第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型

第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型

一、 影响期权价值的主要因素

由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的

股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。但是到期m S 是未知的，它

的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。

1)标的股票价格与股票执行价格的影响。标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。

2）标的股票价格变化范围的影响。在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。如下图：

)(s f )(1s f

)(2s f

x s

股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。

3）到期时间距离的影响。距离愈长，股价变动的可能性愈大。由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期

权到期的时间越长，期权的价值就越高。

4）利率的影响。利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得

买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。

5）现金股利的影响。股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。

二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件

B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：

1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。

2． T 时期内各时段的预期收益率

r i 和收益方差σi 保持

不变。

3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即

在t 1-t 2时段内有： ()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收

益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-

股票的年收益率（单利）R 应该是：

)365

1()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+ 为了简化计算两边同时取自然对数可得：

∑=+=+365

1)3651()1(t t R In R In 设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。则根据单复利之间的关系In(1+R)=r 有：

∑∑===+=+=365136513651)3651()1(t t t t r R In R In r

同理，对任何时间间隔T 都有：

∑∑===-==T t T

t t r T t S t S In T S T S In r 01

1))1()((1))0()(( 由中心极限定理知))

0()((S T S In 服从正态分布。即有： ))

0()((S T S In ～),(2T T N σμ 式中μ，2σ分别为r t 的数学期望和方差 令))

0()((S T S In y =，则y ～),(2T T N σμ，而y e S T S )0()(=进行简单的变量替换，可以求出S （T ）的数学期望为：

)2

1exp()0())((2T T S T S E σμ+= 对于股票的二叉树定价来说，如果从t=0时刻到t=T ，时刻，所分的阶段数趋于无限大时，股票的价格也趋于对数正态分布。即股票的二叉树定价和对数正态分布定价是一致的。

因为二叉树定价时股票的价格变化的规律是：

⎩⎨⎧-=-q d q u t S t S 1)1()(按照概率按照概率

所以 ⎩⎨⎧-=-q

d q u t S t S In 1ln ln ))1()((按照概率按照概率 即T t t S t S ,,2,1))

1()(ln( =-服从两点分布且相互独立. 所以∑=-=T t t S t S S T S 1

))1()(ln())0()(ln(服从二项分布.当+∞→T ，二项分布趋近于正态分布。即在一定的条件下，股票的二叉树定价和对数正态分布定价是一致的。B-S 定价模型是二叉树定价模型的极限式。

三、布莱克-舒尔斯期权定价模型的直观理解

作为无现金股利的欧式买权定价模式是：

012()()rT C S N d Xe N d -=-

式中C 是买权价格，S 0是期初股票价格，N （·）是累计正态分布函数，

201ln 2S r T X d σ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪=

2021ln 2S r T X d d σσ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪==-为了更容易从经济意义上理解B-S 定价模型，我们可以从现实直观的角度来作一些解释：

已知 max(,0)T T C S X =-

式中T C 为到期T 时买权的价格，T S 为到期标的股票市场价格

X 为期权协定的执行价格。

则有 )]0,[m ax ()(X S E C E T T -=

设到期X S T >的概率为P ，此时X S X S T T -=-)0,m ax (

则有 ]0)1[(])([)(⨯-+->=P X X S S E P C E T T T

])([X X S S E P T T ->⨯=

考虑到期初的期权合理定价等于)(T C E 的现值而有

)(T rt C E e C -= ])([X X S S E e P T T rt ->⨯⨯=- (1)

式中C:期初期权合理价格，r ：无风险连续复利率，t 到期时间长度

这里关键的问题，要找出P 和)(X S S E T T >的表达式。

1） 由于0000()[()]1T T

T S S X X P S X P P S S S S ⎛

⎫>=>=- ⎪⎝⎭

等价收益率 2

ln()()1

X r T N σ--=-

20ln(

)()S r T N σ+-==)(2d N 这是由于正态分布的对称性

其中T S 服从对数正态分布

0S X 服从对数正态分布（0S 为常数） )ln(0S X 服从正态分布。收益率平均为*u ，22*σ+=u r 或

22

*σ-=r u 。