导数综合测试题
2023年新高考数学一轮复习4-4 导数的综合应用(真题测试)含详解
专题4.4 导数的综合应用（真题测试）一、单选题1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （ ） A ．12-B ．13C ．12D ．12．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值D ．点在曲线上3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x x f x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2110,,1e e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭D ．210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（ ） ABC ．1eD ．e7．（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数()()e ln e (0)xf x a a a =+>，若对任意实数1x >，不等式()()ln 1f x x ≥-总成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程，符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解，下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是（ ） A ．e x y = B ．e x y x =C ．e 1x y x =+D ．e (R)x y c x c =⋅∈⋅10．（2022·河北沧州·二模）已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（ ） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b +D ．e 1a b >11．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()()1e 11e y xx y ++=+，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()ln 0x y ->B ．122x y +<C ．226x y +>D ．()ln ln3x y +<12．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线三、填空题13．（2020·河南高三其他（理））函数()2222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为_______；当0x >时，()1f x ≥恒成立，则a 的取值范围是_____. 14．（2022·全国·模拟预测（理））若曲线ln x y x =与212y kx =-仅有1个公共点，则k 的取值范围是3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =___________.15．（2012·福建·高考真题（理））对于实数a 和b ，定义运算“*”： 设f （x ）=（2x -1）*（x -1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________16．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数22()ln 2e f x x x mx =-+，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为________． 四、解答题17．（2018·全国·高考真题（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，．18．（2017·全国·高考真题（理））已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 20．（2016·全国·高考真题（文））设函数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）证明当时，； （Ⅲ）设，证明当时，.21．（2015·全国·高考真题（理））设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m 的取值范围．22．（2014·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≠=⎨->⎩()21x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥()()2e 2e x xf x a a x =+--()f x ()f x a 2()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3()24f x a≤--()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞11ln x x x-<<1c >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->2()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828e =()g x ()f x ()g x [0,1]（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围(1)0f ()f x (0,1)a专题4.4 导数的综合应用（真题测试）一、单选题1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （ ） A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】因为()221111()2()1()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-，设1t x =-，则()()()21t t f x g t t a e e -==++-，因为()()g t g t =-，所以函数()g t 为偶函数，若函数()f x 有唯一零点，则函数()g t 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0=t 时，()0g t =才满足题意，即1x =是函数()f x 的唯一零点，所以210a -=，解得12a =.故选：C. 2．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值 D ．点在曲线上【答案】A 【解析】 【详解】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =()2f x ax b ='+1()f x 3()f x ()()10{13f f '==203a b a b c +=⎧⎨++=⎩2{3b a c a =-=+()2,8()y f x =()42238a a a +⨯-++=5a =10b =-8c =()25108f x x x =-+()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠1-()f x数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】将()0f x <转化为2(2)exx a x +<，再分别求导分析2()e x x g x =和()(2)h x a x =+的图象，再分别求得1,1g ，()()2,2g ，()()3,3g 到()20-，的斜率，分析临界情况即可 【详解】由()0f x <且0x >，得2(2)exx a x +<，设2()e x x g x =，()(2)h x a x =+， 22()exx x g x '-=，已知函数()g x 在（0，2）上单调递增，在(2,)+∞上单调递减， 函数()(2)h x a x =+的图象过点(2,0)-，(1)11(2)3e g =--，2(2)12(2)e g =--，3(3)93(2)5e g =--，结合图象，因为329115e 3e e <<，所以3915e 3ea ≤<． 故选：C4．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：当时，，函数和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0a =2()31f x x =-+()f x 0a >2()36f x ax x '=-()0f x '=0x =2x a =(,0)x ∈-∞()0f x '>2(0,)x a ∈()0f x '<2(,)x a∈+∞()0f x '>(0)0f >(,0)x ∈-∞0a <2(,)x a∈-∞；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C ．5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x xf x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2110,,1e e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭D ．210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】令()0f x =得20e e x xx xa a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数研究()e x x g x =的图像，由函数()f x 有三个零点可知，若令1e e xxt t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则可知方程20t at a +-=的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一根21e t =或20t =或()2,0t ∈-∞上，分类讨论即可求解. 【详解】由22e e 0xxx ax a +-=得20e ex xx xa a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()e x x g x =， 由()10e xxg x -'==，得1x ＝，因此函数()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且()00g =，当0x >时，()0e x x g x =>，则()ex xg x =的图像如图所示： 即函数()g x 的最大值为()11eg =，令1e e xx t t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则()20h t t at a =+-=，由二次函数的图像可知，二次方程的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一根21e t =或20t =或()2,0t ∈-∞上，当21e t =时，21e ea =-，则另一根111e t =-，不满足题意，当20t =时，a ＝0，则另一根10t =，不满足题意，()0f x '<2(,0)x a ∈()0f x '>(0,)x ∈+∞()0f x '<(0)0f >()f x 0x 00x >2()0f a>24a >2a <-当()2,0t ∈-∞时，由二次函数()20h t t at a =+-=的图像可知22000110e e a a a a ⎧+⋅-<⎪⎨⎛⎫+⋅->⎪ ⎪⎝⎭⎩， 解得210e ea <<-， 则实数a 的取值范围是210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故选：D.6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（ ） ABC ．1eD ．e【答案】D 【解析】 【分析】将不等式化为ln()e ln()e x ax x ax +≥+，构造()e x f x x =+有()(ln())f x f ax ≥，利用函数的单调性及参变分离法有e xa x ≤在0x >上恒成立，应用导数求右侧最小值，即可得结果.【详解】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥，∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+．令()e x f x x =+，则不等式化为()(ln())f x f ax ≥． ∵()e (0)x f x x x =+>为增函数，∴ln()x ax ≥，即e xa x≤．令e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x '-=，当01x <<时，()0g x '<，即()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，即()g x 递增； 所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==． ∴实数a 的最大值为e ． 故选：D7．（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D.8．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数()()e ln e (0)xf x a a a =+>，若对任意实数1x >，不等式()()ln 1f x x ≥-总成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】将所求不等式变形为()()ln 1ln eln eln 1x x ax a x -+++≥+-，构造函数()e xg x x =+，可知该函数在R 上为增函数，由此可得出()ln ln 1a x x ≥--，其中1x >，利用导数求出()()ln 1h x x x =--的最大值，即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，由()()ln 1f x x ≥-可得()ln eln 1ln 1x aa x +++≥-， 即()()()ln 1ln eln 1ln 1eln 1x x ax a x x x -+++≥-+-=+-，构造函数()e xg x x =+，其中x ∈R ，则()e 10x g x '=+>，所以，函数()g x 在R 上为增函数， 由()()ln 1ln eln eln 1x x ax a x -+++≥+-可得()()ln ln 1g x a g x +≥-⎡⎤⎣⎦，所以，()ln ln 1x a x +≥-，即()ln ln 1a x x ≥--，其中1x >， 令()()ln 1h x x x =--，其中1x >，则()12111xh x x x -'=-=--. 当12x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当2x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 所以，()()max ln 22a h x h ≥==-，21e a ∴≥. 故选：D.二、多选题9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程，符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解，下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是（ ） A ．e x y = B ．e x y x =C ．e 1x y x =+D ．e (R)x y c x c =⋅∈⋅【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数的运算求得导函数y '，代入微分方程检验即可． 【详解】选项A ，e x y =，则e x y '=，e e e e 0x x x x xy y xy x x '+-=+-=≠，不是解；选项B ，e x y x =，e e x x y x '=+，22e e e e 0x x x x xy y xy x x x x '+-=+--=，是方程的解；选项C ，e 1x y x =+，e e x x y x '=+，22e e 1e e 10x x x x xy y xy x x x x x x '+-=+++--=+≠，不是方程的解； 选项D ，e (R)x y c x c =⋅∈⋅，e e x x y c cx '=+，22e e e e 0x x x x xy y xy cx cx cx cx '+-=+--=，是方程的解． 故选：CD ．10．（2022·河北沧州·二模）已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（ ） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b + D ．e 1a b >【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由e e e a b a b ++=得到111e ea b +=判断；BC.由e e e 2e e a b a b a b ++==2b 判断；D. 由111e e a b +=，得到e e e 1e 11e 1e 1b b b ab b b b b -+-=-=--，令()e e 1,0b b f b b b =-+>，用导数法判断. 