高考素材复习素材：一题多解 专题六 等差数列前项和的最值问题
等差数列的前n项和-最值问题(3)
例2、已知等差数列
求使得 解：
d 5 7
Sn 最大的序号n的值.
2 4 5， 4 ， 3 ，.... 的前n项和为 Sn 7 7
,
5 2 75 n ( n 1) 5 n ( n 1) 5 n n n S n na 1 d 2 2 14 14 7
n
若存在，那是什么函数呢？
湖南省长沙市一中卫星远程学校
探究:
一般地，如果一个数列{an}的前n项 和为Sn＝pn2＋qn＋r，其中p、q、r为常 数，且p≠0，那么这个数列一定是等差 数列吗?如果是，它的首项与公差分别 是多少?
r=0时这个数列一定是等差数列. 公差d＝2p 首项a1＝p＋q
结论:
5 15 2 5 225 (n ) 14 2 14 4
n 7 或 8时 S n 最 大
d 5 57
方法二
40 n 0 an 7 7
n8
n 7 或 8时 S n 最 大
结论：等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
(1) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由 a 0 n ，求得n的值；
思考:
在等差数列{an}中，a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和Sn的最小值.
1 例3、正整数数列 {an }中，S n (an 2) 2（ ,1 ）求证：数列是等差数列。 8 1 （2 ）若bn an 30，求数列 {bn }的前n项和的最小值 2
1 2 2 2 解： （a1 - 2 ） 0 a1 2 （ 1 ）当n 1时，a1 S1 （a1 2 ） 8a1 （a1 2 ） 8
S1 a1 , 当n 1时; an S n S n 1.当n 2时;
高考数学复习等差数列的前n项和Sn的最值问题
10×9 15×14 解法 2 设公差为 d.因为 S10＝S15，所以 10a1＋ 2 d＝15a1＋ 2 d， nn－1 5 5 2 125 代入 a1＝20，得 d＝－3.所以 Sn＝na1＋ 2 d＝－6n ＋ 6 n＝ 12×11 5 2 －6(n －25n)， 所以当 n＝12 或 13 时， Sn 取得最大值为 12a1＋ 2 5 ×－3＝130.
S7<S8， 所以 S9<S8， 49＋21d<56＋28d， 7 即 解得－1<d<－8. 63＋36d<56＋28d，
即d
7 的取值范围为－1，－8 .
a11 5．在等差数列{an}中，a <－1，若它的前 n 项和 Sn 有最大值，则使 Sn 10 取得最小正数的 n＝
1 3 － － q∈ . 2 2，2 7
8．在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10＝S15，求当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求出它的最大值．
答案：当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值为 130.
解法 1 因为 S10＝S15，所以 S15－S10＝0，即 a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0， 也即 5a13＝0，所以 a13＝0，即 a1>a2>…>a12>a13＝0>a14>a15>…， 13a1＋a13 13×20＋0 故当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值为 ＝ ＝ 2 2 130.
微专题47
等差数列的前n项和Sn的最 值问题
2 4 1．已知等差数列{an}：5,47，37，…，当 n＝
7 或8
时，数列
{an}的前 n 项和 Sn 最大？
等差数列前n项和的最值问题(精品文档)
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
等差数列前n项和的最值问题精编版
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-L 当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列前n项和的最值问题
等差数列前n项和的最值问题数列（二）一、数列的最大与最小项和最值问题1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值。
2．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.二、数列的求和1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法. 三、数列其他知识 1．(1) {}{}成等比数列成等差数列na n ba ?{}2n n n a a a n b S A n B n ?=+?=+成等差数列（2）{}{}成等比数列成等比数列kn n a a ? {}{}成等差数列成等比数列n ba n a a n log>2．递推数列：(1)能根据递推公式写出数列的前n 项(2)由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 变化（1）已知0),(11=--n n a S f (2)已知0),(1=--n n n S S S f 四、例题解析例1（1）已知n a =，则 n S =___________。
（2）从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升。
（3）3571013{}3224n a a a a a a ++++=在等差数列中，（）（），则此数列的前13项之和等于_______。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
等差数列前n项和最值问题求解的若干方法
等差数列前n项和最值问题求解的若干方法上期给大家分享了一些等差数列的基础问题，今天来分享有关等差数列前n项和的最值问题。
通常当首项a1和公差d异号的时候就会存在这类问题。
先来看一个比较简单的题已知一个等差数列的任意两项，就可以先把这个等差数列的通项公式求出来接下来有两套思路，对应两种方法。
第一套思路是利用函数性质求最值，所以要先求出Sn，然后可以发现Sn是关于n的二次函数，用求二次函数的方法，分析开口方向和对称轴即可这里需要注意n是整数，如果求出对称轴的值不是整数，则需要就近取整数值。
第二套思路是分析项的正负。
道理很简单：“正数越加越大，负数越加越小”，于是我们可以通过an的正负来判断Sn的增减有些时候，可能存在两个n的值都使Sn取到最值，即存在“双最值”的情况，比如下面这道题首先转化题目条件，根据等差数列的性质得出a4=0这道题不像上一题，可以求出一个确定的通项公式及前n项和公式，那么还能用方法一吗？其实是可以的，代着d去做就可以了可以看出，Sn仍然是关于n的二次函数，只不过含有参数d，但是我们知道d是大于0的，而且求对称轴的时候也可以约去d，丝毫不影响我们判断开口方向和求对称轴的值这里求出来对称轴的值就不是整数，而且就近取整数的话可以取到两个，实际上两个都是最小值，这就是所谓的“双最值”问题当然也可以利用方法二，判断项的正负，但是其中有一项a4=0.这也是“双最值”问题最显著的一个特征——存在一项为0还有一些题，也是在考查最值问题，但是考查形式比较隐蔽，比如下面这道题题目条件实际上在变相告诉我们通项公式，我们也可进而求出前n项和Sn，接着利用开口和对称轴求出最大值。
