椭圆的定义和标准方程PPT课件

2
F1
o
F2
2a 2 c 2
X
1
a 25 a 5 2a 10
2
长=10+8=18 所以PF 1F 2的周
c 2 a 2 b2 25 9 16 c4 2c 8
已知椭圆 与X轴， ABF Y轴的正半轴分别 Y 1 解 交于 两点，左焦点为 S A、 = B AF OB B 2 F1，求= 1 OF + OA 的面积？ OB
2
2
y x 1 9 4
2
2
设F1、 F2为椭圆 P为椭圆上一点，与
x2 y2 1 的焦点， 25 9
构成一个
F1、 F2
PF 1F 2
的周长？
三角形，求
解：
Y
P
周长 PF F F PF PF 1F 2 1 1 2 2
PF1 PF2 F1F2
x y 25 9
b a c
2
(b>0)
Y
MBaidu Nhomakorabea
M
F1
Y
F2
o
F2
X
解：
o
F1
X
解：
令F1(-c,0)，F2 (c,0) |F1F2|=2c (c>0) 令F1(0，-c), F2 (0，c) | F1F2|=2c (c> 常数=2a (a>0) 常数=2a (a>0)
设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
设焦点在X轴的椭圆标准 设焦点在Y轴的椭圆标准 2 2 x y 方程为 2 2 1 方程为 y x 1
2 2
a
2
b
a2
b2
b a c 95 4
2 2
焦点在X轴的椭圆标准方程为
焦点在Y轴的椭圆标准方程为
b2 a 2 c 2 9 5 4
x y 1 9 4
1
c 1
1
2c 2
2
F (1,0), F (1,0) 焦点为： F (0, 2 焦点为： 焦距为： 焦距 4 2 2 为：
2c 4 2
2), F2 (0,2 2)
2 . 已知椭圆的焦点为 F1 (-3，0) ，F2 (3，0)， 椭圆上一点到两焦点的距离之和 Y 为 10，求椭圆的标准方程。 F (3,0), F (3,0) 解：
(x+c) 2 +y 2 + (x-c) 2 +y 2 =2a (x+c) 2 +y 2 =2a- (x-c) 2 +y 2
(-c,0)
F1
O
F2
(c,0)
X
(x+c) +y =4a -4a (x-c) +y +(x-c) +y
a 2 -cx=a
4 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
(x-c) 2 +y 2
2 2 2 2 2 2 2
| F1F2|=2c
(c>0)
a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y
(a 2 -c2 )x 2 +a 2 y2 =a 2 (a 2 -c2 )
b2 a 2 c 2
(b>0)
常数 =2a a>c
(a>0)
b2 x 2 +a 2 y2 =a 2b2
焦点在X轴的椭圆的标准方程：
焦点在Y轴的椭圆的标准方程：
x y ( a b 0) 1 2 2 a b
F 1 ( c,0), F 2 (c,0)
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
(a b 0)
2
F1 (0, c), F2 (0, c)
c a b
2 2
2
c a b
2 2
2 2
| F1F2|=2c 常数(绳长) =2a (a>0) (c>0) 焦距:
椭圆的定义： 平面内与两定点F1、F2 的距离之和为常数 的点的轨迹 (或集合 )叫做椭圆。 ( 大于| F1F2|) 的点的轨迹 (或集合)叫做椭圆。
椭圆的焦点： F1、F2 椭圆的焦距： |F1F2|
求平面内与两定点F1、 F2 的距离之和为常数 椭圆的定义：平面内与两定点 F1、F2 的距离之 (和为常数 大于| F1F2|) 的点的轨迹 (或集合) ？ (大于 | F1F2|)的点的轨迹 (或集合Y )叫做 解： 椭圆。 设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点 M |MF1|+|MF2|= 2a (a>0)
1.求下列椭圆的焦点和焦 x y 2 2 (1) 1 (2)2 x y 16 距。 5 4
2 2
54
2
所以焦点在X轴上
y2 x2 1 16 8
因为
16 8
2 2
a = 5, b = 4
c a b 1
2 2 2
2
所以焦点在Y轴上
a 16, b 8
c 2 a 2 b2 16 8 8 c2 2
|MF1|+|MF2|= 2a
(a>0)
|MF1|+|MF2|= 2a
(a>0)
(x+c) 2 +y 2 + (x-c) 2 +y 2 =2a
x 2 +(y+c) 2 + x 2 +(y-c) 2 =2a
(a 2 -c 2 )x 2 +a 2 y 2 =a 2 (a 2 -c 2 ) b a -c (b 0)
2 2 2
a 2x 2 +(a 2 -c2 )y2 =a 2 (a 2 -c2 )
b2 x 2 +a 2 y 2 =a 2 b2
2 2
b2 a 2 -c2 (b 0) 2 2 2 2 2 2 a x +b y =a b
x y 2 1 2 a b
y x 2 1 2 a b
2
2
解 ： 因为
椭圆 一、椭圆的定义和标准方程
1.取一条长度一定且不可伸缩的细绳，把它的两 个端点固定在黑板上的F1，F2两点 (使绳长大于 F1到F2的距离)，用粉笔尖把绳子拉紧，使笔尖在 黑板上慢慢移动一周，得到的图形是什么？
得到的图形是椭圆
M
F1 F2
2.在画椭圆的过程中需要注意哪几个问题？
(1) F1，F2为固定两点 (2)笔尖到F1与F2的距离之和为 绳长(定长 ) 到F2的距离 (3)绳长大于 F1
1 2
因为所以焦点在X轴 设椭圆标准方 上，c=3 x y 程为 1 ( a b 0)
F1
M
O
F2
X
2
2
2a 10 a5
a2
b2
c a b
2 2 2 2
2 2 2 2
b a c 5 3 16
x2 y2 故所求椭圆的标准方25 16 1
程为：
3.已知椭圆上某点到两定点 2 5 的距离之和为6，两个定点 解：因为 2a=6 2c= 2 5 之间的距离为 ，求椭 所以 a=3 c= 5 圆的标准方程。