根轨迹分析与校正

用根轨迹法设计相位超前校正网络 当品质指标以时域指标提出时，用根轨迹设计系统较方便。当 期望闭环主导极点位于未校正系统根轨迹的左边时，就可使用超前 校正。 在不考虑稳态指标时设计步骤如下： 1.根据所需要的动态品质指标要求，确定闭环主导极点A的位置； 2.画出未校正系统的根轨迹，求出使根轨迹通过A点所需要的补偿 角φ ，
φ 可这样去计算：校正后系统的开环传函为：
1 1 + aTs K c Gc ( s ) ⋅ G ( s ) = ⋅ ⋅ K cG ( s) a 1 + Ts
1
K c 是附加增益
则： ∠Gc ⋅ G = ∠Gc + ∠G A点应满足根轨迹的辐角条件 ∠Gc ⋅ G = (2k + 1)π 即： φ = ∠Gc = (2k + 1)π − ∠G ( A) 3.决定Gc ( s ) 的零极点，按下列步骤得到的Gc ( s) 可使它的附加增益 Im 值最小。 （1）过A点作水平线 AB； （2）做 ∠BAO 的角平分线AC；
校正系统的开环传函为： K cGc ( s )G ( s ) =
50.4( s + 4) s ( s + 2)( s + 9.6)
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用根轨迹法设计相位滞后校正网路 1.设计思路：当滞后网络的零极点相对于主导极点A为一对偶极子 K 时，校正后的开环增益 K c = ， 为校正前的开环增益，K c增大到 K b 1 校正前开环增益的 倍， < 1 这样改善了稳态性能。下面具体推 b b m 导一下： K r ∏ ( s + zi ) 原系统的开环传函为： 根轨迹增益为：
1 = 100 s −1 ess
25
= 20 ；
12
（4）系统只有通过 A1 、A2 点动态指标才能满足要求，但此时的 开环增益 K = 20，不满足稳态性能指标要求，需要把开环 增益提高 K 0 = 100 = 5 倍，
K 20
即由滞后网络提供 （5）选 Z c 和 Pc ：
∴
1 = 5 、 = 0.2 ； b b
B A
（3）在 AC两边做 ∠DAC = ∠EAC = φ ； 及
2
φ φ
2 C 2 E −1 aT O Re
2 AE，AD与负实轴的交点则为 − 1 D T −1 1 −1
aT ， 于是有
aT Gc ( s ) = a+ 1 T s+
T
4.画出校正系统根轨迹，并由幅值条件求出校正系统的根轨迹增益 及稳态误差的系数。 例. 一控制系统如图所示，现要求满足下列性能指标。 （1）阶跃响应的最大超调量 σ p ≤ 20% ； （2）阶跃响应的调整时间 ts (5%) ≤ 1s；
1 K0 = ，这 个需要增加的倍数由滞后网络的这一对偶极子提 b K
供；
9
（5）选择滞后校正网络的零点 − Z c 及极点 − Pc ，使满足 Z c Pc = 1 ， 并要求− Z c和 − Pc 离开原点越近越好，但它们离原点越近就意 味着要求 T 越大，物理实现困难，一般取
∠( A + Pc ) − ∠( A + Z c ) ≤ 3o ；
= −121o − 101o = −222o 要使 A1 点位于根轨迹上，校正装置要提 供的相位角为
4
A1
φ = −180o − (−222o ) = 42o
3.画水平线 A1 B ，作角平分线 A1C ，再作 ∠CA D = ∠EA C = φ 2 = 21 ， A1D 与负实轴交于-9.6，A1 E 与负实轴交于-4 ∴ G ( s ) = s + 4 c s + 9.6
R( s ) +
−
Kr s ( s + 2)
C ( s)
3
解： −ξπ （1）.由 σ p ≤ 20% ，由式σ p = e 1−ξ 2 可求得 ξ ≥ 0.46 ，取 ξ = 0.5 由 ts = 3 得 ωn = 6 rad s ； ξωn ∴ 得闭环主导极点 A1,2 = −ξωn ± jωn 1 − ξ 2 = −3 ± j 3 3 （2）.画出未校正根轨迹。 期望主导极点 A1,2 在原系统根轨迹的左边， 原系统开环极点对于 A1点产生相位为 ∠G ( A1 ) = −∠A1 − ∠( A1 + 2)
n v 1 A ∏ A + pj A ∏ A + pj A+ 1 T j = v +1 j = v +1 K rc = ⋅ = ⋅ m m 1 A+ ⋅b ∏ A + zi ∏ A + zi b i =1 i =1 bT v n