我们发现这还是一个“双最值”问题那么“有且仅有两个”意味着一定就是这两个，所以这个最大值要大于等于k又因为“仅有”，所以其他的值都要小于k.而除了S4和S5，最大的就是S3和S6了，我们也可以称其为“次大值”，很显然这个“次大值”要小于k最后再一综合即可得出k的最终取值范围。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122n a n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值例1：等差数列{}n a 中，1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为49 6.52n +==， 而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1. 已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值. 解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2d=-2,n a =13-2(n-1),n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值. 2. 已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中,4a ＝－14,公差d ＝3,求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-L 当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
等差数列中的最值问题（精选五篇）
等差数列中的最值问题（精选五篇）第一篇：等差数列中的最值问题等差数列及其前n项和（2）——等差数列中的最值问题数学组一、教学目标1、掌握等差数列的通项公式和前n项和公式的形式和应用。
2、掌握常见题型的解法及常用思想方法。
3、掌握等差数列求最值问题的多种不同方法，并能对最值问题进行归纳总结。
二、教学重点和难点重点：等差数列求最值问题的常用解法。
难点：通过例题的讲解引导学生对等差数列的最值问题进行归纳和总结，并理解何种形式会有最大值，何种形式会有最小值。
三、教学过程1、复习旧知，回顾等差数列的常用公式：（1）通项公式an=a1+(n-1)dn(n-1)n(a1+an)d=（2）前n项和公式Sn=na1+22（3）等差中项概念A=1 2(a+b)（4）等差数列的判定方法定义法：an+1-an=常数（n∈N*）⇔{an}为等差数列；中项公式法：2an+1=an+an+2（n∈N*）⇔{an}为等差数列；通项公式法：an=kn+b（n∈N*）⇔{an}为等差数列；前n项求和法：Sn=pn2+qn （n∈N*）⇔{an}为等差数列（复习时主要以口述为主，必要的公式进行板书，主要让学生进行回顾，强调等差数列的通项公式和前n项和公式的形式，即通项公式是关于n的一次函数，前n项和公式是关于n的二次函数，且常数项为0，为后面课程的讲述埋好伏笔。
）2、教授新课：复习用书《高考总复习学案与测评》第87页，题型四：等差数列中的最值问题例4、在等差数列{an}中，已知a1=20，前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值。
分析：要求n为何值时，Sn有最大值，可从Sn的形式入手思考，Sn是关于n的二次函数，可以从函数的角度求出Sn的最大值。
解：（方法一）因为a1=20，且S10=S15可得510⨯915⨯14d=15a1+d 解得d=-322n(n-1)51255253125d=-n2+n=-(n-)2+所以Sn=na1+ 266622410a1+又因为n∈N，所以比较n=12时，S12=130 n=13时，S13=130 因此，n=12或者n=13时，Sn的最大值为130.思考：在用Sn是关于n的二次函数求最值时，如何避免复杂的计算，比如本题中的配方？引导学生讨论得到只要取离对称轴最近的整数处的和，即可得到最值，而对称轴可以由二次函数中的公式得到，这样可以避免复杂的计算，以便提高计算的准确度。
等差数列前n项和最值问题的解法分析
等差数列前n项和最值问题的解法分析等差数列是数学中最基础、最常见的数字模式，它由若干个元素依次构成，元素之间的差值是等差的，因而又被称为等差数列。
等差数列前n项和最值问题是数学中的一个重要问题，通过分析等差数列的特点，可以找出其最值的解法。
等差数列中，每项与距离它最近的前一项，以及后一项均有相同的差值，这个值被称为等差。
记前n项和为S，a1, a2, a3, ..., an 分别表示前n项值，d表示等差，则有S=a1+a2+a3+...+an=n(a1+an)/2，即S=(n/2)(2a1+(n-1)d)。
通过上述公式，可以计算出前n项和最大值和最小值，即最大值为：Max(S)=(n/2)(2a1+nd)，最小值为：Min(S)=(n/2)(2a1+(n-1)d)。
以等差数列1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21为例，a1=1，d=2，n=11，由上公式可得，它的前n项和最大值为Max(S)=(11/2)(2×1+11×2)=66，最小值为Min(S)=(11/2)(2×1+(11-1)×2)=55。
通过用数学方法计算前n项和最值，可以得出结论：等差数列前n项和的最大值为(n/2)(2a1+nd)，最小值为(n/2)(2a1+(n-1)d)。
另一种求解等差数列前n项和最值的方法是拆分式求和。
拆分式求和即将等差数列前n项中的每一项分别加和起来，最大值为所有加和结果中最大那一项，最小值为所有加和结果中最小那一项。
以等差数列1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21为例，其前n项和最大值为1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=117，最小值为1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=55。
可见，拆分式求和法可以简单快捷地求解等差数列前n项和最值。
然而，也有一定的局限性，当n过大时，容易出现数值不准确和太过繁琐等情况，且需要对n值进行检查，以保证计算结果的准确性。
等差数列前n项和的最值问题
当 ， 时，n为使 成立的最大的自然数时， 最大，这是因为：当 时， ，即 递增；已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0，Sn存在最大值，
若am使Sn取得最大值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最大
当 时， ，即 递减。类似地，当 ， 时，若am使Sn取得最小值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最小。
解：在等差数列{an}中，因为a1＋a12＞0，
所以a6＋a7＞0,又因为a1＜0且a6a7＜0，所以所以当Sn最小时的n为6
例题2：已知等差数列{an}的通项公式an＝3n－20，当n取何值时，Sn取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为：
－17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn取得最小值？
问题2：使数列Sn取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若am使Sn取得最小值，则am满足：
