统计学教案习题03正态分布

第三章 正态分布

一、教学大纲要求

(一) 掌握内容

1．正态分布的概念和特征 （1）正态分布的概念和两个参数； （2）正态曲线下面积分布规律。 2．标准正态分布

标准正态分布的概念和标准化变换。 3．正态分布的应用 （1）估计频数分布； （2）制定参考值范围。 (二) 熟悉内容 标准正态分布表。 (三) 了解内容

1．利用正态分布进行质量控制 2．正态分布是许多统计方法的基础

二、教学内容精要

(一)正态分布 1.正态分布

若X 的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）

2．正态分布的特征

服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。

(1)μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以x μ=为对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。

(2)σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。σ也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。

(二)标准正态分布 1．标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的0=μ，12

=σ ，通常用u （或Z ）表示服从标准正态分

布的变量，记为u ～N （0，2

1）。

2．标准化变换：σ

μ

-=X u ，此变换有特性：若X 服从正态分布),(2

σμN ，则u 就服从标准正态分布，故该

变换被称为标准化变换。

3. 标准正态分布表

标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到u 范围内的面积比例()u Φ。 （三）正态曲线下面积分布

1．的概率（概率分布）。不同),(21X X 范围内正态曲线下的面积可用公式3-2计算。

)()(21

12)

22(2)(2

1

u u dx e

D X X X Φ-Φ==--⎰

σμπ

σ （3-2）

1212X X u u μ

μ

σ

σ

--=

=

其中， ， 。

2.几个重要的面积比例

X 轴与正态曲线之间的面积恒等于1。正态曲线下，横轴区间σμ±内的面积为68.27%，横轴区间σμ64.1±内的面积为90.00%，横轴区间σμ96.1±内的面积为95.00%，横轴区间σμ58.2±内的面积为99.00%。

（四）正态分布的应用

某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理。其中经对数转换后服从正态分布的指标，被称为服从对数正态分布。

1. 估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式（3-2）估计任意取值12(,)X X 范围内频数比例。

2. 制定参考值范围

（1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。 （2）百分位数法 常用于偏态分布的指标。表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。

概率

（%） 双侧 单 侧 双侧

单侧

90 955~P P 10P 90P 95 S X 96.1± S X 64.1- S X 64.1+ 5.975.2~P P 5P 95P 99 S X 58.2±

S X 33.2-

S X 33.2+

~P P

1P

P

3. 质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以S X 2±作为上、下警戒值，以S X 3±作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。

4.正态分布是许多统计方法的理论基础。t 检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。

三、典型试题分析

1.正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。

A ．95%

B ．50%

C ．97.5%

D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B

[评析] 本题考点：正态分布的对称性

因为无论μ，σ取什么值，正态曲线与横轴间的面积总等于1，又正态曲线以μ=X 为对称轴呈对称分布，所以μ左右两侧面积相等，各为50%。

2．若X 服从以μ，σ为均数和标准差的正态分布，则X 的第95百分位数等于( )。 A ．σμ64.1- B ．σμ64.1+C ．σμ96.1+ D ．σμ58.2+ 答案：B

[评析]本题考点：正态分布的对称性和面积分布规律

正态分布曲线下σμ64.1±范围内面积占90%，则σμ64.1±外的面积为10%，又据正态分布的对称性得，曲线下横轴上小于等于σμ64.1+范围的面积为95%，故X 的第95百分位数等于σμ64.1+。

3．若正常成人的血铅含量X 近似服从对数正态分布，拟用300名正常人血铅值确定99%参考值范围，最好采用公式( )计算。（其中Y=logX ） A. S X 58.2±B ． 2.33X S +

C ．1

log ( 2.58)Y Y S -±D ．)33.2(log 1

Y S Y +-

答案：D

[评析]本题考点：对数正态分布资料应用正态分布法制定参考值范围

根据题意，正常成人的血铅含量X 近似对数正态分布，则变量X 经对数转换后所得新变量Y 应近似服从正态分布，因此可以应用正态分布法估计Y 的99%参考值范围，再求反对数即得正常成人血铅含量X 的99%参考值范围。因血铅含量仅过大为异常，故相应的参考值范围应是只有上限的单侧范围。正态分布法99%范围单侧上限值是均数+2.33倍标准差。

4．正常成年男子红细胞计数近似正态分布,95%参考值范围为3.60～5.8412

(10/)L ⨯。若一名成年男子测得红细胞计数为3.10)/10

(12

L ⨯，则医生判断该男子一定有病。

[评析] 本题考点：参考值范围的涵义

该成年男子不一定有病。因为参考值范围是指绝大多数正常人的指标值范围,故不在此范围内的对象也可能是正常人。

5.假定正常成年女性红细胞数)/10(12

L ⨯近似服从均值为4.18，标准差为0.29的正态分布。令X 代表随机抽取的一名正常成年女性的红细胞数，求：

（1） 变量X 落在区间（4.00，4.50）内的概率； （2） 正常成年女性的红细胞数95%参考值范围。 [评析] 本题考点：正态分布的应用

(1)根据题意，变量X 近似服从正态分布，求变量X 落在区间（4.00，4.50）内的概率，即是求此区间内正态曲线下的面积问题，因此，可以把变量X 进行标准化变换后，借助标准正态分布表求其面积，具体做法如下：

4.00 4.18 4.50 4.18

(4.00 4.50)(

)0.290.29

X P X P μσ---<<=<<

)10.162.0(<<-=u P

)62.0()10.1(1-Φ--Φ-= 2676.01357.01--= 5967.0=

变量X 落在区间(4.00,4.50)内的概率为0.5967。

(2)问题属于求某个指标的参考值范围问题，因为正常成年女性红细胞数近似服从正态分布，可以直接用正态分布法求参考值范围，又因该指标过高、过低都不正常，所以应求双侧参考值范围，具体做法如下：

下限为： 1.96 4.18 1.96(0.29)X σ-=-=)/10(61.312

L ⨯ 上限为： 1.96 4.18 1.96(0.29)X σ+=+=)/10(75.412

L ⨯

95%的正常成年女性红细胞数所在的范围是)/10(75.4~61.312

L ⨯。

6.调查得成都市1979年996名女学生月经初潮年龄的分布如下，本资料宜用何法确定其双侧99%参考值范围？试估计之。

年岁 10～ 11～ 12～ 13～ 14～ 15～ 16～ 17～ 18～ 19～ 20～ 合计 人数 7 44 153 244 269 191 61 16 8 1 2 996 累计频率% 0.7 5.1 20.5 45.0 72.0 91.2 97.3 98.9 99.7 99.8 100.0 [评析] 本题考点：参考值范围的制定

解：本题所给资料明显属于偏态分布资料，所以宜用百分位数法估计其参考值范围。又因此指标过大、过小均属异常，故此参考值范围应是双侧范围。

（1）求5.0P 首先要找到第0.5百分位数所在组，根据累计频率第0.5百分位数在第1组，因此得

∑L

f

=0，

10=X L ，X f =7，X i =1