哈尔滨工业大学 概率论答案 习题八
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2
H 0 的否定域为 u < −uα / 2 ，其中
·110·
u=
−u0.05
X − 1600 1580 − 1600 26 = × 5.1 = −1.02 . 100 100 = −1.64 .
因为 u = −1.02 > −1.64 = −u0.05 ，所以接受 H 0 ，即可以认为这批产品的指 标的期望值 µ 不低于 1600. 4．一种元件，要求其使用寿命不低于 1000 小时，现在从这批元件中任取 25 件， 测得其寿命平均值为 950 小时， 已知该元件寿命服从标准差为 σ = 100 小 时的正态分布，问这批元件是否合格？（ α = 0.05 ） 解 设 元 件 寿 命 为 X ， 则 X ~ N ( µ , 100 ) ， 问 题 是 检 验 假 设
可见 H 0 : λ ≥ λ0 的否定域为 χ ≥ χα (2n) . 2．某种零件的尺寸方差为 σ = 1.21 ，对一批这类零件检查 6 件得尺寸数 据（毫米） ：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。设零件尺寸服从正态分布， 问这批零件的平均尺寸能否认为是 32.50 毫米（ α = 0.05 ）. 解 问题是在 σ 已知的条件下检验假设 H 0 : µ = 32.50
（1） H 0 : µ ≥ 21 . （2）选择统计量 t 并计算其值：
X − 21 20 − 21 n= 17 = −0.20 S 20.485 （3）对于给定的 α = 0.025 查 t 分布表求出临界值 tα ( n) = t0.025 (16) = 2.2 . t=
（4）因为 −t0.025 (16) = −2.20 < −0.20 = t 。所以接受 H 0 ，即认为维生素含 量合格. 8． 某种合金弦的抗拉强度 X ~ N ( µ , σ ) ， 由过去的经验知 µ ≤ 10560 （公 斤/厘米 2） ，今用新工艺生产了一批弦线，随机取 10 根作抗拉试验，测得数据如 下： 10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670.
（ 3 ） 对 于 给 定 的 α = 0 .0 5 ， 查 t 分 布 表 得 临 界 值 tα / 2 ( n1 + n 2 − 2)
= t0.025 (8) = 2.3069 .
（4）因为 | t |= 1.295 < 2.3069 = t0.025 (8) ，所以接受假设，即不能说一种羊 毛较另一种好。 12． 在 20 块条件相同的土地上， 同时试种新旧两个品种的作物各十块土地， 其产量（公斤）分别为 旧品种 新品种 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等） ，问新品种的产量是否 高于旧品种？（ α = 0.01 ） 解
S = 0.013
ຫໍສະໝຸດ Baidu
t=
因为
X − 3.25 3.252 − 3.25 5= × 2.24 = 0.345 S 0.013
| t |= 0.345 < 4.6041 = t0.005 (4)
所以接受 H 0 ，即可以认为这批矿砂的镍含量为 3.25. 6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为 100 公斤，每天开工后要检验 一次打包机工作是否正常，某日开工后测得 9 包重量（单位：公斤）如下：
（3）对于给定的 α = 0.05 ，查 χ 2 分布表得临界值
·113·
2 2 χα (n − 1) = χ 0.05 (9) = 16.919 .
（4）因 χ = 13.705 < 16.919 = χ 0.05 ，故接受 H 0 ，即可以认为方差不大于 80。 11．对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下 第一种 第二种 138，127，134，125； 134，137，135，140，130，134.
2
2
2
2
X = 62.4 ， S 2 = 121.82, n = 10, 问题是检验假设 H 0 : σ 2 ≤ 80 .
2 2
（1） H 0 : σ ≤ 80 = σ 0 ； （2）选统计量 χ 2 并计算其值
χ2 =
(n − 1) S 2 9 × 121.82 = = 13.705 σ 02 80
3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为 3.25(α = 0.01) ？ 解 问题是在 σ 2 未知的条件下检验假设 H 0 : µ = 3.25
H 0 的否定域为
| t |> tα / 2 (4) 1 5 X = 3.252, S 2 = (∑ X i − 5 × X 2 ) = 0.00017, 4 i =1 t0.005 (4) = 4.6041
·114·
设 X 为 新 品 种 产 量 ， Y 为 旧 品 种 产 量 ； X ~ N ( µ1 , σ 2 ) ，
Y ~ N ( µ 2 , σ 2 ) ，问题是检验假设 H 0 : µ1 ≥ µ 2 X = 79.43 ， S12 = 2.2246 ， n1 = 10 2 Y = 76.23 ， S2 = 3.3245 ， n2 = 10
解
H 0 的否定域为 | t |≥ tα / 2 (8) .