解法一：若am使Sn取得最小值，则am满足：
即
解得≤n≤，因为n∈N*，所以n＝6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
解法二：Sn＝n×（—17）＋×3＝n2－n，
其对称轴为n＝，所以离对称轴最近的整数为6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
练习：
1、已知等差数列 的通项为 ，则使得 最大的 的值是？
又 ，∴ 的前10项或前11项的和最小。
说明：此处虽说是用图像法，但不一定要画出图像，而是利用图像的性质去解题。
练习1：等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
速解： 抛物线对称轴方程为 ，则可设 ，
由
等差数列的前n项和Sn的最值问题
等差数列的前n项和S的最值问题数列是一种特殊的函数，因此高考题中常常会出现研究数列的单调性、最值等问题．其例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d<0，若S 10＝S 23，则数列{a n }的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．(2018·苏州第一学期期初调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)．若对任意的n ∈N *，总有S n ≤S k ，求正整数k 的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎨⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24，解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．例题答案：(1)a n ＝48－8n ；(2)S n ＝－4n 2＋44n ；(3)n ＝5或6时，S n 最大，S n ＝120. 解析：(1)因为a 3＝24，S 11＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝24，11a 1＋11×102d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝40，d ＝－8，所以a n ＝48－8n.(2)由(1)知，a 1＝40，a n ＝48－8n ，所以S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝（40＋48－8n ）n 2＝－4n 2＋44n.(3)解法1：由(2)有，S n ＝－4n 2＋44n ＝－4(n －112)2＋121，故当n ＝5或n ＝6时，S n 最大，且S n 的最大值为120.解法2 ：由a n ＝48－8n ，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧48－8n≥0，48－8（n ＋1）<0，得5<n≤6，又n∈N *，所以n ＝6，即该数列前5项都是正数，第6项为0，所以前5项和、前6项的和同为最大值，最大值为120.说明：等差数列的前n 项和S n 最值问题的研究有两种主要思路：其一，利用S n ＝an 2＋bn 具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，求得S n 取得最大值时n的条件，同样由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1>0，求得S n 取得最小值时n 的条件．变式联想变式1 答案：16. 解析：由S 9＝S 23，得a 10＋a 11＋…＋a 23＝0，即a 16＋a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 17<0，所以，数列{a n }的前16项的和最大．变式2答案：16或17.解析：由S 10＝S 23，得a 11＋a 12＋…＋a 23＝0，即a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 18<0，所以，数列{a n }的前16项或17的和最大．说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式1”中不含为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值只有一解，“变式2”中含有数值为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值有两解！请同学们仔细体会其中的差别．串讲激活串讲1答案：n ＝5. 解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝7a n ＋3，考虑到|T n |≥0，且由n ＋3＝8，得n ＝5，即满足|T n |取得最小值的正整数n ＝5.串讲2答案：n ＝5或6.解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，式子右边有6项，结合等差数列的对称性知，当下标n ＋(n ＋5)＝2×8±1，即就是n ＝5或6时，|T n |取得最小值．新题在线答案：－16. 解析：设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.所以S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.。
2020高三数学二轮复习 一题多解专题六 等差数列前项和的最值问题
一题多解专题六：等差数列前n 项和的最值问题求等差数列前n 项和n S 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 例、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析：选C.方法一：由113S S =得01154=+++a a a Λ，根据等差数列性质可得087=+a a ， 根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大.方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数 列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项 和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有 72113=+=n 时，n S 取得最大值. 针对性练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.①求n S ； ②这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值.解析：①∵102110a a a S ++=Λ，222122a a a S ++=Λ，又2210S S =，∴0221211=++a a a Λ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列和最值及绝对值问题
,
热点考向1：求等差数列前n 项和最值
例1已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．
2、在等差数列{}n a 的前n 项和为n S .