【详解】 由e e e a b a b ++=得111e ea b +=，又e 0,e 0a b >>，所以e 1,e 1a b >>，所以0,0a b >>，所以0ab >，选项A 错误；因为e e e 2e e a b a b a b ++==2b ，即e e e 4a b a b ++=，所以ln41a b +>，选项B C ,正确，因为111e e a b +=，所以e e e 1b ab =-，所以e e e 1e 11e 1e 1b b b a bbb b b -+-=-=--.令()e e 1,0b b f b b b =-+>，则()e 0b f b b '=>，所以f b 在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00f b f >=，即e e 10b b b -+>，又e 10b ->，所以e 10a b ->，即e 1a b >，选项D 正确. 故选：BCD11．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()()1e 11e y xx y ++=+，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()ln 0x y ->B ．122x y +<C ．226x y +>D ．()ln ln3x y +<【答案】AC 【解析】 【分析】构造函数()e xf x x=，利用导数判断函数的单调性，得出1x y >+，结合不等式以及指、对数函数的性质逐一判断即可. 【详解】令()e x f x x=，则()()2e 1e e xx x x x f x x x --'==， 所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增； 由()()1e 11e yxx y ++=+得1e e 111x y x y y +=+++，即1e e 111x y x y y +-=++，∵1y >，∴11012y <<+， ∴1e e 1012x y x y +<-<+，即()()1012f x f y <-+<， ∴1x y >+，即1->x y ，∴()ln 0x y ->，A 正确；由1x y >+知12x y +>+，所以12222x y y ++>>，所以选项B 错误； 由1x y >+知12222326x y y y y ++>+=⋅>，所以选项C 正确．由1x y >+，1y >知213x y y +>+>，所以()()ln ln 21ln3x y y +>+>， 所以D 错误，故选：AC ．12．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =()f x判断D. 【详解】由题，，令得或令得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以是极值点，故A 正确；因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B 错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C 正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为， 故D 错误.故选：AC.三、填空题13．（2020·河南高三其他（理））函数()2222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为_______；当0x >时，()1fx ≥恒成立，则a 的取值范围是_____.【答案】e (],1-∞ 【解析】当0a =时，∵()222ln x f x x ex =-，∴()222222x x f x xe x xe x'=+⋅-. 当1x >时，()0f x '>恒成立，()231f x x '=-()0fx '>x >x <()0f x '<x <()f x ((,-∞)+∞x =(10f =+>10f =>()250f -=-<()f x ,⎛-∞ ⎝⎭x ≥()0f x f ≥>⎝⎭()f x ⎫∞⎪⎪⎝⎭()f x 3()h x x x =-R ()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-()h x (0,0)()h x ()h x ()f x (0,1)()y f x =()2312f x x '=-=1x =±()(1)11f f =-=(1,1)21y x =-(1,1)-23y x =+∴()f x 在[]1,2上单调递增.∴()f x 在[]1,2上最小值为()1f e =.又0x >时，()1f x ≥恒成立，令 ()1xg x e x =--,()()100xg x e g ''=->=,所以()g x 在()0,∞+ 递增，()()00g x g >= 所以1x e x >+ ∴()22222ln 22ln 2ln x x x f x x e x ax e x ax +=--=--()2222ln 12ln 111x x x ax a x ≥++--=-+≥恒成立，∴1a ≤.故答案为e ；(],1-∞.14．（2022·全国·模拟预测（理））若曲线ln x y x =与212y kx =-仅有1个公共点，则k 的取值范围是___________. 【答案】(]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭##1|02k k k ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭或【解析】 【分析】将原问题转化为32ln 12x k x x =+只有一个解,令()()32ln 102x g x x x x =+>,利用导数求出()g x 的单调性及最值即可得答案. 【详解】 由题意可得:2ln 12x kx x =-只有一个解()0x >, 即32ln 12x k x x=+只有一个解. 令()32ln 12x g x x x=+, ()0x >原问题等价于y k =与()y g x =只有一个交点. 因为()43413ln 113ln x x xg x x x x '---=-= 因为13ln y x x =--在()0,∞+上单调递减, 且在1x =处的值为0 ,所以当()0,1x ∈时, ()()0,g x g x '>单调递增,当()1,x ∈+∞时, ()()0,g x g x '<单调递减且恒为正, 所以()()max 112g x g ==, 又因为y k =与()y g x =只有一个交点, 所以(]1,02k ⎧⎫∈-∞⎨⎬⎩⎭.故答案为: (]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭.15．（2012·福建·高考真题（理））对于实数a 和b ，定义运算“*”： 设f （x ）=（2x -1）*（x -1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________ 【答案】【解析】 【详解】由定义运算“*”可知 即，该函数图像如下：由，假设当关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根时， m 的取值范围是，且满足方程，所以令则， 所以令22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≠=⎨->⎩⎫⎪⎪⎝⎭22(21)(21)(1)0()?(1)(21)(1)0x x x x f x x x x x ⎧----=⎨---->⎩2220()0x x x f x x x x ⎧-=⎨-+>⎩1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1230x x x <<<10,4⎛⎫⎪⎝⎭23,x x 2-+=x x m 23=x x m 22-=x x m 1=x 123==x x x m 10,4⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭y m所以， 又在递增的函数， 所以，所以，所以在递减， 则当时，；当时，所以.16．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数22()ln 2e f x x x mx =-+，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为________．【答案】22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由()0f x ≥且0x >，得出2ln 2e x x m x -+≥-，构造函数()ln =-xg x x，利用导数研究()g x 的单调性，画出()ln =-x g x x 和22e y x =-的大致图象，由图可知0m >，设0x 为()ln =-xg x x和22e y x m =-+的交点的横坐标，结合题意可知该整数为1，即012x ≤<，当直线22e y x m =-+过1,0A 和ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，即可求出求出m 的值，从而得出m 的取值范围.【详解】由题可知，22()ln 2e f x x x mx =-+，0x >， 由于()0f x ≥的解集中恰有一个整数，即22ln 2e 0x x mx -+≥，即222e ln x mx x -+≥-，因为0x >，所以2ln 2e xx m x-+≥-的解集中恰有一个整数， 令()ln =-x g x x ，则()2ln 1-'=x g x x ， 当1e x <<时，()0g x '<；当e x >时，()0g x '>， 所以()g x 在()1,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增， 画出()ln xy xg x ==-和22e y x =-的大致图象，如图所示： 要使得2ln 2e xx m x-+≥-，可知0m >， 114'⎛= ⎝y ()=h m 10,4⎛⎫⎪⎝⎭()()01>=h m h 0y '<=y 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭0m =0y =14m ==y 123⎫∈⎪⎪⎝⎭x x x设0x 为()ln =-xg x x和22e y x m =-+的交点的横坐标， 而2ln 2e xx m x-+≥-的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即012x ≤<， 当01x =时，得()10g =；当02x =时，得()ln 222g =-， 即1,0A ，ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线22e y x m =-+过点1,0A 时，得22e m =，当直线22e y x m =-+过点ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，得2ln 24e 2m =-， 所以m 的取值范围为22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故答案为：22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭四、解答题17．（2018·全国·高考真题（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，．【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）当时，,令，只需证明即可．【详解】()21x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥210x y --=a 1≥()12f x e 1x x e x x e +-+≥++-（）12gx 1x e x x +=++-gx 0≥（1），．因此曲线在点处的切线方程是．（2）当时，．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以 ．因此．18．（2017·全国·高考真题（理））已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ()()2212xax a x f x e-++'-=()02f '=()y f x =()0,1-210x y --=1a ≥()()211x xf x e x x e e +-+≥+-+()211xg x x x e +=+-+()121x g x x e +=++'()120x g x e +''=+>1x <-()()10g x g '-'<=()g x 1x >-()()10g x g '-'>=()g x ()g x ()1=0g ≥-()0f x e +≥()()2e 2e x xf x a a x =+--()f x ()f x a (0,1)()f x a 0a ≤0a >0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x 1(ln )1ln f a a a-=-+1a =(1,)∈+∞a (0,1)a ∈(0,1)a ∈()f x (,ln )a -∞-0n 03ln(1)n a>-00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->3ln(1)ln a a->-()f x (ln ,)a -+∞a (0,1)()f x (),-∞+∞()()()()2221121x x x xf x ae a e ae e =+---'=+0a ≤()0f x '<()f x (),-∞+∞0a >()0f x '=ln x a =-(),ln x a ∈-∞-()0f x '<()ln ,x a ∈-+∞()0f x '>()f x (),ln a -∞-()ln ,a -+∞0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x ()1ln 1ln f a a a-=-+①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为.19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）证明，即证，而，所以需证，设g （x ）=ln x -x +1 ，利用导数易得，即得证. 【详解】（1） 的定义域为（0，+），. 若a ≥0，则当x ∈（0，+）时，，故f （x ）在（0，+）单调递增.若a ＜0，则当时，时；当x ∈时，. 故f （x ）在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在取得最大值，最大值为. 1a =()ln 0f a -=()f x ()1,a ∈+∞11ln 0a a-+>()ln 0f a ->()f x ()0,1a ∈11ln 0a a-+<()ln 0f a -<()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>()f x (),ln a -∞-0n 03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭()()00000000e e 2e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭()f x ()ln ,a -+∞a ()0,12()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3()24f x a≤--(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>0a ≥'()0f x >()f x (0,)+∞0a <()f x 1(0,)2a -1(,)2a-+∞3()24f x a ≤--max 3()24f x a ≤--max 1()()2f x f a=-11ln()1022a a -++≤max ()(1)0g x g ==()f x ∞()()‘1211)22(1x ax f x ax a x x++=+++=∞’)(0f x ＞∞10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x '＞1()2a ∞-+，’)(0f x <’)(0f x ＞1()2a∞-+，12x a=-111()ln()1224f a a a -=---所以等价于，即. 设g （x ）=ln x -x +1，则. 当x ∈（0,1）时，；当x ∈（1，+）时，.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时，，即. 20．（2016·全国·高考真题（文））设函数．（Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）证明当时，； （Ⅲ）设，证明当时，.【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理． 试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为. 所以当时，. 故当时，，，即. （Ⅲ）由题设，设，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减. 由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，. 所以当时，.3()24f x a≤--113ln()12244a a a ---≤--11ln()1022a a -++≤’1(1)g x x=-()0g x '>∞()0g x '<∞11ln()1022a a -++≤3()24f x a≤--()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞11ln x x x-<<1c >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->01x <<()f x 1x >()f x ()f x '()0f x '>()0f x '<()f x x 1x()f x (0,)+∞1()1f x x=-'()0f x '=1x =01x <<()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ()f x 1x =(1)0f =1x ≠ln 1x x <-(1,)x ∈+∞ln 1x x <-11ln1x x <-11ln x x x-<<1c >()1(1)x g x c x c =+--'()1ln xg x c c c =--'()0g x =01lnln ln c c x c-=0x x <'()0g x >()g x 0x x >'()0g x <()g x 11ln c c c-<<001x <<(0)(1)0g g ==01x <<()0g x >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->21．