其中
X − 100 99.98 − 100 9= × 3 = −0.05 S 1.21 t0.025 (8) = 2.306 t=
因为
| t |= 0.05 < 2.306 = t0.025 (8)
所以接受 H 0 ，即该日打包机工作正常. 7．按照规定，每 100 克罐头番茄汁中，维生素 C 的含量不得少于 21 毫克， 现从某厂生产的一批罐头中抽取 17 个，测得维生素 C 的含量（单位：毫克）如 下
2
H 0 : µ ≥ 1000 . H 0 的否定域为 u ≤ −u0.05 ，其中 X − 1000 950 − 1000 u= 25 = × 5 = −2.5 σ 100 u0.05 = 1.64
因为
u = −2.5 < −1.64 = u0.05
所以否定 H 0 ，即元件不合格. 5．某批矿砂的 5 个样品中镍含量经测定为 X (%) ：
（1） H 0 : µ1 = µ 2 （2）选统计量 T 并计算其值.
T=
X −Y
(n1 − 1) S + (n2 − 1) S n1 + n2 − 2
2 1 2 2
n1 n2 = n1 + n2
131 − 135 4× 6 ⋅ 3 × 36.667 + 5 × 35.2 4 + 6 4+6−2
= −1.295
n
选统计量 记
χ 2 = 2λ0 ∑ X i = 2λ0 nX
i =1
̃ 2 = 2λ ∑ X i χ
i =1
n
̃ ~ χ (2n) ，对于给定的显著性水平 α ，查 χ 分布表求出临界值 χα (2n) ， 则χ
2 2 2 2
使 因
2 ̃ 2 ≥ χα P( χ (2n)) = α 2 2 2 2 ̃ 2 ≥ χα ̃ > χ ，所以 ( χ χ (2n)) ⊃ ( χ 2 ≥ χα (2n)) ，从而 2 2 ̃ 2 ≥ χα α = P{χ (2n)} ≥ P{χ 2 ≥ χα (2n)}
（3）对于给定的 α = 0.05 ，查 χ 2 分布表得临界值
2 2 2 2 χα / 2 (14) = χ 0.025 (14) = 26.119, χ1−α / 2 (14) = χ 0.975 (14) = 5.629 .
（4）因为 χ 0.975 = 5.629 < 22.75 = χ < χ 0.025 = 26.119 所以接受 H 0 ，即总 体方差与规定的 σ = 0.0004 无显著差异。 10．从一批保险丝中抽取 10 根试验其熔化时间，结果为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55. 问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于 80？（ α = 0.05 ，熔化时间 服从正态分布）. 解
·112·
2
问这批弦线的抗拉强度是否提高了？（ α = 0.05 ）
X = 10631.4 ， S 2 = 6558.89 ， S = 80.99 ， n = 10 . 问题是检验假设 H 0 : µ ≤ 10560
解 （1） H 0 : µ ≤ 10560 . （2）选统计量并计算其值.
X − 10560 10631.4 − 10560 n= 10 S 80.99 = 2.772 （3）对于 α = 0.05 ，查 t 分布表，得临界值 tα (9) = t0.05 (9) = 1.833 . t=
22, 21, 20, 23, 21, 19, 15, 13, 16, 23, 17, 20, 29, 18, 22, 16, 25.
已知维生素 C 的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。
(α = 0.025) 解 设 X 为维生素 C 的含量，则 X ~ N ( µ , σ 2 ) ， X = 20, S 2 = 419.625， S = 20.485 ， n = 17 . 问题是检验假设 H 0 : µ ≥ 21.
S = 0.025, S 2 = 0.00065, n = 15 ，问题是检验假设 H0 :σ 2 = 0.0004.
