群在集合上的作用的像集
群论中的群作用和置换群
群论是数学中研究群结构和性质的一个分支，而群作用和置换群是群论中的两个重要概念。
群作用是指群的元素在某个集合上的一种作用方式，而置换群则是指一种特殊的群作用，其中群的元素排列集合中的元素。
首先，让我们来探讨群作用。
群作用定义了群的元素是如何作用于某个集合上的。
具体来说，给定一个群G和一个集合S，如果对于群G的每个元素g和集合S的每个元素s，都存在一个新的元素gs满足群的封闭性（即乘法运算仍然属于群G），并且满足以下条件：对于群G的单位元素e，有es=s，以及对于群G的任意元素g1和g2，以及集合S的任意元素s，有(g1g2)s=g1(g2s)，那么我们称此为群G在集合S上的一个作用。
群作用的一个重要特点是同一元素的不同群作用结果不相同。
也就是说，对于群G的元素g和集合S的元素s1和s2，如果g(s1)=s2，则必然有g(s2)≠s1。
这反映了群作用的可逆性，即通过群的元素作用可以互相转换集合S中的元素。
接下来，我们来了解置换群。
置换群是一种特殊的群作用，其中群的元素是对一个集合进行排列的操作。
换句话说，置换群是由对集合中元素的排列所生成的群。
设集合S={1,2,...,n}，我们可以定义任意一个对集合S的排列为一个置换。
举个例子，对于集合S={1,2,3}，可以有置换（1,2,3），表示将元素1映射到2，元素2映射到3，元素3映射到1。
而置换群则是由所有这样的置换所生成的群。
置换群具有很多重要的性质。
首先，置换群是有限群，其元素的个数是n的阶乘n!。
其次，置换群是可逆的，每个置换都有一个逆置换。
此外，置换群的运算是可交换的和可结合的。
通过群论中的群作用和置换群的研究，我们可以探索很多有趣的数学问题。
例如，通过群作用，我们可以研究对称群和平凡群等抽象代数结构，从而深入探讨集合、函数和变换等数学概念之间的联系。
而通过置换群的研究，我们可以解决排列和组合等数学问题，为深入理解对称性和对称性破缺提供理论基础。
群论中的群作用与轨道分解
群论中的群作用与轨道分解群论是代数学中的一个重要分支，研究的是具有特定运算性质的集合，其中的运算满足结合律、单位元存在、逆元存在等条件。
而群作用与轨道分解是群论中的两个重要概念，它们在代数、组合和几何等领域都具有广泛的应用。
一、群作用的定义与性质在群论中，群作用指的是一个群对一个集合进行的运算，称为群作用。
设G是一个群，X是一个集合，若存在一个映射φ：G × X → X，记作 (g, x) ↦ φ(g, x)，对于任意的元素 g ∈ G 和 x ∈ X，满足以下三个性质：1. φ(e, x) = x，其中 e 是 G 的单位元。
2. φ(g₁, φ(g₂, x)) = φ(g₁ * g₂, x)，对于任意的 g₁, g₂∈ G 和 x ∈ X，其中 * 表示 G 中的运算。
3. φ(g, x₁ * x₂) = φ(g, x₁) * φ(g, x₂)，对于任意的 g ∈ G 和 x₁, x₂∈ X。
根据群作用的性质，我们可以得到一些重要的结论。
首先，对于任意的 g ∈ G，有φ(g, φ(g⁻¹, x)) = φ(e, x) = x，这说明群元素 g 对于集合X 上的任意元素都有逆元作用，即每个群元素在 X 上都有唯一的逆元作用。
其次，单位元 e 对于集合 X 上的任意元素 x 都有恒等作用，即φ(e, x) = x。
这一点意味着单位元在群作用中起到保持元素不变的作用。
最后，对于任意的 g₁, g₂∈ G 和 x ∈ X，有φ(g₁ * g₂, x) = φ(g₁, φ(g₂, x))。
这意味着群作用是满足结合律的，群元素的作用顺序不影响最终的结果。
二、轨道分解的定义与性质在群作用的基础上，我们可以引入轨道的概念。
给定一个群 G 和一个集合 X，对于 X 中的任意一个元素 x，所有经过群元素 g 作用后得到的元素φ(g, x) 组成的集合称为 x 的轨道，记作 O(x)。
即O(x) = {φ(g, x) | g ∈ G}。
群论中的群作用与轨道
群论中的群作用与轨道群论是数学中的一个分支，研究代数结构中的群以及群的性质和应用。
群作用是群论中重要的概念之一，它描述了群元素对其他集合中元素的作用影响。
在群作用的基础上，可以定义群的轨道，它是指群作用下的一个元素集合。
一、群作用的概念及性质群作用是指群的元素对某个集合的元素进行变换的一种方式。
设G是一个群，X是一个集合，如果对于任意的元素g∈G和x∈X，存在一个元素gx∈X，满足以下条件：1. 对于任意的元素x∈X，有e·x=x，其中e是群G的单位元素。
2. 对于任意的元素g1,g2∈G和x∈X，有(g1g2)·x=g1·(g2·x)。
则称G对X的作用为群作用，记作G•X。
在群作用的定义中，满足第一个性质的元素e·x=x，表示群的单位元素不对集合X中的元素产生影响，保持原有状态。
满足第二个性质的条件表明群元素的作用是满足结合律的，不管作用的先后顺序如何，得到的结果是一样的。
二、群作用的例子1. 用置换群作用于有限集合：设Sn是由n个元素的对称群（置换群），X是一个有限的n元素集合。
对于任意的置换π∈Sn和x∈X，定义π(x)为将x在π下的映射，即置换π作用于x所得的结果。
这样的群作用称为置换群的左作用。
2. 矩阵群作用于向量空间：设G是一个n阶矩阵群，X是一个n维向量空间。
对于任意的矩阵A∈G和向量v∈X，定义Av为矩阵A作用于向量v所得的结果。
这样的群作用称为矩阵群的右作用。
以上只是群作用的两个例子，实际上群作用可以应用于各种各样的数学概念和问题中，例如在图论、代数几何等领域中都有广泛的应用。
三、群的轨道在群作用的基础上，可以定义群的轨道。
群的轨道是指群作用下一个元素在集合X中的所有可能位置的集合。
设G是一个群，X是一个集合，G对X具有群作用。
对于集合X中的一个元素x∈X，其轨道定义为：O(x) = { gx | g∈G }即由所有对应于x的群元素作用结果所组成的集合。
高一集合知识点韦恩图
高一集合知识点韦恩图韦恩图是一种用于研究集合之间交集和并集关系的图形表示方法。