m
A为期望的闭环主导极点，前一项就是 K r 校正系统的开环增益
Kr ∴ K rc = b
K c = K rc ⋅
∏ zi
j = v
Kr = ⋅ b pj
∏ zi
j = v +1
m
∏
i =1 n
=
pj
K b
1 即校正后系统的开环增益增大到原系统的开环增益的 b 倍。
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2.设计步骤： （1）画出未校正系统的根轨迹，根据动态性能指标，在根轨迹上 确定期望闭环主导极点A； （2）确定未校正系统在A点的根轨迹增益和开环增益 K ； （3）根据稳态指标求出系统所需要的误差系数 K（即开环增益 K 0）； 0 （4）求出系统为了满足稳态性能指标，误差系数需要增加的倍数
0
-2
-4
-6
14
b
（6）画出校正系统的根轨迹； （7）调整根轨迹增益（放大器增益），使闭环极点位于期望位置； （8）校验指标； （9）求出网络参数 R, C ；
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2500k 例：有一单位反馈控制系统的开环传函为 G ( s) = ，要求满 s( s + 25)
足下列性能指标；
（1）当输入是一个1 rad s的单位速度函数时，输出的速度函数 与输入速度函数的最终稳态误差不大于0.01rad； （2）单位阶跃响应的最大超调量 σ p < 12% ，试设计一个相位滞 后校正网络；
（6）画出校正后系统的根迹，除原点外，形状与原系统相似； （7）调整 k 使闭环主导极点位于 A1 、 2 上 A
Gc G = 1
0.2 × 2500k = A1 ⋅ A1 + 25 ⋅ A1 + 0.5 A1 + 0.5
6
= 500
4
得
k =1
-25 -20 -15 -10 -5
2
（8） K = k ⋅ 2500 × 0.2 × 2.5 = 100s −1 v 25 × 0.5 满足要求。
z ，C = 5 = 1 Pc b
1 1 = 2.5，及 = 0.5 bT T
Gc ( s ) = 0.2 ⋅
s+2.5 1 + 0.4s = s+0.5 1 + 2s
s ( s + 25)( s + 0.5)
校正后系统的开环传函 Gc ⋅ G = 2500k ⋅ 0.2 ⋅ ( s + 2.5)
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o 1 1
Im
B
A1
6 4 2
D
-10 -9 -8 7 -6
C
-5 -4
E
-3 -2 1
O
-2 -4 -6
Re
5
4.画出校正以后系统根轨迹，求出 A1 点根轨迹增益
A1 ⋅ A1 + 2 ⋅ A1 + 9.6 Kr = = 50.4 A1 + 4
速度误差系数 K v = K = K r ⋅
4 = 10.51( 1 ) s 2 × 9.6
Kr =
m
G ( s) H ( s) =
v n
sv
∏1 ( s + p j ) j =v+
i =1 n
s
∏1 s + p j j =v +
m
∏ s + zi i =1
开环增益为： K = K r
7
∏ zi ∏1 p j j =v +
i =1 n
1 K rc ∏ ( s + zi ) ( s + ) ⋅ b 校正后系统的开环传函为： bT i =1 Gc ( s )G ( s ) H ( s ) = ⋅ n 1 sv ∏ (s + p j ) (s + ) T 校正后在A点的根轨迹增益 j = v +1
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Im
解：（1）画出未校系统的根轨迹，
σ 如图所示；由 σ p < 12% ， p = e
−πξ 1−ξ 2
A1
ξ 得 ξ = 0.57 ， = cos −1 θ ，用作图法和
解析法都可求得 A1,2 = −12.5 ± j18 ；
θ
−25
−12.5
O
Re
（2）未校系统当闭环极点位于 A1 和 A2 时， 根迹增益 K r = 2500k = A1 ⋅ A1 + 25 = 500 ，得 k = 0.2 ，即当 k = 0.2 时，原系统闭环极点是 A1 、 A2 ；开环增益 K = 500 （3）由稳态指标得 K 0 = Kν =