导数的应用举例
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。
方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。
题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。
方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。
例题：已知函数f(x)=x-3x。
1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y-16=0）2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。
提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式关系。
将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。
答案：m的范围是(-3,-2)）练1：已知曲线y=x-3x。
1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。
（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0）2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。
题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。
方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。
（答案：2ex-y-e=0）练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。
（答案：2x-y-1=0或y=0）2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。
高数课件3-6导数在经济上的应用举例
边际收益：增 加一单位产量 所增加的收益
边际利润：边 际收益减去边
际成本
边际分析在经 济决策中的应 用：通过比较 边际成本和边 际收益，确定 最优产量和价
格
弹性分析
需求弹性：衡量消费者对价格变化的敏感程度 供给弹性：衡量生产者对价格变化的敏感程度 交叉弹性：衡量两种商品之间的替代关系 收入弹性：衡量消费者收入变化对消费需求的影响
公司
导数在经济上的应 用举例
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01
导数在经济分析中的应用
02
导数在金融领域的应用
03
导数在市场分析中的应用
04
导数在生产决策中的应用
05
导数在资源分配中的应用
06
01
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01
导数在经济分析中的应用
边际分析
边际成本：增 加一单位产量 所增加的成本
导数在风险评估中的局限性：导数只能预测短期趋势，不能预测长期趋势，因此需要结合其他方 法进行风险评估。
风险评估的实际应用：在金融领域，风险评估被广泛应用于股票、债券、期货等投资产品的风险 评估。
投资组合优化
导数在投资组合优化中的应 用：通过计算导数，找到最 优的投资组合
投资组合：将资金分散到不 同的资产中，以降低风险
资源利用和环境保护的平衡
导数在经济学中的应用：通过导数分析资源分配的优化问题
资源利用和环境保护的关系：资源利用过度会导致环境破坏，而保护环境 需要限制资源利用 导数在资源分配中的应用：通过导数分析，找到资源利用和环境保护的平 衡点
案例分析：某地区如何通过导数分析，实现资源利用和环境保护的平衡
资源分配的效率和公平性
导数的定义与计算
导数的定义与计算导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
它在数学和科学领域有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决各种问题。
本文将介绍导数的定义与计算方法。
一、导数的定义导数表示函数在某一点上的瞬时变化率。
我们以函数 f(x) 为例进行说明。
函数 f 的导数在点 x 处的定义如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim 表示极限，h 为一个无穷小量，表示 x 的增量。
导数的定义表示当 x 的增量无穷小时，f(x) 在该点上的变化率。
二、导数的计算1. 基本函数的导数计算对于简单的函数，我们可以利用导数定义来计算其导数。
以下是一些常见函数的导数计算公式：常数函数导数为 0：f(x) = c，则 f'(x) = 0，其中 c 为常数。
幂函数导数为其指数乘以常数：f(x) = x^n，则 f'(x) = nx^(n-1)，其中 n 为常数。
指数函数导数为其自身乘以常数：f(x) = a^x，则 f'(x) = ln(a)*a^x，其中 a 为常数。
对数函数导数为其自身的倒数：f(x) = log_a(x)，则 f'(x) = 1 /(x*ln(a))。
三角函数导数：正弦函数导数为余弦函数：f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。
余弦函数导数为负的正弦函数：f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。
