宁波市2017学年第一学期期末考试高三数学试卷及答案

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浙江省宁波市2016-2017学年高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

浙江省宁波市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm22．若0＜x＜，则xtanx＜1是xsinx＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=16的一条直径恰好经过直线x﹣2y﹣3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为（）A．x﹣2y=0 B．2x+y﹣5=0 C．2x+y﹣3=0 D．x﹣2y+4=04．如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A．B．C．D．5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知F 1，F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（）A ．e ＞B ．1＜e ＜C ．e ＞D ．1＜e ＜7．已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M （t ，0）为一个切点，则（）A ．t=2B ．t ＞2C ．t ＜2D ．t 与2的大小关系不确定8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F∥平面D 1AE ，则A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值构成的集合是（）A ．{t|}B ．{t|≤t≤2}C ．{t|2}D ．{t|2}二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．9．双曲线的焦距是，渐近线方程是．10．抛物线C ：y 2=2x 的准线方程是，经过点P （4，1）的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则= ．11．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为．12．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S ﹣ABC 中，M 是SC 的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S ﹣ABC 的体积为，其外接球的表面积为．13．将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为．14．己知点O为坐标原点，△ABC为圆C1：（x﹣1）2+（y﹣）2=1的内接正三角形，则•（）的最小值为．15．已知动圆过定点F（0，﹣1），且与直线l：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F 是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上．若过F的动直线m交椭圆于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S1为△ABC的面积，S2为△ODE的面积，令Z=S1S2，Z的最小值是．三、解答题（共39分）16．已知命题P：x1，x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根，且不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．17．圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：﹣=1过点P且离心率为．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B，两点，△AOB 的面积为8，直线l与抛物线C相切于Q点，P是l上一点（不与Q重合）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若以线段PQ为直径的圆恰好经过F，求|PF|的最小值．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2且交椭圆C 于A ，B两点（如图），△ABF 1的周长为，原点O 到直线l 的最大距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过F 2作弦AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．浙江省宁波市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．2．若0＜x＜，则xtanx＜1是xsinx＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵0＜x＜，分别画出y=xtanx（红色曲线），和y=xsinx（绿色曲线），如图所示，由图象可知，∴tanx＞sinx＞0，∴xtanx＜1⇒xsinx＜1，反之不成立，因此xtanx＜1是xsinx＜1的充分不必要条件．故选：A．3．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=16的一条直径恰好经过直线x﹣2y﹣3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为（）A．x﹣2y=0 B．2x+y﹣5=0 C．2x+y﹣3=0 D．x﹣2y+4=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程确定圆心坐标，根据直径和直线的位置关系进行求解即可．【解答】解：由圆（x﹣2）2+（y+1）2=16，得圆心坐标为（2，﹣1），∵圆的一条直径过直线x﹣2y﹣3=0被圆截得的弦的中点，∴直径和直线x﹣2y﹣3=0垂直，则直径对应直线的斜率为﹣2，则直径所在的直线方程为y+1=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣3=0，故选：C．4．如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图的画图要求“长对正，高平齐，宽相等”可以找出左视图的宽、高与俯视图的宽、主视图的高的相等关系，进而求出答案．【解答】解：设底面正△ABC的边长为a，侧面VAC的底边AC上的高为h，可知底面正△ABC的高为，∵其主视图为△VAC，∴；∵左视图的高与主视图的高相等，∴左视图的高是h，又左视图的宽是底面△ABC的边AC上的高，===．∴S侧视图故选B ．5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D ．6．已知F 1，F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（）A ．e ＞B ．1＜e ＜C ．e ＞D ．1＜e ＜【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用对称性，可得MF 1=F 1F 2=2c ，设直线PF 1：y=（x+c ），代入双曲线方程，得到x 的二次方程，方程有两个异号实数根，则有3b 2﹣a 2＞0，再由a ，b ，c 的关系，及离心率公式，即可得到范围．【解答】解：设点F 2（c ，0），由于F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，不妨设M 在正半轴上，由对称性可得，MF 1=F 1F 2=2c ，则MO==c ，∠MF 1F 2=60°，∠PF 1F 2=30°，设直线PF 1：y=（x+c ），代入双曲线方程，可得，（3b 2﹣a 2）x 2﹣2ca 2x ﹣a 2c 2﹣3a 2b 2=0，则方程有两个异号实数根，则有3b 2﹣a 2＞0，即有3b 2=3c 2﹣3a 2＞a 2，即c ＞a ，则有e=＞．故选A ．7．已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M （t ，0）为一个切点，则（）A ．t=2B ．t ＞2C ．t ＜2D ．t 与2的大小关系不确定【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题意知，圆C 是△AF 1F 2的旁切圆，点M 是圆C 与x 轴的切点，设圆C 与直线F 1A 的延长线、AF 2分别相切于点P ，Q ，则由切线的性质可知：AP=AQ ，F 2Q=F 2M ，F 1P=F 1M ，由此能求出t 的值．【解答】解：由题意知，圆C 是△AF 1F 2的旁切圆，点M 是圆C 与x 轴的切点，设圆C 与直线F 1A 的延长线、AF 2分别相切于点P ，Q ，则由切线的性质可知：AP=AQ ，F 2Q=F 2M ，F 1P=F 1M ，∴MF 2=QF 2=（AF 1+AF 2）﹣（AF 1+AQ ）=2a ﹣AF 1﹣AP=2a ﹣F 1P=2a ﹣F 1M∴MF 1+MF 2=2a ，∴t=a=2．故选A ．8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F∥平面D 1AE ，则A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值构成的集合是（）A ．{t|}B ．{t|≤t≤2}C ．{t|2}D ．{t|2}【考点】直线与平面所成的角．【分析】设平面AD 1E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点．分别取B 1B 、B 1C 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，可证出平面A 1MN∥平面D 1AE ，从而得到A 1F 是平面A 1MN 内的直线．由此将点F 在线段MN 上运动并加以观察，即可得到A 1F 与平面BCC 1B 1所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切取值范围．【解答】解：设平面AD 1E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点分别取B 1B 、B 1C 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，则∵A 1M∥D 1E ，A 1M ⊄平面D 1AE ，D 1E ⊂平面D 1AE ，∴A 1M∥平面D 1AE ．同理可得MN∥平面D 1AE ，∵A 1M 、MN 是平面A 1MN 内的相交直线∴平面A 1MN∥平面D 1AE ，由此结合A 1F∥平面D 1AE ，可得直线A 1F ⊂平面A 1MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．设直线A 1F 与平面BCC 1B 1所成角为θ运动点F 并加以观察，可得当F 与M （或N ）重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角等于∠A 1MB 1，此时所成角θ达到最小值，满足tan θ==2；当F 与MN 中点重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角达到最大值，满足tan θ==2∴A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切取值范围为[2，2]故选：D二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．9．双曲线的焦距是 2 ，渐近线方程是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程，求出双曲线的几何量，然后求解即可．【解答】解：双曲线可得a=1，b=，双曲线的焦距是2c=2=2．双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．10．抛物线C：y2=2x的准线方程是x=﹣，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则= 9 ．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】根据抛物线的标准方程求得准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义把|AF|+|BF|转化为|AM|+|BN|，再转化为2|PK|，从而得出结论．【解答】解：抛物线C：y2=2x的准线方程是x=﹣，它的焦点F（，0）．过A作AM⊥直线l，BN⊥直线l，PK⊥直线l，M、N、K分别为垂足，则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|=|AF|+|BF|．再根据P为线段AB的中点，（|AM|+|BN|）=|PK|=，∴|AF|+|BF|=9，故答案为：．11．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分．【解答】解：由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分，其主观图如下：∴多面体的体积为1﹣××1×1=．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线．因此其球的表面积是4π•=3π．故答案为：，3π．12．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC的体积为，其外接球的表面积为12π．