不等式(组)的字母取值范围的确定方法

不等式(组)的字母取值范围的确定方法

近年来各地中考、竞赛试题中，经常出现已知不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的问题，下面举例说明字母取值范围的确定方法，供同学们学习时参考．

一、根据不等式(组)的解集确定字母取值范围

例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( )

A ．a<0

B ．a<一l

C ．a>l

D ．a>一l

解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ．

例2、已知不等式组153

x a x a <<⎧⎨<<+⎩的解集为a

解：借助于数轴，如图1，可知： 1≤a<5并且 a+3≥5． 所以，2≤a<5 ． 二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围

例3、关于x 的不等式组23(3)1324

x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩有四个整数解，则a 的取值范围是 ． 分析：由题意，可得原不等式组的解为8

-≤a<52- ． 例4、已知不等式组⎩

⎨⎧<+>-b x a x 122的整数解只有5、6。求a 和b 的范围． 解：解不等式组得⎪⎩

⎪⎨⎧-<+>212b x a x ，借助于数轴，如图2知： 2+a 只能在4与5之间。2

1-b 只能在6与7之间． ∴4≤2+a<5 6<2

1-b ≤7 ∴2≤a<3， 13

三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围

例5、已知方程组213(1)21(2)x y m x y m +=+-----⎧⎨+=------⎩

满足x+y<0，则( ) A ．m>一l B ．m>l C ．m<一1 D ．m<1

分析：本题可先解方程组求出x 、y ，再代入x+y<0，转化为关于m 的不等式求解；也可以整体思考，将两方程相加，求出x+y 与m 的关系，再由x+y<0转化为m 的不等式求解． 图

1

图2

解：(1)十(2)得，3(x+y)＝2+2m ，∴x+y ＝223

m +<0．∴m<一l ，故选C ． 例6、(江苏省南通市2007年)已知2a －3x ＋1＝0，3b －2x －16＝0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围．

解：由2a －3x ＋1＝0，可得a=

312x -;由3b －2x －16＝0，可得b=2163x +. 又a ≤4＜b ，

所以, 312x -≤4＜2163

x +， 解得:-2＜x ≤3.

四、逆用不等式组解集求解

例7、如果不等式组260x x m -≥⎧⎨≤⎩

无解，则m 的取值范围是 ． 分析：由2x 一6≥0得x ≥3，而原不等式组无解，所以3>m ，∴m<3．

解：不等式2x-6≥0的解集为x ≥3，借助于数轴分析，如图3，可知m<3．

例8、不等式组⎩⎨⎧>≤

A m<2

B m ≥2

C m<1

D 1≤m<2

解：借助图4，可以发现：要使原不等式组有解，表示m 的点不能在2的右边，也不能在2上，所以，m<2．故选（A ）．

例9、(2007年泰安市)若关于x 的不等式组3(2)224

x x a x x --<⎧⎪⎨+>⎪⎩，有解，则实数a 的取值范围是 ．

解：由x-3(x-2)<2可得x>2,由

24a x x +>可得x<12a. 因为不等式组有解,所以

12

a>2. 所以,4a >.

例3、 某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

31 2图

4

图3

（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？