在高一数学学习中，韦恩图是一个重要的知识点，它能够帮助我们更加直观地理解集合的运算和关系。
下面，我们将详细介绍高一集合知识点韦恩图的含义、构造方法和应用。
一、韦恩图的含义韦恩图是由欧洲数学家韦恩于1880年提出的一种图形工具，用于表示集合之间的关系。
它由一系列相互重叠的圆或椭圆组成，每个圆或椭圆代表一个集合，而重叠的部分则代表这些集合的交集。
通过观察韦恩图的形状和面积，我们可以直观地了解集合之间的交集和并集关系。
二、韦恩图的构造方法构造韦恩图的方法主要有以下几个步骤：1. 确定要研究的集合和它们之间的关系。
根据题目给出的具体情境和问题，确定需要构造韦恩图的集合，并明确集合之间的交集和并集关系。
2. 绘制韦恩图的主体框架。
根据集合的个数和关系，决定需要绘制的圆或椭圆的个数，并将它们放置在适当的位置上。
一般来说，如果只有两个集合，可以使用两个相互重叠的圆表示；如果有三个集合，可以使用三个相互重叠的圆表示；如果有更多的集合，可以使用椭圆来表示。
3. 绘制集合和它们的关系。
根据集合的具体元素和交集、并集的关系，在相应的圆或椭圆中填入相应的元素，并在重叠的部分标记出交集的元素。
4. 添加必要的注释和说明。
为了更好地理解韦恩图和解决问题，可以在图中添加必要的注释和说明。
例如，可以添加集合的名称，表示交集和并集的符号，给出问题的具体要求等。
三、韦恩图的应用韦恩图在高一数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决以下几类问题：1. 确定集合的关系。
通过观察韦恩图的形状和面积，我们可以判断集合之间的关系是包含关系、相等关系还是相离关系。
2. 分析集合的交集和并集。
韦恩图可以帮助我们直观地理解集合的交集和并集运算。
通过观察韦恩图中交集和并集的区域，我们可以得出它们的具体元素以及元素的个数。
3. 解决集合运算问题。
对于给定的集合和问题，我们可以使用韦恩图来辅助解决集合运算问题。
高等数学中群与群作用教材
高等数学中群与群作用教材引言：高等数学是大学数学的一门重要学科，其中的群论理论和群作用是其中的重要内容。
群论是数学中一门独立的代数学科，研究代数结构中的群及其性质。
群作用则是研究群在集合上的作用方式及其性质。
本篇文章将详细介绍高等数学教材中关于群与群作用的内容。
一、群的定义及基本性质群是指一个集合G和一个二元运算∗构成的代数结构，并满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意两个元素a和b，它们的运算结果a∗b也属于集合G；2. 结合律：对于任意三个元素a、b和c，有(a∗b)∗c = a∗(b∗c)；3. 存在单位元素：存在一个元素e，称为单位元，对于任意元素a，都有a∗e = e∗a = a；4. 存在逆元素：对于任意元素a，存在一个元素a'，称为逆元素，满足a∗a' = a'∗a = e。
在高等数学教材中，会对群的定义进行详细解释，并给出一些例子，如自然数集上的加法群、整数集上的乘法群等。
此外，还会探讨群的基本性质，如唯一性、单位元的唯一性以及逆元素的唯一性等。
二、子群和陪集1. 子群的定义：若集合H是群G的子集，并且在H上的运算仍然是G上的运算，则称H为G的子群。
子群必须满足以下三个条件：a) 封闭性：对于任意两个元素a和b，它们的运算结果a∗b也属于H；b) 单位元存在性：H中存在单位元，即H中的某个元素与G的单位元相等；c) 逆元存在性：对于H中的任意元素a，存在其逆元素在H中。
2. 陪集的定义：对于给定的群G和其子群H，对于群G中的任意元素a，称形如aH的集合为左陪集，称形如Ha的集合为右陪集。
其中H为G的子群的代表元素。
在教材中，会详细介绍子群和陪集的概念，并给出一些简单的例子，帮助学生理解。
三、群作用及其应用1. 群作用的定义：给定一个群G和一个集合X，若存在一个映射C：G×X→X，满足下列性质：a) 对于任意元素x∈X，有e∗x=x，其中e为G的单位元；b) 对于任意元素a、b∈G和任意元素x∈X，有(ab)∗x=a∗(b∗x)。
群表示论基础——群在集合上的作用
群表⽰论基础——群在集合上的作⽤设Ω是⼀个集合,那么群G到对称群S(Ω)的每个同态ϕ:G→S(Ω)叫做群G在集合Ω上的⼀个置换表⽰.特别的如果ϕ是单的,那么称ϕ是忠实表⽰.注意群G中任意元素g在ϕ下的像ϕ(g)是Ω中的⼀个置换,因此我们可以将群G中的每个元素视作置换,即ga:=ϕ(g)a,∀a∈Ω形象的看就是群作⽤在集合上.如果我们在Ω中定义关系a∼b⇔∃g∈G使得ga=b,不难验证这是⼀个等价关系,那么Ω可被分解成⼀些等价类的⽆交并,如果我们记[a]={ga:g∈G}为等价类,那么Ω=⋃a[a]其中每个等价类称为G−轨道,元素a的轨道也记作Orb a:=[a]也记作O a.特别的如果Ω只有⼀条轨道,那么称G在Ω上的作⽤是传递的(也称为可迁的).那么显然G在每条轨道上的作⽤是传递的.我们来看具体的群作⽤的例⼦:例1.设G是群,取Ω=G,考虑映射ϕ:G→S(G),定义ϕ(g)a=ga,∀a,g∈G,那么ϕ是⼀个同态,这是因为∀g,h,a∈G有ϕ(gh)a=gha=ϕ(g)ϕ(h)a因此ϕ是群G在集合G上的⼀个置换表⽰,并且Kerϕ={1}我们也把这个表⽰称为群G的左正则表⽰,且显然这个表⽰是忠实的.类似的可以定义右正则表⽰.利⽤此我们可以得出如下的Cayley定理:每个群均同构于某个置换群.只需对例1中的左正则表⽰⽤同态基本定理G=G/Kerϕ≃Imϕ≤S(G),这就说明群G同构于某个置换群.例2.设H≤G,取Ω:={aH:a∈G}即为全体左陪集构成的集合,考虑映射πH:G→S(Ω),定义πH(g)(aH)=gaH,不难验证这也是⼀个同态,称为G对于⼦群H的左诱导表⽰.如果g∈KerπH,那么∀a∈G有πH(g)(aH)=gaH=aH⇒g∈aHa−1,注意a的任意性可知KerπH=⋂a∈G aHa−1即为H的全体共轭⼦群之交.类似的也可以定义右诱导表⽰.例3.设A⊂G是群G的任意⼦集,取Ω:={aAa−1:a∈G}即为A的共轭⼦集的全体.