人教版 八年级下册 19.1.1 变量与函数学案

变量与函数一、目标认知学习目标：1．函数是刻画现实世界中变化规律的非常重要数学模型，对函数概念体会的深入程度是学好函数知识的关键，在学习过程中一定要紧紧地结合实例体会引入函数概念的意义，紧紧地结合实例体会了解常量、变量，理解函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法(列表法、解析式法和图象法)。

认真不浮躁地落实基本知识和基本技能。

2. 数学建模思想的体会理解，从分析探索实际问题中的数量关系和变化规律出发，经历体会“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的每个过程细节，提高运用所学知识分析解决问题的意识。

重点：函数定义、解析式、自变量取值范围、函数的表示方法难点：运用函数定义辨析是否存在函数关系，分析具体材料背景写出函数解析式及自变量取值范围二、知识要点梳理知识点一：通过实例体会变量、常量、函数的概念1、汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为S千米，行驶时间为t小时，请完成下表：t/时 1 2 3 4 5S/千米60 120 240 300思考：在上述变化过程中，有两个变量S、t，一个常量速度60，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”答案肯定：通过填表可以验证，当这里的两个变量中的任一个变量取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应。

2、每张电影票售价为10元，早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各是多少?请完成下表，时段早场日场晚场售出票数(张) 150 205 310收入金额(元) 1500 2050 3100 思考：在上述变化过程中，有两个变量：售出票数和收入金额，一个常量：单价10，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”答案肯定：通过填表可以验证，当这里两个变量中的任一个变量随便取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应。

3、在一根弹簧下端悬挂重物，弹簧原长10cm，若每1kg重物使得弹簧伸长0.5cm，请根据不同的重量m，填写对应的弹簧长度L重量m/kg 1 2 5 8 10弹簧长度L/cm 10.5 11 12.5 14 15 思考：在上述变化过程中，有两个变量重量和弹簧长度，一些常量弹簧原长、单位重量伸长的数值，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”答案肯定：通过填表可以验证，当这里两个变量中的任一个变量随便取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应。

两者之间的关系为：圆的面积(S) 10 20 50 100 300圆的半径(r) 1.78 2.52 3.99 5.64 9.77思考：在上述变化过程中，有两个变量S、r，一个常量圆周率，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”答案肯定：通过填表可以验证，当这里两个变量中的任一个变量随便取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应! 两者之间的关系为：5、用10m长的绳子围成长方形，根据长方形一边的长度，观察长方形的另一边的长度和面积如何变化。

请思考完成下表：思考：在上述变化过程中，有三个变量长方形的一边长、另一边长、面积，一个常量长方形的周长10，其中每两个变量之间是否都有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”答案不一定：通过填表可以验证，每两个变量之间的关系可分两种情况：（1）一边长与另一边长之间，其中任一个变量取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应。

两者之间的关系式为：y=5-x；（2）一边长与面积或另一边长与面积之间，其中当前一个变量随便取定一个可以取的值时，后一个变量都有唯一确定的值与之相对应。

两者之间的关系式分别为：S=x(5-x)，S=y(5-y)；但反过来不满足该规律，例如当面积为5.25m 时，长方形的一边长可以为：3.5或1.5，不唯一。

知识点二：函数的定义在我们身边的各种变化中，有各种变化的量和不变化的量，在两个变量之间有一种不是一定存在的关系，但是非常普遍存在的关系就是：“当其中一个变量随便取定一个值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应!”也就是说普遍的两个变量之间都存在相互对应的关系!函数定义：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量(independent variale)，y是x 的函数(function)，如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量为a时的函数值。

对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：（1）函数不是数，而是两个变量之间一种对应的关系；（2）对于变量x允许取的每一个值，集合在一起组成了x的取值范围。

（3）判断两个变量之间是否有函数关系不仅要看它们之间是否有关系式，还要看对于x允许取的每一个值，y是否都有唯一确定的值与它相对应。

（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x的取值范围相同。

否则，就不是相同的函数。

而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x的取值范围有时容易忽视，这点应注意。

知识点三：自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围。

自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义。

⑴当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；⑵当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；⑶当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；⑷当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零。

其次，当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。

知识点四：函数值对于自变量在取值范围内的一个确定的值，比如当时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做的函数值，简称函数值。

注意：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个。

比如：中，当函数值为4时，自变量的值为。

知识点五：函数的几种表达方式：变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式。

注：函数关系式是等式；等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示自变量的函数；没有特殊说明，自变量x的取值范围是使解析式有意义的所有实数。