2 2
（1） H 0 : σ = σ 0 = 0.0004 . （2）选统计量 χ 2 并计算其值
χ2 =
(n − 1) S 2 14 × 0.00065 = = 22.75 2 σ0 0.0004
2 2
2
2
H 0 的否定域为 | u |≥ uα / 2
其中
u0.025
X − 32.50 29.46 − 32.50 n= × 2.45 = −6.77 σ 1.1 = 1.96 ，因 | u |= 6.77 > 1.96 ，所以否定 H 0 ，即不能认为平均尺寸是 32.5 u=
毫米。 3．设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为 σ = 100 ，今抽了一个容 量为 26 的样本，计算平均值 1580，问在显著性水平 α = 0.05 下，能否认为这批 产品的指标的期望值 µ 不低于 1600。 解 问题是在 σ 已知的条件下检验假设 H 0 : µ ≥ 1600
99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5
·111·
问该日打包机工作是否正常（ α = 0.05 ；已知包重服从正态分布） ？
1 9 X = 99.98 ， S 2 = (∑ ( X i − X )2 ) = 1.47 ， S = 1.21 ， 8 i =1 问题是检验假设 H 0 : µ = 100
2
2
问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分 布。 (α = 0.05) 解 设 第 一 、 二 种 织 品 的 强 度 分 别 为 X 和 Y ， 则 X ~ N ( µ 1 , σ 2 ),
Y ~ N (µ 2 ,σ 2 ) X = 131, S12 = 36.667, n1 = 4 Y = 135, S22 = 35.2, n2 = 6 问题是检验假设 H 0 : µ1 = µ 2
（4）因 t0.05 (9) = 1.833 < 2.772 = t ，故否定 H 0 即认为抗拉强度提高了。 9．从一批轴料中取 15 件测量其椭圆度，计算得 S = 0.025 ，问该批轴料椭 圆度的总体方差与规定的 σ 2 = 0.0004 有无显著差别？（ α = 0.05 ，椭圆度服 从正态分布） 。 解
习
题
八
1．设 X 1 , X 2 ,⋯ , X n 是从总体 X 中抽出的样本，假设 X 服从参数为 λ 的 指 数 分 布 ， λ 未 知 ， 给 定 λ0 > 0 和 显 著 性 水 平 α (0 < α < 1) ， 试 求 假 设
H 0 : λ ≥ λ0 的 χ 2 检验统计量及否定域.
解
H 0 : λ ≥ λ0
H 0 的否定域为 u < −uα / 2 ，其中
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u=
−u0.05
X − 1600 1580 − 1600 26 = × 5.1 = −1.02 . 100 100 = −1.64 .
因为 u = −1.02 > −1.64 = −u0.05 ，所以接受 H 0 ，即可以认为这批产品的指 标的期望值 µ 不低于 1600. 4．一种元件，要求其使用寿命不低于 1000 小时，现在从这批元件中任取 25 件， 测得其寿命平均值为 950 小时， 已知该元件寿命服从标准差为 σ = 100 小 时的正态分布，问这批元件是否合格？（ α = 0.05 ） 解 设 元 件 寿 命 为 X ， 则 X ~ N ( µ , 100 ) ， 问 题 是 检 验 假 设
可见 H 0 : λ ≥ λ0 的否定域为 χ ≥ χα (2n) . 2．某种零件的尺寸方差为 σ = 1.21 ，对一批这类零件检查 6 件得尺寸数 据（毫米） ：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。设零件尺寸服从正态分布， 问这批零件的平均尺寸能否认为是 32.50 毫米（ α = 0.05 ）. 解 问题是在 σ 已知的条件下检验假设 H 0 : µ = 32.50
（1） H 0 : µ ≥ 21 . （2）选择统计量 t 并计算其值：
X − 21 20 − 21 n= 17 = −0.20 S 20.485 （3）对于给定的 α = 0.025 查 t 分布表求出临界值 tα ( n) = t0.025 (16) = 2.2 . t=
（4）因为 −t0.025 (16) = −2.20 < −0.20 = t 。所以接受 H 0 ，即认为维生素含 量合格. 8． 某种合金弦的抗拉强度 X ~ N ( µ , σ ) ， 由过去的经验知 µ ≤ 10560 （公 斤/厘米 2） ，今用新工艺生产了一批弦线，随机取 10 根作抗拉试验，测得数据如 下： 10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670.
（ 3 ） 对 于 给 定 的 α = 0 .0 5 ， 查 t 分 布 表 得 临 界 值 tα / 2 ( n1 + n 2 − 2)
= t0.025 (8) = 2.3069 .