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【分析】设棱锥的高为SO，则由正三角形中心的性质可得AC⊥OB，AC⊥SO，于是AC⊥平面SBO，得SB⊥AC，结合SB⊥AM可证SB⊥平面SAC，同理得出SA，SB，SC两两垂直，从而求得侧棱长，计算出体积．外接球的球心N在直线SO上，设SN=BN=r，则ON=|SO﹣r|，利用勾股定理列方程解出r．【解答】解：设O为S在底面ABC的投影，则O为等边三角形ABC的中心，∵SO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥SO，又BO⊥AC，∴AC⊥平面SBO，∵SB⊂平面SBO，∴SB⊥AC，又AM⊥SB，AM⊂平面SAC，AC⊂平面SAC，AM∩AC=A，∴SB⊥平面SAC，同理可证SC⊥平面SAB．∴SA，SB，SC两两垂直．∵△SOA≌△SOB≌△SOC，∴SA=SB=SC，∵AB=2，∴SA=SB=SC=2．∴三棱锥的体积V==．设外接球球心为N，则N在SO上．∵BO==．∴SO==，设外接球半径为r，则NO=SO﹣r=﹣r，NB=r，∵OB2+ON2=NB2，∴ +（）2=r2，解得r=．∴外接球的表面积S=4π×3=12π．故答案为：，12π．13．将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为．【考点】球内接多面体．【分析】若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，可先求出该球的半径，若将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a=2r ，进而可得答案．【解答】解：若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，设该小球的半径为r ，则r+1+=，解得：r=，若将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则： a=2r ，解得：a=，故答案为：．14．己知点O 为坐标原点，△ABC 为圆C 1：（x ﹣1）2+（y ﹣）2=1的内接正三角形，则•（）的最小值为 5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求得圆的圆心和半径，由三角形的中心可得++=，则•（）=（+）•（2﹣），运用向量的数量积的性质和定义，化简可得7﹣2cos∠OC 1A ，再由向量共线可得最小值．【解答】解：圆C 1：（x ﹣1）2+（y ﹣）2=1的圆心为C 1（1，），半径为1，由C 1为正三角形ABC 的中心，可得++=，则•（）=（+）•（+++）=（+）•（2﹣）=22﹣2+•=2×（1+3）﹣1﹣2cos∠OC 1A=7﹣2cos∠OC 1A ，当，同向共线时，cos∠OC 1A 取得最大值1，即有•（）的最小值为7﹣2=5．故答案为：5．15．已知动圆过定点F （0，﹣1），且与直线l ：y=1相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F 是其一个焦点，又点A （0，2）在椭圆N 上．若过F 的动直线m 交椭圆于B ，C 点，交轨迹M 于D ，E 两点，设S 1为△ABC 的面积，S 2为△ODE 的面积，令Z=S 1S 2，Z 的最小值是 9 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由抛物线的定义可得动圆圆心Q 的轨迹的标准方程，由题意可得c=1，a=2，求得b ，进而得到椭圆方程；显然直线m 的斜率存在，不妨设直线m 的直线方程为：y=kx ﹣1，分别代入抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得三角形的面积，再由不等式的性质，即可得到所求最小值．【解答】解：依题意，由抛物线的定义易得动圆圆心Q 的轨迹M 的标准方程为：x 2=﹣4y ，依题意可设椭圆N 的标准方程为+=1，显然有c=1，a=2，b==，可得椭圆N 的标准方程为+=1；显然直线m 的斜率存在，不妨设直线m 的直线方程为：y=kx ﹣1①联立椭圆N 的标准方程+=1，有（3k 2+4）x 2﹣6kx ﹣9=0，x 1+x 2=，x 1x 2=﹣，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）则有|BC|=|x 1﹣x 2|=•=，又A （0，2）到直线m 的距离d 1=，∴S 1=|BC|d 1=，再将①式联立抛物线方程x 2=﹣4y 有x 2+4kx ﹣4=0，同理易得|DE|=4（1+k 2），d 2=，∴S 2=2，∴Z=S 1S 2==12（1﹣）≥12（1﹣）=9，∴当k=0时，Z min =9．故答案为：9．三、解答题（共39分）16．已知命题P ：x 1，x 2是方程x 2﹣mx ﹣1=0的两个实根，且不等式a 2+4a ﹣3≤|x 1﹣x 2|对任意m ∈R 恒成立；命题q ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解，若命题p∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】化简命题p ，q ；由p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题知p 与q 有且仅有一个为真．从而得出a 的取值范围．【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2﹣mx ﹣1=0的两个实根， ∴x 1+x 2=m ，x 1•x 2=﹣1，|x 1﹣x 2|=，∴当m ∈R 时，|x 1﹣x 2|min =2．由不等式a 2+4a ﹣3≤|x 1﹣x 2|对任意m ∈R 恒成立，得：a 2+4a ﹣5≤0， ∴﹣5≤a≤1；∴命题p 为真命题时﹣5≤a≤1．命题p 为假命题时a ＞1或a ＜﹣5；命题q ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解， ①当a ＞0时，显然有解， ②当a=0时，2x ﹣1＞0有解，③当a ＜0时，∵ax 2+2x ﹣1＞0有解， ∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a ＜0；从而命题p ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解时a ＞﹣1∴命题q 是真命题时a ＞﹣1，命题q 是假命题时a≤﹣1． ∵p∨q 真，p ∧q 假，∴p 与q 有且仅有一个为真．（1）当命题p 是真命题且命题q 是假命题时﹣5≤a≤﹣1；（2）当命题p 是假命题且命题q 是真命题时a ＞1；综上所述：a 的取值范围为：﹣5≤a≤﹣1或a ＞1．17．圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线C 1：﹣=1过点P 且离心率为．（Ⅰ）求C 1的方程；（Ⅱ）若椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．【分析】（Ⅰ）设切点P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P 的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为（b 1＞0）．把P 的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l 的方程为x=my+，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设切点P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），则切线的斜率为，可得切线的方程为，化为x 0x+y 0y=4．令x=0，可得；令y=0，可得．∴切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积S==．∵4=，当且仅当时取等号．∴．此时P．由题意可得，，解得a 2=1，b 2=2．故双曲线C 1的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C 1的焦点（±，0），即为椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为（b 1＞0）．把P 代入可得，解得=3，因此椭圆C 2的方程为．由题意可设直线l 的方程为x=my+，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，化为，∴，．∴x 1+x 2==，x 1x 2==．，，∵，∴，∴+，∴，解得m=或m=，因此直线l 的方程为：或．18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角B ﹣DE ﹣C 的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB⊥平面DEF ？证明你的结论．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面BDE．（II）由已知求出平面BDE的一个法向量和平面DEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．【解答】（I）证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，取y=﹣1，得．∵=2﹣2=0，∴，又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE，（II）解：由（Ⅰ）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，又==（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，∴cosθ=cos＜，＞=．故二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．（Ⅲ）解：∵ =（2，2，﹣2），=（0，1，1），∴=0，∴PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），则=（2λ，2λ，﹣2λ），==（2λ，2λ，2﹣2λ），由=0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴∈（0，1），此时PF=，即在棱PB 上存在点F ，PF=，使得PB⊥平面DEF ．19．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线交抛物线于A ，B ，两点，△AOB 的面积为8，直线l 与抛物线C 相切于Q 点，P 是l 上一点（不与Q 重合）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若以线段PQ 为直径的圆恰好经过F ，求|PF|的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）F 的坐标为，根据三角形的面积即可求出p 的值，问题得以解决；（Ⅱ）设Q （x 0，y 0），P （x 1，y 1）设直线为l ：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），根据韦达定理求出和向量的数量积的运算，即可求出x 1的值，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：F 的坐标为，|AB|=2p ，∴，∴p=4，∴抛物线方程为y 2=8x ；（Ⅱ）设Q （x 0，y 0），P （x 1，y 1）设直线为l ：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），联立方程得利用△=0化简可得：，又∵，可得∴直线l ：y 0y=4（x+x 0），∵，，∴，∵y 1y 0=4（x 0+x 1），∴x 1x 0+2（x 0+x 1）+4=（x 1+2）（x 0+2）=0， ∵x 0＞0， ∴x 1+2=0， ∴x 1=﹣2，即点P 是抛物线准线x=﹣2上的点 ∴PF 的最小值是4．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2且交椭圆C 于A ，B两点（如图），△ABF 1的周长为，原点O 到直线l 的最大距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过F 2作弦AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得a ，c 的值，由隐含条件求得b 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）分类求出直线AB 的斜率不存在、斜率为0时的四边形AMBN 面积，在设出斜率存在且不为0时的直线方程，联立直线方程和椭圆方程利用弦长公式求得|AB|、|MN|的长度，代入四边形面积公式，换元后利用配方法求得最值，同时得到边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，c=1，∴，又∵a2=b2+c2，∴b=1，∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，有，，∴；当直线AB的斜率为0时，，∴；当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线MN的方程为，联立得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴|AB|===．同理|MN|=，∴|AB|•|MN|=，令t=k2+1（t≥1），，当．即k2+1=2，即k=±1时，．此时设直线AB的方程为y=±（x﹣1）．。