（2015·全国·高考真题（理））设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m 的取值范围．【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）.【解析】【详解】（Ⅰ）．若，则当时，，；当时，，．若，则当时，，；当时，，．所以，在单调递减，在单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．22．（2014·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围【答案】（Ⅰ）当时， ；当 时， ； 当时， .（Ⅱ） 的范围为. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到2()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-()f x (,0)-∞(0,)+∞[1,1]-()(1)2mx f x m e x -'=+0m ≥(,0)x ∈-∞10mx e -≤()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -≥()0f x '>0m <(,0)x ∈-∞10mx e ->()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -<()0f x '>()f x (,0)-∞(0,)+∞m ()f x [1,0]-[0,1]()f x 0x =12,[1,1]x x ∈-12()()1f x f x e -≤-(1)(0)1,{(1)(0)1,f f e f f e -≤---≤-1,{1,m m e m e e m e --≤-+≤-()1t g t e t e =--+()1t g t e =-'0t <()0g t '<0t >()0g t '>()g t (,0)-∞(0,)+∞(1)0g =1(1)20g e e --=+-<[1,1]t ∈-()0g t ≤[1,1]m ∈-()0g m ≤()0g m -≤1m >()g t ()0g m >1m e m e ->-1m <-()0g m ->1m e m e -+>-m [1,1]-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828e =()g x ()f x ()g x [0,1](1)0f =()f x (0,1)a 12a ≤()(0)1g x g b ≥=-122e a <≤()22ln(2)g x a a a b ≥--2e a >()2g x e a b ≥--a ()2,1e -()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--a ()g x ()g x [0,1]()g x [0,1]0x ()f x (0,1).联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解答：（Ⅰ）①当时，，所以.②当时，由得.若，则；若，则. 所以当时，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，所以. （Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点.由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点. 当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点. 所以. 此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.由得：，有(0)0,(1)0f f ==()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤2e a ≥()g x (0,1)122e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10f e a b =---=1b e a =--a ()2,()2x xg x e ax b g x e a -='=--0a ≤()20x g x e a -'=>()(0)1g x g b ≥=-0a >()20x g x e a -'=>2,ln(2)x e a x a >>12a >ln(2)0a >2e a >ln(2)1a >102a <≤()g x [0,1]()(0)1g x g b ≥=-122e a <≤()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a ()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ≥=--2e a >()g x [0,1]()(1)2g x g e a b ≥=--0x ()f x (0,1)0(0)()0f f x ==()f x 0(0,)x ()g x ()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤()g x [0,1]()g x (0,1)2e a ≥()g x [0,1]()g x (0,1)122e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10f e a b =---=12a b e +=-<.解得.当时，在区间内有最小值.若，则，从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.又，故此时在和内各只有一个零点和.由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，故在内有零点.综上可知，的取值范围是. (0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->21e a -<<21e a -<<()g x [0,1](ln(2))g a (ln(2))0g a ≥()0([0,1])g x x ≥∈()f x [0,1](0)(1)0f f ==(ln(2))0g a <(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->()g x (0,ln(2))a (ln(2),1)a 1x 2x ()f x 1[0,]x 1(,x 2)x 2[,1]x 1()(0)0f x f >=2()(1)0f x f <=()f x 1(,x 2)x a (2,1)e -。
高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答
高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答选修2-2 1.2.2 第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4[答案] D[解析]y＝[(x＋1)2](x－1)＋(x＋1)2(x－1)＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，y|x＝1＝4.2．若对任意xR，f(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝()A．x4 B．x4－2C．4x3－5 D．x4＋2[答案] B[解析]∵f(x)＝4x3.f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－11＋c＝－1，c＝－2，f(x)＝x4－2.3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n[解析]∵f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，m＝2，a＝1，f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为：Sn＝112＋123＋134＋…＋1n(n＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1，故选A.4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f(x)＝2ax＋b，由于f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝ax＋b2a2－b24a，顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.5．函数y＝(2＋x3)2的导数为()A．6x5＋12x2 B．4＋2x3C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)3x[解析]∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，y＝6x5＋12x2.6．(2019江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f(1)＝2，则f(－1)＝()A．－1 B．－2C．2 D．0[答案] B[解析]本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f(x)＝4ax3＋2bx，f(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f(1)＝4a ＋2b，f(－1)＝－f(1)＝－2要善于观察，故选B.7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f(1)＝()A．0 B．－1C．－60 D．60[答案] D[解析]∵f(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)＝10(1－2x3)9(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，f(1)＝60.8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()A．22cos2x－B．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2x D．22cos2x＋4[答案] A[解析]y＝(sin2x－cos2x)＝(sin2x)－(cos2x)＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－4.9．(2019高二潍坊检测)已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．3 B．2C．1 D.12[答案] A[解析]由f(x)＝x2－3x＝12得x＝3.10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()A．－15 B．0C.15 D．5[答案] B[解析]由题设可知f(x＋5)＝f(x)f(x＋5)＝f(x)，f(5)＝f(0)又f(－x)＝f(x)，f(－x)(－1)＝f(x)即f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0故f(5)＝f(0)＝0.故应选B.二、填空题11．若f(x)＝x，(x)＝1＋sin2x，则f[(x)]＝_______，[f(x)]＝________.[答案]2sinx＋4，1＋sin2x[解析]f[(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋4.[f(x)]＝1＋sin2x.12．设函数f(x)＝cos(3x＋)(0＜)，若f(x)＋f(x)是奇函数，则＝________.[答案] 6[解析]f(x)＝－3sin(3x＋)，f(x)＋f(x)＝cos(3x＋)－3sin(3x＋)＝2sin3x＋＋56.若f(x)＋f(x)为奇函数，则f(0)＋f(0)＝0，即0＝2sin＋56，＋56＝kZ)．又∵(0，)，6.13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．[答案]32x(1＋2x2)7[解析]令u＝1＋2x2，则y＝u8，yx＝yuux＝8u74x＝8(1＋2x2)74x＝32x(1＋2x2)7.14．函数y＝x1＋x2的导数为________．[答案](1＋2x2)1＋x21＋x2[解析]y＝(x1＋x2)＝x1＋x2＋x(1＋x2)＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；(3)y＝ex＋1ex－1；(4)y＝x＋cosxx＋sinx.[解析](1)y＝(x)sin2x＋x(sin2x)＝sin2x＋x2sinx(sinx)＝sin2x＋xsin2x.(2)y＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2 .(3)y＝(ex＋1)(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)(ex－1)2＝－2ex(ex－1)2 .(4)y＝(x＋cosx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)(x＋sinx)2＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.16．求下列函数的导数：(1)y＝cos2(x2－x)；(2)y＝cosxsin3x；(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2x－1x＋1.[解析](1)y＝[cos2(x2－x)]＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)＝(1－2x)sin2(x2－x)．(2)y＝(cosxsin3x)＝(cosx)sin3x＋cosx(sin3x)＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.(3)y＝loga(x2＋x－1)＋x1x2＋x－1logae(x2＋x－1)＝loga(x2＋x－1)＋2x2＋xx2＋x－1logae.(4)y＝x＋1x－1x－1x＋1log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x ＋1)2＝2log2ex2－1.17．设f(x)＝2sinx1＋x2，如果f(x)＝2(1＋x2)2g(x)，求g(x)．[解析]∵f(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx2x(1＋x2)2＝2(1＋x2)2[(1＋x2)cosx－2xsinx]，又f(x)＝2(1＋x2)2g(x)．g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．[解析](1)解法1：设y＝f(u)，u＝1x，则yx＝yuux＝f(u)－1x2＝－1x2f1x.解法2：y＝f1x＝f1x1x＝－1x2f1x.要练说，得练看。
导数测试题