考虑映射ρA:G→S(Ω),定义ρA(g)aAa−1=gaAa−1g−1,这也是⼀个同态,称为群G对于⼦集A的共轭表⽰.类似的可求出其同态核KerρA=⋂a∈G aN G(A)a−1即为A的正规化⼦N G(A)的全体共轭⼦群之交.设a∈Ω,我们考虑集合Stab(a):=G a:={g∈G:ga=a},即为保持元素a不动的那些群元素之集合.不难验证其构成群G的⼦群,即Stab(a)≤G,称作元素a的稳定⼦群.我们有如下的:轨道-稳定⼦定理设有限群G作⽤在集合Ω上,那么∀a∈Ω有|G|=|Orb(a)|⋅|Stab(a)|↔|Orb(a)|=[G:Stab(a)]证明设G=∪n i=1g i Stab(a),注意到∀g,h∈G,那么g Stab(a)=h Stab(a)⇔h−1g∈Stab(a)⇔h−1ga=a⇔ga=ha这说明在同⼀陪集中的元素作⽤在a上的结果是相同的,且不同陪集的元素作⽤结果不同.这便说明了|Orb(a)|=[G:Stab(a)]特别的如果G在Ω上的作⽤是可迁的,那么|G|=|Ω|⋅|Stab(a)|,∀a∈Ω⽽若G 是⽆限群,轨道长度有限时,我们通常⽤后⾯的表达形式|Orb(a )|=[G :Stab(a )].特别的如果a ,b 位于同⼀轨道中,即存在g ∈G 使得b =ga ,那么我们看他们的稳定⼦群有什么关系.任取h ∈Stab(b ),则hb =b ⇒hga =ga ⇒g −1hg ∈Stab(a ),即Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,类似可得Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,这说明Stab(b )=g Stab(a )g −1即同⼀轨道中元素的稳定⼦群是共轭的.例4.正n (n ≥3)边形的对称群.我们把平⾯中能够使得图形Γ与⾃⾝重合的正交变换(旋转和镜⾯反射)称作称作图形Γ的对称,显然全体这种对称构成⼀个群,称为图形Γ的对称群,记作S (Γ),特别的正n 边形的对称群,记作D n .我们来考虑它的结构:显然D n 可看做是对n 个顶点的置换,我们可以视作群D n 作⽤在顶点击Ω={1,2,⋯,n }上,显然这个作⽤是传递的,⽤绕中⼼旋转2πn 的置换σ=(12⋯n )依次作⽤即可.再者对于某个顶点1,保持1不动的置换只有两个,分别是恒等置换和保持1不动的反射τ={(2,n )(3,n −1)⋯n 2,n 2+2,n ≡0(mod根据轨道-稳定⼦定理|D_n|=|\Omega|\cdot|\mathrm{Stab}(1)|=2n .注意到\sigma^i\tau^j(0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1)恰为2n 个不同的置换,因此D_n=\{\sigma^i\tau^j:0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1\}并且运算满⾜\sigma^n=\tau^2=1,\tau\sigma=\sigma^{-1}\tau 且\sigma\tau=\tau\sigma^{-1},据此可以得到更⼀般的\tau\sigma^m=\sigma^{-m}\tau,\forall m\in\mathbb Z进⼀步的我们可以求出D_n 的中⼼C(D_n).显然\sigma^i\tau\notin C(D_n),⽽若\sigma^i\in C(D_n),(0\leq i\leq n-1),注意到D_n 的结构,仅需保证其与\tau 可换即可,即\sigma^i\tau=\tau\sigma^i\Leftrightarrow\sigma^{2i}=1\Leftrightarrow n\big|2i 因此C(D_n)=\left\{\begin{matrix}\{1,\sigma^m\}&n=2m\\\{1\}&n=2m+1\end{matrix}\right.与稳定⼦群类似,\forall g\in G ,我们定义元素g 作⽤下的不动点的概念N(g):=\{a\in\Omega:ga=a\},即\Omega 中在置换g 作⽤下保持不动的那些元素.关于不动点,我们有著名的Burnside 引理:设有限群G 作⽤在集合\Omega 上,那么\Omega 中轨道的条数m=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|N(g)|直观来讲就是G 在\Omega 的作⽤时,平均有t 个不动点.下⾯给出他的证明:按照定义显然有\sum\limits_{a\in\Omega}|\mathrm{Stab}(a)|=\sum\limits_{g\in G}|N(g)|,另⼀⽅⾯注意到位于同⼀轨道中两元素的稳定⼦群是共轭的,因⽽具有相同的基数,从⽽\sum_{a\in\Omega}\mathrm{Stab}(a)=\sum_{i=1}^{m}|\mathrm{Orb}(a_i)|\cdot|\mathrm{Stab}(a_i)|=m|G|因此定理成⽴.这是组合数学中⼀个重要的计数定理，但是在实际应⽤时N(g)并不好直接计算,所以有更进⼀步的的Polya 定理来处理计数问题.有兴趣不妨查阅组合数学的教材.类似的我们可以定义群G 作⽤下的不动点:\Omega_0:=\{a\in\Omega:ga=a,\forall g\in G\}即群G 每个元素都保持不动的\Omega 中的元素. 在后⾯的Sylow 定理中会涉及整个群作⽤下不动点的应⽤.()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
群论中的群作用与轨道
群论是一门数学分支，研究集合上的代数结构，其中最重要的概念之一就是群作用。
群作用是指群在集合上的一种运算，通过这种运算可以定义群在集合上的一种对称性。
而轨道则是群作用下的一个基本概念，它描述了集合元素在群作用下的运动路径。
首先，我们来定义什么是群作用。