浙江省宁波市2018届高三上学期期末考试数学试题(解析版)

宁波市2017学年第一学期期末考试高三数学试卷第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|}M x x x =≤，{|lg 0}N x x ==，则M N ⋃=（） A. [0,1] B. (0,1] C. [0,1) D. {0,1}【答案】A 【解析】{}2 |M x x x =≤={}|01x x =≤≤，{}{}|lg 01N x x ===，{}[]|010,1M N x x ∴⋃=≤≤=，故选A.2. 已知a b >，则条件“0c ≥”是条件“ac bc >”的（）条件. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】当210a b c =>=⎧⎨=⎩时，ac bc >不成立，所以充分性不成立，当ac bc a b >⎧⎨>⎩时，0c >成立，0c ≥也成立，所以必要性成立，所以“0c ≥”是条件“ac bc >”的必要不充分条件，故选B.【方法点睛】本题通过不等式的基本性质主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒，对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 3. 若函数22()(21)1f x ax a a x =+--+为偶函数，则实数a 的值为（） A. 1 B. 12-C. 1或12-D. 0【答案】C 【解析】0a =时，()1f x x =-+不是偶函数，0a ≠时，二次函数()()22211f x ax a a x =+--+的对称轴为2212a a x a --=，若()f x 为偶函数，则22102a a a ---=，得1a =或12a =-，故选C.4. 已知焦点在y 轴上的椭圆2214x ym+=的离心率为12，则实数m 等于（）A. 3B. 165C. 5D. 163【答案】D 【解析】2214x y m+=是焦点在y 轴上的椭圆，,2,4a m b c m ∴===-，离心率412c m e a m-===，得163m =，故选D.5. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B 【解析】【详解】【分析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：22222111142222542222r r r r r r r r r πππππ⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+ ，又∵该几何体的表面积为16+20π， ∴22541620r r ππ+=+ ，解得r=2，本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． 6. 已知f （x ）214x =+cosx ，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】求出导函数，利用导函数的解析式，判断函数的奇偶性，再应用特殊点的函数值来判断函数的图象．【详解】解：21()cos 4f x x x =+，()'1sin 2f x x x ∴=-，()'f x 是奇函数，排除B ，D ．当x 4π=时，2()82f x π'=-<0，排除C ．故选：A【点睛】本题考查了函数求导，考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用，属于中档题.7. 一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和()n n N *∈个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若()1D X =，则()E X =（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】由题意，()~4,X B P ，()()1411,2D X P P P =-=∴=，()14422E X P ==⨯=，故选B.8. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 116【答案】A 【解析】【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题. 9.若函数1()f x x=-在{|14,}x x x R ≤≤∈上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（）A. 74B. 2C.94D.114【答案】C 【解析】()()0,10,0f x f m ≥=∴=，又()()114f x x x≤≤≤，且0x <时，等号成立，故只需求()()114g x x x =≤≤的最大值，由于()3222'2x g x x -=，故()(){}9max 1,44M g g ==，故选C. 10. 已知向量OA ，OB ，满足1OA =，2OB =，3AOB π∠=，M 为OAB ∆内一点（包括边界），OM xOA yOB =+，若1OM BA ⋅≤-，则以下结论一定成立的是（）A. 2223x y ≤+≤B. 12x y ≤C. 13x y -≤-D. 213x y ≤+≤【答案】B 【解析】以O 为原点，以OA 所在直线x 轴建立坐标系，设()(1,0,A B ，则有(),OM x y =+(0,BA =，31OM BA y ∴⋅=-≤-，得13y ≥，又点M 在OAB ∆内，,x y ∴满足的关系式为0131x y x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩()*，取10,3x y ==不满足，222,133x y x y ≤+≤+≤，排除,A D 选项，取0,1x y ==，不满足13x y -≤-，排除C 选项，又121,1,,3332xy x y x y ≥+≤∴≤∴≥≥，B ∴正确，故选B.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积以及平面向量基本定理、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.第Ⅱ卷（非选择部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 已知4510a b ==，则12a b+=__________．【答案】2 【解析】4510a b ==，4511log 10,lg 4,log 10,lg5a b a b∴====，12lg 42lg5lg 4lg 25lg1002a b∴+=+=+==，故答案为2. 12. 设i 为虚数单位，则复数23ii+的虚部为_______,模为______．【答案】【解析】()()2i 323i 32i i i i z ⨯-++===-⨯-，z ∴的虚部为2,z -1）2-；（213. 对给定的正整数(6)≥n n ，定义2012()n n f x a a x a x a x =++++，其中01a =，12(,)i i a a i N i n *-=∈≤，则6a =__________；当2017n =时，(2)f =__________．【答案】 (1). 64 (2). 2018413-【解析】011,2,2ni i n a a a a -==∴=，66264,2017a n ===时，()220172144 (4)f =++++201820181441143--==-，故答案为（1）64；（2）2018413-. 14. 在锐角ABC ∆中，已知2A B =，则角B 的取值范围是__________，又若,a b 分别为角,A B 的对边，则ab的取值范围是__________．【答案】 (1). (,)64ππ(2).【解析】锐角ABC∆中，2A B=，()3C A B Bππ∴=-+=-，由0222032BBBππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，可得,cos6422B Bππ<<<<，2sin sin sin22cos2sin sin sina R A A BBb R B B B====∈，故答案（1）,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）.15. 已知双曲线C的渐近线方程是y=±，右焦点(3,0)F，则双曲线C的方程为_________，又若点(0,6)N，M是双曲线C的左支上一点，则FMN∆周长的最小值为__________．【答案】 (1).2218y x-=(2). 2【解析】双曲线C的渐近线方程是y=±，右焦点()3,0F，22213ba acbc a b⎧=⎪=⎧⎪⎪∴=⇒∴⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎩双曲线C方程为2218yx-=，设右焦点()'3,0F-，由双曲线定义可得2'2'MF a MF MF=+=+，FMN∴∆的周长为'2'2FN MN MF FN MN MF a FN F N a++=+++≥++22=+=+，故答案为（1）2218yx-=；（2）2.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用双曲线的定义结合三角形的性质求三角形周长最小值的.16. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有__________种（请用数字作答）．【答案】52 【解析】因为246411622143213222=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，对于上述四种情形掷这四个骰子，分别有212414434412,12,24,4A C C A C =⨯===种情形，综上共有121224452+++=种情形，故答案为52.17. 如图，在平面四边形ABCD 中，1AB BC ==，2AD CD ==，90DAB DCB ∠=∠=︒，点P 为AD 中点，,M N 分别在线段,BD BC 上，则22PM MN +的最小值为__________．【答案】1 【解析】设(03DM t t =≤≤，则2212231222363PM t t t ⎛⎫=+-⨯⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，另外MN BC ⊥时，23231323633t t MN y PM t ⎛⎫--=∴=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭()213621163tt =-++，去根号得()22223110323t yt y +--=，()2248110332y y ⎡⎤∆=---≥⎢⎥⎣⎦，得23410,1y y y -+≥∴≥或13y ≤，又61,163PM y ≥>∴≥，当32t =时取等号，所以所求最小值为1. 故答案为1.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知函数2()2sin cos 12sin f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值与最小值. 【答案】(Ⅰ)π；(Ⅱ)最大值2，最小值为31+-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式化简()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据周期公式可得结果；（Ⅱ由34x ππ-≤≤，可得5321244x πππ-≤+≤，结合正弦函数的图象可得8x π=时，()f x 取得最大值2，3x π=-时，()f x 的最小值为31+-.试题解析：（Ⅰ）()sin2cos22sin 24f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为π. （Ⅱ）因为34x ππ-≤≤，所以5321244x πππ-≤+≤.当242x ππ+=，即8x π=时，()f x 2；当52412x ππ+=-，即3x π=-时， ()2231sin cos 3332f x f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 即()f x 的最小值为312-.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PA 中点，2AB a =，BC a =，2PC PD a ==.（Ⅰ）求证：//PC 平面BDE ；（Ⅱ）求直线AC 与平面PAD 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)105. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为O ，连结EO ，则O 为AC 的中点，由E 为PA 中点，利用三角形中位线定理可得//EO PC ，从而根据线面平行的判定定理可得//PC 平面BDE ；（Ⅱ）由勾股定理可得PC PD ⊥，根据线面垂直的性质定理得AD ⊥平面PCD ，故AD PC ⊥，再根据线面垂直的判定定理可得PC ⊥平面PAD ，故PAC ∠就是直线AC 与平面PAD 所成的角，在直角PAC ∆中可得210sin 5PC a PAC AC a∠===. 试题解析：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为O ，连结EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 的中点. 在PAC ∆中，由已知E 为PA 中点，所以//EO PC . 又EO ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ，所以//PC 平面BED .（Ⅱ）在PCD ∆中，2DC a =，2PC PD a ==，所以222DC PD PC =+，即PC PD ⊥.因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，AD CD ⊥，所以AD ⊥平面PCD ，故AD PC ⊥.又因为AD PD D ⋂=，,AD PD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，故PAC ∠就是直线AC 与平面PAD 所成的角.在直角PAC ∆中AC =，PC =，所以sin PC PAC AC ∠===.即直线AC 与平面PAD . 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20. 已知函数()()1xf x x e =-.（Ⅰ）若方程()f x a =只有一解，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()()ln g x m x x =-，若对任意正实数12,x x ， ()()12f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) {}[)10,-⋃+∞；(Ⅱ) [)1,+∞. 【解析】【分析】（Ⅰ）利用导数研究函数()f x 的单调性，可得函数()f x 在(),0-∞上单调递减，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，根据单调性可得1x >时， ()0f x >， 1x <时， ()0f x <,且()10f =，结合函数图象可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知()11f x >-，对任意正实数12,x x ， ()()12f x g x ≥恒成立，等价于()()221(0)*g x x ≤->，先排除0m ≤，当0m >时，利用导数可得()()11max g x g m ==-≤-，所以1m ≥.【详解】（Ⅰ）由已知()()'1x x x f x e x e xe =+-=.当0x <时， ()'0f x <，函数()f x 在(),0-∞上单调递减；当0x >时， ()'0f x >，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增. 故()()min 01f x f ==-.又当0x <时， ()()10xf x x e =-<. 且()()12x xf x x e xe =-> 2222x x x e x x-=>=（对足够小的x ）. 又当1x >时， ()10f x x >->. 即所求a 的取值范围是{}[)10,-⋃+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()11f x >-.所以对任意正实数12,x x ， ()()12f x g x ≥恒成立，等价于()()221(0)*g x x ≤->. ∵()1'xg x mx-=. （1）当0m ≤时， ()10g m =-≥，与()*式矛盾，故不合题意. （2）当0m >时，当01x <<时， ()'0g x >，当1x >时， ()'0g x <，所以()g x 在()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减.()()11max g x g m ==-≤-，所以1m ≥. 综合（1）（2）知实数m 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】本题考查方程有解的条件，注意运用函数的图象，考查不等式恒成立问题解法，注意运用函数的最值，考查运算能力，属于中档题．21. 已知抛物线C 的方程为24x y =，F 为其焦点，过不在抛物线上的一点P 作此抛物线的切线,PA PB ，,A B 为切点.且PA PB ⊥.（Ⅰ）求证：直线AB 过定点；（Ⅱ）直线PF 与曲线C 的一个交点为R ，求AR AB ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)274. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx b =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx bx y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx b --=，根据韦达定理，结合导数的结合意义可得这两条切线的斜率分别为112x k =，222x k =.由这两切线垂直得12124144x x bk k -===-，从而可得结论；（Ⅱ）设()00,P x y ，则()012122x x x k =+=，1201011124x x y x x y =-==-，()()11212=+⋅++=y A y y R AB 2111133y y y +++，()2133f x x x x=+++，(0)x >，利用导数求出()f x 的最小值即可.试题解析：（Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx b =+，设()11,A x y ，()22,B x y 以,A B 为切点的切线方程分别为1122x x y y =+，2222x x y y =+.由24y kx b x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx b --=. 则124x x k +=，124x x b =-. 这两条切线的斜率分别为112x k =，222x k =. 由这两切线垂直得12124144x x bk k -===-，得1b =. 所以直线AB 恒过定点()0,1. （Ⅱ）设()00,P x y ，则()012122x x x k =+=，1201011124x x y x x y =-==-，当0k =时，则00x =，可得AB PF ⊥，当0k ≠时，则00x ≠，02AB x k =，02PF k x -=，同样可得AB PF ⊥.所以()()11212AR AB AB AF y y y ⋅=⋅=+++.由221212116x x y y ==.所以()()11212=+⋅++=y A y y R AB 2111133y y y +++. 令()2133f x x x x=+++，(0)x >.()()()2221211'23x x f x x x x +-=+-=.所以()f x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上为减函数，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数.所以()min12724⎛⎫== ⎪⎭⋅⎝AR ABf .（或()2133f x x x x =+++= ()33311127224x x x x x ⎛⎛⎫ ++ ⎪+⎝⎭⎝⎭=≥=当12x =时取等号.）【方法点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题. 属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.22. 已知数列{}n a 满足2+1,2222,nn n na n a a a n ⎧⎪=-⎨⎪-⎩为奇数为偶数，1a a =.（Ⅰ）若1a >，求证：对任意正整数(1)n n >均有2n a ≥；（Ⅱ）若3a =，求证：12324143n n a a a a n +<++++<+对任意n *∈N 恒成立.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）当2a >时，根据()22g x x =-和()222x f x x =-在[)2,+∞均为增函数，可得()()122n n a g a g +=≥=，当12a <<时，由()222x f x x =-在(]1,2上为减函数，得22a >.当2a =时，可得2n a =恒成立，从而可得结论；（Ⅱ）由第（Ⅰ）题知2124(2,k k a a k k N -+≥≥∈，令212k k a b --=，则()211121kk k b b b ++++=+，可证明{}k b 为递减数列，111k b <+.从而()2121133144212k k k k k a a b b b -⎡⎤+=+++<+⎢⎥+⎣⎦.又由11111111112k k k k k b b b b b b +==-≤-=+++可得1122112n b b b b +++<=-.所以122n a a a +++<()1234342n b b b n n ++++<+.试题解析：（Ⅰ）当2a >时，根据()22g x x =-和()222x f x x =-在[)2,+∞均为增函数.从而当2n a ≥时，必有()()122n n a f a f +=≥=或()()122n n a g a g +=≥=.当12a <<时，由()222x f x x =-在(]1,2上为减函数，得22a >.当2a =时，232a a ==，从而2n a =恒成立.综上所述，2n a ≥对所有满足1n >的正整数n 均成立. （Ⅱ）一方面，由第（Ⅰ）题知()21242,k k a a k k N -+≥≥∈. 又129354a a +=+>. 所以12241n a a a n +++>+.另一方面，221212212122k k k k k a a a a a ----+=+- ()22121213221k k k a a a ----=-，且221212122122221k k k kk a a a a a --+--+=-=-，令212k k a b --=，则()211121k k k b b b ++++=+，即211k k k b b b +=+，且11b =，212b =.∴()22121212213221k k k k k a a a a a -----+=- ()()23108113142121k k k k k b b b b b ⎡⎤++==+++⎢⎥++⎣⎦. 由()()()()1111111k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b ---+--++-=++，且210b b -<知{}k b 为递减数列，且0k b >.所以111k b <+.从而()2121133144212k k k k k a a b b b -⎡⎤+=+++<+⎢⎥+⎣⎦. 又由11111111112k k k k k b b b b b b +==-≤-=+++. 所以1122112n b b b b +++<=-.所以122n a a a +++<()1234342n b b b n n ++++<+.。