其他三角函数的导数计算与此类似。
2. 导数的性质导数具有一些重要的性质，我们可以利用这些性质来计算复杂函数的导数。
导数的加法规则：若 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，则 [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)。
导数的乘法规则：若 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，则 [f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
三角函数与导数综合应用
三角函数与导数综合应用一、引言三角函数和导数是高等数学中的两个重要概念，它们在数学和物理等领域具有广泛的应用。
本文将讨论三角函数与导数的综合应用，并结合实际问题展示其重要性。
二、举例：航空器的爬升角度在航空领域中，航空器的爬升角度是一个关键参数，它直接影响飞机的爬升速率和到达目的地所需的时间。
而通过对三角函数和导数的综合应用，我们可以确定最优的爬升角度，使飞机能够以最高的效率完成任务。
1.问题陈述假设一架飞机位于空中，目标高度为H米，初始高度为h米（h < H），飞机的爬升速率为v m/s。
我们的目标是确定最小的爬升角度θ，使得飞机能够以最短的时间到达目标高度H。
2.解决方法我们可以利用三角函数和导数的综合应用来解决这个问题。
假设飞机当前的高度为y米，它的爬升角度为θ。
根据三角函数的定义，我们可以得到飞机的爬升速率与角度之间的关系：v = y' = dy/dt = sin(θ) * v其中，y'表示高度关于时间的导数，即飞机的爬升速率；dy/dt表示高度关于时间的变化率；sin(θ)表示飞机的爬升角度与爬升速率之间的比例关系；v表示飞机的爬升速率。
我们的目标是求解出角度θ的取值范围，使得飞机以最短时间到达目标高度H。
由于飞机的爬升速率是已知的，我们可以将问题转化为求解y与θ的关系式，并对y求导数。
3.问题求解设总时间为T，根据问题陈述，我们可以得到以下方程：∫[0,H] dy / (sin(θ) * v) = T其中，∫[0,H]表示对y从0到H进行积分，dy表示y的微元变化量。
将方程分解后，我们可以得到：∫[0,H] dy / sin(θ) = v * T再次对方程进行分解，我们可以得到：∫[0,H] sec(θ) dy = v * T利用积分规则，我们可以得到以下结果：[ln|sec(θ) + tan(θ)|] [0,H] = v * T由于θ的取值范围在[0,π/2]之间，我们可以得到以下结论：ln|sec(θ) + tan(θ)| = (v * T) / H根据以上方程，我们可以求解出最优的爬升角度θ，进而确定飞机到达目标高度H所需的最短时间T。
利用导数求参数范围举例
利用导数求参数范围举例例1.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． 解：(1)2,21-=-=b a 2122)2(]2,1[)(,2)2(,21)1(23)1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ，c c f x f c f c f cf c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由例2.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 解:(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g 例3．已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。
函数的导数与函数的凹凸性
函数的导数与函数的凹凸性函数的导数和函数的凹凸性是微积分中的重要概念。
导数描述了函数曲线在某一点上的斜率，而凹凸性则描述了函数曲线的弯曲性质。
这两个概念在数学、物理、经济等领域的问题求解和分析中具有广泛的应用。
一、函数的导数函数的导数是描述函数变化率的工具，表示了函数在某一点上的斜率。
设函数y = f(x)在点x0处可导，那么函数在该点的导数可以通过以下公式计算：f'(x0) = lim┬(△x→0)〖(f(x0+△x)-f(x0))/△x〗其中，lim表示极限运算，△x表示x的增量。
导数有正值、负值和零值三种情况，分别代表函数在该点上升、下降和水平。
导数的计算可以通过微分法、极限以及函数的性质来进行。
通过求导数，我们可以获得函数在每个点上的斜率，从而判断函数的增减性、最值位置等重要特征。
二、导数与函数的凹凸性导数与函数的凹凸性之间有着密切的联系。
函数在某一区间内的凹凸性可以通过它的导数的变化来确定。
下面是一些凹凸性的定义和性质。
1. 凹函数和凸函数若函数f(x)满足对于区间[a, b]上的任意两个点x1和x2，以及t∈[0, 1]，有如下不等式成立：f(tx1+(1-t)x2) ≤ tf(x1)+(1-t)f(x2)则称f(x)为在区间[a, b]上的凸函数。
如果不等式中的“≤”换成“≥”，则称f(x)为在区间[a, b]上的凹函数。
2. 凹凸性与导数如果函数f(x)在[a, b]上具有二阶连续导数，则以下命题成立：a) 若f''(x) > 0，则f(x)在[a, b]上是凹函数；b) 若f''(x) < 0，则f(x)在[a, b]上是凸函数；c) 若f''(x) = 0，则f(x)在[a, b]上可能是凹函数、凸函数，或者既不是凹函数也不是凸函数。