导 数 测 试 题(考试时间120分钟； 满分：150分)第Ⅰ卷（共90分）注意事项：本卷共17道题一.选择题（共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，1.2xy=在1=x 处的导数为（ ）A. x 2B.2x ∆+C.2D.1 2.下列求导数运算正确的是（ ） A. 2'11)1(xx x+=+ B. ='2)(log x 2ln 1x C. e xx 3'log 3)3(= D. xx x x sin 2)cos ('2-=3.)(x f 与)(x g 是定义在R 上的两个可导函数，若)(x f ,)(x g 满足)()(''x g x f =,则)(x f 与)(x g 满足（ ）A. )(x f =)(x gB. )(x f －)(x g 为常数函数C. )(x f =)(x g =0 D.)(x f +)(x g 为常数函数4.函数xx ysin =的导数为（ ）A.2'sin cos x xx x y += B.2'sin cos x xx x y -= C.2'cos sin x xx x y -=D.2'cos sin xxx x y +=5.若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且),(b a x ∈时，)('x f >0,又)(a f <0,则（ ）A. )(x f 在],[b a 上单调递增，且)(b f >0B. )(x f 在],[b a 上单调递增，且)(b f <0C. )(x f 在],[b a 上单调递减，且)(b f <0D.)(x f 在],[b a 上单调递增，但)(b f 的符号无法判断6.函数33xx y-=的单调增区间是（ ） A.(0,+∞) B.(－∞,－1) C.(－1,1)D.(1,+∞)7.函数xaxx f +=3)(在),(+∞-∞∈x 内是增函数，则（ ）A. a >0B. a <0C. a =1D. a =318.函数23)(23++=xaxx f ，若)1('-f =4，则a 的值等于（ ）A.319 B.316 C.3139.函数ax x x f +-=2332)(的极大值为6，那么a 等于（ ）A.6B.0C.5D.110.下列说法正确的是（ ）A.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极大值B.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极小值C.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极值D.当)(0'x f 为函数)(x f 的极值且)(0'x f 存在时，则有)(0'x f =011.下列四个函数，在0=x处取得极值的函数是（ ） ①3xy= ②12+=xy③||x y = ④xy 2=A.①②B.②③C.③④D.①③12.函数)1()(2x x x f -=在[0，1]上的最大值为（ ）A.932 B.922 C.923 D. 83第Ⅱ卷（共60分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.三.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.） 13.函数xy2sin =的导数为___ _ __14.物体运动方程为3414-=ts ，则5=t时的瞬时速率为15.曲线3xy=在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为16.圆柱形金属饮料罐的容积为316cm π，它的高是 cm ，底面半径 是 cm 时可使所用材料最省. 四.解答题：（每题14分，共28分. 13.（8分）求抛物线24y x=在点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程.14．（8分）求函数44x x y -=在]2,1[-∈x 的最大值与最小值.15.（8分）有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？16.（8分）已知质点运动方程是)sin 1(2t t s +=,求2π=t时的瞬时速度.17. （10分）若函数2723+++=bx axxy在1-=x 时有极大值，在3=x 时有极小值，试求a 与b 的值.18.设函数32()23(1)68f x x a xa x =-+++，其中a R∈.①若()f x 在3=x处取得极值，求常数a 的值；②若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围.19.已知函数54)(23+++=bx axxx f 的图像在1=x 处的切线方程为x y 12-=，且12)1(-=f ，①求函数()f x 的解析式；②求函数()f x 在[-3，1]上的最值.20.已知函数32()f x x b x c x d=+++的图像过点P （0，2），且在点M （-1，)1(-f ）处的切线方程为076=+-y x .①求函数)(x f y=的解析式；②求函数)(x f y =的单调区间.21.曲线3)(xx f =在点P 处切线的斜率为3，求点P 的坐标.22.已知函数,)(2b ax xx f ++=试确定b a ,的值，使当1=x 时，)(x f 有最小值4.23.过点（1，1）作直线AB ，与坐标轴围成ΔAOB （O 为坐标原点），当直线AB 在什么位置时，ΔAOB 的面积最小，最小面积是多少？ 24.已知函数)101()3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则 )1('f 的值是多少？。
导数测试卷
导数测试题一、知识自测：1、几个常用函数的导数：（1）f(x)=C ，则f ’(x)=_______ （2）f(x)=x ，则f ’(x)=_______ （3）f(x)=2x ，则f ’(x)=_______（4）f(x)=x 1，则f’(x)=_______ （5）f(x)=x ，则f ’(x)=_______2、基本初等函数的导数公式：（1）f(x)=C （C 为常数），则f ’(x)=_______ （2）f(x)=)(Q a x a ∈，则f ’(x)=_______（3）f(x)=sinx ，则f ’(x)=_______ （4）f(x)=cosx ，则f ’(x)=_______（5）f(x)=x a ，则f ’(x)=_______ （6）f(x)=xe ，则f ’(x)=_______（7）f(x)=x a log ，则f ’(x)=_______ （8）f(x)=x ln ，则f ’(x)=_______3、导数的运算法则：已知)(),(x g x f 的导数存在，则：（1）_______________])()([='±x g x f （2）__________________])()([='⋅x g x f （3）='])()([x g x f ____________________二、典型例题：（一）利用求导公式和运算法则求导数1、345x y -=2、x x x y sin 32-=3、x e y x ln =4、x x x y 21ln -+=5、)3)(2)(1(+++=x x x y6、)11)(1(-+=x x y7、2cos 2sin )2(2x x x y --=（1）x x y 2sin ln = （2）)32(sin 2π+=x y （3）3223++=x xy（4）4)31(1x y -=（5）21x x y += （6）)132(log 22++=x x y一、选择题2、曲线212y x =在点1(1,)2处切线的倾斜角为（ ） A ．1 B ．4π- C ．4π D ．54π3、已知曲线222y x x =+-在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是（ ）A ．(1,3)-B ．(1,3)--C ．(2,3)--D ．(2,3)-1、已知()2f x x =，则()3f '等于（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．9 2、()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定 3、32y x =的导数是（ ）A ．23xB ．213xC ．12-D ．323x4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、若()3f x x =，则()1f '等于（ ）A ．0B ．13-C ．3D ．136、2y x =的斜率等于2的切线方程是（ ）A ．210x y -+=B ．210x y -+=或210x y --=C ．210x y --=D ．20x y -=7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭9、函数()22423y x x =-+的导数是（ ）A ．()2823x x -+B ．()2216x -+C ．()()282361x x x -+-D ．()()242361x x x -+-10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（ ）A ．74y x =+B ．72y x =+C ．4y x =-D ．2y x =-11、点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,,24πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 2．(2009·广东文，8)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)1． 使函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为A ．()+∞,2B ． ()2,∞-C ． ()0,∞-D ． ()2,06、（2010全国卷2理）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = （ ）（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）87、曲线)12ln(-=x y 上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（ ）A.5B. 52C. 53D.0二、填空题13.函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是________14.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是___ 15．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 13．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．7、（2009全国卷Ⅱ理）曲线21x y x =-在点(1,1)处的切线方程为____________________． 8、曲线3y x =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形面积为__________． 9、已知函数=='=-=00002),()(),1()(x x f x f x x x x x f 则时，有当____________10、(1)已知='+=)0(,cos sin )(f x x xe x f x 则__________(2)已知='-----=)1(),5)(4)(3)(2)(1()(g x x x x x x g 则___________11、已知=''+=)1(),0(331)(3f f x x x f 则_____________ 8、已知2()ln(1)f x x x =++，若()1f a '=，则实数a 的值为__________． 9、sin3y x =在(,0)3π处的切线斜率为__________________．10、曲线41-+=x x y 在点x=8处的切线方程是________________________12、函数()(0)kx f x xe k =≠在(0,(0))f 处的切线方程为__________________三、解答题15．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．12、已知曲线方程为32-=x y ，求过点B （3,5）且与曲线相切的直线方程。
高等数学导数与微分综合测试题(3)含答案
高等数学导数与微分综合测试题（3）一、选择题1．设函数()n f x =()f x 在(),-∞+∞内________.A 处处可导B 恰有一个不可导点C 恰有两个不可导点D 至少有三个不可导点2．若()()f x f x =--，且在()0,+∞内()()0,0,f x f x '''>>则在(),0-∞内必有 A ()()0,0f x f x '''<< B ()()0,0f x f x '''<> C ()()0,0f x f x '''>< D ()()0,0f x f x '''>>3．设2,0,(),0,x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处________. A 极限不存在 B 极限存在，但不连续 C 连续，但不可导 D 可导 4．设函数()f x 可导，()()()1F x f x sin x =+,则()0f 0=是()F x 在0x =处可导的________.A 充分必要条件B 充分条件，但非必要条件C 必要条件，但非充分条件D 既非充分条件，又非必要条件 5．()()000limx x f x f x x x →--存在的充要条件是（ ）A ()00f x =B ()f x 在0x 点连续C ()00f x '=D ()f x 在0x 处可导 6．设函数()f x 在点x a =处可导，则函数()f x 在点x a =处不可导的充分条件是______.A ()0f a =且()0f a '=B ()0f a =且()0f a '≠C ()>0f a 且()0f a '>D ()<0f a 且()0f a '< 7．设函数()f x 连续，且()00f '>，则存在0δ>，使得_______. A ()f x 在()0,δ内单调增加 B ()f x 在()0,δ-内单调减少C 对任意的x ∈()0,δ，有()f x ()0f >D 对任意的x ∈()0,δ-，有()f x ()0f > 8．设()f x '在[]a,b 上连续，且()>0f a '，()<0f b '，则下列结论错误的是_______.A 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()()0f x f a >B 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()()0f x f b >C 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()0=0f x 'D 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()0=0f x 二. 填空题1.设函数()=y f x 由方程2ln +4xy x =y 所确定，则曲线()=y f x 在点()1,1处的切线方程是_____________. 2．函数()1sin ,xy x =+则x dyπ==_____________.3．设3(),(1),tx f t y f e π=-⎧⎨=-⎩其中f 可导，且()00f '≠，则t 0dy dx ==______________.4．已知函数()y y x =由方程2610y e xy x ++=－确定，则()0y ''=______________. 5．设)(x f 为可导函数，且满足条件()()11lim12x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点()()11,f 处的切线斜率为_____________.6．设函数()f x 有任意阶导数，且()()2f x f x '=，则()()n f x ＝_____________. 7．设sin 2,x y =则dydx＝_____________. 8．22,()d yy f f x dx=已知具有二阶导数，则=_____________.三、计算题与证明题1．求函数()()ln 1+2f x x x ＝在0x =处的n 阶导数()()(n)0n 3f ≥.2．设函数()f x 在0x =可导，且()()0000f f '≠≠，，若()()()20af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.3．已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某邻域内满足关系式()()()1sin 31-sin 8,f x f x x x α-=+＋其中()x α是0x →时是比x 高阶的无穷小，且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点()()6,6f 处的切线方程. 4．设()()0101,f f '==-，求下列极限：（1）()222lim 21x x xf x →--- （2）()021lim x x f x x→-5．设函数()y y x =由方程()f y yxee =确定的，其中f 具有二阶导数且()1,f x '≠求22d y dx.6. 设函数()f x 在x a =可导，且()0f a ≠，求()1lim xx f a x f a →∞⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 7. 设()222x y f f ⎡⎤=⎣⎦求dydx.四．证明题1. 设()(),f x g x 的定义域为(),-∞+∞，且它们在点0x 可导，证明：()()()00,,,,f x x x h xg x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0x 可导的充要条件是：()()()()0000,.f x g x f x g x ''==2. 设()[]f x C a,b ∈，()()f a f b 0,==且()()0,0.f a f b +-''<<证明：()f x 在(),a b 内必有一个零点.高等数学导数与微分综合测试题（3）答案一、选择题1．C 2．C 3．D 4．A 5． C 6．B 7．C 8．D 二、填空题1. -0x y = 2．dx π- 3．3 4．-2 5．-2 6． ()1!n n fx + 7．1ln 2sin 22sin x x⋅⋅ 8．321144f f x x -'''⋅-三、计算题与证明题1．解：由莱布尼兹公式及()()()()()111!ln 1+1k k kk x x ---=⎡⎤⎣⎦+(k 为正整数)，得 ()()()()()()()()()()()n-13111!-12!-13!-1111n-2n-(n)2n n-n-2-n -n -n -fx x+2nx +n n +x +x +x =，所以()()()()()13()1!0113!2n n n n fn n n n ---=---=-.2．解：由于()()()0lim 200h af h bf h f →+-=，所以()()-=100a+b f ，由于()≠00f ，故-=10a+b .又因()()()()()()()001lim lim 0==h h af h +bf 2h -f 0af h +-a f 2h -f 0h h→→()()()()000lim lim ((+=0)+20)h h a f h -f 2h f 2h f =af f h h →→⎡⎤⎣⎦''－－， 由此得2,1a b ==-.3．解：()()()0lim 1sin 31sin lim 8,x x f x f x x a x →→--=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦＋得()()131f f 0－＝，故 ()10f ＝。
导数与微分测试题
由于 f ( x + 5) = f (5) , 所以 f (6) = f (1) = 0 , f ′(6) = f ′(1) = 2 .
