遵义2018届中考数学总复习第一篇第4章第5节矩形菱形正方形精讲习题

第五节 矩形、菱形、正方形,遵义五年中考命题规律)填空题，解答,遵义五年中考真题及模拟)菱形的判定和性质1．(2016遵义中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确的是( C )A ．AB ＝AD B ．AC ⊥BDC ．AC ＝BD D ．∠BAC ＝∠DAC2．(2017遵义中考)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠APB ＝60°，连接PO 并延长与⊙O 交于C 点，连接AC ，BC.(1)求证：四边形ACBP 是菱形；(2)若⊙O 半径为1，求菱形ACBP 的面积．解：(1)连接AO ，BO. ∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴∠OAP ＝∠OBP＝90°，PA ＝PB ， ∠APO ＝∠BPO＝12∠APB＝30°，∴∠AOP ＝60°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA，∴∠AOP ＝∠CAO＋∠ACO， ∴∠ACO ＝30°，∴∠ACO ＝∠APO， ∴AC ＝AP ，同理BC ＝PB ，∴AC ＝BC ＝BP ＝AP ，∴四边形ACBP 是菱形； (2)连接AB 交PC 于D ，∴AD ⊥PC. ∵OA ＝1，∠AOP ＝60°， ∴AD ＝32OA ＝32， ∴PD ＝32，∴PC ＝3，AB ＝3，∴菱形ACBP 的面积＝12AB·PC＝332.3．(2015遵义中考)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF∥BC 交BE 的延长线于点F.(1)求证：△AEF≌△DEB； (2)求证：四边形ADCF 是菱形；(3)若AC ＝4，AB ＝5，求菱形ADCF 的面积．解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点， ∴AD ＝12BC ＝DC ＝BD.∵AF ∥BC ，∴∠DBE ＝∠AFE. 又∵E 是AD 中点，∴ED ＝EA ， 又∠BED＝∠FEA， ∴△BDE ≌△FAE(AAS )；∴四边形ABDF 是平行四边形， ∴DF ＝AB ＝5，∴S 菱形ADCF ＝12AC·DF＝12×4×5＝10.矩形的判定和性质4．(2013遵义中考)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，则△AEF 的周长＝__9__ cm.,(第4题图)),(第5题图))5．(2013遵义中考)如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值． 解：(1)由折叠的性质可得∠ANM＝∠CNM. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠ANM ＝∠CMN， ∴∠CMN ＝∠CNM， ∴CM ＝CN;(2)过点N 作NH⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形， ∴HC ＝DN ，NH ＝DC.∵△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1， ∴S △CMN S △CDN ＝12·MC·NH12·DN·NH ＝MC ND＝3， ∴MC ＝3ND ＝3HC ， ∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x ， ∴CM ＝3x ＝CN.在Rt△CDN中，DC＝CN2－DN2＝22x，∴HN＝22x.在Rt△MNH中，MN＝MH2＋HN2＝23x，∴MNDN＝23xx＝2 3.正方形的判定和性质6．(2016遵义中考)如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，CD上的点，且∠CFE＝60°.将四边形BCFE沿EF翻折，得到B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于点G，则GE的长是( C)A．33－4 B．42－5C．4－2 3 D．5－2 3,(第6题图)) ,(第8题图)) 7．(2017改编)已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，连接AF，那么∠FAD＝__22.5°__．8．(2017改编)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为．9．(2016遵义十一中二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．解：(1)在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC.∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°.∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD.∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形，∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形.,中考考点清单)矩形的性质与判定1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图①.2．性质3.判定菱形的性质与判定4．定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图②.5．性质文字描述,字母表示[参考图②](1)菱形四条边都相等,AB＝__BC__＝CD＝DA(2)对角相等,∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝__∠ABC__(3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角,__AC__⊥BD，∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB，∠ADB ＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形,6.判定AB是正方形的性质与判定7．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．如图③.8．性质(3)9.判定,中考重难点突破) 矩形的相关计算【例1】(汇川升学模拟)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ADE＝90°，点D 在AB 上，点E 在AC 上，分别过B ，E 作AC ，BC 的平行线，两平行线交于点H.(1)求证：四边形BCEH 为矩形； (2)求CDBE的值．【解析】本题主要考查矩形的的判定以及相关计算． 【答案】解：(1)∵BC∥HE，BH ∥AC ， ∴四边形BCEH 是平行四边形．∵∠ACB ＝90°，∴四边形BCEH 为矩形； (2)连接DH ，CH. ∵四边形BCEH 为矩形，∴HE ＝BC ，∠HEC ＝90°，CH ＝BE ， ∴∠AEH ＝90°.∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∠ACB ＝∠ADE＝90°，∴∠A ＝∠AED＝∠ABC＝45°，AD ＝DE ，AC ＝BC ， ∴AC ＝HE ，∠A ＝∠DEH＝45°. 