上海数学七年级上知识点

上海数学七年级上知识点

注意：斜体为易错点、划线为难点、其余为重点

第九章整式

知识梳理

一、代数式的有关概念

（1）代数式的分类

单项式

代数式整式多项式

分式

（2）整式：没有除法运算或虽有除法运算而除式里不含字母的有理式叫做整式。

二、同类项、合并同类项

所含的字母相同并且字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。

三、去括号与添括号

（1）去括号法则：括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里各项都不改变符号；括号前是“-”，去掉括号和它前面的“-”号，括号里各项都改变符号。

（2）添括号法则：添括号，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，括号前面是“-”，括到括号里的各项都改变符号。

四、整式的运算

（1）数的运算律对代数式同样适用。

（2）整式的加减：整式的加减法实际上就是合并同类项，遇到括号，一般要先去掉括号，去括号的方法是：+(a+b−c)=a+b−c

−(a+b−c)=−a−b+c

（3）幂的运算法则

同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：a m a n=a m+n（m、n都是整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：(a m)n=a mn（m、n都是整数）

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即(ab)n=a n b n （n都是整数）

同底数幂相除，底数不变，指数相减。即a m÷a n=a m−n（a≠0,m、n都为整数）

单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只有一个单项式

里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

即m(a+b+c)=ma+mb+mc

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb

（5）乘法公式

平方差公式两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即：

(a+b)(a−b)=a2−b2

完全平方公式两数和（或差）的平方，等于它的平方和加上（或者减去）它们积的2倍，

即：（a±b）2

=a2±2ab+b2

五、因式分解

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

六、因式分解的基本方法

（1）提取公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，即：ma+mb+mc=m（a+b+c）

（2）运用公式法：把乘法公式反过来对某些多项式分解因式，

即：a2−b2=(a+b)(a−b); a2±2ab+b2=(a±b)2

（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq 型式子的因式分解，

即：x2+(p+q)x+pq =(x+p)(x+q)

（4）分组分解法：利用分组来分解因式的方法。①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式；

七、因式分解的一般步骤

（1）多项式的各项有公因式时，先提公因式。

（2）各项没有公因式时，要看看能不能用公式法来分解。

（3）如果用上述方法不能分解因式，再看能不能运用分组分解法。

（4）分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。

单项式除以单项式，把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加。

第十章 分式 知识梳理

（一）知识要点：

1. 分式的概念：

A 、

B 表示两个整式，A ÷B （B ≠0）可以表示为 A B 的形式，如果B 中含有字母，那么我们把式子A

B （B ≠0）叫分式，其中A 叫分子，B 叫分母。 关于分式概念的两点说明： i ）分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。

ii ）分式中的分母不能为零，是分式概念的组成部分，只有分式的分母不为零，分式才有意义，因此，若分式有意义，则分母的值不为零（所谓分母的值不为零，就是分母中字母不能取使分母为零的那些值）反之，分母的值不为零时，分式有意义。

2. 分式的值为零

分式的值为零 分子的值等于零

分母的值不等于零

3. 有理式的概念

有理式 整式 多项式

单项式

分式

4. 分式的基本性质

（1）分式的分子、分母乘同一个不等于零的整式，分式的值不变。

即 A B =A×M B×M (M ≠0)

（2）分式的分子、分母除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。

即 A B =A÷M B÷M (M ≠0)

注： （1）分式的基本性质表达式中的M 是不为零的整式。

（2）分式的基本性质中“分式的值不变”表示分式的基本性质是恒等变形。

5. 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。

6. 约分：把分式中分子和分母的公因式约去，叫约分。

注：约分的理论依据是分式的基本性质。

约分后的结果不一定是分式。

约分的步骤：

（1）分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式。

（2）分子、分母都除以它们的公因式。

7. 最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式就叫最简分式。

8. 分式的运算：

（1）分式乘法：b a ×d c =bd ac （2）分式除法：b

a ÷d c =

b a ×

c

d =bc ad

注： i ）分式的乘除法运算，归根到底是乘法运算。

ii ）分式的乘法运算，可以先约分，再相乘。

iii ）分式的分子或分母是多项式的先分解因式，再约分，再相乘。

（3）乘方：(b a )n

=b n a n （n 为正整数）

（4）通分：在不改变分式的值的情况下，把几个异分母的分式化为同分母分式的变形 叫通分。

注：分式通分的依据是分式的基本性质。

最简公分母：几个分式中各分母的数字因数的最小公倍数与所有字母（因式）的最高次幂的积叫这几个分式的最简公分母。

（5）分式的加减法：

同分母：

a m ±

b m =a±b m 异分母： a m ±b n =an mn ±bm mn =an±bm

mn

（6）混合运算：做分式的混合运算时，先乘方，再乘除，最后再加减，有括号先算括 号内的。

9. 分式方程：分母里含有未知数的方程叫分式方程。

注：分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，分母中含未知数就是分