二阶对称张量场可视化的一种新模式

(i) (i) (i) (1) (2)
当 i = 1 2 时， 分别称为第一特征向量场和第二特征向量 场。可以类似地给出三维对称张量场的第一、 第二和第三特 征向量场的定义。
3.2
特征向量场新定义所涉及的相关问题
上述新定义中的 e ( x) 是连续的向量函数， 且模为 1， 故所
(i)
定义的特征向量场的方向是连续的， 因此， 不像通常定义的最 大和最小特征向量场那样 （以二维对称张量场为例） ， 只要比 较张量场在每点处的两个特征值的大小就可以给出两个特征 向量场在该点处的值， 定义的第一和第二特征向量场是无法 直接给出它们在任一点处的值的， 这是新定义所涉及的问题 之一， 也是新定义能够被采用和二阶对称张量场可视化取得 更大突破的关键所在。先由初始点出发给出场中离散分布的 点处的值， 然后根据这些离散点处的值给出任意点处的值， 算 法如下： 以二维情形为例， 假设 x0 是对称张量场 T ( x) 中的一点，
基金项目： 国家自然科学基金 （the National Natural Science Foundation of China under Grant No.10802068） ； 西北工业大学基础研究基金 （the Fundamental Research Foundation of Northwestern Polytechnical University under Grant No.JC200949） 。 作者简介： 宋伟杰， 男， CCF 会员， 博士研究生， 讲师， 研究领域： 科学与工程计算与计算机图形学； 崔俊芝， 男， 院士， 研究领域： 计算数学、 计算力学 和软件工程； 叶正麟， 男， 教授， 研究领域： 计算机辅助设计与图形学； 周敏， 女， 博士， 副教授， 研究领域： 计算机辅助设计与图形学。 E-mail： 386610017@ 收稿日期： 2010-08-10； 修回日期： 2010-12-27
3 3.1
特征向量场的新定义及相关问题 特征向量场的新定义
设二维对称张量场在每一点 x 处的两个正交的单位特征
(1) (2)
向量分别为 e ( x) 和 e ( x) ， 并设它们均为连续的向量函数，
λ ( x) 和 λ ( x) 为对应的特征值， 则两个正交的向量场： w ( x) = λ ( x)e ( x)
1.西北工业大学 理学院 应用数学系， 西安 710072 2.中国科学院 数学与系统科学研究院， 北京 100080 1.Department of Applied Mathematics， School of Science， Northwestern Polytechnical University， Xi’ an 710072， China 2.Academy of Mathematics and System Sciences， Chinese Academy of Sciences， Beijing 100080， China SONG Weijie， CUI Junzhi， YE Zhenglin， et al.New pattern for visualizing second-order symmetric tensor puter Engineering and Applications， 2011， 47 （6） ： 1-4. Abstract： Second-order symmetric tensor fields are visualized based on major （medium） and minor eigenvector fields， but there is a problem of discontinuity in direction with these eigenvector fields.On the other hand， the directions of eigenvectors of stress fields are always continuous.In consideration of these facts， a new pattern for visualizing second-order symmetric tensor fields based on the continuity of eigenvectors in direction is presented.Firstly the problem is clarified in theory， and a new definition for eigenvector fields is given.According to the continuity of eigenvectors in direction they are defined as the first （second） and third ones， and the values of the new eigenvector fields at all points including degenerate ones are then studied.New definition overcomes the drawback of