故所求切线方程为 y = 2( x − 6) .
测 验题
(第一、二章 ) 第一、
每题3分 一、填空题 (每题 分，共12分) 每题 分
f (1 + sin x ) − 3 f (1 − sin x ) 即 lim x →0 sin x
f (1 − sin x ) − f (1) f (1 + sin x ) − f (1) = lim +3 x →0 sin x − sin x
= f ′(1) + 3 f ′(1) = 4 f ′(1) = 8 .
二、设曲线 y = x n 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点 为 (ξ n ,0), 求 lim f (ξ n ).
n→ ∞
1 c 满足关系式： 三、设 f ( x ) 满足关系式：af ( x ) + bf ( ) = (| a |≠| b |) . x x 求 f ′( x ) . x −1 ( x + 1)2 ; | x |≤ 1 四、设 f ( x ) = 4 | x |> 1 | x | −1 .
易知 , f ( x ) 在 | x |= 1 处连续 . 在 x = −1 处 ， f ( x ) − f ( −1) − x −1 = −1 , ′ (−1) = lim− f− − = lim− x → −1 x → −1 x − ( −1) x +1
f +′ (−1) = lim f ( x ) − f ( −1) − x → −1+ x − ( −1)
全国卷数学导数专题测试
导数 专题测试（限时120min ）一、单选题1．函数()2ln 1f x x x =-+的单调递减区间为（ ）A ．(0,2)B ．(0,)eC ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(2,)+∞2．函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<3．函数9()(2)2f x x x x =++的最小值为（ ） A ．174 B ．4 C ．6 D ．724．函数()sin f x x x =的导函数()f x '在区间[]π,π-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()f x =2a ≤是()f x a ≥恒成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分不必要条件6．函数()||3e x x xf =的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知函数()()221sin 1x x f x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）A ．0B ．2C ．2019D ．20208．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()2y x =-()f x '的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()1fB ．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()1fC ．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()2f -D ．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f9．已知函数()2ln ,013,22x x e x f x x x e e e ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，若,a b c <<且()()()f a f b f c ==，则ln ln b a c a b ⋅的取值范围是（ ） A ．(),3e e B ．()3,e e -- C ．()1,3e D ．()3,1e --10．设函数2()()()f x x x a x =--∈R ，当3a >时，不等式()22(sin 1)sin f k f k θθ---≥-对任意的[1,0]k ∈-恒成立，则θ的可能取值是（ ）A ．3π-B ．43πC ．2π-D ．56π 11．若函数()y f x =的图象上存在两个不同的点,A B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，称函数()y f x =为“自重合”函数．下列函数中是“自重合”函数的为（ ）A ．ln y x x =+B ．e 1x y =+C ．3y x =D ．cos y x x =-12．在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．若函数f (x )＝x 3＋mx 2＋x ＋1在R 上无极值点，则实数m 的取值范围是_____.14．已知曲线C ：()3f x x ax a =-+，若过曲线C 外一点1,0A 引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a 的值为______．15．定义在()0+∞，上的函数()f x 满足：0x ∀>有()()0f x xf x '+>成立且()12f =，则不等式()2f x x <的解集为__________．16．数列{}n a 中，112a =，()()()*111n n n na a n n na +=∈++N ，若不等式()24110n n a n nλ++-≥恒成立，则实数λ的取值范围为__________.三、解答题17．求下列函数的导数．（1）22y x x -=+；（2）32x x x y e e =-+；（3）2ln 1x y x =+；（4）2sin cos 22x x y x =-． 18．在“①()f x 在1x =处取得极小值2，①()f x 在1x =-处取得极大值6，①()f x 的极大值为6，极小值为2”这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知函数()33f x x ax b =-+（0a >），且______，求()f x 的单调区间．19．已知函数3211()326m f x x x x =+-+. （1）当1m =时，求曲线()f x 上在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.若()f x ___________，求实数m 的取值范围.①在区间(,1)m m +上是单调减函数；①在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在减区间；①在区间(,)m +∞上存在极小值. 20．已知函数()211cos 4f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（2）当1a ≥时，证明：对任意[]0,2x ∈，()0f x ≤.。
第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)
单元综合测试三(第三章)时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0， 且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)， 即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)． 要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ， 即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)， 则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54， 又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。
导数自测
导数及其应用单元综合测试题1、函数f(x)=31x 3+ax+1在（-∞,-1）上为增函数，在（-1，1）上为减函数，则f(1)为( ) A 37 B.1 C.31D.-1 2、已知二次函数的导数为，，对于任意实数有则的最小值（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3、设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在的切线的斜率为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4设在内单调递增，，则是的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 5、曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19B ．29 C ．13D ．23 6、在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．07、若函、已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，8.数432()2f x x ax x =-+-有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围9、已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则___．10、已知曲线xx y 1+=，则==1|'x y _____________。
11、P 是抛物线2x y =上的点，若过点P 的切线方程与直线121+-=x y 垂直，则过P 点处的切线方程是____________。
12.若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为 ； 13、设，．令，讨论在内的单调性。
高二(理科)数学《空间向量和导数》综合测试
高二（理科）数学综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知点A (2，－2，4)，B (－1，5，－1)，若AB OC 32=,则点C 的坐标为( ) (A))310,314,2(- (B))310,314,2(-- (C))310,314,2(-- (D))310,314,2(--2．三次函数y ＝a x 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则( )A ．a ≤0B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ＝133．已知α ⊥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ＝(1，－2，3)，n ＝(2，3λ，4)，则λ＝( )(A )35 (B )35- (C )37 (D )37-4．若对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋25．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )6．若直线l 与平面α 成角为3π，直线a 在平面α 内，且直线l 与直线a 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( )(A )]3π,0( (B )]3π2,3π[ (C )]2π,3π[ (D )]2π,0(7．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π28．已知函数x x x f sin 21)(2+=，则/()f x 的大致图象是A B C D9．设32:()21p f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，4:3q m ≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件10．已知A (0，0，0)，B (1，1，1)，C (1．2，－1)，下列四个点中在平面ABC 内的点是( )(A )(2，3，1) (B )(1，－1，2) (C )(1，2，1) (D )(1，0，3)11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1中点，平面A 1EC 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为( )(A )22 (B )23 (C )36 (D )3312．ABCD 为正方形，E 是AB 中点，将△DAE 和△CBE 折起，使得AE 与BE 重合，记A ，B 重合后的点为P ，则二面角D －PE －C 的大小为( )(A )6π (B )4π (C )3π (D )2π二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13．已知曲线y ＝－13x 3＋2与曲线y ＝4x 2－1在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为________．14．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．15．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，则A 1C 与BC 1所成角的余弦值为________．16． (在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的余弦值是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC⊥BC ，点D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：AC 1∥平面CDB 1；（Ⅱ）求异面直线AC 1与B 1D 所成的角的大小．18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．19．(本题满分12分) 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，D 是BC 的中点，（Ⅰ）求直线BB 1与平面AC 1D 所成的角余弦值； （Ⅱ）求二面角C －AC 1－D 的大小．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝12x2－m ln x.（Ⅰ）若函数f(x)在(12，＋∞)上是递增的，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m＝2时，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值．.21．(本题满分12分)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是cm，已知每出售1 mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6 cm.试求出瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大或最小．22．(本题满分14分)如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22.（Ⅰ）求证：BD⊥平面P AC；（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.。