设G是一个群，X是一个集合。
称G在X上的一个群作用是一个映射f: G × X → X，使得对于任意的元素x∈X和g,h∈G，有：1.f(e,x) = x，其中e是G的单位元。
2.f(g,f(h,x)) = f(gh,x)，即群元素按照G的乘法运算进行组合。
简单来说，群作用就是群在集合上的一种运算，通过这种运算可以定义群在集合上的一种对称性。
在群作用下，集合中的每个元素都会发生某种变化，而这种变化是由群元素对集合元素进行作用而引起的。
而轨道则是群作用下的一个基本概念。
给定一个群G和一个集合X，G在X上的群作用可以将X中的一个元素x通过群元素g映射到一个新的元素f(g,x)，其中f是群作用的映射。
然后可以通过作用不同的群元素，得到原始元素x可能经过的所有变化，这些变化形成了一个轨道。
轨道的定义可以进一步扩展到群作用的不同子集。
如果A是X的一个子集，那么A在群作用下可能也会发生变化，变化后的集合称为子集A的轨道。
群作用与轨道在数学中有广泛的应用。
它们可以用来研究对称性、代数结构以及各种领域中的问题。
例如，在几何学中，群的变换可以用来描述对称性操作，而轨道可以用来描述几何图形在对称操作下的所有可能位置。
另外，群作用与轨道也在计算机科学中有很多应用。
例如，在图论中，可以将图的自同构变换看作是群在图上的一个作用，而每个图的自同构类则对应着一个轨道。
这样一来，可以用群论的方法来研究图的结构和性质。
总之，群作用与轨道是群论中的重要概念，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
通过群的作用，可以定义集合的对称性，并研究集合元素在群作用下的变化。
而通过轨道的定义，可以描述集合元素可能经过的所有变化。
2.5+ 群在集合上的作用
注1 由(1)，(2)可知g(x)是X上的可逆变换; 2 由(2)易证对应关系是G到X上的变换群(对称群)的 一个同态。 例1. 设G是一个群，令X=G，对g∈G，x∈X，定义G对 X的作用为: g(x)=g。x (G→G) 易验证满足定义中的 (1) e(x)=ex=x (2) g1g2(x)=g1g2x=g1(g2x)=g1(g2(x)) 这种作用称为G对其本身的左平移或左正则作用。 例2. 设G是一个群，令X=G，定义G在X上的作用为: g(x)=gxg-1 (G→G) 易验证满足定义中的两个条件。这种作用称为G对其本 身的共轭作用。
更一般地，设G是一般群(抽象群)，X是一个集 合，如果G与X上的一个变换群G' 同态，则g可以通 过G' 作用在X上。如果G'是一个置换群，则称它是G 的一个置换表示;如果G'是一个距阵群，则称它是G 的一个线性表示。 下面具体给出群在集合上的作用的定义
定义: 设G是一个群，X是一个非空集合，若 g∈G，对应X上的一个变换g(x)，满足:
x
定义:设群G作用在X上，g∈G，x∈X，若 g(x)=x， 则称x为g的一个不动点(fixpoint)。 以x为不动点的所有群元素的集构成的子群 Gx=StabGx={g|g∈G，g(x)=x} 称为x的稳定子群(Stabilizer)。 关于稳定子群及其轨道的关系有如下性质: 性质1 轨道公式 |Ox|=[G:StabGx] (=[G:Gx]) 性质2 由轨道公式和拉格朗日定理可得: |G|=|Ox||StabGx|， 从而若|G|=n，则 |Ox| |n， |G|= [G : StabG x]
群在集合上作用的定义
群在集合上作用的定义近世代数是近一百年来发展起来的新的数学领域，它极大地扩充了代数学的研究范围，并出现了许多新的研究方法和研究对象。
我们知道，数、多项式、和矩阵的出现是为了刻画一些物理量和几何量，诸如长度、面积、速度、物理定理、空间中点的位置、平面的运动和几何变换等。
然而当人们企图刻画对称性时，——无论是物理现象中，还是数学世界中的对称性时，都无法用单个的数，多项式或矩阵来刻画。
为了刻画对称这一概念，人们发现了群。
现在我们知道，群是研究对称性的有力工具。
物理、几何、数学中对称这一概念的特殊重要性，是群称为近代数学极其深刻、极其重要的概念之一。
群论有着悠久的历史，现在已经发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数中占有极为重要的地位。
19世纪初，青年数学家伽罗瓦和阿贝尔为了解决数学史上一个长达三世纪之久的难题，即五次和五次以上代数方程的根式解问题，引进了一种置换群的概念，它对今后数学的发展，特别是代数学的发展起着巨大的关键性作用。
之后，人们逐渐发现，置换群并不重要，重要的是对任意集合里所规定的代数运算的的研究，这样一个现在看来似乎很平凡的发现实际上是一个很大的突破，它的重要意义在于把置换群的研究推广到更一般的抽象群的研究上去。
这样便把群的研究建立在公理化的基础上，使它的理论更加清晰和严谨，从而为群论的发展开辟了广阔的前景。
本文第一章回顾了群与集合上变换的基本概念，第二章介绍了群在集合上作用的定义以及群作用的基本定理，最后我们引出了群在集合上作用的例子和应用，并由此说明群作用在数学中的重要性。
第一章基本概念定义1.1 设A与B是两个集合，如果有一个对应法则ϕ，它对于A中每一个元素x，在B中都有一个唯一确定的元素y与之对应，则称法则ϕ是集合A到B得一个映射。
这种关系常表示为ϕ=或y(x)yϕ:xα定义1.2 集合X到自身的映射，叫做集合X的一个变换。
同样可以定义满射变换、单射变换和双射变换。
第7讲 群的作用
• 是GLn(C ) 在Mn(C )上的群作用.
2014-9-7 5
• 例3 A∈GLn(C), X∈Mn(C), 映射 () ◦ x =◦(◦x) • GLn(C) ×Mn(C) Mn(C) , • (A,X) A ◦X=XA
e◦x=x
• 是GLn(C) 在Mn(C)上的群作用吗 ? • 第一条是满足的, 而验证第二条的结果是 XAB=XBA, 这个等式不一定成立. 而映射 • GLn(C)×Mn(C) Mn(C) , • (A,X) A ◦X=XA-1, • 是群作用.