浙江省宁波市2016-2017学年高三一模数学试题Word版含答案

浙江省宁波市2016-2017学年⾼三⼀模数学试题Word版含答案浙江省宁波市2016-2017学年⾼三⼀模数学试题⼀、选择题：本⼤题共10个⼩题,每⼩题4分,共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.若复数z 满⾜：1(12)0z i ++=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是（）A ．12- B ．12 C ．12i - D ．12i2.已知集合{|||3}M x x =≥，2{|16}N y Z y =∈≤，那么R C M N =（）A ．[3,3]-B ．(3,3)-C ．{3,2,1,0,1,2,3}---D ．{|33,}x x x Z -<<∈3.“sin sin αβ>”是“αβ>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4.已知平⾯α和共⾯的两条不同的直线,m n ，下列命题是真命题的是（）A ．若,m n 与α所成的⾓相等，则//m nB ．若//m α，//n α，则//m nC. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α?，//n α，则//m n5.函数cos ()([,])x f x xe x ππ=∈-的图像⼤致是（）A ．B ． C. D ．6.已知,x y 满⾜条件1102222x y x y x y ?-+≥??+≤??-≤??，若z mx y =+取得最⼤值的最优解不唯⼀，则实数m 的值为（）A ．1或-2B ．1或12- C. -1或-2 D ．-2或12- 7.袋⼦⾥有⼤⼩、形状相同的红球m 个，⿊球n 个（2m n >>），从中任取1个球是红球的概率记为1p ，若将红球、⿊球个数各增加1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为2p ；若将红球、⿊球个数各减少1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为3p ，则（）A ．123p p p >>B ．132p p p >> C. 321p p p >> D ．312p p p >>8.设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点上的任意⼀点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为中⼼，2212||||||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离⼼率为（）A ．12B D 9.如图，半径为1的扇形AOB 中，23AOB π∠=，P 是弧AB 上的⼀点，且满⾜OP OB ⊥，,M N 分别是线段,OA OB 上的动点，则PM PN ?的最⼤值为（）A ．2B ．2C. 1 D 10.已知,a b 是实数，关于x 的⽅程2||1x ax b x +=-有4个不同的实数根，则||a b +的取值范围为（）A ．(2,)+∞B ．(2,2)- C. (2,6) D ．(,2)-∞⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知{}n a 是等⽐数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，则35a a += ，4a 的最⼤值为．12.某⼏何体的三视图如图所⽰（单位：cm ），该⼏何体的表⾯积为 2cm ，体积为 3cm .13.已知1sin 3α=，0απ<<，则tan α= ，sin cos 22αα+= ． 14.若实数1a b >>且5log log 2a b b a +=，则log a b = ，2b a = ． 15.教育装备中⼼新到7台同型号的电脑，共有5所学校提出申请，鉴于甲、⼄两校原来电脑较少，决定给这两校每家⾄少2台，其余学校协商确定，允许有的学校1台都没有，则不同的分配⽅案有种（⽤数字作答）．16.已知曲线:C y =(1,0)A ，若曲线C 上存在相异两点,B C ，其到直线:10l x +=的距离分别为||AB 和||AC ，则||||AB AC += ．17.已知等腰Rt ABC ?中，2AB AC ==，,D E 分别为,AB AC 的中点，沿DE 将ABC ?折成直⼆⾯⾓（如图），则四棱锥A DECB -的外接球的表⾯积为．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）18. 在ABC ?中，⾓,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos()cos )A B C A B C -+=-.（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若2b =，求ABC ?⾯积的最⼤值.19. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底⾯是菱形，3BAD π∠=，2AB PD ==，PB PC ==（1）求证：平⾯PBC ⊥平⾯ABCD ；（2）求直线PC 与平⾯PAB 所成⾓的正弦值.20. 已知函数()ln a f x x x x=+，32()3g x x x =--，a R ∈. （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在1x =处的切线⽅程；（2）若对任意的121,[,2]2x x ∈，都有12()()f x g x ≥成⽴，求实数a 的取值范围.21. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离⼼率12e =，原点O 到点(,0)A a -、(0,)B b 所在直线的距离为7. （1）求此椭圆C 的⽅程；（2）如图，设直线:l x my =与椭圆C 交于,P Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为'P ，直线'P Q 与x 轴是否交于⼀定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.22.已知数列{}n a 满⾜112a =，21(1)n n n a a a n n +=-+，数列1{}n n a a +的前n 项和为n S ，证明：当*n N ∈时，（1）10n n a a +<<；（2）31n n a n ≤-；（3）12n S n >-.浙江省宁波市2016-2017学年⾼三⼀模试题数学答案⼀、选择题1-5: BDDDB 6-10: ADCCA⼆、填空题11. 5，5212. 883+13. 4± 14. 1,12 15. 35 16.14 17. 10π三、解答题18.（1）在ABC ?中，A B C π++=，则cos()cos()))A B A B A B A B --+=-++，化简得：2sin sin cos A B A B =由于0A π<<，sin 0A ≠，则tan B =3B π=. （2）由余弦定理，224c a ca =+-2ac ca ac ≥-=，从⽽1sin 23S ca π=≤ 当且仅当a c =时取S 到最⼤值.19.（1）证明：如图，取BC 中点M ，连接PM 、DM 、DB ，则BCD ?和PBC ?分别是等边三⾓形、等腰直⾓三⾓形.故PM BC ⊥，DM BC ⊥，且1PM =，DM =所以222DM PM PD +=，故PM DM ⊥，所以PM ⊥平⾯ABCD .⼜PM ?平⾯PBC ，从⽽平⾯PBC ⊥平⾯ABCD .（2）如图，建⽴空间直⾓坐标系M xyz -.(0,0,1)P ，2,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，(1,0)AB =-，(0,1,1)PB =-，(0,1,1)PC =--，设平⾯ABP 的法向量为(,,)n x y z =，则00y y z ?-=??-+=??，令1x =-，解得y =z =(1,3,n =-，记直线PC 与平⾯PAB 所成⾓的平⾯⾓为θ，则||2sin 7||||14n PC n PC θ?===即直线PC 与平⾯PAB 所成⾓的正弦值为7. 20.（1）当1a =-时，1()ln f x x x x =-，(1)1f =-，'21()ln 1f x x x=++， '(1)2f =，从⽽曲线()y f x =在1x =处的切线为2(1)1y x =--，即23y x =-.（2）对任意的121,[,2]2x x ∈，都有12()()f x g x ≥成⽴，从⽽min max ()()f x g x ≥对32()3g x x x =--，'2()32(32)g x x x x x =-=-，从⽽()y g x =在12[,]23递减，2[,2]3递增，max 1()max{(),(2)}12g x g g ==. ⼜(1)f a =，则1a ≥.下⾯证明当1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成⽴. 1()ln ln a f x x x x x x x =+≥+，即证1ln 1x x x+≥. 令1()ln h x x x x =+，则'21()ln 1h x x x=+-，'(1)0h =. 当1[,1]2x ∈时，'()0h x ≤，当[1,2]x ∈时，'()0h x ≥，从⽽()y h x =在1[,1]2x ∈递减，[1,2]x ∈递增，min ()(1)1h x h ==，从⽽1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成⽴.21.（1）由于12c e a ==，12c a =，b a =，直线AB 的⽅程为22y x a =+，原点O 到直线AB的距离为||7a d ===，解得：2a =，b =22143x y +=. （2）联⽴223412x y x my ?+=??=+??，则22(34)30m y ++-=. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，'11(,)P x y -，12234y y m -+=+，122334y y m -=+. 直线'P Q 的⽅程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则12211212x y x y x y y +==+12==即直线'P Q 与x轴交于定点. 22.证明：（1）由于210(1)n n n a a a n n +-=-≤+，则1n n a a +≤. 若1n n a a +=，则0n a =，与112a =⽭盾，从⽽1n n a a +<， 12312n a a a a =>>>>，⼜11110(1)2(1)n n n a a a n n n n +=->->++，1n a +与n a 同号，⼜1102a =>，则10n a +>，即10n n a a +<<. （2）由于10n n a a +<<，则11(1)(1)n n n n n n a a a a a a n n n n ++=-<-++.即111111(1)1n n a a n n n n +-<-=-++，111111n n a a n n +->-+，当2n ≥时，11221111111111()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 11111111311301212n n n n n a n n ->-+-++-+=-=>--- 从⽽31n n a n <- 当1n =时，112a =，从⽽31n n a n <-. （3）11111111()(1)(1)21n n n a a a a n n n n n n +=-≥-=--+++，叠加：3121211(1)21n n n a a a S n a a a n +=+++≥--+12n >-.。