（4）因为 | t |= 1.295 < 2.3069 = t0.025 (8) ，所以接受假设，即不能说一种羊 毛较另一种好。 12． 在 20 块条件相同的土地上， 同时试种新旧两个品种的作物各十块土地， 其产量（公斤）分别为 旧品种 新品种 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等） ，问新品种的产量是否 高于旧品种？（ α = 0.01 ） 解
S = 0.013
ຫໍສະໝຸດ Baidu
t=
因为
X − 3.25 3.252 − 3.25 5= × 2.24 = 0.345 S 0.013
| t |= 0.345 < 4.6041 = t0.005 (4)
所以接受 H 0 ，即可以认为这批矿砂的镍含量为 3.25. 6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为 100 公斤，每天开工后要检验 一次打包机工作是否正常，某日开工后测得 9 包重量（单位：公斤）如下：
（3）对于给定的 α = 0.05 ，查 χ 2 分布表得临界值
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2 2 χα (n − 1) = χ 0.05 (9) = 16.919 .
（4）因 χ = 13.705 < 16.919 = χ 0.05 ，故接受 H 0 ，即可以认为方差不大于 80。 11．对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下 第一种 第二种 138，127，134，125； 134，137，135，140，130，134.
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X = 62.4 ， S 2 = 121.82, n = 10, 问题是检验假设 H 0 : σ 2 ≤ 80 .
2 2
（1） H 0 : σ ≤ 80 = σ 0 ； （2）选统计量 χ 2 并计算其值
χ2 =
(n − 1) S 2 9 × 121.82 = = 13.705 σ 02 80
3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为 3.25(α = 0.01) ？ 解 问题是在 σ 2 未知的条件下检验假设 H 0 : µ = 3.25
H 0 的否定域为
| t |> tα / 2 (4) 1 5 X = 3.252, S 2 = (∑ X i − 5 × X 2 ) = 0.00017, 4 i =1 t0.005 (4) = 4.6041
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设 X 为 新 品 种 产 量 ， Y 为 旧 品 种 产 量 ； X ~ N ( µ1 , σ 2 ) ，
Y ~ N ( µ 2 , σ 2 ) ，问题是检验假设 H 0 : µ1 ≥ µ 2 X = 79.43 ， S12 = 2.2246 ， n1 = 10 2 Y = 76.23 ， S2 = 3.3245 ， n2 = 10
解
H 0 的否定域为 | t |≥ tα / 2 (8) .
其中
X − 100 99.98 − 100 9= × 3 = −0.05 S 1.21 t0.025 (8) = 2.306 t=
因为
| t |= 0.05 < 2.306 = t0.025 (8)
所以接受 H 0 ，即该日打包机工作正常. 7．按照规定，每 100 克罐头番茄汁中，维生素 C 的含量不得少于 21 毫克， 现从某厂生产的一批罐头中抽取 17 个，测得维生素 C 的含量（单位：毫克）如 下
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H 0 : µ ≥ 1000 . H 0 的否定域为 u ≤ −u0.05 ，其中 X − 1000 950 − 1000 u= 25 = × 5 = −2.5 σ 100 u0.05 = 1.64
因为
u = −2.5 < −1.64 = u0.05
所以否定 H 0 ，即元件不合格. 5．某批矿砂的 5 个样品中镍含量经测定为 X (%) ：
（1） H 0 : µ1 = µ 2 （2）选统计量 T 并计算其值.
T=
X −Y
(n1 − 1) S + (n2 − 1) S n1 + n2 − 2
2 1 2 2
n1 n2 = n1 + n2
131 − 135 4× 6 ⋅ 3 × 36.667 + 5 × 35.2 4 + 6 4+6−2
= −1.295
n
选统计量 记
χ 2 = 2λ0 ∑ X i = 2λ0 nX
i =1
̃ 2 = 2λ ∑ X i χ
i =1
n
̃ ~ χ (2n) ，对于给定的显著性水平 α ，查 χ 分布表求出临界值 χα (2n) ， 则χ
2 2 2 2
使 因
2 ̃ 2 ≥ χα P( χ (2n)) = α 2 2 2 2 ̃ 2 ≥ χα ̃ > χ ，所以 ( χ χ (2n)) ⊃ ( χ 2 ≥ χα (2n)) ，从而 2 2 ̃ 2 ≥ χα α = P{χ (2n)} ≥ P{χ 2 ≥ χα (2n)}
（3）对于给定的 α = 0.05 ，查 χ 2 分布表得临界值
2 2 2 2 χα / 2 (14) = χ 0.025 (14) = 26.119, χ1−α / 2 (14) = χ 0.975 (14) = 5.629 .