• 为了更广泛地讨论，将“同构”换为“同态”。为此， 引入“作用”概念。 第7讲群的作用
2014-9-7 1
• 定义1.4.1 • 设G是群,M是非空集合,如果映射 f: G SM 是群同 态,则称 f 为G在M上的一个作用. • 当 f 是单同态时, 则称作用是忠实的。 • 对于a∈G, x∈M,记f(a)(x)为 a◦x［或ax］，于是有 映射 ◦ ：Ｇ×ＭＭ，(a, x) a ◦ x. (◆ ) • 由于f(e)是SM 的单位元,即M上的恒等变换, ? 则 • e ◦ x = x ( x ∈M) （１） • 由同态 f 保持运算, 则 , ∈G, x ∈M 有 • () ◦ x = ◦(◦x)． （２） • 反之, 给定一个Ｇ×Ｍ到Ｍ的映射“◦”，且满足(1)和 (2),那么, 就可以定义一个相应的作用 f: G SM
2014-9-7 6
• 例4 设 • M={X∈Mn(C): XT=X}, • 则映射
e◦x=x
() ◦ x =◦(◦x)
• GLn(C) ×M M , (A,X) A ◦X=AXAT • 是GLn(C) 在M上的群作用. • 例5 设 M=Mn(C), 则映射
群论中的群作用与轨道
群论中的群作用与轨道在数学领域中，群论是一门重要的分支，它研究代数结构中的群及其性质。
群作用和轨道是群论中的两个关键概念，它们在描述群元素之间的相互作用和关系时起着至关重要的作用。
本文将从群作用和轨道的基本概念入手，探讨它们在群论中的重要性和应用。
群作用是群论中一个基本概念，它描述了一个群对自身或其他集合的元素进行运算时的作用方式。
具体来说，给定一个群G和一个集合X，如果存在一个映射：$G \times X \rightarrow X, (g,x) \rightarrow g\cdot x$，满足以下条件：1. 对于任意$g \in G, x \in X$，有$e \cdot x = x$，其中$e$是G的单位元素；2. 对于任意$g, h \in G, x \in X$，有$(gh) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$。
则称这个映射为G在集合X上的一个群作用。
群作用本质上是一种运算的形式，它描述了群元素在集合上的操作方式。
群作用的一个重要性质是同余关系，即给定一个群作用，我们可以根据不同的等价关系将集合划分成不同的等价类，这些等价类就是轨道。
轨道是群作用的一个重要概念，它描述了群元素在集合上运算的结果的轨迹。
具体来说，给定一个群G在集合X上的作用，对于任意$x\in X$，定义$x$的轨道为：$G \cdot x = \{g \cdot x | g \in G\}$。
轨道描述了群元素对集合中各个元素进行变换后的结果集合，它们对研究群作用的性质和结构具有重要意义。
群作用和轨道在数学和其他领域中有着广泛的应用。
在数论中，群作用和轨道理论可以用来描述整数的分拆问题和数论函数的性质；在几何学中，群作用和轨道可以用来研究对称性和几何对象的不变性；在量子力学中，群作用和轨道有着重要的物理意义，可以用来描述自然界中的基本粒子的行为等。
总之，群作用和轨道是群论中的两个重要概念，它们描述了群元素之间的作用关系和轨迹，对于研究群的结构和性质具有至关重要的意义。
高等代数群在集合上的作用,定义与例子
群在集合上的作用是群论中的重要概念，也是数学中（例如在微分 几何、李群、多复变函数论中）的重要概念，甚至在物理、化学中 也有重要应用.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
正交变换群在平面点集上的作用
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
群作用的例子
这就得到 n 元对称群 G 在 F 上全体 n 元多项式的集合 M 上有群 作用. 对任一多项式 f(x1, x2, · · · , xn)，它的对称性群就是在这个群 作用下，G 中保持 f(x1, x2, · · · , xn) 不动的全体元所成的群，即 f(x1, x2, · · · , xn) 的对称性群 =
G × M2 −→ M2, (σ, α) −→ σ ◦ α.
易知它定义了 G 在 M2 上的群作用.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
群作用的概念
又例如取 M2 = { 平面上全体（自由）向量的集合 }（即平面上所 有向量作成的向量空间）. 对 σ ∈ G，它把相等的有向线段（相等 的向量）变成相等的有向线段（相等的向量），即对任意（自由）向 量 α，σ(α) 是唯一确定的. 令 σ ◦ α = σ(α)，就定义了一个映射
群在集合上的作用是群论中的重要概念，也是数学中（例如在微分 几何、李群、多复变函数论中）的重要概念，甚至在物理、化学中 也有重要应用. 我们先看一个例子. 令 G 是平面上的正交变换群，M = { 平面上所 有点集的集合 }. 对 ∀σ ∈ G，可引起 M 上的一个变换如下：对 ∀S ∈ M，σ 变换 S 后得到的点集记为 σ ◦ S，
高等代数群在集合上的作用定义与例子
高等代数群在集合上的作用定义与例子高等代数中，群的作用是一种映射关系，描述了一个群在一个集合上的操作方式。
群作用既可以用来描述抽象概念，也可以应用于各种数学问题的求解。
在本文中，我们将详细介绍群作用的定义和例子，并展示它们在不同领域的应用。
一、群作用的定义群作用是指一个群G在一个集合X上的一种映射关系，即G×X→X，满足以下四个条件：1.单位元条件：对于任意的x∈X，有e∙x=x，其中e是G的单位元。
2.封闭性条件：对于任意的g∈G，x∈X，有g∙(g∙x)=(g∙g)∙x。
3.结合律条件：对于任意的g1,g2∈G，x∈X，有(g1∙g2)∙x=g1∙(g2∙x)。
4.对于任意的x∈X，有g∈G，g∙x∈X。
群作用可以理解为一种运算方式，即群中的元素g作用在集合X上的元素x上，得到一个新的元素g∙x。
这个新的元素仍然在集合X中，因为群作用满足封闭性条件。
二、群作用的例子1.对称群的置换作用考虑一个有n个元素的集合X，对称群Sn中的元素可以看作是X上的置换。
对于Sn中的任意置换g，定义g作用在X上的元素x的结果为g(x)=g∙x，即将置换g作用在x上。
这样的群作用满足群作用的定义。
例如，在集合X={1,2,3}上，置换(12)可以作用在元素2上得到1∙2=1，与置换(12)作用在元素1上得到1∙1=2的结果相符。
2.线性群的线性作用在线性代数中，我们学习了线性变换。
线性群GL(n,F)中的元素可以看作是线性变换。
对于GL(n,F)中的任意线性变换T，定义T作用在F^n 上的元素x的结果为T(x)=T∙x，即将变换T作用在向量x上。
这样的群作用也满足群作用的定义。