浙江省宁波市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

宁波市2017学年第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由交集的定义可得：，进行补集运算可得：.本题选择C选项.2. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】注意考查所给函数的性质：A.在定义域内单调递减；B.在定义域内没有单调性；C.在定义域内单调递增；D.在定义域内没有单调性；本题选择C选项.3. 若幂函数的图像过点，则的值为（）A. 1B.C.D. 3【答案】D【解析】由题意可得：，则幂函数的解析式为：.本题选择D选项.4. 若角的终边经过点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由点P的坐标计算可得：，则：，，.本题选择A选项.点睛：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．5. 在中，点为边的中点，则向量（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：.本题选择A选项.6. 下列函数中，最小正周期为，且图像关于直线对称的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数的最小正周期为，则，据此可得选项AC错误；考查选项BD：当时，，满足题意；当时，，不满足题意；本题选择B选项.7. 函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则，函数为偶函数，排除AB选项；当时，，而，则，排除选项C.本题选择D选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8. 已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，①，②.....................本题选择A选项.9. 对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角.设为非零向量，则下列说法错误．．的是（）A. B.C. 若，则D.【答案】B【解析】利用排除法.由题中新定义的运算结合向量的运算法则有：，A选项正确；若，则，结合可得：或，均有，C项正确；，D选项正确；本题选择B选项.10. 已知，，且，则（）A. B. 0 C. D.【答案】C【解析】，，，构造函数，很明显函数在区间上单调递增，则：，据此可得：.本题选择C选项.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11. 已知，则__________（用表示），__________．【答案】 (1). (2). 3【解析】由题意可得：，.12. 已知，，，且，则__________，__________．【答案】 (1). (2). 2【解析】由题意可得：,则..13. 已知函数一部分图像如图所示，则__________，函数的图像可以由的图像向左平移至少__________ 个单位得到．【答案】 (1). 2 (2).【解析】由函数图象可得，函数的最小正周期为，结合最小正周期公式有：；令有：，令可得：，函数的解析式为：绘制函数的图象如图所示，观察可得函数的图像可以由的图像向左平移至少个单位得到.14. 是定义在上的偶函数，当时，，且关于的方程在上有三个不同的实数根，则__________，__________．【答案】 (1). 2 (2). 3【解析】由偶函数的性质可得：，关于的方程在上有三个不同的实数根，方程的根为奇数个，结合为偶函数可知为方程的一个实数根，而，则：.15. 弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是__________．【答案】1【解析】设扇形的弧长和半径长为，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是.16. 已知向量的夹角为，，，则__________．【答案】2【解析】由题意可得：，则：，则：.17. 函数．若存在，使得，则的最大值为__________．【答案】【解析】绘制函数的图象如图所示，观察可得：，且：，原问题等价于考查二次函数：在区间上的最大值，函数的对称轴，则函数的最大值为：.综上可得：的最大值为.点睛：本题的实质是二次函数在给定区间上求最值.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知集合，，，.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，且，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)当时，，.则.(Ⅱ)由题意可知，其中，而时，.求解不等式结合题意可得.试题解析：（Ⅰ）由题可得时，，.∴.（Ⅱ）∵，∴，.时，.∴，.∴.点睛：(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．19. 已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数的最大值以及取得最大值时的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).此时.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意整理三角函数的解析式可得，结合最小正周期公式可得函数的最小正周期.(Ⅱ)由，可得，由正弦函数的性质结合(Ⅰ)中函数的解析式可得当即时函数取得最大值2.试题解析：（Ⅰ）.∴函数的最小正周期.（Ⅱ）∵，，∴∴.此时，∴.20. 如图所示，四边形是边长为2的菱形，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若点在线段及上运动，求的最大值.【答案】(Ⅰ)6；(Ⅱ)18.【解析】试题分析：(Ⅰ)以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，由平面向量数量积的坐标运算法则可得.(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中建立的平面直角坐标系可知，则，由线性规划的结论可知的最大值为18.试题解析：（Ⅰ）以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，∴，，，.∴.（Ⅱ），设，∴.所以当点在点处时，的值最大，最大值为18.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．21. 已知，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在，使得下列两个式子：①；②同时成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，满足①②两式成立的条件.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合同角三角函数基本关系可得，，然后利用两角和的余弦公式可得(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可知，则，满足题意时，则，是方程的两个根，结合二次方程的特点计算可得存在，满足①②两式成立的条件.试题解析：（Ⅰ）∵，，，∴，.∴（Ⅱ）∵，∴，∴.∴，∵，∴.∴，是方程的两个根.∵，∴，∴，.∴，.即存在，满足①②两式成立的条件.22. 已知函数，.（Ⅰ）若为奇函数，求的值并判断的单调性（单调性不需证明）；（Ⅱ）对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数．．．的取值范围.【答案】(Ⅰ).在上单调递增.(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)函数为奇函数，则恒成立.据此可得.此时，在上单调递增.(Ⅱ)由题意可知，而.据此分类讨论：①当时有；②当时有；③当时不成立.则正实数的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）∵为奇函数，∴恒成立.∴.此时，在上单调递增.（Ⅱ），，∴.①当时，在上单调递增，∴，，∴②当时，在上单调递减，在上单调递增.∴，，∴③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∴，，不成立.综上可知，.。