导数同步测试题(2)含答案
导数同步测试题（2）一．选择题1.函数f （x ）=x 3﹣mx 2+4x 在[1，3]上是单调增函数，则实数m 的取值范围是（ C ）2.函数f （x ）=x ﹣3x ﹣m 在R 上有三个零点，则实数m 的取值范围是（A ） A ．()2,2- B. ()2,0- C. ()0,2 D.()(),22,-∞-⋃+∞3.若函数y=e x+mx 在()0,+∞上有极值，则实数m 的取值范围是（ D ）4.函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数f ′（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内有极小值点的个数为（ A ）121226.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数y=f （x ）的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y=f （x ）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个一元三次函数都有“拐点”；且该“拐点”正是该函数的对称中心．若f （x ）=x 3﹣x 2+x+1，则f （）+f （）=（B ）二．填空题 7. 函数1411()142y x x x =+≤≤-的最小值是 9 ． 8.定义在R 上的函数f （x ），其导函数()f x '满足()f x '＞1，且f （2）=3，则关于x 的不等式f （x ）＜x+1的解集为 （﹣∞，2） ．9.设函数()0)xf x ke k =>（的图像位于直线10)y kx k =+>（的上方，则k 的取值范围是()1,+∞．10. 记1()()f x f x =,f 2(x )＝f 1′(x )， f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x ) (n ∈N *，n ≥2)，若f (x )＝sin x ＋cos x ，则2014()6f π=_________；12若2014(),(0)x xf x e e f -=+=则________.011.已知函数2()ln (0)xf x a x x a a =+->，对∀x 1，x 2∈[0，1]，不等式|f （x 1）﹣f （x 2）|≤a ﹣1恒成立，则a 的取值范围 a≥e12.函数2()ln 2ax f x x x =-在()0,+∞上有两个极值，则a 的取值范围是 ()0,1三．解答题13.已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若直线y m =与函数()y f x =的图像恰有三个交点，求m 的取值范围。
导数测试题及详解
导数及其应用一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．(2011·烟台调研)三次函数f(x)＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤1[答案] A[解析] f′(x)＝3mx 2－1，由条件知f′(x)≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧m<0Δ＝12m≤0，∴m<0，故选A.2．(文)(2011·山东淄博一中期末)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1 B.19 C.13 D.23[答案] B[解析] ∵y′＝x 2＋1，∴曲线y ＝13x 3＋x 在点(1，43)处的切线斜率k ＝y′|x ＝1＝1＋1＝2，∴k ＝2，切线方程为y －43＝2(x －1)，即6x －3y －2＝0，令x ＝0得y ＝－23，令y ＝0得x ＝13，∴S ＝12×13×23＝19.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A.329B ．2－ln3C ．4＋ln3D ．4－ln3[答案] D[解析] 如图，平面图形的面积为⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1y dy ＝[12y 2－lny]|31＝4－ln3.[点评] 本题考查定积分求曲边形的面积，关键是根据定积分的几何意义把求解的面积归结为函数在区间上的定积分，再根据微积分基本定理求解．在把曲边形面积转化为定积分时，可以以x 为积分变量、也可以以y 为积分变量，如果是以x 为积分变量，则被积函数是以x 为自变量的函数，如果是以y 为积分变量，则被积函数是以y 为自变量的函数．本题如果是以x 为积分变量，则曲边形ABC 的面积是不如以y 为积分变量简明．3．(文)(2011·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝ax 2－1的图像在点A(1，f(1))处的切线l 与直线8x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n 的前n 项和为S n ，则S 2010的值为( ) A.20102011 B.10052011 C.40204021D.20104021[答案] D[解析] ∵f′(x)＝2ax ，∴f(x)在点A 处的切线斜率为f′(1)＝2a ，由条件知2a ＝8，∴a ＝4，∴f(x)＝4x 2－1，∴1f n ＝14n 2－1＝12n －1·12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n 的前n 项和S n ＝1f 1＋1f 2＋…＋1f n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1，∴S 2010＝20104021. (理)(2011·辽宁丹东四校联考)设函数f(x)＝ax 2＋b(a≠0)，若⎠⎛03f(x)dx ＝3f(x 0)，则x 0＝( )A ．±1 B. 2 C ．± 3 D ．2[答案] C[解析] ⎠⎛03f(x)dx ＝⎠⎛03(ax 2＋b)dx＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋bx 30＝9a ＋3b. 由⎠⎛03f(x)dx ＝3f(x 0)得，9a ＋3b ＝3ax 20＋3b ， ∴x 20＝3，∴x 0＝± 3.4．(文)(2011·山西太原调研)曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(－1，－3)处的切线与坐标轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] A[解析] y′|x ＝－1＝(3x 2－6x)|x ＝－1＝9，∴切线方程为y ＋3＝9(x ＋1)，即9x －y ＋6＝0，令x ＝0得y ＝6，令y ＝0得x ＝－23，∴所求面积S ＝12×6×23＝2，故选A.(理)(2011·宁夏银川一中检测)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x)dxB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y)dy D ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx.5．(2011·福州市期末、河北冀州期末)已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] A[分析] 利用导数可求b 、c ，由a 、b 、c 、d 成等比数列可得ad ＝bc.[解析] y′＝1x ＋2－1，令y′＝0得x ＝－1，当－2<x<－1时，y′>0，当x>－1时，y′<0，∴b ＝－1，c ＝ln(－1＋2)－(－1)＝1，∴ad ＝bc ＝－1，故选A.6．(2011·黄冈市期末)设a ∈R ，函数f(x)＝e x＋a·e －x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，若曲线y ＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．－ln22B ．－ln2C ．ln2 D.ln22[答案] C[解析] ∵f′(x)＝e x－ae －x为奇函数，∴a ＝1，设切点为P(x 0，y 0)，则f′(x 0)＝ex 0－e －x 0＝32，∴ex 0＝2，∴x 0＝ln2.7．(2011·日照调研)下列图象中，有一个是函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)的值为( )A.13 B ．－13C.73 D ．－13或53[答案] B[解析] f′(x)＝x 2＋2ax ＋a 2－1，其图象为开口向上的抛物线，故不是第一个图；第二个图中，a ＝0，f ′(x)＝x 2－1，但已知a≠0，故f′(x)的图象为第三个图，∴f′(0)＝0，∴a ＝±1，又其对称轴在y 轴右边，∴a ＝－1，∴f(x)＝13x 3－x 2＋1，∴f(－1)＝－13，故选B.8．(2011·潍坊一中期末)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y ＝f(x)和y ＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )[答案] D[解析] A 中，当f(x)为二次函数时，f′(x)为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A 可以是正确的，同理B 、C 都可以是正确的，但D 中f(x)的单调性为增、减、增，故f′(x)的值应为正负正，因此D 一定是错误的．9．(2011·北京学普教育中心)若函数f(x)＝2x 2－lnx 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，32)C ．[1,2)D ．[32，2)[答案] B[解析] 因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x －1x ，由f′(x)＝0，得x ＝12.据题意，⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1k －1≥0，解得1≤k<32，选B.10．(2011·江西吉安质检)已知曲线方程f(x)＝sin 2x ＋2ax(a ∈R)，若对任意实数m ，直线l ：x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f(x)的切线，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．a ∈R 且a≠0，a≠－1[答案] B[解析] 若存在实数m ，使直线l 是曲线y ＝f(x)的切线，∵f′(x)＝2sinxcosx ＋2a ＝sin2x ＋2a ，∴方程sin2x ＋2a ＝－1有解，∴－1≤a≤0，故所求a 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，选B.11．(2011·彭州中学月考)若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7][答案] B[解析] 令f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋2，则f ′(x)＝3x 2－6x －9，令f ′(x)＝0得x ＝－1或x ＝3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20. ∴f(x)的最小值为f(2)＝－20， 故m≤－20，综上可知应选B.12．(2011·蚌埠二中质检)定义在R 上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知函数y ＝f′(x)的图象如图所示．若两正数a ，b 满足f(2a ＋b)<1，则b ＋2a ＋2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 D ．(－∞，－3)[答案] C[解析] 由y ＝f′(x)的图象知，x>0时，f′(x)>0，x<0时，f′(x)<0，∴y ＝f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∵两正数a ，b 满足f(2a ＋b)<1且f(4)＝1，∴2a ＋b<4，如图，b ＋2a ＋2表示点A(－2，－2)与线段BC 上的点连线的斜率，其中B(2,0)，C(0,4)，∵k AB ＝12，k AC ＝3，a>0，b>0，∴12<b ＋2a ＋2<3.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2011·四川广元诊断)曲线y ＝xe x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________． [答案] y ＝3x ＋1[解析] y′＝e x＋xe x＋2，y′|x ＝0＝3，∴切线方程为y －1＝3(x －0)，即y ＝3x ＋1. 14．(文)(2011·广东省高州长坡中学期末)函数f(x)＝1＋log 2x ，f(x)的反函数为g(x)，则g′(2)＝________.[答案] 2ln2[解析] 由y ＝1＋log 2x 得x ＝2y －1，∴f(x)的反函数为g(x)＝2x －1，∴g′(x)＝2x －1ln2，∴g′(2)＝2ln2.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测)如图，函数y ＝f(x)的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.[答案] 2[解析] f(5)＋f′(5)＝(－5＋8)＋(－1)＝2.15．(文)函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，，则a 的取值范围是________．