（1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值；
（2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？
2.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知.0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围；
（II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。
3、 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．
热点考向2：求等差数列各项的绝对值之和. 例3、已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；
训练：1、 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．
2.已知数列{}n a 的前n 项和n S 212n n =-，求数列{n a }的前n 项和n T 。
等差数列前n项和最值问题
n2 14n
(n 7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2<0
则Sn的图象如图所示
Sn
又S3=S11
所以图象的对称轴为
3 11
n
n
7
2
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
小结
求使得Sn取得最大值的n的方法 1、根据项an的关系
2、由Sn公式及二次函数的性质
课后作业
• 1、已知等差数列，a1=21，公差d=-2，求 这个数列的前n项和Sn的最大值。
若sn取得最大值最大值为20因为92因为离对称轴最近的整数为离对称轴最近的整数使sn取得最大值最大值为20
等差数列的前n项和的最值问题
景泰职专 芮燕彩
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
形式1:
Sn
n（a1 2
an )
形式2:
Sn
na1
n（n 2
1)
d
新课讲授
.将等差数列前n项和公式
Sn
问题 1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn 取得最小值？
问题 2：使数列 Sn 取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若 an 使 Sn 取得最小值，则 an 满足：
aa nn
0 1
0
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n
取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值.
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一题多解专题六：等差数列前n 项和的最值问题 求等差数列前n 项和n S 最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2
，通过配方或借助图象求
二次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法：
①0,01<>d a 时，满足⎩⎨
⎧≤≥+0
1n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ；
②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+00
1
n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S .
例、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解析：选C.方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ， 根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.
方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故
n n n n n S n 14)1(132
+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大.
方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数 列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项 和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有 72
11
3=+=n 时，n S 取得最大值. 针对性练习：
1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =. ①求n S ； ②这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：①∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =，
∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d
∴21322
)
1(n n d n n na S n -=-+
=。
②方法一：由①中可知256)16(322
2+--=-=n n n S n ，
∴当n ＝16时，n S 有最大值，n S 的最大值是256. 方法二：由1--=n n n S S a ，可得332+-=n a n . 由0332≥+-=n a n a ，得233≤
n ；由03121≤+-=+n a n ,得2
31≥n n ； 又n 为正整数，所以当n=16时，n S 有最大值256. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围.(2)求{a n }前n 项和S n 最大时n 的值.
解析：(1)∵S 12>0,S 13<0,∴111
12a 66d 0,
13a 78d 0,a 2d 12.
+>⎧⎪
+<⎨⎪+=⎩ ∴-247＜d<-3. (2)由()
11313713a a S 13a 0,2
+=
=<知a 7<0, S 12=6(a 1+a 12)=6(a 6+a 7)>0,知a 6>0, 又∵d ＜0,∴n ≤6时，a n >0,n ≥7时，a n <0, ∴S 6最大，即n=6. 3.已知数列{a n }是等差数列，且a 2=-1，a 5=5.
(1)求{a n }的通项a n . (2)求{a n }前n 项和S n 的最小值.
解析：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，11a d 1,
a 4d 5+=-⎧⎨+=⎩，解得a 1=-3，d=2.
所以a n =a 1+(n-1)d=2n-5. (2)S n =()()2
21n n 1na d n 4n n 242
-+
=-=--. 所以n=2时，S n 取到最小值-4.。