例如，在集合F^3上，线性变换(x1,x2,x3)→(x1+x2,x2+x3,x1+x3)作用在向量(1,2,3)上得到(3,5,4)，与变换作用结果一致。
三、群作用的应用1.群作用在组合数学中的应用在组合数学中，群作用有广泛的应用。
群对集合的作用及其应用
引言群与集合是近世代数的基础内容，也是从实践中发展起来的比较抽象的学科内容，群对集合的作用不仅在数学中居显著地位，而且在许多现代科学分支中居重要地位.随着科学技术的发展，群的理论和方法获得了愈来愈广泛的应用，它还渗透到计算机科学，通讯理论，系统科学、乃至数学经济等许多领域.因此，今天需要掌握和了解群的知识的人愈来愈多.本文通过对群和集合的研究来事读者更清楚地了解群的重要性及其应用，并总结出群和集合的重要内容来找出的关系同时对定理给与证明,且引出群对集合的作用,从而将它应用在实际生活中更能体现出群的重要性.因此，总结群对集合的作用，对于深刻理解和掌握群在实际问题中的应用的起到了不可或缺的作用，从而使数学更好的为人类所利用.1 集合的基本概念1.1集合的定义和性质1.1.1集合的定义 :若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）.组成一个集合的事物叫做这个集合的元素（有时简称元）.1.1.2集合的性质：a.一个没有任何元素的集合叫做空集合.b.若集合B 的每一个元都属于集合A,我们说,B 是A 的子集;不然的话,我们说,B 不是A 的子集.若B 是A 的子集，我们说，B 属于A ，或是说，A 包含B ，用符号A B B A ⊃⊂或 来表示.B 不是A 的子集，我们说，B 不属于A ，或是说，A 不包含B ，用符号B A ⊄ 来表示.注意：空集合被认为是任何集合的子集.c.集合A 和集合B 的所有共同元所组成的集合叫做A 和B 的交集。
A 和B 的交集我们用符号A ∩B 来表示.d.由至少属于集合A 和B 之一的一切元素组成的集合叫做A 和B 的并集A 和B 的并集我们用符号 A ∪B 来表示e.若集合B 是集合A 的子集,而且至少有一个A 的元不属于B,我们就说,B 是A 的真子集；不然的话，我们说，B 不是A 的真子集.若集合A 和集合B 所包含的元完全一样，那么A 和B 表示的是同一集合，这时 我们说，A 等于B ，用符号 A=B 来表示. 显然,A B A B B A =⊂⊂一个元a 若同时属于A 和B 两个集合，我们说，a 是A 和B 的共同元.f.1212,,,,,,n n A A A n A A A 令是个集合。
群对集合的作用
群对集合的作用
群对集合的作用主要体现在以下几个方面：
1.信息传递：群可以作为一个信息发布的平台，方便成员之间进行信息的传递和分享，例如新闻、资讯、学习资料、活动信息等。
2.沟通交流：群可以作为一个交流的场所，方便成员之间进行好友交流、工作协作、问题讨论和分享经验等。
3.组织活动：群可以作为一个组织活动的平台，方便成员之间进行线上或线下的活动策划、组织和参加，例如聚会、比赛、义工、旅行等。
4.社交互动：群可以作为一个社交互动的场所，方便成员之间进行互动和社交，例如认识新朋友、寻找共同爱好的伙伴、交换生活经验等。
set集合同义词
set集合同义词1. 群组你知道吗？在我们生活里就像有各种群组一样。
比如说我们班的学习小组，那就是一个群组。
在数学里，这个就类似于set集合，把有共同特点的元素放在一起，就像把爱学习数学的同学放在一个小组里。
2. 聚堆儿哎有些东西就爱聚堆儿。
像广场上的鸽子，总是一群一群的。
这就跟set集合一个理儿，那些有相同属性的元素啊，就像鸽子似的聚在一起形成一个集合。
3. 一伙儿我跟你说啊，那几个调皮捣蛋的孩子就像一伙儿的。
这就好比set集合里的元素，他们有相似的地方，比如说都很调皮，这就把他们归到了这么一个像set集合的“一伙儿”里。
4. 一堆你看啊，书架上那一堆漫画书。
这一堆就可以看成是一个set集合呢。
每本漫画书就是集合里的元素，因为它们都有共同的属性——是漫画书，所以就聚成了这“一堆”。
5. 一群想象一下草原上的一群羊，咩咩叫着。
这一群羊就如同set集合。
每只羊都是这个集合里的元素，它们都有羊的特性，所以能组成这个像set集合一样的“一群”。
6. 一撮咱有时候会说那一撮爱打篮球的小伙子。
这一撮就有点像set集合啦。
那些小伙子因为都热爱打篮球这个共性，就像集合里的元素被归到这“一撮”里。
7. 一帮你肯定见过一帮孩子在公园里玩耍吧。
这一帮孩子就如同set集合。
他们都有孩子这个共性，而且都在公园里玩，就像集合里的元素被聚到了一起，形成这个“一帮”。
8. 一团就像那一团毛线，看起来乱乱的，但其实它也是一种集合的体现。
每根毛线丝就像set集合里的元素，它们因为都属于这团毛线，所以被归到了一起。
9. 一类我发现那些时尚达人就像是一类人。
这就和set集合一样。
他们都对时尚有着独特的见解和追求，这些共同的属性就把他们归到像set集合一样的“一类”里。
10. 一批仓库里那一批新到的货物，就像一个set集合。
每件货物都是这个集合里的元素，因为它们都是同一批进来的，有着共同的来源这个属性。
11. 一组我在做手工的时候，有一组小珠子特别漂亮。
原象集和象集概念
原象集和象集概念原象集和象集是数学中非常重要的概念，它们涉及到集合、映射以及函数等基本概念。
下面将详细介绍原象集和象集的定义、基本概念、映射的基本概念、映射与集合的关系、原象集和象集的特性、应用场景以及与函数的关系。
1.原象集和象集的定义原象集是指被映射的原始集合，通常用X表示，其中每个元素称为原象。
象集是指经过映射操作后得到的集合，通常用Y表示，其中每个元素称为象。
2.集合的基本概念集合是由一组具有共同特征的元素组成的整体。
这些元素可以是数字、字母、图形等。
集合中的每个元素称为元素或成员。
集合可以用列举或描述的方法表示。
例如，{1,2,3}和{x|x>1}都是集合的表示方法。
3.映射的基本概念映射是从一个集合到另一个集合的映射关系。
它是一种操作，将原象集中的每个元素映射到象集中相应的元素。
映射通常用f(x)表示，其中f是映射函数，x是原象集中的元素。
4.映射与集合的关系映射是一种特殊的函数关系，它可以将原象集中的元素映射到象集中。
映射操作可以改变原象集中的元素，但不会改变元素的数量和性质。
因此，映射操作可以看作是从原象集到象集的一种变换。
5.原象集和象集的特性原象集和象集都有自己的特性。
原象集中的元素可以是任意的，可以是有限个或无限个。
象集中的元素与原象集中元素的对应关系由映射确定。
原象集和象集的元素数量可以相同也可以不同。
如果两个集合的元素数量相同，则它们被称为双射集合。
6.原象集和象集的应用场景原象集和象集的概念广泛应用于各个领域，如数学、物理、化学、生物等。
例如，在数学中，它们被用于研究函数的性质、解析几何和代数学等问题。
在物理中，它们被用于描述物理现象的属性和规律。
在化学中，它们被用于描述化学反应的过程和结果。