根据这些命题，我们可以通过函数的导数来推断函数的凹凸性质。
例如，当导数递增时，函数为凹函数；当导数递减时，函数为凸函数。
导数在物理学中的应用举例
导数在物理学中的应用举例
导数是微积分的一个重要概念，它在物理学中具有广泛的应用。
下面是一些导数在物理学中的应用举例：
1.速度和加速度计算：导数在描述物体的速度和加速度方面发
挥着关键作用。
在物理学中，我们可以通过对位移函数进行求导来
计算速度和加速度。
例如，一个物体在时间t的位移函数s(t)可以
通过对s(t)关于t的导数来得到物体的速度v(t)，进一步对v(t)关于t 求导，可以得到物体的加速度a(t)。
2.斜率和曲线的切线：导数可以用来计算曲线在特定点的斜率。
在物理学中，我们经常需要计算曲线在某一点的斜率，以便确定物
体在该点的运动特性。
导数也可以用来计算曲线在特定点的切线方程，帮助我们更好地理解曲线的形状和特征。
3.极值和拐点：导数是寻找函数的极值点和拐点的有力工具。
在物理学中，我们经常需要确定物体在某一时刻的极值点，例如物
体的最大高度或最大速度等。
通过对物体的位移、速度或加速度函
数进行求导，我们可以找到这些极值点的位置和数值。
4.动力学方程：导数在描述物体的运动和力学方程中起着重要
作用。
通过对运动方程进行求导，我们可以得到物体的速度和加速
度之间的关系。
物理学中的很多重要方程都是基于导数的运算得到的，例如牛顿第二定律F=ma，其中a是加速度，m是质量，F是力。
综上所述，导数在物理学中有着广泛的应用。
它不仅可以用于
计算速度、加速度和斜率等物理量，还可以用于寻找极值点和描述
物体的运动特性。
了解导数的概念和应用对于理解和研究物理学中
的各种现象和问题非常重要。
导数在实际生活中的应用举例
导数在实际生活中的应用举例
1. 工程设计中：当设计一个桥梁时，需要考虑桥梁的结构，桥梁的载重量，以及桥梁的弯曲变形，而对于桥梁的弯曲变形，需要使用导数求解，以此来确定桥梁的设计参数。
2. 地质勘探中：当地质勘探时，需要知道地质结构的变化，以及地质变化的趋势，而这些变化的趋势，都可以使用导数来求解。
3. 气象预报中：当气象预报时，需要知道气象要素的变化趋势，以及气象要素的变化速度，这些变化的速度，都可以使用导数来求解。
导数在经济中的应用举例
导数在经济中的应用举例【摘要】导数是高等数学的基础之一，它在经济学中应用广泛，本文从边际分析，弹性分析两个领域说明导数在经济学中的应用.【关键词】导数：边际成本；边际收入；边际利润；弹性1.导数的概念定义 1 设函数在点及其近旁有定义，当自变量在有增量时，函数有相应的增量如果当时，的极限存在，则称在点处的导数存在或可导，这个极限值就称为函数在点处的导数，记为，即2.导数在经济分析中的应用1）边际成本定义2 经济学中，边际成本是指总成本对产量的变化率.其经济意义是当产量达到某一点时，每增加一个单位产品所需增加的成本.边际成本一般记作，即例1：某种产品生产件时，总成本（元），求当产量为100件时的平均成本和边际成本.解：由于平均成本=，边际成本=，则生产100件时，总成本为500元；平均成本为；边际成本为；当时，2）边际收入定义3经济学中，边际收入是指总收入对销售量的变化率.其经济意义是当销售量达到某一点时每多销售一个单位产品时所增加的收入.边际收入一般记作，即例2.设某产品的价格与销售量得关系为，求销售量为20时的总收入、平均收入与边际收入.解：由于总收入=销售量×价格，平均收入=总收入/销售量，边际收入=总收入的导数.故先求出总收入、平均收入与边际收入，再将20代入。
3）边际利润定义4 经济学中，边际利润是指总利润对销售量的变化率.其经济意义是当销售量达到某一点时，每多销售一个单位产品所增加的利润.由于总利润为总收入与总成本的差，即，上式两边同时求导得，例3 设生产某种产品的固定成本为60000元，变动成本为每件30元，价格函数为（为销售量），试求边际利润函数.4）弹性最常见的弹性就是需求弹性.需求弹性是表示需求量对价格变化的反应程度.需求价格弹性课分为：（1），称需求对价格是低弹性的，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响不大.生活必需品多属于这种情况.（2），称需求对价格是高弹性的，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响较大.奢侈品多属于这种情况.（3），称需求对价格是单位弹性的，此时商品需求量变动的百分比和价格变动的百分比相等.参考文献：[1]黎诣远，经济数学基础.《高等教育出版社》2002.8[2]刘荣花，导数在经济学中的应用.《高师理科学刊》2010.7。
导数及其应用生活中的优化问题举例
模型参数设置
为预测模型设置合适的参数，以便进行模型训练和预测。
模型训练和优化
使用历史数据训练预测模型，并不断优化模型参数，以提高预测准 确性。
时间序列预测模型的检验与应用
模型检验
使用独立的验证数据集评估预测模型的性能，比较实际值与预测值的差异。
导数及其应用生活中的优化 问题举例
2023-11-08
contents
目录
• 导数的定义与计算 • 导数在生活中的应用 • 导数在优化问题中的应用举例 • 导数在最优问题中的应用 • 导数在时间序列预测中的应用 • 导数在其他领域的应用举例
01
导数的定义与计算
导数的定义
函数在某一点的导数
函数在某一点的导数描述了函数在该点的变化率。
通过运用导数，企业可以找到运营成本的最优解，以 降低企业的运营成本。
在最小成本问题中，企业需要通过对运营成本的分析 ，寻找降低成本的途径。导数方法可以通过对成本函 数进行求导，找到成本最低的运营方案。例如，在物 流行业中，通过优化运输路线和装载方式可以降低运 输成本。