【真题】2017-2018年浙江省宁波市镇海中学高三(上)期末数学试卷与答案

2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x2．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11B．9C．5D．33．（5分）直线a与平面α所成角的为30o，直线b在平面α内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为φ，则（）A．0°＜φ≤30°B．0°＜φ≤90°C．30°≤φ≤90°D．30°≤φ≤180°4．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β6．（5分）椭圆M：长轴上的两个顶点A、B，点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若•=0且•=0，则动点Q在下列哪种曲线上（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．（5分）如图，小于90°的二面角α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论一定错误的是（）A．∠A′OB′为钝角B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π8．（5分）在椭圆+=1（a＞b＞0）上有一点P，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=，则该椭圆离心率取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（）D．（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣=1的焦距为，渐近线方程为．10．（6分）命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是命题（填“真”或者“假”）；否命题是命题（填“真”或者“假”）．11．（6分）已知△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=1，则PB 与平面PAC所成角的正弦值为．若点A关于直线PC的对称点为D，则直线AD与BC所成角的余弦值是．12．（6分）已知A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是．若点F为轨迹C的焦点，P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3F，则|QF|=．13．（4分）过正四面体ABCD的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线有条．14．（4分）已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若，则双曲线的离心率为．15．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD=1，BC∥AD，已知Q为四边形ABCD内部一点，且二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，若动点Q的轨迹将四边形ABCD分成面积为S1，S2（S1＜S2）的两部分，则S1：S2=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C中，求以点D（﹣2，1）为中点的弦MN所在的直线方程．17．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E，F，G分别是CC1，BC，AB1的中点．（Ⅰ）求证：①FG∥平面ACC1A1；②B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求直线GF与平面AEF所成角．18．（15分）如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．19．（15分）抛物线y2=2px，p＞0，F为抛物线的焦点，A，B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于D（a，0），a＞0，m=||+||．（Ⅰ）证明：a是p，m的等差中项；（Ⅱ）若m=3p，l为平行于y轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l的方程．20．（14分）已知椭圆E：的左、右顶点分别为A，B，M，N是椭圆E 上异于A，B的两点，直线AM，BN交于点P（4，t）．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记△PMN，△PAB的面积分别是S1（t），S2（t），求的最小值．2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x【解答】解：∵准线方程为x=﹣7∴﹣=﹣7p=14∴抛物线方程为y2=28x故选：D．2．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11B．9C．5D．3【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．3．（5分）直线a与平面α所成角的为30o，直线b在平面α内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为φ，则（）A．0°＜φ≤30°B．0°＜φ≤90°C．30°≤φ≤90°D．30°≤φ≤180°【解答】解：如图，设a∩α=A，a在平面α内的射影为b′，在平面α内过A与b′垂直的直线为b″，b是平面α内与a异面的直线，当b∥b′时，a与b的角最小为30°，当b∥b″时，a与b的角最大为90°．∴30°≤φ≤90°．故选：C．4．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【解答】解：对于A，m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线n'与β垂直，又n⊥β，得到n∥n'，又m⊥α，得到m⊥n'，所以m⊥n；故A正确；对于B，m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；故B错误；对于C，m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α与β可能平行；故C错误；对于D，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选：A．6．（5分）椭圆M：长轴上的两个顶点A、B，点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若•=0且•=0，则动点Q在下列哪种曲线上（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：设P（m，n），Q（x，y）∵椭圆M的方程为，∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（﹣a，0），B（a，0）∴=（x+a，y），=（m+a，n）∵•=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=﹣…①同理根据•=0，可得m﹣a=﹣…②①×②，可得m2﹣a2=．…③∵点P（m，n）是椭圆上的动点，∴，整理得n2=（a2﹣m2），代入③可得：m2﹣a2=（a2﹣m2）•，化简得此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案故选：B．7．（5分）如图，小于90°的二面角α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论一定错误的是（）A．∠A′OB′为钝角B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π【解答】解：如图，在α内射线OA上取点A，过A作交线l的平行线AB交射线OB于点B，过A作AA′⊥β，垂足为A′，过B作BB′垂直于β，垂足为B′，连接A′B′，则有AB ∥A′B′，且AB=A′B′，设OA=a，OB=b，AB=c，则OA′＜a，OB′＜b，∵∠AOB为钝角，∴a2+b2＜c2，则（OA′）2+（OB′）2＜a2+b2＜c2=（A′B′）2，在△A′OB′中，由余弦定理可得∠A′OB′＞∠AOB为钝角．∴∠AOB+∠AOA′＞π．∴错误的选项是C，故选：C．8．（5分）在椭圆+=1（a＞b＞0）上有一点P，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=，则该椭圆离心率取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（）D．（）【解答】解：∵满足QF1⊥QP，∴点Q与点F2重合时，∵sin∠F1PQ=，不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12．∴可得：e==．因此e．当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此．综上可得：．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣=1的焦距为6，渐近线方程为y=±x．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在x轴上，且a=，b==2，则c==3，则双曲线的焦距2c=6，渐近线方程为y=±x；故答案为：6，y=±x．10．（6分）命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是假命题（填“真”或者“假”）；否命题是真命题（填“真”或者“假”）．【解答】解：命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是“若a2≥4，则a ＞2“，是假命题．命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是“若实数a满足a＞2，则a2≥4，是真命题．故答案为假；真．11．（6分）已知△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=1，则PB与平面PAC所成角的正弦值为．若点A关于直线PC的对称点为D，则直线AD与BC所成角的余弦值是．【解答】解：如图，取AC中点O，连接BO，PO，∵△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC∴BO⊥AC，∴BO⊥平面APC∴则PB与平面PAC所成角是∠BPO，可得BO=，PB=∴sin∠BPO==．如图，建立空间直角坐标系，易得AD与PC的交点H为PC中点，A（0，0，0），B（，，0），C（0，1，0），H（0，，）=（0，，），=（﹣，，0）cos=，故答案为：，．12．（6分）已知A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是x2=4y（x ≠±1）．若点F为轨迹C的焦点，P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3F，则|QF|=．【解答】解：设M（x，y），∵A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，∴k AM﹣k BM=﹣=，整理，得点M的轨迹C的方程是x2=4y（x≠±1）．∵点F为轨迹C的焦点，∴F（0，1），P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3F，作QM⊥y轴于M点，作PN⊥y轴于N点，则=，∴MF=，∴Q（，），∴|QF|==．故答案为：x2=4y（x≠±1），．13．（4分）过正四面体ABCD的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线有4条．【解答】解：如图所示，设过正四面体ABCD的中心为P．则过点P且与平面ABC平行的平面EFG分别与平面ABD，平面ACD相交于直线EF，EG．则直线EG是分别与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线．因此过点P与直线EG平行的直线满足条件．同理直线FG是分别与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线．因此过点P与直线FG平行的直线满足条件．同理：通过作与ACD平面平行的平面，可得两条满足条件的直线．即符合题意的平面有4条．故答案为：4．14．（4分）已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若，则双曲线的离心率为或．【解答】解：双曲线的两条渐近线的方程为bx﹣ay=0或bx+ay=0，点P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为•=ab，即=ab，又点P（x0，y0）满足双曲线的方程，∴b2x02﹣a2y02=a2b2，∴=ab，即2a2+2b2=5ab，∴b=2a或b=a，则e===或，故答案为：或．15．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD=1，BC∥AD，已知Q为四边形ABCD内部一点，且二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，若动点Q的轨迹将四边形ABCD分成面积为S1，S2（S1＜S2）的两部分，则S1：S2=（3﹣4）：4．【解答】解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，b，0）.=（2，0，0）．设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2，z2）则，．即，，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．∴=，，．∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，∴cos＜＞==．即，解得b=．==．∴S△ADQS梯形ABCD﹣S△ADQ=﹣=．∵S1＜S2，∴S1=﹣，S2=．∴S1：S2=（3﹣4）：4．故答案为（3﹣4）：4．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C中，求以点D（﹣2，1）为中点的弦MN所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，故，即，解得b=c，又，解得，故椭圆C的方程为；（Ⅱ）因为点D（﹣2，1）在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在，故设直线MN的方程为y=k（x+2）+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程得（2k2+1）x2+（8k2+4k）x+8k2+8k﹣8=0，故，解得k=1，故直线MN的方程为y=x+3．17．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E，F，G分别是CC1，BC，AB1的中点．（Ⅰ）求证：①FG∥平面ACC1A1；②B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求直线GF与平面AEF所成角．【解答】解：（Ⅰ）证明：①如图1，连接A1B，则A1B∩AB1=G．连接A1C，∵F，G分别是BC，AB1的中点，∴GF∥A1C．且GF⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1．∴FG∥平面ACC1A1；②等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，∴AF⊥BC又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴面ABC⊥面BB1C1C，∴AF⊥面C1B，∴AF⊥B1F设AB=AA1=1，∴，EF=，，∴B1F2+EF2=B1E2，∴B1F⊥EF又AF∩EF=F，∴B1F⊥面AEF．解：（Ⅱ）如图以A为原点，建立空间直角坐标系，设AB=AA1=1，则A（0，0，0），E（0，1，），F（），G（）．设面AEF得法向量为，则由，可得=（1，﹣1，2）．cos==．直线GF与平面AEF所成角的正弦值为，∴直线GF与平面AEF所成角．18．（15分）如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．【解答】（本题满分15分）证明：（Ⅰ）过A作AH⊥DC交DC于H．∵平行四边形ABCD⊥平面CDE∴AH⊥平面CDE又∵DE⊂平面CDE∴AH⊥DE…①由已知AD⊥DE…②，AH∩AD=A…③由①②③得，DE⊥平面ABCD；…（7分）解：（Ⅱ）过C作CM⊥AD交AD于M，过C作CN⊥AE交AE于N，连接MN．由（Ⅰ）得DE⊥平面ABCD，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCD．∴CM⊥AE，又∵CN垂直AE，且CM∩CN=C．∴AE⊥平面CMN，得角CNM就是所求二面角的一个平面角．又∵，，∴所求二面角的余弦值为．…（8分）19．（15分）抛物线y2=2px，p＞0，F为抛物线的焦点，A，B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于D（a，0），a＞0，m=||+||．（Ⅰ）证明：a是p，m的等差中项；（Ⅱ）若m=3p，l为平行于y轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则m=||+||=x1+x2+p．又线段AB的中垂线交x轴于D（a，0），∴|DA|=|DB|，即，∵x1≠x2，∴x1+x2﹣2a=﹣2p，即x1+x2=2a﹣2p，∴，即，∴a是p，m的等差中项．（Ⅱ）∵m=3p，∴a=2p．设A（2pt2，2pt），D（2p，0），则圆心为O′（p+pt2，pt），设直线l的方程为x=n，设R为圆的半径，d为圆心O′到l的距离，则R2﹣d2为定值，又R2﹣d2=[（2pt2﹣2p）2+（2pt）2]﹣（p+pt2﹣n）2=p2[（t2﹣1）2+t2]﹣（p+pt2﹣n）2=﹣3p2t2+2np+2npt2﹣n2=（2np﹣3p2）t2+（2np﹣n2）∴2np﹣3p2=0，即n=，∴直线l的方程为x=．20．（14分）已知椭圆E：的左、右顶点分别为A，B，M，N是椭圆E 上异于A，B的两点，直线AM，BN交于点P（4，t）．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记△PMN，△PAB的面积分别是S1（t），S2（t），求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x 0，y0），N（x0，﹣y0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立得：，由，解得：，代入直线AM可得t=±3；（Ⅱ）将直线AM的方程为，代入椭圆的方程并整理得：（t2+27）x2+4t2x+（4t2﹣108）=0，解得，直线NB的方程为，代入椭圆的方程并整理得：（t2+3）x2﹣4t2x+（4t2﹣12）=0，解得，所以==，当，即t=±3时，．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2017-2018学年浙江省宁波市高三(上)期末数学试卷(解析版)

