椭圆的定义和标准方程PPT课件

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椭圆的课件ppt

$y=bsintheta$。
对于长轴在y轴上的椭圆，参数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定点（焦点）和一根线段（焦距）来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的关系。
通过参数方程，可以方便地研究椭圆的几何性质和运动轨迹。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴所在的直线。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心，是椭圆上任意一点关于对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆形的绘制基础，如椭圆形的车轮、椭圆形的镜子等。

椭圆ppt课件

02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔和画板，通过细线两端分别绕两个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别用圆规画出两个相交的圆，连接两个交点得到椭圆的长短轴，再绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时，椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀，节省材料，常用于石油、化工等行业的聚焦于一点，应用于望远镜、卫星天线等光学设备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常用椭圆函数形式来描述消费者在无差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例

高中数学椭圆的定义与标准方程优秀课件

∴ 设它的标准方程为 ∵ 2a=10， 2c=8
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
∴ a=5， c=4
b 2 a 2 c2 5 2 4 2 9
∴ 所求的椭圆的标准方程为 x 2 y 2 1 25 9
（2）两个焦点的坐标分别是（0,－2）,（0,2）,
并且椭圆经过点
3 2
,5 2
解：∵ 椭圆的焦点在y轴上，
〔2〕椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
〔3〕由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
〔4〕椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，那么焦点在
4.根据所学知识完成下表
标准方程
x2
y2 +
=1a>b>0
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
b2 a2
y
y
P
不
图形
F2 P
1，则a＝
5 ，b＝
3；
2. x2 y2 1，则a＝ 6 ，b＝ 4 ；
42 62
3. x2 y2 1，则a＝ 3 ，b＝ 2 ；
94
4. x2 y2 1，则a＝ 7 ，b＝ 3 ．
37
2.判定以下椭圆的焦点在什么轴上，写出焦点坐标
x2 y2 1
25 16
x2 y2 1 144 169
2．圆的定义是什么？我们是怎么画圆的？怎样推导出方程的？
在平面内，到定点的距离等于定长
的点的轨迹。
以圆心O为原点，建立直角坐标系
设圆上任意一点P(x，y)
y
P(x, y)
•
r
OPr x2 y2 r

3.1.1 椭圆及其标准方程课件(共34张PPT).ppt

焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上，则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)

《椭圆的定义》课件

《椭圆的定义》ppt课件
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点，分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点到椭圆中心的距离之比是一个常数，这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取圆锥面得到：一个平面与圆锥面的母线形成的角为锐角得到椭圆，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和短轴的半径。
应用场景

椭圆及其标准方程ppt课件

令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率同理，直线 BM 的斜率由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的坐标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③

椭圆的定义及标准方程ppt课件

于两个定点之间的距离
15
（一）椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（2a）（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。
椭圆定义的符号表述：
M
(2a>2c)
F2
F1
16
二、椭圆标准方程的推导
24
四课时小结 1. 学习了椭圆的定义，焦点、焦距， 2. 求出了焦点在X轴上的椭圆标准方程
3 . a、b、c始终满足：a2-b2=c2, a＞b＞0
25
五堂堂清
1 椭圆 x2 y2 1的焦距是（ B ）
43
A1 B 2 C4 D2 3
F1
2已知焦点F1(-6，0)，F2(6，0)，2a=20的椭圆标准方程
b2 a2 c2 41 3
因此，这个椭圆的标准方程是：x2 y2 1 43
23
1.求适合下列条件的椭圆方程 1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上 2.b=1，c 15 焦点在X轴上
小结： 1 先定位(焦点)
根据焦点位置设出恰当的方程
2 再定量(a,b,c) 3 代入标准方程即可求得
x2 y2 1
100 64
26
x2 y2 3 椭圆 100 36 1 上的一点P到焦点F1的距离等于6
14
那么点P到另外的一个焦点F2的距离是_____
27
4已知方程
表示焦点在x轴
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4.)
28
链接高考
x2 y2
1
1、已知F1，F2 是椭圆 25 9