04
导数在最优问题中的应用
最优路径问题
模型应用
将经过验证的预测模型应用于实际时间序列数据的预测，为决策提供支持。
06
导数在其他领域的应用举 例
工程领域：结构优化设计、强度分析等
结构优化设计
在航空航天、建筑等领域，结构优化设计是至关重要的。导数可以帮助我们更好地理解结构的形状、尺寸和材料 等参数对结构强度、刚度和稳定性的影响，从而优化设计。例如，通过有限元分析方法，利用导数求解结构中的 应力、应变分布，进一步优化结构设计。
导数的两种定义公式法
导数的两种定义公式法摘要：一、导数的定义1.导数的概念2.导数的两种定义公式二、导数公式法1.常见导数公式2.导数公式应用举例三、求导法则1.求导的基本法则2.求导法则的运用四、导数在实际问题中的应用1.导数在物理中的应用2.导数在化学中的应用3.导数在经济学中的应用正文：导数是微积分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点处的变化率。
导数可以帮助我们了解函数的增减性、极值点和曲率等信息。
在求导过程中，通常会使用导数公式法，它是一种利用已知的导数公式来求解导数的方法。
导数的定义有多种，这里我们介绍两种常用的定义公式。
第一种定义公式为：如果给定一个函数f(x)，那么其在x 处的导数f"(x) 等于函数在x 处的增量Δy 与自变量增量Δx 之比，即f"(x)=Δy/Δx。
第二种定义公式为：如果给定一个函数f(x)，那么其在x 处的导数f"(x) 等于函数在x 处的极限值，即f"(x)=lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx。
在实际求导过程中，我们通常会使用一些常见的导数公式。
例如，对于幂函数f(x)=x^n，其导数为f"(x)=n*x^(n-1)；对于三角函数f(x)=sin(x) 和cos(x)，其导数为f"(x)=cos(x) 和-sin(x)，等等。
通过运用这些导数公式，我们可以很方便地求解一些复杂函数的导数。
求导是微积分学中的基本操作之一，它可以帮助我们研究函数的性质和变化规律。
在实际问题中，导数在许多领域都有着广泛的应用。
例如，在物理学中，导数可以用来描述物体的速度和加速度；在化学中，导数可以用来描述化学反应的速率和浓度的变化；在经济学中，导数可以用来描述价格、产量和消费量等经济变量之间的关系。
总之，导数是微积分学中的一个重要概念，它具有广泛的应用价值。
高中数学“导数应用问题”题型举例
高中数学“导数应用问题”题型举例发表时间：2020-12-15T15:20:04.923Z 来源：《基础教育课程》2020年9月作者：杨德盛[导读] 在高中数学教学中有一个特殊的存在，即为导数，其能够使初等数学紧密衔接高等数学，学生在掌握后能够快速找到解题突破口，导数能够在很多章节中应用，可有效解答数学问题。
浙江省平阳中学杨德盛摘要：在高中数学教学中有一个特殊的存在，即为导数，其能够使初等数学紧密衔接高等数学，学生在掌握后能够快速找到解题突破口，导数能够在很多章节中应用，可有效解答数学问题实际上在高等教育时才会接触导数，在纳入高中教材后，使用导数可解决许多数学问题，能够将复杂推理简化，在处理函数单调性、求方程的根、处理不等式相关问题上能够发挥重要作用。
目前高中数学教师都比较重视导数的教学，本文主要通过导数应用问题举例的方式进行探讨，以供参考。
关键词：高中数学；导数应用问题；题型导数是高中数学中的重要组成，其具有工具性质，能够有效解决一些数学问题，并且在最近几年高考中，以方程与不等式、函数与导数为载体的导数知识是重难点，甚至多次作为压轴大题。
但是由于这一知识比较抽象，学生学起来比较难，并且解答很多数学问题都需要使用导数，这将增加学生的心理压力。
针对这一情况，教师应该采取合理的方法加以解决，制定合理的教学策略，使学生更容易接受和掌握导数知识，并有效应用。
一、导数应用问题”题型举例（一）应用导数解答函数问题在研究函数问题时，主要是对函数的图像、函数亮点、函数最值、函数极值以及单调性进行考虑，在一段定义域内如果一个函数为减函数，那么的导函数小于0，如果在一段定义域内一个函数为增函数，那么的导函数大于0。
利用导函数图像既能对图像是否是原函数进行判断，比如：在定义域内函数可导，下图为导函数图像，那么函数图像可能是（）在解答这类题型时，需要对原函数图像和导函数图像之间的关系进行正确分析，在导函数小于零时，对应原函数处于递减区间，由此可知，原函数图像趋势为递减、递增、递减、递增，从而B为正确答案。
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像，并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质，这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的 正负和变化趋势，可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率，进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化 问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作 用，通过求导数找到利润函数的极值点 ，从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中，最大利润 问题是一个核心问题。导数可以帮助我们 找到利润函数的极值点，从而确定在什么 情况下能够获得最大利润。