在△ACD 和△EHD 中，∴△ACD ≌△EHD(SAS )， ∴CD ＝HD ，∠ADC ＝∠EDH， ∴∠CDH ＝∠ADE＝90°， ∴CD BE ＝CD CH ＝22.1．(2016遵义升学样卷)已知：如图，把矩形AOBC 放在直角坐标系xOy 中，使OB ，OA 分别落在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(6，0)，连接AB ，∠OAB ＝60°，将△ABC 沿AB 翻折，使C 点落在该坐标平面内的D 点处，AD 交x 轴于点E ，则D 点坐标为( A )A ．(3，－3)B ．(23，－3)C ．(3，－3)D ．(3，－23)2．(2017南通中考)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，PQ 垂直平分BE ，分别交AD ，BE ，BC 于点P ，O ，Q ，连接BP ，EQ.(1)求证：四边形BPEQ 是菱形；(2)若AB ＝6，F 为AB 的中点，OF ＋OB ＝9，求PQ 的长． 解：(1)∵PQ 垂直平分BE ， ∴QB ＝QE ，OB ＝OE.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ， ∴∠PEO ＝∠QBO. 在△BOQ 与△EOP 中， 错误!∴△BOQ ≌△EOP(ASA )，∴PE ＝QB.又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ 是平行四边形． 又∵QB＝QE ，∴四边形BPEQ 是菱形； (2)∵O，F 分别为PQ ，AB 的中点， ∴AE ＋BE ＝2OF ＋2OB ＝18. 设AE ＝x ，则BE ＝18－x.在Rt △ABE 中，62＋x 2＝(18－x)2，解得x ＝8， ∴BE ＝18－x ＝10，∴OB ＝12BE ＝5.设PE ＝y ，则AP ＝8－y ，BP ＝PE ＝y.在Rt △ABP 中，62＋(8－y)2＝y 2，解得y ＝254，在Rt △BOP 中，PO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2542－52＝154， ∴PQ ＝2PO ＝152.3．(2017徐州中考)如图，在▱ABCD 中，点O 是边BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E ，连接BD ，EC.(1)求证：四边形BECD 是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________ 时，四边形BECD 是矩形． 解：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ∥DC ，AB ＝CD ，∴∠OEB ＝∠ODC， 又∵O 为BC 的中点，∴BO ＝CO ， 在△BOE 和△COD 中，错误! ∴△BOE≌△COD(AAS )，∴OE ＝OD ， ∴四边形BECD 是平行四边形； (2)100°菱形的相关计算【例2】如图，菱形ABCD 各边中点连线所围成的四边形EFGH 的面积为43，已知∠B＝60°，则菱形的周长为( )A ．8 3B ．16 3C ．8D ．16【解析】由中位线的性质可得矩形EFGH ，进而可求菱形ABCD 的面积是矩形EFGH 的2倍，最后由等边三角形ABC 的面积可求出边长，从而可得解．【答案】D4．(2017贺州中考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC，AC ⊥BD ，垂足为点O. (1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD ＝3，BD ＝25，求四边形ABCD 的面积． 解：(1)∵AB＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB. ∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD ＝∠CBD， ∴∠ADB ＝∠CBD.∵AC ⊥BD ，AB ＝AD ，∴BO ＝DO. 在△AOD 与△COB 中，错误! ∴△AOD ≌△COB ，∴AO ＝OC ， ∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形； (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴OD ＝12BD ＝5，∴OC ＝CD 2－OD 2＝2，∴AC ＝4， ∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD＝4 5.正方形的相关计算【例3】(汇川升学一模)如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，DF⊥BE交BE的延长线于点G，交BC的延长线于点F.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)若∠DBE＝∠CBE，求证：BD＝BF；(3)在(2)的条件下，求CE∶ED的值．【解析】本题主要考查正方形及相关计算．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠CBE＋∠BEC＝90°，又∵BG⊥DF，∴∠CBE＋∠F＝90°，∴∠BEC＝∠F，∴△BCE≌△DCF；(2)∵BG⊥DF，∴∠BGD＝∠BGF，又∵BG＝BG，∠DBG＝∠FBG，∴△DBG≌△FBG，∴BD＝BF；(3)延长AD，BG交于点H.∵AD∥BC，∴∠H＝∠FBG.又∵∠DBG＝∠FBG，∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH.∵AH∥BC，∴△BCE∽△HDE，∴CE∶DE＝BC∶DH，∴CE∶DE＝BC∶DB.∵四边形ABCD是正方形，∴BC∶BD＝1∶2，∴CE∶DE＝1∶2，∴CE∶DE的值为22.5．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( B)A．30°B．45°C．60°D．90°6．(2017玉林中考)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD ，连接DE ，DF ，GE ，GF.(1)求证：四边形EDFG 是正方形；(2)当点E 在什么位置时，四边形EDFG 的面积最小？并求四边形EDFG 面积的最小值． 解：(1)连接CD ，如图①所示．∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴∠A ＝∠DCF＝45°，AD ＝CD.在△ADE 和△CDF 中，∴△ADE ≌△CDF(SAS )，∴DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF.∵∠ADE ＋∠EDC＝90°，∴∠EDC ＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△EDF 为等腰直角三角形．∵O 为EF 的中点，GO ＝OD ，∴GD ⊥EF ，且GD ＝2OD ＝EF ，∴四边形EDFG 是正方形；(2)过点D 作DE′⊥AC 于E′，如图②所示．∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，∴DE ′＝12BC ＝2，AB ＝42，点E′为AC 的中点， ∴2≤DE＜22(点E 与点E′重合时取等号)．∴4≤S 四边形EDFG ＝DE 2＜8，∴当点E 为线段AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，该最小值为4.。