（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法，例如:前面的五个实例均是用列表法表示的函数;（3）图像法：用图象表达两个变量之间的关系。

注：有些问题可三种方法兼用，如S=60t，但有些问题只能用某一种方法，如每天的气温变化，只能用图象记录（自动测温仪）。

知识点六：函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

注：函数的解析式是一个二元方程，这个方程的解分别是这个函数图象上点的横坐标、纵坐标；函数图象的画法：列表、描点、连线。

三、规律方法指导1．学习函数时，要注意区分常量与变量，函数与函数值等概念，例如：,是随的变化而变化的量，变量是变量的函数，2是常量；函数值是自变量所对应的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的函数值，例如当时，函数的函数值等于；当时，函数的函数值等于。

2．函数的图象以几何形式直观地表示变量间的单值对应关系，是研究函数的重要工具。

学习函数的图象不仅要了解它的一般意义和作法，更重要的是了解其中包含的数形结合地研究问题的思想，学习如何使用这种工具讨论函数。

类型一：函数概念辨析1．判断下列材料中所给的两个变量之间是否存在函数关系?(1)心电图中的变量：心脏脉冲电流值和时间(2)下表中所示变量：人口数和年份之间思路点拨：要判断是否为函数关系，首先要找到两个变量，其次判断两个变量是否满足函数的定义。

解：存在函数关系，因为在(1)图中，在每一个时刻，心脏脉冲电流都有唯一确定的值与该时刻相对应，(2)图中，对年份的每一个取值，都存在唯一确定的人口数与之相对应。

总结升华：函数关系普遍存在。

人们需要表达函数关系，上题所给的图示就是一种表达函数很好的方法，我们分别称之为：图象法和列表法。

另外还有许多的函数，我们都可以通过一个二元关系式来表达，这种表达函数的方法称之为：解析式法。

举一反三：[变式1] 某工人每分钟生产机械零件8个，写出这个工人生产零件的总数y（个）与生产时间t（分）的关系式，判断是不是函数关系，并指出式中的常量与变量。

分析：每分钟生产零件8个，在生产过程中该数值保持不变，所以每分钟生产零件的个数8是常量；而时间变化后零件总数可随之增长，则时间和生产的零件总数是变量。

解：，其中8是常量，y、t 是变量。

[变式2]判断下列说法是否正确?(1) 3x+l是x的函数；(2)函数y=x与是相同的函数(3)若y是x的函数，则y的值肯定随x值的改变而改变；解：(1)说法正确，通过函数定义可以验证，对x的每一个确定取值3x+l都有唯一确定的值与之相对应；(2)说法不正确，尽管第二个函数经过化简之后解析式与第一个函数相同，但是它们自变量的取值范围是不同的；(3)说法不正确，比如函数y=x0，随x的变化y的值恒定不变。

[变式3]判断下列关系式和图象中，其中y是否是x的函数?(1)(2)(3)(4)(5)解：(1)， y是x的函数，因为根据函数定义，对每一个x的可取值都存在唯一确定的y值与之相对应。

同样根据函数的定义可验证，y不是x的函数(2)只有第二个关系式y不是x的函数，其它三个关系式y都是x的函数，理由同上；(3)y是x的函数，理由同上；(4)y是x的函数，理由同上；(5)y不是x的函数，因为由图可以看出，有许多x值都与两个y值相对应。

[变式4]用长为10 cm的绳子围成一个长方形，其中长方形的一条边长是xcm，这个长方形的面积Scm2，判断填空：这里_____是常量，_____是变量，变量间是否存在函数关系?若存在，其中_____是_____的函数，你是否能说明理由?是否能选择适当的方法表达该函数关系?解：周长10是常量，边长x和面积s是变量，面积是边长x的函数，因为对于边长x 的每一个取值，面积s都有唯一确定的值与之相对应，但反之不成立，即x不是s的函数，用解析式法表达该函数关系：s=x(5-x)，其中x的取值范围是0＜x＜5.思考：若在上述函数解析式后不加上自变量x的取值范围，函数解析式还能否完整表达背景材料中的函数关系呢?注：(1)当用解析式表达函数关系时，一定要关注自变量的取值范围；(2)确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数解析式有意义，而且还要注意问题的实际意义；(3)约定：在我们今后所给定的函数解析式中，若没有特别说明，都默认自变量取值范围为使解析式有意义的所有实数。