[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析] y′＝x 2－2ax ＋1，若函数在R 上单调，应有y′≥0恒成立，∴4a 2－4≤0，∴a 2≤1，∴－1≤a≤1，因此所求a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(理)(2011·安徽巢湖质检)定积分⎠⎛12|3－2x|dx ＝________[答案] 12[解析] ⎠⎛12|3－2x|dx ＝2⎠⎛21.5(2x －3)dx ＝2(x 2－3x)|21.5＝2×14＝12.16．(2011·湖南长沙一中期末)对于三次函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数y ＝f(x)的导数y ＝f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f(x 0))为函数y ＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求(1)函数f(x)＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为________．(2)若函数g(x)＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12011＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫22011＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32011＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫42011＋…＋g ⎝⎛⎭⎪⎫20102011＝________.[答案] (1)(1,1) (2)2010[解析] (1)f′(x)＝3x 2－6x ＋3，f″(x)＝6x －6，令6x －6＝0得x ＝1，f(1)＝1，∴f(x)的对称中心为(1,1)．(2)令h(x)＝13x 3－12x 2＋3x －512，k(x)＝1x －12，h′(x)＝x 2－x ＋3，h″(x)＝2x －1，由2x －1＝0得x ＝12，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×12－512＝1，∴h(x)的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴h(x)＋h(1－x)＝2，x ＝12011，22011，…，20102011.又k(x)的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， ∴k(x)＋k(1－x)＝0，x ＝12011，22011，…，20102011.∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12011＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫22011＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫20102011＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12011＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22011＋…＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫20102011＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12011＋k ⎝⎛⎭⎪⎫22011＋…＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫20102011＝2010. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(文)(2011·山西太原调研)已知函数f(x)＝13x 3－ax 2＋(a 2－1)x＋b(a ，b ∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间[－2,4]上的最大值． [解析] (1)f′(x)＝x 2－2ax ＋a 2－1， ∵(1，f(1))在x ＋y －3＝0上，∴f(1)＝2， ∵(1,2)在y ＝f(x)上，∴2＝13－a ＋a 2－1＋b ，又f′(1)＝－1，∴a 2－2a ＋1＝0， 解得a ＝1，b ＝83.(2)∵f(x)＝13x 3－x 2＋83，∴f′(x)＝x 2－2x ，由f′(x)＝0可知x ＝0和x ＝2是f(x)的极值点，所以有，＋∞)，单调递减区间是(0,2)∵f(0)＝83，f(2)＝43，f(－2)＝－4，f(4)＝8，∴在区间[－2,4]上的最大值为8.(理)(2011·淄博期末)定义在R 上的函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件：①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f′(x)是偶函数；③f(x)在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直．(1)求函数y ＝f(x)的解析式；(2)设g(x)＝lnx －mx ，若存在实数x ∈[1，e]，使g(x)<f′(x)，求实数m 的取值范围．[解析] (1)f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0① 由f′(x)是偶函数得：b ＝0②又f(x)在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，f′(0)＝c ＝－1③ 由①②③得：a ＝13，b ＝0，c ＝－1，即f(x)＝13x 3－x ＋3.(2)由已知得：存在实数x ∈[1，e]，使lnx －m x <x 2－1即存在x ∈[1，e]，使m>xlnx －x 3＋x设M(x)＝xlnx －x 3＋x x ∈[1，e]，则M′(x)＝lnx －3x 2＋2设H(x)＝lnx －3x 2＋2，则H′(x)＝1x －6x ＝1－6x2x∵x ∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减 于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0 ∴M(x)在[1，e]上递减，∴M(x)≥M(e)＝2e －e 3于是有m>2e －e 3为所求．18．(本小题满分12分)(2011·四川资阳模拟)函数f(x)＝ax 3－6ax 2＋3bx ＋b ，其图象在x ＝2处的切线方程为3x ＋y －11＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数y ＝f(x)的图象与y ＝13f′(x)＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围；(3)是否存在点P ，使得过点P 的直线若能与曲线y ＝f(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)由题意得f′(x)＝3ax 2－12ax ＋3b ， ∵f′(2)＝－3且f(2)＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a －24a ＋3b ＝－3，8a －24a ＋6b ＋b ＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧4a －b ＝1，－16a ＋7b ＝5，解得a ＝1，b ＝3，∴f(x)＝x 3－6x2＋9x ＋3.(2)由f(x)＝x 3－6x 2＋9x ＋3可得，f′(x)＝3x 2－12x ＋9，13f′(x)＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根， 即g(x)＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点，g′(x)＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)，则g(x)，g′(x)的变化情况如下表.则函数f(x)的极大值为g ⎝ ⎭⎪⎫3＝27－m ，极小值为g(4)＝－16－m.y ＝f(x)的图象与y ＝13f′(x)＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝6827－m>0，g 4＝－16－m<0，解得－16<m<6827.(3)存在点P 满足条件．∵f(x)＝x 3－6x 2＋9x ＋3，∴f′(x)＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x<1时，f′(x)>0；当1<x<3时，f′(x)<0；当x>3时，f′(x)>0.可知极值点为A(1,7)，B(3,3)，线段AB 中点P(2,5)在曲线y ＝f(x)上，且该曲线关于点P(2,5)成中心对称．证明如下：∵f(x)＝x 3－6x 2＋9x ＋3，∴f(4－x)＝(4－x)3－6(4－x)2＋9(4－x)＋3 ＝－x 3＋6x 2－9x ＋7，∴f(x)＋f(4－x)＝10，上式表明，若点A(x ，y)为曲线y ＝f(x)上任一点，其关于P(2,5)的对称点A(4－x,10－y)也在曲线y ＝f(x)上，曲线y ＝f(x)关于点P(2,5)对称．故存在点P(2,5)，使得过该点的直线若能与曲线y ＝f(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等．19．(本小题满分12分)(2011·烟台调研)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直，(1)求实数a 、b 的值；(2)若函数f(x)在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围． [解析] (1)∵f(x)＝ax 3＋bx 2的图象经过点M(1,4)， ∴a ＋b ＝4.①f′(x)＝3ax 2＋2bx ，则f′(1)＝3a ＋2b ， 由条件f′(1)·(－19)＝－1，即3a ＋2b ＝9，②由①②式解得a ＝1，b ＝3.(2)f(x)＝x 3＋3x 2，f′(x)＝3x 2＋6x ， 令f′(x)＝3x 2＋6x≥0得x≥0或x≤－2，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)由条件知m≥0或m ＋1≤－2， ∴m≥0或m≤－3.20．(本小题满分12分)(2011·厦门期末)已知函数f(x)＝1＋alnxx ，(a ∈R)．(1)若函数f(x)在x ＝1处取得极值，求实数a 的值；(2)在(1)条件下，若直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)的图象相切，求实数k 的值． [解析] (1)∵f(x)＝1＋alnxx，∴f′(x)＝ax ·x－1＋alnx x 2＝a －1－alnxx 2， ∵函数f(x)在x ＝1处取得极值，∴f′(1)＝a －1＝0， ∴a ＝1经检验，a ＝1时，函数f(x)在x ＝1处取得极值．(2)由(1)可知，a ＝1，∴f(x)＝1＋lnx x ，∴f′(x)＝－lnxx ，设切点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1＋lnx 0x 0，∴k ＝f′(x 0)＝－lnx 0x 20 又k ＝k OA ＝1＋lnx 0x 20，∴1＋lnx 0x 20＝－lnx 0x 20， ∴lnx 0＝－12，∴x 0＝e －12，∴k ＝e2.21．(本小题满分12分)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋b 的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求常数a ，b 的值；(2)求函数f(x)在区间[0，m]上的最小值和最大值(m>0)． [解析] (1)f′(x)＝3x 2＋2ax f′(1)＝3＋2a ＝－3，∴a ＝－3 f(1)＝a ＋b ＋1＝0，∴b ＝2.(2)f(x)＝x 3－3x 2＋2，f′(x)＝3x 2－6x令f′(x)＝0得，x 1＝0，x 2＝2，当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0， ∴f(x)增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)， f(0)＝2，令f(x)＝x 3－3x 2＋2＝2得x ＝0或x ＝3. ∴f(0)＝f(3)＝2， ①当0≤m≤2时f(x)min ＝f(m)＝m 3－3m 2＋2 f(x)max ＝f(0)＝2 ②当2<m≤3时 f(x)min ＝f(2)＝－2 f(x)max ＝f(0)＝2 ③当m>3时 f(x)min ＝f(2)＝－2 f(x)max ＝f(m)＝m 3－3m 2＋2.22．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝x 3－3ax 2－3a 2＋a(a>0)． (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若曲线y ＝f(x)上有两点A(m ，f(m))、B(n ，f(n))处的切线都与y 轴垂直，且函数y ＝f(x)在区间[m ，n]上存在零点，求实数a 的取值范围．[解析] (1)f′(x)＝3x 2－6ax ＝3x(x －2a)．令f′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝2a 列表如下：由上表可知，函数的单调递增区间为(－∞，(0,2a)．(2)由(1)可知，m ＝0，n ＝2a 且在x ＝0，x ＝2a 处分别取得极值． f(0)＝－3a 2＋a ，f(2a)＝－4a 3－3a 2＋a. 由已知得函数y ＝f(x)在区间[0,2a]上存在零点， ∴f(0)×f(2a)≤0即(－3a 2＋a)(－4a 3－3a 2＋a)≤0 ∴a 2(3a －1)(4a －1)(a ＋1)≤0 ∵a>0∴(3a －1)(4a －1)≤0，解得14≤a≤13故实数a 的取值范围是[14，13]．(理)(2011·北京学普教育中心联考版)已知函数f(x)＝x 2＋ax －lnx ，a ∈R ； (1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)令g(x)＝f(x)－x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0，e](e 是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[解析] f′(x)＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x ≤0在[1,2]上恒成立令h(x)＝2x 2＋ax －1，x ∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立∴⎩⎪⎨⎪⎧h 1＝1＋a≤0h 2＝7＋2a≤0得⎩⎪⎨⎪⎧a≤－1a≤－72，∴a≤－72.(2)假设存在实数a ，使g(x)＝f(x)－x 2，x ∈(0，e]有最小值3 g(x)＝ax －lnx ，x ∈(0，e]，g′(x)＝a －1x ＝ax －1x①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减 ∴g(x)min ＝g(e)＝ae －1＝3，∴a ＝4e(舍去)②当0<1a <e 即a>1e 时，在(0，1a )上，g′(x)<0；在(1a，e]上，g′(x)>0∴g(x)在(0，1a ]上单调递减，在(1a，e]上单调递增∴g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋lna ＝3，∴a ＝e 2满足条件③当1a ≥e 即0<a≤1e 时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减g(x)min ＝g(e)＝ae －1＝3 ∴a ＝4e >1e(舍去)综上所述，存在a ＝e 2使得当x ∈(0，e]时，g(x)有最小值3.。