discontinuity in direction under traditional definition with the continuity of eigenvector fields in direction preserved at all points including degenerate ones， at the same time， the visualization based on the new definition displays the property of such symmetric tensor fields as stress fields in essence. Key words：symmetric tensor fields； visualization； eigenvector field 摘 要： 目前二阶对称张量场的可视化均是基于最大 （次大） 和最小特征向量场的， 但这样定义的特征向量场存在着方向不连续
着非常广泛的应用。例如， 固体力学中的应力和应变， 流体力 学中的应力、 粘性应力、 雷诺应力和应变率都被描述为二阶对 称张量。另外， 二阶对称张量场在核磁共振成像中也扮演着 重要角色。因此， 研究二阶对称张量场的可视化技术具有非 常重要的科学意义和跨学科的应用价值。 二阶对称张量场的可视化方法可以划分为两类。起初， 研究人员采用标量场的可视化方法来实现张量场的可视化。
的问题， 而应力场的特征向量的方向却是永远连续的， 鉴于此， 提出了基于特征向量方向连续的一种可视化的新模式。从原理上 阐述了问题产生的机理， 提出了特征向量场的新定义— —根据特征向量方向的连续性将特征向量场定义为第一和第二 （第三） 特 征向量场， 并对新定义的特征向量场在每一点包括退化点处的取值问题进行了研究。新定义克服了传统定义方向不连续的缺 点， 保持了特征向量场在每一点包括退化点处的方向上的连续性， 同时， 基于新定义的可视化从本质上体现了应力场及其他对称 张量场本身具有的属性。 关键词： 对称张量场； 可视化； 特征向量场 DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2011.06.001 文章编号： 1002-8331 （2011） 06-0001-04 文献标识码： A 中图分类号： TP391.4
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引言
二阶对称张量场在物理、 力学及生物医学等诸多领域有
这类方法除了不能从整体上展现张量场的结构之外， 存在一 个致命的缺点： 可视化的结果严重依赖于坐标系的选择， 这显 然不是我们所希望的。第二类方法是通过对与之等价的特征 向量场进行可视化来实现张量场的可视化。由于特征向量场 关于坐标轴的旋转具有不变性， 因此可视化的结果不依赖于 坐标系的选择， 因而， 这类方法自提出之后得到了研究者的普 遍关注和采用， 出现了许多经典的可视化方法。这些方法包 括基本图标方法 [1-7]、 基于纹理的方法 [8-9]、 基于拓扑的方法 [10-15] [16-17] 和基于变形的方法 等。
(l) (2) (2) (1) (1) (1) (2) (1) (1) (2) (2) (1) (2)
别称为最大和最小特征向量场。类似的， 三维二阶对称张量场 的三个特征向量场分别定义为最大、 次大和最小特征向量场。 通常定义的特征向量场当最大 （次大） 和最小特征值的角 色发生改变时可能导致方向不连续。为便于说明， 以二维二 阶对称张量场为例。设 T ( x) 为笛卡尔坐标系下的二维二阶对 称张量场， 它的四个分量记为 Tij ( x) i j = 1 2 则存在正交变 换 R ={ Rij} ， 使得 T ( x) 化为对角形 Λ ， 即
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Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 特征向量场， 下面给出其定义。
上述人们普遍采用的第二类方法， 通过对特征向量场的 可视化实现了二阶对称张量场的可视化。以二维情形为例， 目前特征向量场均根据特征值的大小被定义为最大和最小特 征向量场， 即在场中每个点处取最大特征值对应的特征向量 构成最大特征向量场， 最小特征向量场的定义类似。这样定 义的特征向量场当最大和最小特征值的角色发生改变时可能 会导致方向不连续， 另一方面， 固体力学中的应力场作为一种 二阶对称张量场， 由于作用力与反作用力始终是大小相等， 方 向相反的， 因此应力场的特征向量的方向永远是连续的， 基于 这样的考虑， 从原理上阐述了特征向量场的传统定义导致方 向不连续的原因， 根据特征向量方向的连续性提出了特征向 量场的新定义； 新定义的特征向量场由于定义规则的特殊性 （根据特征向量方向的连续性来定义） ， 需要确定其在场中每 一点处的值以及对退化点进行特殊的处理， 本文对这两个问 题在二维情形下进行了研究。由于新定义反映了特征向量的 方向的连续性， 从本质上体现了诸如应力场的二阶对称张量 场的内在属性， 因此， 基于新定义的可视化方法可以更为合理 地表现二阶对称张量场。