的离心率为，则实数 m 等于（）
A．3
B．
C．5
D．D
5．（4 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16+20π，则 r＝（）
A．1 6．（4 分）
B．2
C．4
D．8
，f'（x）为 f（x）的导函数，则 f'（x）的图象是（）
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2017-2018 学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】解：∵集合 M＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，
N＝{x|lgx＝0}＝{1}， ∴M∪N＝（{x|0≤x≤1}＝[0，1]．故选：A． 2．【解答】解：若 c≥0，则 ac≥bc，则 ac＞bc 不一定成立，若 ac＞bc，则 ac﹣bc＞0，即 c（a﹣b）＞0， ∵a＞b，∴a﹣b＞0，则 c＞0，此时 c≥0 成立，即条件“c≥0”是条件“ac＞bc”的必要不充分条件，故选：B． 3．【解答】解：∵函数 f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1 为偶函数， ∴f（﹣x）＝f（x），即 f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1， ∴2a2﹣a﹣1＝0，解得 a＝1 或 a＝﹣ ，
（2）直线 PF 与曲线 C 的一个交点为 R，求
的最小值．
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22．已知数列{an}满足 an+1＝

宁波2017学年第一学期高三期末试卷

宁波2017学年第一学期期末考试高三数学学科试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.)1.已知集合2{},{lg 0}M x x x N x x =≤==则M N =( ).[0,1]A .(0,1]B .[0,1)C .{0,1}D2.已知a b >，则条件“0c ≥”是条件“ac bc >”的（）条件.A 充分不必要 .B 必要不充分 .C 充分必要 .D 既不充分也不必要3.若函数22()(21)1f x ax a a x =+--+为偶函数，则实数a 的值为（） .1A 1.2B - 1.12C -或 .0D 4.已知焦点在y 轴上的椭圆2214x y m +=的离心率为12，则实数m 等于（） .3A 16.5B .5C 16.3D 5.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若几何体的表面积为1620π+，则r =（）.1A .2B .4C .8D6.已知21()cos ,'()4f x x x f x =+为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（）7.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n （*n N ∈）个黑球，现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若()1D X =，则()E X =（）.1A .2B .3C .4D8.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为（） 5.3A 10.3B 5.6C 11.6D 9.若函数1()f x x x=-在{14,}x x x R ≤≤∈上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（） 7.A .2B 9.C 11.D10.已知向量,OA OB ，满足1,2,,3OA OB AOB M π==∠=为OAB ∆内一点，（包括边界），OM xOA yOB =+，若1OM BA ≤-，则以下结论一定成立的是（）2.223A x y ≤+≤ 1.2B x y ≤ .13C x y -≤- 2.13D x y ≤+≤二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11. 已知=+==ba b a 21,1054则 12. 设i 为虚数单位，则复数i i 32+的虚部为，模为 13. 对给定的正整数)6(≥n n ，定义n n x a x a x a a x f ++++= 2210)(，其中),(2,1*10n i N i a a a i i ≤∈==-，则=6a ；当==)2(2017f n 时， 14. 在锐角ABC ∆中，已知A=2B ，则角B 的取值范围是，又若a,b 分别为角A,B 的对边长，则ba 的取值范围是 15. 已知双曲线C 的渐近线方程是x y 22±=，右焦点F(3,0）则双曲线C 的方程为，又若点N （0,6），M 是双曲线C 的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为16. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形有种（请用数字作答）17. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB=BC=1，AD=CD=2,︒=∠=∠90DCB DAB ,点P 为AD 中点，M,N 分别在线段BD,BC 上，则MN PM 22+的最小值为三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数=)(x f 22sin cos 12sin x x x +-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值与最小值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PA 的中点，2AB a =，BC a =，2PC PD a ==.（1）求证：//PC 面BDE ；（2）求直线AC 与平面PAD 所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知函数()(1).xf x x e =-（1）若方程()f x a =只有一解，求实数a 的取值范围；（2）设函数()(ln )g x m x x =-，若对任意正实数1212,,()()x x f x f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围。

浙江省宁波市2017学年高一统考试数学试题(附答案可编辑精品)

宁波市2017学年高考模拟考试高三数学测试卷及参考答案

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选择题
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单题题
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单体积
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拟试
说
试题
钟请
参
数学试
选择题选择题两规笔将试题

2017级第一学期数学试题

2017级第一学期期末考试数学试卷注意事项：1、考试时间：90分钟2、请首先按要求在试卷的标封处填写姓名、身份证号码。

3、请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。

4、不要在试卷上乱写乱画，不要在标封区填写无关内容。

一、填空题（10X2=20）（1）不等式|X+2|≧0的解集为。

（2）已知A={1，2，3，4，5，6}，B={2，5，6}，则A ∩B= 。

（3）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，则CuA= 。

（4）已知集合M={a,0},N={1,2}，M ∩N={1}，则a= 。

（5）设A=（-5，4），B=[1,8]，则A ∪B= 。

（6）集合{X|X ≧-2}用区间表示为。

（7）设A=（-1、3]，B=[3、6），求A ∩B= 。

（8）集合{X|-2<X ≦3}用区间表示为。

（9）不等式|3X|<4的解集用区间表示为。

（10）△ABC 的每一个内角都是60° △ABC 为等边三角形。

用（⇔⇐⇒,,）填空二、选择题（20X20=40）1、下列对象能组成集合的是（）A 、大于5的自然数B 、一切很大的数C 、班上个子很高的同学D 、班上考试得分很高的同学 2、绝对值等于3 的所有整数组成的集合是（） A 、3 B 、{3，-3} C 、{3} D 、3，-33、不等式|X+3|≧0的解集为（）A 、∅B 、{-3}C 、（-∞、-3）∪（-3、+∞）D 、R 4、不等式|X+1|<1的解集是（） A 、[-2、0） B 、（-2、0） C 、（-∞、-2）∪（0、+∞） D 、R5、设x,y 为定数,则x 2=y 2的充要条件是( )A,x=y B,x=-y C,x 3=y 3D,｜x ｜=｜y ｜6、设全集u={0,1,2,3,4,5,6,7},A={2，3，4，5，6}则CuA=( ) A 、{0，2，3，4，5，6，} B 、{2，3，4，5，6} C 、{0，1，7} D 、∅7、不等式|X-1|<3的解集为（）A 、[-2、4]B 、（-2、4）C 、（-∞、-2）∪（4、+∞）D 、R 8、设A=（2、5），B=[3、6），则A ∩B=（） A 、（2、5） B 、[3、6） C 、（3、5） D 、[3、5） 9、不等式|X+2|>2的解集为（） A 、∅ B 、（0、+∞） C 、（-∞、-4）∪（0、+∞） D 、R10、 x 2+6x+( )=(x+3)2A 、6B 、8C 、9D 、1011、设全集为R ，若C A =(-1、+∞)，则A=（） A 、[-1、+∞) B 、( -∞、-1] C 、（-∞、-1）D 、（-1、-∞） 12、不等式-2X<10的解集是（） A 、[-2、5] B 、（5、+∞） C 、（-∞、-2）∪（5、+∞） D 、（-5、+∞）13、下列集合中不是集合{1，2，3}的真子集是（） A 、{1，2，3} B 、{1、2} C 、{2、3} D 、φ 14、集合{1，2}的子集有（）个。

数学卷·2017届浙江省宁波市高三上学期期末联考(2017.01)

