混合策略与随机行动概论
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例如：乒乓球员以60％的概率选择正手发球，40％的概 率选择反手发球。
什么是纯策略？
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
如果你是踢球人,这两个纯策略中你更喜欢哪一种?（ 70％）
你能不能做得更好? (1)以50:50（抛硬币）的比例随机地选择左边或右边。
如果守门员选择左边，你混合策略成功的概率： ½*58%+ ½* 93%= 75.5% 如果守门员选择右边，你混合策略成功的概率： ½*95%+ ½* 70%= 82.5%
70，30
得益：进球得分的百分比。根据1995-2000年间 意大利、西班牙和英国最高联盟的数据
严格竞争博弈
就一次游戏而言，猜测对方的策略，保密自己的策略 。在多次反复游戏中，避免任何的倾向性和规律性。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
零和博弈
实Hale Waihona Puke Baidu验
办法是将行动随机化。
混合策略
混合策略：
参与人在每一个给定信息的情况下以某种概率分布随机地 选择不同的行动。
如果守门员选择左边，你混合策略成功的概率： x*58%+ （1－x）* 93% 如果守门员选择右边，你混合策略成功的概率： x*95%+ （1－x） * 70% 两者相等，求得选x＝0.383
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
不管守门员选择他的左边还是右边，你的最佳混合比 例都会使你得到相等的成功率 (4)以0.383:0.617的比例随机地选择左边或右边。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
你的连续更优的混合策略比例就是如何使自己在守门 员选择左边时和选择右边的成功概率差距缩小。
58％－－70％－－12％
75.5%－－ 82.5%－－7.3％ 79% －－80%－－1％ x－－y－－0
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
不管守门员选择他的左边还是右边，你的最佳混合比 例都会使你得到相等的成功率 (3)以x:1－x的比例随机地选择左边或右边。
• 参与人：n个 • 每个参与人的战略集：{打电话，不打电话} • 效用：没有任何人打，所有人0支付；
打，v-c； 不打，但其他人至少有一个人打，v
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略—案例
– 纯战略NE
• 当只有两个参与人的时候（公共产品提供的斗 鸡博弈）——两个NE
• n个人的时候： 假设有m个人提供，m>1 or m=1 n个NE
混合策略与随机行动概 论
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月2日星期四
赛场
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略提出
点球射门 攻方的策略是：攻左边，或攻右边 守方的策略是：守左边，或守右边（以守方的方向为准）
守
左边 右边
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
左边 58，42
95，5
攻
右边 93，7
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
实验显示： “陷入无意识但仍可预测的模式” 例如：官僚作风－－连续出“布”
雪崩－－－连续出石头 排除策略－－省略一个
随机：秘密的，足够复杂以至难以让人破解的规则
如果守门员选择左边，你混合策略成功的概率： 0.383*58%+ 0.617* 93%＝79.6％ 如果守门员选择右边，你混合策略成功的概率： 0.383*95%+ 0.617 * 70% ＝79.6％
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
那么守门员的策略怎样？
守门员的最佳策略是使踢球者选择左边和选择右边的成功 率相等的策略。 守门员应当分别以41.7％和58.3％的比例选择自己的左边 和右边，使踢球者成功的概率为79.6%. 混合策略纳什均衡?
• 报案（reporting a crime）
– n个人目睹一桩罪行，每个人都希望报警， 但是都倾向于其他人打电话。特别的，假定 能从报警中得到v单位的收益，而打电话的 人需要付出c单位的成本，v>c>0。分析这 个问题的纯战略NE和混合战略NE。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略—案例
– 分析：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
法则
在纯冲突博弈（零和博弈）中，如果让你的对手事先看清 楚你的真实选择对你不利，那么你可以通过随机选择自己 备选的纯策略而获益。你的混合比例应该是这样的：对手 采取任何特定的备选纯策略，都不可能利用你的选择， 即，当你以混合策略对付他的混合策略中任一纯策略时， 你得到的平均赢利都相等。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
50：50是你最佳混合策略吗?