例如，在投资 组合优化中，通过求导数可以找到最大化 收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在研究物体 的运动轨迹时，通过求导数可以得到物体在任意时刻的速 度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时，导数可以用来描述温度随时间的变 化率，通过求解导数方程，可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的关系，通 过求解导数方程，可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色，通过求导数找到成本函数的极值点，从而确定 最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中，最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找 到成本函数的极值点，从而确定在什么情况下成本最低。例如，在生产过程中，通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。
导数的应用举例
导数的应用举例导数做为教材新增内容，既为原有知识的学习开拓了视野，又为以后高等数学的学习奠定了基础，因此它已经成为了高考的主要考查内容，这一点已经为大家所共视。
那么导数在解题中有哪些具体用途怎样用于解题之中这自然就是同学们学习当中应当慎重思考、严格把握的问题。
一、 利用导数求即时速度、加速度例1、 某汽车启动阶段的路程函数为2352)(t t t s -=，求t=2秒时汽车的加速度。
解：由导数知识可知：,1012)(')(,106)(')(2-==-==t t v t a t t t s t v所以当t=2时,at=14二、 利用导数求曲线的切线斜率、方程例2、求过曲线y=cos 上点)21,3(π,sin ',cos x y x y -=∴= )21,3(π,233sin '3-=-=ππy 32.0233232)3(3221=+--⇒-=-ππy x x y x x x f ln 23)(2-=).,0(+∞xx x f 26)('-=。
舍负)(0)('33±=⇒=∴x x f .0)('),33(;0)(')33,0(>+∞∈<∈x f x x f x 时时)33,0(),33(+∞])1,0[(1122∈-++-=x x x x x y 222)1()21(2)'121('x x x x x y -+--=-++-=210'=⇒=x y .1)1(,53)21(,1)0(===f f f ])1,0[(1122∈-++-=∴x x x x x y .53)1(1)1(2ln >+->x x x x .)1()1()1(41)('),1(1)1(2ln )(222+-=+-=∴>+--=x x x x x x f x x x x x f .0)(',1>∴>x f x )1(1)1(2ln >+->x x x x 或f≤m，从而证得不等式。
高中导数运算法则
高中导数运算法则导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在高中阶段，我们学习了一些常用的导数运算法则，这些法则可以帮助我们快速求解函数的导数，进而解决各种数学问题。
一、导数的定义在开始讲解导数运算法则之前，我们先回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h表示x的增量。
这个定义可以理解为函数在x点附近的平均变化率，而导数则表示了函数在x点的瞬时变化率。
二、导数的基本法则1. 常数法则：如果f(x) = c，其中c是常数，那么f'(x) = 0。
这是因为常数的导数为0，表示函数在任何点上的变化率都为0。
2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是常数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
这个法则可以帮助我们求解多项式函数的导数。
3. 和差法则：对于函数f(x) = g(x) ± h(x)，其中g(x)和h(x)都是可导函数，那么f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
这个法则可以帮助我们求解函数的导数和。
4. 积法则：对于函数f(x) = g(x) * h(x)，其中g(x)和h(x)都是可导函数，那么f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)。
这个法则可以帮助我们求解函数的乘积的导数。
5. 商法则：对于函数f(x) = g(x) / h(x)，其中g(x)和h(x)都是可导函数，且h(x) ≠ 0，那么f'(x) = [g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)] / [h(x)]^2。
这个法则可以帮助我们求解函数的商的导数。
6. 复合函数法则：对于复合函数f(g(x))，其中g(x)是可导函数，而f(x)是一个在g(x)处可导的函数，那么f'(g(x)) = f'(u) * g'(x)，其中u = g(x)。
导数在经济分析中的应用举例
边际价格反映了商品价格的微小变化对 供给或需求的影响程度，是确定市场均 衡的关键因素之一。
利用导数分析供需关系可以帮助我们更好地 理解市场均衡的形成机制以及市场失衡的原 因，为经济学分析提供了有力的工具。