文科数学导数测试题
导数练习满分100分 2014.2.23 一.选择题（每题5分）1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( )A ．Δx ＜0B ．Δx ＞0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0 2．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率3、y = ）A ．23xB ．213x C ．12- D 4、2y x =的斜率等于2的切线方程是（ ）A ．210x y -+=B ．210x y -+=或210x y --=C ．210x y --=D ．20x y -=5、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭6、函数2cos y x -=的导数是（ ）A ．2cos sin x x -B ．4sin 2cos x x -C ．22cos x -D ．22sin x -7、设()0sin f x x =，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=， ，()()1n n f x f x +'=，n ∈N ，则()2005f x =（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -8、点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,24πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦9. 下列求导运算正确的是 ( )A ．(x+211)1x x +=' B ．(log 2x)′=2ln 1x C ．(3x )′=3x log 3e D ． (x 2cosx)′=-2xsinx10．设函数()f x 在定义域内可导，且图像如右图，则下图可能是导函数'()f x 的图像的是（ ）二.填空题（每题5分）11．f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝________. 12．设x 0∈(a ，b )，y ＝f (x )在x 0处可导是y ＝f (x )在(a ，b )内可导的________条件．13、函数lg y x =在点()1,0处的切线方程是__________________________．14、函数sin cos 2cos x x y x -=在点03x π=处的导数等于______________． 三.解答题（共40分）15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2. (1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．（用导数的定义解题，不可以用导数的计算公式解题）16、求曲线y =在点18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程．17、求下列函数的导数．（每小题5分） ()113y x =；()2y =()331y x =；()4y =()5()()22332y x x =+-；()62311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；()72sin x y x=．（8）24x y x x e =+（9）ln cos xy x =（10）y=tan x。
导数的测试题及答案
导数的测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2的导数是：A. 2xB. x^2C. 2D. x答案：A2. 函数g(x)=sin(x)的导数是：A. cos(x)B. sin(x)C. xD. 1答案：A3. 函数h(x)=e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. xD. 1答案：A4. 函数k(x)=ln(x)的导数是：A. xB. 1/xC. ln(x)D. e^x答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=3x^2+2x-5的导数是______。
答案：6x+22. 函数g(x)=x^3-4x^2+7的导数是______。
答案：3x^2-8x3. 函数h(x)=1/x的导数是______。
答案：-1/x^24. 函数k(x)=sqrt(x)的导数是______。
答案：1/(2*sqrt(x))三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^4-2x^3+3x^2-4x+5的导数。
答案：4x^3-6x^2+6x-42. 求函数g(x)=x^5+3x^4-2x^3+x^2-5的导数。
答案：5x^4+12x^3-6x^2+2x3. 求函数h(x)=e^(2x)-3e^x+2的导数。
答案：2e^(2x)-3e^x4. 求函数k(x)=ln(x^2)-2ln(x)+3的导数。
答案：2/x-2/x结束语：以上是导数的测试题及答案，希望同学们通过这些题目能够更好地理解和掌握导数的概念和计算方法。
函数_三角函数_导数综合测试
高三数学阶段性测试题（文科）集合 函数 三角函数 导数部分一.选择题(每题5分，共60分)1.已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N ⋂=（ ）A ∅B {}|03x x <<C {}|13x x <<D {}|23x x << 2.已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（ ）（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅3.若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( )A.[－5，－1]B.[－2,0]C.[－6，－2]D.[1,3]4.若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上（ ）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定5.函数y ＝ln(x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为 ( ) A.(－4，－1) B.(－4,1) C.(－1,1) D.(－1,1]6、下列关系式中正确的是 （ ）1123331.52111A.2 B.3222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C.211233331.5 1.511112 D.22222--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 7.y=a x (a>1)的图象是（ ）8. 32()32f x ax x =++,若'(1)4f-=,则a 的值等于（ ）A. 319B. 316C. 313D. 3109．如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ） A B CDA ．15-B ．15C ．D 10．设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()20f =，则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为（ ）A ．()()2,02,-+∞B ．()(),20,2-∞-C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()2,00,2-11.已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，则sin(3π＋α)·tan(α－7π2)的值为 （ ）A.45B.54C.35D.5312.设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ＝ ( ) A ．－79 B ．－19 C.19 D.79二、填空题（每题4分，共16分）13. 曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为14．函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为15. 函数y ＝2x ＋1+x 的值域是________________16. 若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= 三、解答题17. 已知实数{}21,1,a a ∈-，求函数2()(1)2f x x a x =---的零点。
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导数及其应用
一、
选择题
1、
已知函数f (x ) = a x 2
＋c ,且(1)f '=2 , 则a 的值为 （ ）
B.2
C.－1
D. 0
2、函数3
y x x 的递增区间是（ ）
A ．),0(+∞
B ．)1,(-∞
C ．),(+∞-∞
D ．),1(+∞
3、若'
0()3f x =-，则000()(3)
lim
h f x h f x h h
→+--=（ ）
A ．3-
B ．6-
C ．9-
D ．12-
4、32()32f x ax x =++,若'
(1)4f -=,则a 的值等于（ ）
A ．
319 B ．316 C ．313 D ．3
10 5、函数x
x
y ln =的最大值为（ ）
A ．1-e
B ．e
C ．2
e D ．3
10
6、函数x
x y 1
42
+
=单调递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),2
1(+∞ D ．),1(+∞ 7、函数)(x f y =的图像如下右图,函数)(x f y 、
=的图像如下右图
8、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A ．1个 B. 2个 C ．3个 D ．4个
b
y
)
(x f y ?=
9、已知函数1)(2
3
--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．),3[]3,(+∞--∞
B ．]3,3[-
C ．),3()3,(+∞--∞
D ．)3,3(-
10、设)()(x g x f 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,
)()()()(x g x f x g x f '+'＞0.且()03g =-，.则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ） A. ),3()0,3(+∞⋃- B.)3,0()0,3(⋃- C.),3()3,(+∞⋃--∞ D.)3,0()3,(⋃--∞
二、 填空题
11、已知函数22813)(x x x f +-=，且4)(0/=x f ，则0x = .
12、求曲线x
x
y sin =
在点)0,(πM 处的切线方程 . 13、已知函数2
)()(c x x x f -=在2=x 处有极大值，则c = . 14、一条长为l 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少 .
15、曲线x
x
y sin =
在点)0,(πM 处的切线方程为 . 三、 解答题
16、求下列函数的导数
(1)x x y tan 2= (2)x e y x
ln =
17、已知函数x x y ln =.
(1)求这个函数的导数；
(2)求这个函数的图象在点1=x 处的切线方程.
18、已知点P 和点Q 是曲线322
--=x x y 上的两点，且点P 的横坐标是1，Q 的
横坐标是4，求：(1)割线PQ 的斜率；(2)点P 处的切线方程.
19、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/
吨)之间的关系式为：2
1242005
p x =-
,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）。
问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大最大利润是多少（利润=收入─成本）
20、设函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =过点P （1,0），且在点P 处的
切线斜率为2.
(1)求b a ,的值；
(2)证明：22)(-≤x x f .
21、已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间
(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2
()f x c <恒成立，求c 的取值范围．。