在生物中，它们被用于描述生物体的结构和功能。
7.原象集和象集与函数的关系原象集和象集是函数的基础。
函数是一种特殊的映射关系，它可以将原象集中的每个元素映射到象集中唯一的元素。
群在集合上作用的例子
群在集合上作用的例子3.1群在结构群上的作用我们定义一个结构s 是一个在集合U 上的构造γ，它由一对参数构成，即： ),(U s γ=，其中},,,,,{f e d c b a U =是结构s 的底图点，f}){c,e},{c,b},{c,c},{d,a},{d,{d},(=γ是有根树的根节点和边，如图：对任一有限集合U ，我们用F[U]表示所有满足规则F 的结构的集合，即 ]}[),,(|{][]2[U U s s U F ϑγγ∈==其中][]2[U ϑ表示U 中所有元素对（不分顺序）所连成边的集合。
定义3.1 a ）每一个有限集合U ，都有一个有限集合F[U]与之对应， b ）对每一个变换V U →:σ，都有一个函数][][:][V F U F F →σ进一步地，函数][σF 要满足下列性质：a ） 对所有的变换V U →:σ和W V →:τ，][][][τστσF F F οο=，b ） 对恒等映射U U Id U →:，][][U F U Id Id F =.所有的元素][U F s ∈称为U 上的一种F-结构（或者甚至是F 在U 上的一种Species 结构），函数][σF 称为F-结构通过σ的变换。
例3.1 我们已经介绍了Species 的定义，这里我们所有简单图的Species G 的具体描述。
对每个有限集合U ，我们用G[U]表示所有简单图结构的集合，即]}[),,(|{][2U U g g U G ϑγγ⊆==U 中的元素都是点，γ是边的集合，显然G[U]是有限的。
同理，我们也可以给出有根树的Species A ，简单连通图的Species c G 和有向图的Species D 等结构例3.2 对所有的整数0≥n ，指定n S 是由},,2,1{][n n Λ=的置换作成的对称群，在群作用的操作下，集合F[n]是[n]上的F-结构。
说明对每个0≥n ，每个F-结构群，通过令)]([s F s σσ=⋅（对n S ∈σ和][n F s ∈）诱导出群n S 在集合F[n]上的一个作用][][n F n F S n →⨯（1）证明：设F[n]是[n]上的F-结构，对任意][n F s ∈和n S e ∈21,,σσ，)]([s F s σσ=⋅，则e 是][n 上的恒等映射][n Id ，由定义3.1][][][n F n Id Id F =即s s Id s Id F s e n F n ===⋅)()]([][][ ①另一方面，因为][][][2121σσσσF F F ⋅=⋅，所以)]([)(2121s F s σσσσ⋅=⋅=))((21s σσ ②由①②知，][][n F n F S n →⨯是群n S 在集合F[n]上的一个作用同样的，任何集合作用族n n n F F S →⨯ （2）满足一个F-结构群的定义，因为在（1）和（2）的作用族是同构的。
群的作用——精选推荐
群的作⽤群的作⽤G为⼀个群,G≠∅φ:G×S→S(i):g1g2(s)=g1(g2(s))(ii):e(s)=s,∀s∈S我们引⼊轨道的概念：O x={gx|g∈G}我们来证明：∀x,y,O x=O y或者不相等(即不可能会出现相交的情况)O x∩O y≠∅任取z∈O x∩O y,存在g1,g2∈G,使得gx=z=gyy=g−12g1x∈O x(这⾥我们要注意⼀些概念：O x={gx|∀g∈G})由此得到：O y⊂O x,同理可证O x⊂O y→O x=O y由于O x={gx|∀g∈G}这⾥我们注意⼀个事实，尽管ρ是⼀个双射，但是群的阶数与集合的阶数不相等。
这是需要我们格外注意的地⽅：因为我们经常认为群作⽤了的话，本⾝就应该与映射出来的集合是⼀样的，即：|g(x)|=X,⽽不是|G|=|X|我们来看个例⼦，⾸先我们必须明⽩⼀点群的作⽤只是个抽象的作⽤，并不是群真实的作⽤在集合上，这只是⼀个称呼。
我们定义φ:g(x)=gxg−1,∀g∈G我们有这样的事实：(i)e(x)=exe−1(ii)g1(g2(x))=g1(g2xg−12)g−11=g1g2x(g1g2)−1我们很容易提出问题：|G|?=|O x|？=|G×X|我们注意⼀件事情，如果G为交换群，则g(s)=g1g2(s)=g2(g1(s))我们⾸先要注意事实：|G|和|O x|在⼤多时候的阶数是不⼀样的我们先来看看轨道稳定⼦定理：我们定义稳定⼦：S x={gx=x}那么有这样的事实：ρ:O x→G/S xgx→gS x那么我们O x到G/S x的⼀⼀映射这个是很有意思的事情，⼀般不容易发现，这样我们就定义|G|与|O x|的关系我们先来证明轨道稳定⼦定理：(i)ρ为单射：ρ(g1x)=ρ(g2x)→g1S x=g2S x,g−11g2S x=S xg−11g2∈S x,g−11g2x=x我们得到了很重要的结论：|G|=|S x||O x|我们来看看⼀个群作⽤：多项式：x1x2+x2x3+x3x4+x4x1的对称变换的群X={x1,x2,x3,x4},G作⽤在X上，τ=(1,2,3,4)！！我们要注意这个事实，我们每次的群作⽤都是利⽤在X⾥⾯去⼀个元素来完成，所以我们如果要来衡量|X|的阶数，],其中x i取遍不同轨道的代表元素|X|=∑t i=1[G:S xi我们注意⼀个很有意思的现象，因为群本⾝的定义是集合，然后有规定的运算，我们可以定义群作⽤于群本⾝的集合，G×G→G,我们这⾥不采⽤抽象的定义，即映射的⽅式：g1(g2)→g,这⾥我们采⽤共轭作⽤，群G作⽤在⾃⾝x∈G,O x={gxg−1|g∈G},S x={g∈G|gxg−1=x}我们通常把O x称为x所在的共轭类，S x称为中⼼化⼦所以我们得到了⼀个重要的定理：|G|=∑x|G:C(x)|，我们对这个等式进⾏整理，把x为中⼼元素的共轭类的代表元都弄出来，|G:C(x)|=1(x为中⼼元素的共轭类)G为有限群，|G|=|C(G)|+∑x|G:C(x)|(x为取遍⾮中⼼元素的共轭类的代表元)推论：Cauchy定理：如果G为⼀个有限群，|G|=n,对于n每⼀个素因⼦p，G都有阶为p的元素Processing math: 100%。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
文章编号:1004-5422(2010)03-0236-02
利用交换群研究群在集合上的作用的像集
高茜,杨凡,葛荣会
(成都理工大学信息管理学院,四川成都610059)
摘要:所有讨论都是在U是群G在集合8上的作用这一前提下进行的,得出了群G是交换群与群G U是交换群之间的充分非必要条件,对其充分性加以了证明,并通过反例来说明其非必要性.考虑到群G在集合8上的作用与其逆作用在定义上的区别,得出群G U是交换群与群在集合上的作用U是其逆作用,两者之间是充要条件,并加以了证明.