在实际经济分析中，导数的应用非 常广泛，例如在劳动力市场分析、 货币供应和需求分析、国际贸易分 析等领域都可以利用导数进行深入 的研究。
03 边际成本与总成本的关系反映在生产过程中增加 一个单位产量的成本变化情况。
导数在成本函数中的应用实例
01 假设某企业的生产函数为：C(x)=x^2+2x+1,其 中C(x)表示总成本，x表示产量。
02 通过求导数，可以得出边际成本函数为： MC(x)=2x+2。
03 根据边际成本与总成本的关系，当MC(x)=C(x)时 ，企业达到最优产量。
导数在供需关系中的应用实例
实例1
假设某种商品的市场需求函数为D(p)=1000(p+1)，市场供给函数为S(p)=2000e^(−p)。利用导数可以求解该商 品的均衡价格。根据市场均衡条件D(p)=S(p)，可以求得均衡价格p=1.5。此时，该商品的均衡数量为 D(1.5)=S(1.5)=500。
总收入
表示在一定时间内，销售或生产一定数量的产品所获得的全部收入。
关系
边际收入与总收入之间存在一定的关系。当销售量或产量增加时，边际收入逐渐上升，但 当销售量或产量达到一定水平后，边际收入会逐渐下降。这是因为随着销售量或产量的增 加，单位产品的收益逐渐降低，导致边际收益下降。
导数在收入函数中的应用实例
利用导数可以推导出Black-Scholes定价公式， 为期权定价提供理论依据。
导数在投资决策中的经济学意义
导数在运动科学中的应用举例
导数在运动科学中的应用举例
导数是微积分中的重要概念，它在运动科学领域中有着广泛的应用。
以下是一些导数在运动科学中的应用举例：
1. 速度和加速度的计算
在运动学中，导数可以用来计算物体的速度和加速度。
速度是位置关于时间的导数，而加速度是速度关于时间的导数。
通过对位置-时间函数进行求导操作，我们可以得到关于时间的速度和加速度函数，从而帮助研究者更深入地理解和分析运动的特性和变化。
2. 运动轨迹的研究
通过对位置-时间函数的导数，我们可以得到物体在不同时间点的速度和加速度。
这些速度和加速度的信息可以帮助我们研究物体的运动轨迹。
例如，通过分析速度和加速度的变化情况，我们可以了解物体是匀速运动还是加速运动，并进一步预测物体未来的位置和运动状态。
3. 力的计算和分析
在牛顿力学中，力是物体的质量乘以加速度。
通过导数的计算，我们可以得到物体的加速度函数，进而计算出物体所受的力。
这种
力的计算和分析在运动科学中具有重要意义，可以帮助研究者理解
物体所受的作用力以及力对物体运动的影响。
4. 运动过程的优化
在运动科学中，导数可以用来优化运动过程。
例如，在运动训
练中，研究者可以通过对某种运动动作的速度函数进行导数运算，
找到最大速度点或最大加速度点，从而优化动作的执行方式。
这种
运动过程的优化可以帮助运动员提高训练效果和竞技成绩。
导数是运动科学中不可或缺的工具，它能够提供关于位置、速度、加速度和力等运动参数的重要信息。
通过运用导数的概念和计
算方法，我们可以更加深入地理解运动的本质，并在运动训练和竞
技分析中取得更好的结果。
导数应用举例
§2—6 导数应用举例我们知道，函数()x f y =的导数()x f '的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。
在()x f y =具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。
一、 导数在物理上的应用举例 （一） 导数的力学意义设物体作变速运动的方程为()t s s =，则物体运动的速度()t v 是位移()t s s =对时间t 的变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数()()dtdst s t v ='=；此时，若速度v 仍是时间t 的函数()t v ，我们可以求速度v 对时间t 的导数()t v '，用a 表示，就是()().22dtsd t s t v a =''='=在力学中，a 称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度a 是位移s 对时间t 的二阶导数。
例1某物体的运动方程为()22310212秒米取g gt t s -=，求2=t 秒时的速度和加速度。
解： 根据导数的力学意义，得()()()()()()()().141024242,420242242,12,62秒米秒米=-=-==-=-=-=''=-='=g a g v g t t s t a gt t t s t v（二）导数的电学意义设通过某导体截面的电量q 是()t q q =，则通过该导体的电流()t I 是电量()t q q =对时间t 的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数()().dtdqt q t I ='= 例2设通过某导体截面的电量()ϕω+=t A q sin （库仑），其中ϕω,,A 为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流().t I解： 因为()ϕω+=t A q sin ，所以()()()[]()ϕωωϕω+='+='=t A t A t q t I cos sin （安培）。
商求导数的公式
商求导数的公式
摘要：
1.导数的定义
2.商的导数公式
3.应用举例
正文：
1.导数的定义
导数是微积分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点处的变化率。