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2
2
y x 1 9 4
2
2
设F1、 F2为椭圆 P为椭圆上一点，与
x2 y2 1 的焦点， 25 9
构成一个
F1、 F2
PF 1F 2
的周长？
三角形，求
解：
Y
P
周长 PF F F PF PF 1F 2 1 1 2 2
PF1 PF2 F1F2
x y 25 9
| F1F2|=2c
(c>0)
a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y
(a 2 -c2 )x 2 +a 2 y2 =a 2 (a 2 -c2 )
b2 a 2 c 2
(b>0)
常数 =2a a>c
(a>0)
b2 x 2 +a 2 y2 =a 2b2
焦点在X轴的椭圆的标准方程：
|MF1|+|MF2|= 2a
(a>0)
|MF1|+|MF2|= 2a
(a>0)
(x+c) 2 +y 2 + (x-c) 2 +y 2 =2a
x 2 +(y+c) 2 + x 2 +(y-c) 2 =2a
(a 2 -c 2 )x 2 +a 2 y 2 =a 2 (a 2 -c 2 ) b a -c (b 0)
1
c 1
1
2c 2
2
F (1,0), F (1,0) 焦点为： F (0, 2 焦点为：焦距为：焦距 4 2 2 为：
2c 4 2
2), F2 (0,2 2)
2 . 已知椭圆的焦点为 F1 (-3，0) ，F2 (3，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和 Y 为 10，求椭圆的标准方程。 F (3,0), F (3,0) 解：
椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2 的距离之和为常数的点的轨迹 (或集合 )叫做椭圆。 ( 大于| F1F2|) 的点的轨迹 (或集合)叫做椭圆。
椭圆的焦点： F1、F2 椭圆的焦距： |F1F2|
求平面内与两定点F1、 F2 的距离之和为常数椭圆的定义：平面内与两定点 F1、F2 的距离之 (和为常数大于| F1F2|) 的点的轨迹 (或集合) ？ (大于 | F1F2|)的点的轨迹 (或集合Y )叫做解：椭圆。设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点 M |MF1|+|MF2|= 2a (a>0)
b a c
2
(b>0)
Y
M
M
F1
Y
F2
o
F2
X
解：
o
F1
X
解：
令F1(-c,0)，F2 (c,0) |F1F2|=2c (c>0) 令F1(0，-c), F2 (0，c) | F1F2|=2c (c> 常数=2a (a>0) 常数=2a (a>0)
设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
1.求下列椭圆的焦点和焦 x y 2 2 (1) 1 (2)2 x y 16 距。 5 4
2 2
54
2
所以焦点在X轴上
y2 x2 1 16 8
因为
16 8
2 2
a = 5, b = 4
c a b 1
2 2 2
2
所以焦点在Y轴上
a 16, b 8
c 2 a 2 b2 16 8 8 c2 2
焦点在Y轴的椭圆的标准方程：
x y ( a b 0) 1 2 2 a b
F 1 ( c,0), F 2 (c,0)
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
(a b 0)
2
F1 (0, c), F2 (0, c)
c a b
2 2
2
c a b
2 2
2 2
| F1F2|=2c 常数(绳长) =2a (a>0) (c>0) 焦距:
椭圆一、椭圆的定义和标准方程
1.取一条长度一定且不可伸缩的细绳，把它的两个端点固定在黑板上的F1，F2两点 (使绳长大于 F1到F2的距离)，用粉笔尖把绳子拉紧，使笔尖在黑板上慢慢移动一周，得到的图形是什么？
得到的图形是椭圆
M
F1 F2
2.在画椭圆的过程中需要注意哪几个问题？
(1) F1，F2为固定两点 (2)笔尖到F1与F2的距离之和为绳长(定长 ) 到F2的距离 (3)绳长大于 F1
(x+c) 2 +y 2 + (x-c) 2 +y 2 =2a (x+c) 2 +y 2 =2a- (x-c) 2 +y 2
(-c,0)
F1
O
F2
(c,0)
X
(x+c) +y =4a -4a (x-c) +y +(x-c) +y
a 2 -cx=a
4 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
(x-c) 2 +y 2
2 2 2 2 2 2 2
2
F1
o
F2
2a 2 c 2
X
1
a 25 a 5 2a 10
2
长=10+8=18 所以PF 1F 2的周
c 2 a 2 b2 25 9 16 c4 2c 8
已知椭圆与X轴， ABF Y轴的正半轴分别 Y 1 解交于两点，左焦点为 S A、 = B AF OB B 2 F1，求= 1 OF + OA 的面积？ OB
设焦点在X轴的椭圆标准设焦点在Y轴的椭圆标准 2 2 x y 方程为 2 2 1 方程为 y x 1
2 2
a
2
b
a2
b2
b a c 95 4
2 2
焦点在X轴的椭圆标准方程为
焦点在Y轴的椭圆标准方程为
b2 a 2 c 2 9 5 4
x y 1 9 4
2 2 2
a 2x 2 +(a 2 -c2 )y2 =a 2 (a 2 -c2 )
b2 x 2 +a 2 y 2 =a 2 b2
2 2
b2 a 2 -c2 (b 0) 2 2 2 2 2 2 a x +b y =a b
x y 2 1 2 a b
y x 2 1 2 a b
2
2
解：因为
1 2
因为所以焦点在X轴设椭圆标准方上，c=3 x y 程为 1 ( a b 0)
F1
M
O
F2
X
2
2
2a 10 a5
a2
b2
c a b
2 2 2 2
2 2 2 2
b a c 5 3 16
x2 y2 故所求椭圆的标准方25 16 1
程为：
3.已知椭圆上某点到两定点 2 5 的距离之和为6，两个定点解：因为 2a=6 2c= 2 5 之间的距离为，求椭所以 a=3 c= 5 圆的标准方程。