（4）因为 χ 0.975 = 5.629 < 22.75 = χ < χ 0.025 = 26.119 所以接受 H 0 ，即总 体方差与规定的 σ = 0.0004 无显著差异。 10．从一批保险丝中抽取 10 根试验其熔化时间，结果为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55. 问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于 80？（ α = 0.05 ，熔化时间 服从正态分布）. 解
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问这批弦线的抗拉强度是否提高了？（ α = 0.05 ）
X = 10631.4 ， S 2 = 6558.89 ， S = 80.99 ， n = 10 . 问题是检验假设 H 0 : µ ≤ 10560
解 （1） H 0 : µ ≤ 10560 . （2）选统计量并计算其值.
X − 10560 10631.4 − 10560 n= 10 S 80.99 = 2.772 （3）对于 α = 0.05 ，查 t 分布表，得临界值 tα (9) = t0.05 (9) = 1.833 . t=
22, 21, 20, 23, 21, 19, 15, 13, 16, 23, 17, 20, 29, 18, 22, 16, 25.
已知维生素 C 的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。
(α = 0.025) 解 设 X 为维生素 C 的含量，则 X ~ N ( µ , σ 2 ) ， X = 20, S 2 = 419.625， S = 20.485 ， n = 17 . 问题是检验假设 H 0 : µ ≥ 21.
S = 0.025, S 2 = 0.00065, n = 15 ，问题是检验假设 H0 :σ 2 = 0.0004.
2 2
（1） H 0 : σ = σ 0 = 0.0004 . （2）选统计量 χ 2 并计算其值
χ2 =
(n − 1) S 2 14 × 0.00065 = = 22.75 2 σ0 0.0004
2 2
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H 0 的否定域为 | u |≥ uα / 2
其中
u0.025
X − 32.50 29.46 − 32.50 n= × 2.45 = −6.77 σ 1.1 = 1.96 ，因 | u |= 6.77 > 1.96 ，所以否定 H 0 ，即不能认为平均尺寸是 32.5 u=
毫米。 3．设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为 σ = 100 ，今抽了一个容 量为 26 的样本，计算平均值 1580，问在显著性水平 α = 0.05 下，能否认为这批 产品的指标的期望值 µ 不低于 1600。 解 问题是在 σ 已知的条件下检验假设 H 0 : µ ≥ 1600
99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5
·111·
问该日打包机工作是否正常（ α = 0.05 ；已知包重服从正态分布） ？
1 9 X = 99.98 ， S 2 = (∑ ( X i − X )2 ) = 1.47 ， S = 1.21 ， 8 i =1 问题是检验假设 H 0 : µ = 100
2
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问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分 布。 (α = 0.05) 解 设 第 一 、 二 种 织 品 的 强 度 分 别 为 X 和 Y ， 则 X ~ N ( µ 1 , σ 2 ),
Y ~ N (µ 2 ,σ 2 ) X = 131, S12 = 36.667, n1 = 4 Y = 135, S22 = 35.2, n2 = 6 问题是检验假设 H 0 : µ1 = µ 2
（4）因 t0.05 (9) = 1.833 < 2.772 = t ，故否定 H 0 即认为抗拉强度提高了。 9．从一批轴料中取 15 件测量其椭圆度，计算得 S = 0.025 ，问该批轴料椭 圆度的总体方差与规定的 σ 2 = 0.0004 有无显著差别？（ α = 0.05 ，椭圆度服 从正态分布） 。 解
习
题
八
1．设 X 1 , X 2 ,⋯ , X n 是从总体 X 中抽出的样本，假设 X 服从参数为 λ 的 指 数 分 布 ， λ 未 知 ， 给 定 λ0 > 0 和 显 著 性 水 平 α (0 < α < 1) ， 试 求 假 设
H 0 : λ ≥ λ0 的 χ 2 检验统计量及否定域.
解
H 0 : λ ≥ λ0