具体地说，导数就是一个函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为该函数在这一点的瞬间增长速度。
导数在数学分析、物理学、经济学等各种学科中都有广泛的应用。
2.商的导数公式
在微积分学中，商的导数公式是一个非常重要的公式。
给定两个函数f(x) 和g(x)，它们的商的导数公式可以表示为：
(f(x)/g(x))" = (f"(x)g(x) - f(x)g"(x)) / g(x)^2
其中，f"(x) 和g"(x) 分别表示函数f(x) 和g(x) 的导数。
3.应用举例
我们可以通过一个具体的例子来理解商的导数公式。
假设我们有两个函数f(x) = x^2 和g(x) = x^3，它们的商为h(x) = f(x)/g(x) = x^2 / x^3 = x^(-1)。
我们可以计算h(x) 的导数：
h"(x) = (-1) * x^(-2) = -1/x^2
我们可以看到，h(x) 的导数与商的导数公式一致。
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求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=x2sinx+2cosx; (3)y=( x+1)( 1 -1). x
解: (1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2) =4x(3x-2)+(2x2+3)3 =18x2-8x+9. 法2 y=(6x3-4x2+9x-6) =18x2-8x+9. (2)y=(x2sinx)+(2cosx) =(x2)sinx+x2(sinx)+2(cosx) =2xsinx+x2cosx-2sinx.
典型例题 5
典型例题 6
1-ax 已知 a>0, 函数 f(x)= x , x(0, +∞), 设 0<x1< 2 . 记曲线 a y=f(x) 在点 M(x1, f(x1)) 处的切线为 l. (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 1 1 1 轴的交点为 (x2, 0), 证明: ① 0<x2≤ a ; ②若 x1< a , 则 x1<x2< a . 1 1 (1)解: f(x)=( x -a)=(x-1) =-x-2=- x2 . 1 (x-x )+ 1-ax1 . ∴切线 l 的方程为 y=- x 2 1 x
∵f(0)=2a, ∴b=2a. ∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a) =(x-a)(x2-x-2)
=(x+1)(x-2)(x-a)
令 (x+1)(x-2)(x-a)<0, 由于 a≥2, 则 当 a=2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1); 当 a>2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1)∪(2, a).
∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),
∴4b+c=0. 又g(x)=2bx, 4b=g(2)=f(2)=16, ∴b=4. ∴c=-16. ∴g(x)=4x2-16. 综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.
课后练习 7
设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P 点, 且曲线 在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0. 若函数在 x=2 处取得极值 0, 试确定函数的解析式. 解: 由已知, P 点的坐标为(0, d). ∵曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0, ∴120. 解得: d=-4. 又切线斜率 k=12, 故函数在 x=0 处的导数 y|x=0=12. 而 y=3ax2+2bx+c, y|x=0=c, ∴c=12. ∵函数在 x=2 处取得极值 0, ∴y|x=2=0 且当 x=2 时, y=0. 12a+4b+12=0, 故有 8a+4b+20=0. 解得 a=2, b=-9. ∴y=2x3-9x2+12x-4.
1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 - 2 -1)+(x +1)(x 1 2 1 - 2 -1) +1)(x
典型例题 2
已知 f(x) 的导数 f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, 且 f(0)=2a, 若 a≥2, 求不等式 f(x)<0 的解集. 解: ∵f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, ∴可设 f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.
课后练习 6
已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且 在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式.
解: ∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f(x)=6x2-8.