(2)以40:60（在你的口袋里放一本书，如果页眉最后一位 数是1到4选左，0到5则选右）的比例随机地选择左边 或右边。
如果守门员选择左边，你混合策略成功的概率： 0.4*58%+ 0.6* 93%= 79% 如果守门员选择右边，你混合策略成功的概率： 0.4*95%+ 0.6* 70%= 80%
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
怎样随机行动？
实验抛硬币
抛硬币翻出正面之后再抛一次，这时出正面的可能性与抛 出反面的可能性相等。
无规律的随机行动（点名4/18=22%,不点名78％）。 例如：一个秘密的、足够复杂以致让人难以破解的规则。 举例：秘密
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略—案例
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
但是，我们知道，玩这个游戏是总 是以对方不易猜出的随机方式出招。事 实上，可以通过数学证明，当双方都以 每个战略按1/3的概率出招时，达成一种 双方都不愿改变这种概率分布的局面。 这被称为“混合战略纳什均衡”，而这种以 随机方式选择纯战略的博弈被称为“混合 战略博弈”。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略—案例
• 混合战略NE • 随着人数n的增加，p减小，即人越多，每
个人选择报案的概率就会越小，如果n＝1， 则p＝1 • 社会心理学与博弈分析
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略—案例
小孩玩的游戏“石头，剪子，布”， 也是一种博弈。但是，这个博弈有一种 有趣的特征，即给定一方的任何选择， 另一方都有制胜对方的战略，所以，给 定一方任何一个战略，对方都有制胜这 个战略的战略，因而这个战略不是最优 的。任何“纯战略”都不是最优的，纯战略 是“石头，剪子，布”中的任何一个。
什么是纯策略？
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
如果你是踢球人,这两个纯策略中你更喜欢哪一种?（ 70％）
你能不能做得更好? (1)以50:50（抛硬币）的比例随机地选择左边或右边。
如果守门员选择左边，你混合策略成功的概率： ½*58%+ ½* 93%= 75.5% 如果守门员选择右边，你混合策略成功的概率： ½*95%+ ½* 70%= 82.5%
70，30
得益：进球得分的百分比。根据1995-2000年间 意大利、西班牙和英国最高联盟的数据
严格竞争博弈
就一次游戏而言，猜测对方的策略，保密自己的策略 。在多次反复游戏中，避免任何的倾向性和规律性。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
零和博弈
实Hale Waihona Puke Baidu验
办法是将行动随机化。
混合策略
混合策略：
参与人在每一个给定信息的情况下以某种概率分布随机地 选择不同的行动。
如果守门员选择左边，你混合策略成功的概率： x*58%+ （1－x）* 93% 如果守门员选择右边，你混合策略成功的概率： x*95%+ （1－x） * 70% 两者相等，求得选x＝0.383
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
不管守门员选择他的左边还是右边，你的最佳混合比 例都会使你得到相等的成功率 (4)以0.383:0.617的比例随机地选择左边或右边。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
你的连续更优的混合策略比例就是如何使自己在守门 员选择左边时和选择右边的成功概率差距缩小。
58％－－70％－－12％
75.5%－－ 82.5%－－7.3％ 79% －－80%－－1％ x－－y－－0
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
不管守门员选择他的左边还是右边，你的最佳混合比 例都会使你得到相等的成功率 (3)以x:1－x的比例随机地选择左边或右边。
• 参与人：n个 • 每个参与人的战略集：{打电话，不打电话} • 效用：没有任何人打，所有人0支付；
打，v-c； 不打，但其他人至少有一个人打，v
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略—案例
– 纯战略NE
• 当只有两个参与人的时候（公共产品提供的斗 鸡博弈）——两个NE
• n个人的时候： 假设有m个人提供，m>1 or m=1 n个NE
混合策略与随机行动概 论
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月2日星期四
赛场
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略提出
点球射门 攻方的策略是：攻左边，或攻右边 守方的策略是：守左边，或守右边（以守方的方向为准）
守
左边 右边
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
左边 58，42
95，5
攻
右边 93，7
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
实验显示： “陷入无意识但仍可预测的模式” 例如：官僚作风－－连续出“布”
雪崩－－－连续出石头 排除策略－－省略一个
随机：秘密的，足够复杂以至难以让人破解的规则
如果守门员选择左边，你混合策略成功的概率： 0.383*58%+ 0.617* 93%＝79.6％ 如果守门员选择右边，你混合策略成功的概率： 0.383*95%+ 0.617 * 70% ＝79.6％
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
那么守门员的策略怎样？
守门员的最佳策略是使踢球者选择左边和选择右边的成功 率相等的策略。 守门员应当分别以41.7％和58.3％的比例选择自己的左边 和右边，使踢球者成功的概率为79.6%. 混合策略纳什均衡?
• 报案（reporting a crime）
– n个人目睹一桩罪行，每个人都希望报警， 但是都倾向于其他人打电话。特别的，假定 能从报警中得到v单位的收益，而打电话的 人需要付出c单位的成本，v>c>0。分析这 个问题的纯战略NE和混合战略NE。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略—案例
– 分析：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
法则
在纯冲突博弈（零和博弈）中，如果让你的对手事先看清 楚你的真实选择对你不利，那么你可以通过随机选择自己 备选的纯策略而获益。你的混合比例应该是这样的：对手 采取任何特定的备选纯策略，都不可能利用你的选择， 即，当你以混合策略对付他的混合策略中任一纯策略时， 你得到的平均赢利都相等。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略
50：50是你最佳混合策略吗?
(2)以40:60（在你的口袋里放一本书，如果页眉最后一位 数是1到4选左，0到5则选右）的比例随机地选择左边 或右边。
如果守门员选择左边，你混合策略成功的概率： 0.4*58%+ 0.6* 93%= 79% 如果守门员选择右边，你混合策略成功的概率： 0.4*95%+ 0.6* 70%= 80%
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
怎样随机行动？
实验抛硬币
抛硬币翻出正面之后再抛一次，这时出正面的可能性与抛 出反面的可能性相等。
无规律的随机行动（点名4/18=22%,不点名78％）。 例如：一个秘密的、足够复杂以致让人难以破解的规则。 举例：秘密
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略—案例
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
但是，我们知道，玩这个游戏是总 是以对方不易猜出的随机方式出招。事 实上，可以通过数学证明，当双方都以 每个战略按1/3的概率出招时，达成一种 双方都不愿改变这种概率分布的局面。 这被称为“混合战略纳什均衡”，而这种以 随机方式选择纯战略的博弈被称为“混合 战略博弈”。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略—案例
• 混合战略NE • 随着人数n的增加，p减小，即人越多，每
个人选择报案的概率就会越小，如果n＝1， 则p＝1 • 社会心理学与博弈分析
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
混合策略—案例
小孩玩的游戏“石头，剪子，布”， 也是一种博弈。但是，这个博弈有一种 有趣的特征，即给定一方的任何选择， 另一方都有制胜对方的战略，所以，给 定一方任何一个战略，对方都有制胜这 个战略的战略，因而这个战略不是最优 的。任何“纯战略”都不是最优的，纯战略 是“石头，剪子，布”中的任何一个。