浙江省宁波市2017届高三上学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2M x x =≤，{}2|230N x x x =+-≤，则M N =I （） A ．{}|21x x -≤≤ B ．{}|12x x ≤< C ．{}|12x x -≤≤ D ．{}|32x x -≤≤ 2.复数2iz i-=（i 为虚数单位）的共轭复数是（） A ．12i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i --3.函数()22,12sin 1,112x x f x x x π⎧-≤⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则()2f f =⎡⎤⎣⎦（） A ．-2 B ．-1 C．12- D ．04.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A ．若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ C.若//m α，//m β，则//αβ D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥5.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最小号码，则E ξ=（）A ．0.45B ．0.5 C.0.55 D ．0.66.在平面直角坐标中，有不共线的三点,,A B C ，已知,AB AC 所在直线的斜率分别为12,k k ，则“121k k >-”是“BAC ∠为锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.设实数,x y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2x y +的最小值为（）A ．1.5B ．2 C.5 D ．68.过双曲线2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的两条渐近线分别交于,B C ，且2AB BC =u u u r u u u r，则此双曲线的离心率是（）A ．10B ．10 C.5 D ．5 9.已知函数()()()2x f x x ax b e e =++-，,a b R ∈，当0x >时，()0f x ≥，则实数a 的取值范围为（）A ．20a -≤≤B ．10a -≤≤ C.1a ≥- D ．01a ≤≤ 10.如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别为边,BC AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折过程中（）A ．点A 与点C 在某一位置可能重合B ．点A 与点C 3AB C.直线AB 与直线CD 可能垂直 D ．直线AF 与直线CE 可能垂直第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.若实数1a b >>，且5log log 2a b b a +=，则log a b = ；2ab= ． 12.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是，体积是．13.已知直线l ：10mx y m -+-=，m R ∈，若直线l 经过抛物线28y x =的焦点，则m = ；此时直线l 被圆()()22116x y -+-=截得的弦长AB = ．14.已知ABC ∆三边分别为,,a b c ，且222a cb ac +=+则边b 所对应的角B 大小为，此时，如果3AC =·AB AC u u u r u u u r的最大值为． 15.某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是（用数字作答）. 16.若正实数,a b 满足()2216a b ab +=+，则21aba b ++的最大值为 .17.已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =-+，数列{}n b 的通项公式为33n n b -=，设22n nn n n a b a b c -+=+，在数列{}n c 中，()3n c c n N +≥∈，则实数t 的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. （本小题满分12分）已知函数()()3cos sin 32f x x x x =+，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数()()g x f x a =+为偶函数，求a 的最小值. 19. （本小题满分12分）如图，在三棱台ABC DEF -中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B --的大小为23π.（Ⅰ）证明：AC BN ⊥；（Ⅱ）求直线AD 与平面BEFC 所成角的正弦值. 20. （本小题满分12分）已知函数()22ln f x x a x =+，a R ∈.（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式()0f x >对任意[)1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 21. （本小题满分12分）已知椭圆C ：()221022x y n n+=<<.（Ⅰ）若椭圆C 的离心率为12，求n 的值；（Ⅱ）若过点()2,0N -任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，在x 轴上是否存在点M ，使得180NMA NMB ∠+∠=o？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 22. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，()()121n n a S n n N ++=++∈，令1n n b a =+. （Ⅰ）求证：{}n b 是等比数列；（Ⅱ）记数列{}n nb 的前n 项和为n T ，求n T ；（Ⅲ）求证：1231111111122316n n a a a a -<++++<⨯…. 试卷答案一、选择题1-5:ACBDB 6-10:DACCD二、填空题11.12；1 12.16+ 6 13. -1； 14.60o；6+ 15.24 16.1617.[]3,6三、解答题18.（Ⅰ）()()cos sin 2f x x x x =+)2sin cos 2cos 12x x x =--1sin 222x x =- sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==. 由222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（Ⅱ）由题意，得()()sin 223g x f x x παα⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，因为函数()g x 为偶函数，所以5232212k k ππππαπα-=+⇒=+，k Z ∈，当1k =-时，α的最小值为12π. 19.（Ⅰ）证：取AC 中点M ，连结NM BM 、. 易知：AC NM ⊥，AC BM ⊥，BM NM M =I ，所以AC ⊥平面NBM .又因为BN ⊂平面NBM ，所以AC BN ⊥.（Ⅱ）解：由三棱台结构特征可知，直线AD CF BE 、、的延长线交于一点，记为P ，易知，PAC ∆为等边三角形. 连结AE EC 、.由（Ⅰ）可知PMB ∠为二面角D AC B --的平面角，即23PMB π∠=. 因为2AB AP BC CP ====，E 为PB 中点，所以PB ⊥平面AEC ，平面AEC ⊥平面PBC . 过点A 作AH EC ⊥于点H ，连结HP .由平面AEC ⊥平面PBC ，可知AH ⊥平面PBC ，所以直线AD 与平面BEFC 所成角为APH ∠. 易知72AE CE ==，在AEC ∆中求得217AH = 所以21sin 7AH APH AP ∠==. 20.解：（Ⅰ）()()2222x a a f x x x x+=+=′由()1220f a =+=′，得1a =-. 经检验，当1a =-时取到最小值，故1a =-.（Ⅱ）由()0f x >，即22ln 0x a x +>，对任意[)1,x ∈+∞恒成立.（1）当1x =时，有a R ∈；（2）当1x >时，22ln 0x a x +>，得22ln x a x>-.令()()212ln x g x x x =->，得()()22ln 12ln x x g x x-=-′；若1x <<()0g x >′；若x >()0g x <′.得()g x在(上递增，在)+∞上递减.故()()212ln x g x x x=->的最大值为ge =-.所以a e >-.综合（1）（2）得a e >-.21.解：（Ⅰ）因为22a =，2b n =，所以22c n =-.又12c e a ==有222124c n a -==，得32n =. （Ⅱ）若存在点(),0M m ，使得180NMA NMB ∠+∠=o，则直线AM 和BM 的斜率存在，分别设为12,k k ，且满足120k k +=. 依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为()2y k x =+.由()22212y k x x y n =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222228820k n x k x k n +++-=.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以0∆>. 即()()()2222842820kk n k n -+->，解得22nk <. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则212282k x x k n +=-+，2122822k nx x k n-=+，()112y k x =+，()222y k x =+.令1212120y y k k x m x m+=+=--， ()()12210x m y x m y -+-=，()()()()1221220x m k x x m k x -++-+=，当0k ≠时，()()12122240x x m x x m --+-=，所以()2222828224022k n k m m k n k n-⨯+-⨯-=++，化简得，()2102n m k n+=+，所以1m =-. 当0k =时，检验也成立.所以存在点()1,0M -，使得180NMA NMB ∠+∠=o.22.解：（Ⅰ）12a =，()22228a =+=()()121n n a S n n N *+=++∈()()122n n a S n n -=+≥两式相减，得()1322n n a a n +=+≥经检验，当1n =时上式也成立，即()1321n n a a n +=+≥. 有()1131n n a a ++=+即13n n b b +=，且13b = 故{}n b 是等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得3nn b =231323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯… 234+131323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯…两式相减，得()2311313233333313n n n n n T n n ++--=++++-⨯=⨯-…化简得333·3244n n T n ⎛⎫=-+⎪⎝⎭；（Ⅲ）由111313k k k a =>- 得2123111111111111133·133322313n n n n a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭++++>+++==--…… 又()()()()1111111313311312313131313131k k k k k k k k k k a +++++-⎛⎫==<=- ⎪-------⎝⎭有1231111na a a a ++++… 233411311111122313131313131n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 2111311133111·22313121623116n n ++⎛⎫=+-=+-< ⎪---⎝⎭ 故1231111111122316n n a a a a -<++++<⨯….。

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宁波市2017学年第一学期期末考试高三数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

）
1、已知集合}|{2x x x M ≤=，}0lg |{==x x N ，
则N M ⋃= （） A 、]1,0[ B 、]1,0( C 、)1,0[ D 、}1,0{
2、已知b a >，则条件“0≥c ”是条件“bc ac >” （）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充分必要条件
D 、既不充分也不必要条件
3、若函数1)12()(22+--+=x a a ax x f 为偶函数，则实数a 的值为（）
A 、1
B 、21-
C 、1或2
1- D 、0 4、已知焦点在y 轴上的椭圆142
2=+m
y x 的离心率为21，则实数m 等于（） A 、3 B 、
516 C 、5 D 、3
16 5、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为π2016+，则=r （）
A 、1
B 、2
C 、4
D 、8
6、已知x x x f cos 4
1)(2+=，)('x f 为)(x f 的导函数，则)('x f 的图像是（）
7、一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和)(*R n n ∈个黑球，现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若1)(=X D ，
则=)(X E （）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
8、《莱茵德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的7
1是较小的两份之和，问最小1份为（）
A 、35
B 、310
C 、65
D 、6
11
9、若函数|1|||)(x
x x f -=在},4||1|{R x x x ∈≤≤上的最大值为M ，最小值为m ，则=-m M （）
A 、47
B 、2
C 、49
D 、4
11 10、已知向量OA ，OB 满足1||=OA ，2||=OB ，3π
=∠AOB ，M 为OAB ∆内一点（包括边
界），OB y OA x OM +=，若1-≤⋅BA OM ，则以下结论一定成立的是（） A 、2232≤+≤y x B 、y x ≤21 C 、y x 31-≤- D 、13
2≤+≤y x
二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.） 11、已知1054==b
a ，则=+b
a 21__________. 12、设i 为虚数单位，则复数i i 32+的虚部为__________，模为___________. 13、对给定的正整数)6(≥n n ，定义n n x a x a x a a x f +⋅⋅⋅+++=2210)(，其中10=a ，12-=i i a a ，),(*n i N i ≤∈，则=6a ___________；当2017=n 时，)2(f =___________.
14、在锐角ABC ∆中，已知B A 2=，则角B 的取值范围是__________，又若b a ,分别为角B A ,的对边长，则b
a 的取值范围是___________. 15、已知双曲线C 的渐近线方程是x y 22±=，右焦点)0,3(F ，则双曲线C 的方程为_________，又若点)6,0(N ，M 是双曲线C 的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为____________.
16、现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为6,5,4,3,2,1，若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有__________种（请用数字作答）.
17、如图，在平面四边形ABCD 中，1==BC AB ，2==CD AD ，
90=∠=∠DCB DAB ，点P 为AD 的中点，N M ,分别在线段BC BD , 上，则MN PM 2
2+
的最小值为____________.
三、解答题：本大题股票能够5小题，共74分.
18、（本题满分14分）已知函数x x x x f 2sin 21cos sin 2)(-+=.
（1）求函数)(x f 的最小正周期；
（2）求函数)(x f 在区间]4
,3[ππ-上的最大值与最小值.
19、（本题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，侧面⊥PCD 底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PA 中点，a BC a AB ==,2，a PD PC 2=
=.
（1）求证：//PC 平面BDE ；
（2）求直线AC 与平面PAD 所成角的正弦值.
20、（本题满分15分）已知函数x e x x f )1()(-=.
（1）若方程a x f =)(只有一解，求实数a 的取值范围；
（2）设函数)(ln )(x x m x g -=，对任意正实数21,x x ，)()(21x g x f ≥恒成立，求实数m 的取值范围.
21、（本题满分15分）已知抛物线C 的方程为y x 42=，F 为其焦点，过不在抛物线上的一点P 作此抛物线的切线PB PA ,，B A ,为切点，且PB PA ⊥.
（1）求证：直线AB 过定点；
（2）直线PF 与曲线C 的一个交点为R ，求AB AR ⋅的最小值.
22、（本题满分15分）已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧--=+为偶数
，为奇数
n 22,222
1n n n
n a n a a a ，a a =1.
（1）若1>a ，求证：对任意正整数)1(>n n 均有2≥n a ；
（2）若3=a ，求证：34142321+<+⋅⋅⋅+++<+n a a a a n n 对任意*
N n ∈恒成立.。