关键词:交换群;作用;逆作用
中图分类号:O152文献标识码:A
0引言
从同态映射与同构映射是一种包含关系可知,同态映射的原像集与像集有很多性质并不像同构映射那样完全等价[1].而群在集合上的作用本质上仅是一个同态映射,而并不一定是同构映射.交换群是一类特殊群,群在集合上的作用是否能使得其原像集与像集是交换群的这一性质相互等价,是我们在本文中将讨论的问题.进一步考虑群在集合上的作用与其逆作用既有区别又有联系,故群在集合上的作用的像集是否为交换群,与群在集合上的该作用是否是其逆作用之间应存在某种联系,本文对此也进行了讨论.
1预备知识
定义1[2]设A:G y H是群同态映射,则,
G A={g A|g I G}
称为同态A的像集.
定义2[3]Hamilton四元数的单位,?1、?i、? j、?k,在乘法下组成一个8阶群,称为四元数群,记为Q8,且Q8中元素的乘法满足,
i2=j2=k2=-1,ij=k=-ji,
j k=i=-kj,ki=j=-ik.
定义3[4]一个群,假如它的结合法还满足交换律,
a#b=b#a
该群就称为交换群或Abel(阿贝尔)群,否则称为非交换群.
定义4[2]设8={A,B,C,}是一个非空集合,其元素称为点.S8表示8上的对称群.所谓群G
在8上的一个作用U,是指G到S8内的一个同态.
即对每个元素x I G,对应8上的一个变换U(x):A |y A x,并且满足,
(A x)y=A xy,x,y I G,A I8;
或者,
U(xy)=U(x)U(y),x,y I G.
定义5[5]设8={A,B,C,}是一个非空集合,其元素称为点.S8表示8上的对称群.所谓群G 在8上的一个逆作用U,是指G到S8内的一个逆同态[6].即对每个元素x I G,对应8上的一个变换U(x):A|y A x,并且满足,
(A y)x=A xy,x,y I G,A I8;
或者,
U(xy)=U(y)U(x),x,y I G.
2主要结论
下述命题均是在U是群G在集合8上的一个作用的前提下进行讨论的.
命题1如果群G是交换群,则群G U是交换群.
证明P U(x),U(y)I G U,有x,y I G.由群G是交换群,有xy=yx,则,U(xy)=U(yx).又由U是群G在集合8上的一个作用可知,
U(x)U(y)=U(y)U(x),
收稿日期:2010-07-07.
作者简介:高茜(1983)),女,硕士研究生,从事有限群理论研究1
注意到U(x),U(y)的任意性,故G U是交换群.
命题2如果群G U是交换群,则群G不一定是交换群.
对此命题可举反例进行说明.
群G U是交换群,群G可能出现以下两种情况:第一种,群G是非交换群(见例1);第二种,群G是交换群(见例2).
例1取群G=Q8,集合8={1,2,3}.规定群Q8在S3上的作用U满足,
U(x)=(1),x=1,i,j,k, (12),x=-1,-i,-j,-k.
显然,群G U={(1),(12)}.这里,群G U={(1), (12)}是交换群,但群Q8却是非交换群.
例2取群G={?1,?i},集合8={1,2,3}.规定群G={?1,?i}在S3上的作用U满足,
U(x)=(1),x=1,i, (12),x=-1,-i.
显然,群G U={(1),(12)},这里群G U={(1), (12)}是交换群,群G={?1,?i}也是交换群.
命题3若G U群是交换群,则群在集合上的作用U即为其逆作用.
证明U是群G在集合8上的作用,即对每个元素x I G,对应8上的一个变换U(x):A|y A x,并且满足,
U(xy)=U(x)U(y),x,y I G.
又G U是交换群,有U(x)U(y)=U(y)U(x), U(y),U(x)I G U,则,
U(xy)=U(y)U(x),x,y I G.
故对每个元素x I G,对应8上的一个变换U(x):A|y A x,并且满足,
U(xy)=U(y)U(x),x,y I G.
即,U是群G在集合8上的一个逆作用.
命题4若群G U是非交换群,则群在集合上的作用U必不是其逆作用.
证明采用反证法.设结论不真,则群在集合上的作用U是其逆作用,此时有,
U(x)U(y)=U(xy)=U(y)U(x),x,y I G.
故群G U是交换群,与题设矛盾.
结合命题3和命题4,可得出群G U是交换群与群在集合上的作用U即为其逆作用之间是充要条件.显然,当群G U是非交换群时,群在集合上的作用U也不是其逆作用,在这种情况下,情况将变得复杂.如何利用已知的群在集合上的作用去找到它的逆作用,以及群G除了是交换群外,还有哪些情况可以共同构成使得群G U是交换群的必要条件,是值得进一步研究的问题.
参考文献:
[1]熊全淹.近世代数[M].武汉:武汉大学出版社,2004.
[2]徐明曜.有限群导引(上)[M].北京:科学出版社,2007.
[3]王世民.Hamilton群[J].西北师范大学学报(自然科学
版),1985,21(1):1-4.
[4]魏贵民.现代数学基础[M].北京:高等教育出版社,2007.
[5]高茜.群在集合上的逆作用[J].重庆文理学院学报(自
然科学版),2009,28(5):15-17.
[6]任祯琴,张良,郭继东.群上的逆同态[J].伊犁师范学
院学报(自然科学版),2009,3(4):13-15.
[7]李世荣,史江涛,何宣丽.交换群和循环群的若干充分必
要条件[J].广西科学,2006,13(1):1-3.
[8]刘静.关于Abel群同态的扩张[J].山东大学学报(理学
版),2010,45(6):39-42.
Studying Image Set of Action of Group
on Set with Abelian Group
GAO Qian,Y ANG Fan,GE Ronghui
(School of Information and Manage ment,Chengdu Universi ty of Technol ogy,Chengdu610059,China)
Abstract:All questions are discussed under this premise which let U be an action of group G on set8.A sufficient and unnecessary condition between that G is an Abelian group and that G U is an Abelian group has obtained,the proof of its sufficiency has given and some counterexamples are given to explain its non-necessity.Considering distinction on their definition between an action of group G on set8and its inverse ac tion,a sufficient and necessary c ondition between that G U is an Abelian group and U which is an action of group on set is its inverse action has also obtained and proved.
Key words:Abelian group;action;inverse action #
237
#
第3期高茜,等:利用交换群研究群在集合上的作用的像集。