1 2 2 x -2x+5. (1)求函数 f(x) 的单调递增、递减区间; (2)当 x[-1, 2] 时, f(x)<m 恒成立, 求实数 m 的取值范围. 设 f(x)=x3解: (1)由已知 f(x)=3x2-x-2, 令 f(x)<0 得 - 2 <x<1; 令 f(x)>0 得 x<- 2 或 x>1. 3 3 2 , 1); ∴y=f(x) 的单调递减区间是 (- 3 2 单调递增区间是 (-∞, - 3 ) 和 (1, +∞). (2)命题等价于 f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值小于 m. 2 令 f(x)=0 得 x=- 3 或 1. 22 2 1 1 ∵f(-1)=5 2 , f(- 3 )=5 27 , f(1)=3 2 , f(2)=7, ∴f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值为 7. ∴7<m. 故实数 m 的取值范围是 (7, +∞).
课后练习 1
1 + 1 ; (2)y=cos( 1 x2-4); 2 1+ x 1- x (3)y=(sinx)cosx. 2 . 2 -1, ∴y=-2(1-x)-2(1-x) = 解: (1)∵y= 1-x =2(1-x) (1-x)2 (2)y=-sin( 1 x2-4)( 1x2-4) =-xsin( 1 x2-4). 2 2 2 求下列函数的导数: (1)y= (3)∵y=(sinx)cosx=ecosxlnsinx, ∴y=(ecosxlnsinx) =ecosxlnsinx(cosxlnsinx) =(sinx)cosx[-sinxlnsinx+cosx(lnsinx)] cosx(-sinxlnsinx+cosx 1 cosx) =(sinx) sinx =(sinx)cosxsinx(cot2x-lnsinx) =(sinx)1+cosx(cot2x-lnsinx)
已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且 在点 P 处有相同的切线. (1)求实数 a, b, c 的值; (2)设函数 F(x) =f(x)+g(x), 求 F(x) 的单调区间, 并指出函数 F(x) 在该区间上的 单调性. 解: (1)∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴223+2a=0. ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f(x)=6x2-8. ∴f(2)=622-8=16. ∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0), ∴4b+c=0. 又g(x)=2bx, 4b=g(2)=f(2)=16, ∴b=4. ∴c=-16. 综上所述, 实数 a, b, c 的值分别为 -8, 4, -16. (2)由(1)知 f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16. ∴F(x)=2x3+4x2-8x-16. ∴F(x)=6x2+8x-8. 由 F(x)>0 得 x<-2 或 x> 2 ; 3 2 由 F(x)<0 得 -2<x< 3 . ∴F(x) 的单调区间为: (-∞, -2)、 (-2, 2 ) 和 ( 2 , +∞), 并且 F(x) 在 (-2, 2 ) 上是减函数, 在 3 3 3 (-∞, -2) 上是增函数, 在 ( 2 , +∞)上也是增函数. 3
1 1
(2)证: 依题意, 在切线 l 的方程中令 y=0, 得 x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1), 其中 0<x1< 2 . a ∴ax1<2, ∴2-ax1>0. 又 x1>0, ∴x2=x1(2-ax1)>0. 1 1 1 1 1 ①当 x1= a 时, x2=-a(x1- a )2+ a 取得最大值 a ,∴0<x2≤ a . 1 1 ②当 x1< a 时, ax1<1, ∴x2=x1(2-ax1)>x1. 又由①知 x2< a , 1 ∴x1<x2< a .
课后练习 4
求函数 f(x)=ln(1+x)- 1 x2 在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值. 4 1 解: f(x)= 1+x - 1 x, 对于 x[0, 2], 2 令 f(x)>0 得 0≤x<1; 令 f(x)<0 得 1<x≤2. ∴f(x) 在 [0, 1) 上为增函数, 在 (1, 2] 上为减函数. ∴f(1)>f(2). 1 又∵f(0)=0, f(1)=ln2- 4 , f(2)=ln3-1>0, ∴f(0)=0 为函数 f(x) 在区间 [0, 2] 上的最小值; f(1)=ln2- 1 为函数 f(x) 在区间 [0, 2] 上的最大值. 4
∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0), 即 y0=3x03+3x02-6x0-1.
而点 P(x0, y0)在曲线上, 满足 y0=x03+3x02-5, ∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1. 整理得 x03-3x0+2=0. 解得 x0=1 或 x0=2. ∴切点为 P(1, -1) 或 P(-2, -1). 故所求的切线方程为 9x-y-10=0 或 y=-1.
课后练习 3
设 f(x)=aex+bln(2+x), 若 f(1)=e, 且 f(-1)= 1 , 求函数 f(x) 的解 e 析式. 解: 由已知 f(x)=[aex+bln(2+x)] =(aex)+[bln(2+x)] b =aex+ 2+x 1 ∵f(1)=e, f(-1)= e , ae+ b =e, ∴ a 3 1 解得 a=1, b=0. e +b= e . ∴f(x)=ex.