������=λ1������������ +
������1 3 ������1 3
������������ .
������������ .
1
∵������������与 ������������不共线 ,∴ ∴������������ =
=������������ ·������������ +
1-������2 = ������1 , ������2 =
1 4 ������1 3
,
1 4
∴λ2=4.
= ,即 BE= BA.
明目标、知重点
知识网络
专题一 专题二 专题三 三 专题四 四
专题归纳
高考体验
本章整合
明目标、知重点
-1-
知识网络
核心归纳
高考体验
明目标、知重点
知识网络
核心归纳
高考体验
明目标、知重点
知识网络
核心归纳
高考体验
明目标、知重点
知识网络
专题一 专题二 专题三 专题四
专题归纳
高考体验
专题一 向量的基本运算及几何意义 向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,进行向量 的运算常见的方法有两种:定义法和坐标法. (1)在定义运算中,要会根据题意寻找或画出三角形或平行四边形, 利用三角形法则或平行四边形法则,结合平面向量的基本定理求解. (2)若条件是坐标的向量,则直接进行运算.若向量在含有垂直关系 的几何图形中给出,则可以建系利用坐标进行向量的运算,从而转 化为实数的运算求解.
即 (1-λ2)������������ +λ2������������=λ1������������ +
������1 3 ������1 3
������������ .
������������ .
1
∵������������与 ������������不共线 ,∴ ∴������������ =
=������������ ·������������ +
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第二章 平面向量 单元复习 第二课时
知识结构
t
p
1 2
5730
线性运算
向量的实际应用
实际背景 向量
基本定理 坐标表示 数量积
向量的字符运算
知识梳理
1.向量加法的运算性质
（1）a＋b=b＋a；
（2）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
（3）若a与b为相反向量，则a＋b＝0；
（4）若b＋c＝a，则c＝a－b；
（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c； （4）a⊥b a·b＝0； （5）a2＝|a|2； （6）|a·b|≤|a||b|；
(7) cos
ab ; | a || b |
(8) | a | cos
a |b
b |
.
范例分析
例1 已知向量a、b满足：|a|=4，且 a·(a－b)=12，求向量b在a方向上的投影.
1
例2 已知非零向量a、b满足： (a－b)⊥b，且(a＋2b)⊥(a－2b)，求向量 a与b的夹角.
60°
例3 已知向量a、b、c两两之间的夹
角为120°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，
求向量a＋b＋c与a的夹角. 150°
例4 设向量a、b不共线，已知 AB 2a＋kb，BC a＋b，CD a－2b， 且A、B、D三点共线，求实数k的值.
k=－1
例5 设e为单位向量，且向量a≠e， 若对任意实数t，不等式|a－te|≥|a－ e|恒成立，求证：(a－e)⊥e.
例6 已知向量a、b满足：|a|=4， |b|=3，(2a－3b)·(2a＋b)=61，当 t∈[0，1]时，求|a＋tb|的取值范围.
[2 3, 4]
（5）|a±b|≤|a|＋|b|，|a±b|≥||a|－|b||；
（6）OA1 A1A2 A2A3
An 1An OAn
2.向量数乘的运算性质
(1) λ(μa)=(λμ) a ； (2) (λ＋μ) a =λa ＋μa； (3) λ(a＋b)=λa＋λb；
3.数量积的运算性质
（a·b＝b·a；
知识结构
t
p
1 2
5730
线性运算
向量的实际应用
实际背景 向量
基本定理 坐标表示 数量积
向量的字符运算
知识梳理
1.向量加法的运算性质
（1）a＋b=b＋a；
（2）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
（3）若a与b为相反向量，则a＋b＝0；
（4）若b＋c＝a，则c＝a－b；
（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c； （4）a⊥b a·b＝0； （5）a2＝|a|2； （6）|a·b|≤|a||b|；
(7) cos
ab ; | a || b |
(8) | a | cos
a |b
b |
.
范例分析
例1 已知向量a、b满足：|a|=4，且 a·(a－b)=12，求向量b在a方向上的投影.
1
例2 已知非零向量a、b满足： (a－b)⊥b，且(a＋2b)⊥(a－2b)，求向量 a与b的夹角.
60°
例3 已知向量a、b、c两两之间的夹
角为120°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，
求向量a＋b＋c与a的夹角. 150°
例4 设向量a、b不共线，已知 AB 2a＋kb，BC a＋b，CD a－2b， 且A、B、D三点共线，求实数k的值.
k=－1
例5 设e为单位向量，且向量a≠e， 若对任意实数t，不等式|a－te|≥|a－ e|恒成立，求证：(a－e)⊥e.
例6 已知向量a、b满足：|a|=4， |b|=3，(2a－3b)·(2a＋b)=61，当 t∈[0，1]时，求|a＋tb|的取值范围.
[2 3, 4]
（5）|a±b|≤|a|＋|b|，|a±b|≥||a|－|b||；
（6）OA1 A1A2 A2A3
An 1An OAn
2.向量数乘的运算性质
(1) λ(μa)=(λμ) a ； (2) (λ＋μ) a =λa ＋μa； (3) λ(a＋b)=λa＋λb；
3.数量积的运算性质
（a·b＝b·a；