上海市2020-2021学年第一学期位育中学高二期末数学试卷(word含简答)

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上海市西南位育中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

上海市西南位育中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若x 满足4012x -=，则x =_______ 2．若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为_______.3．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为__________． 4．142578369中3的代数余子式的值是________5．已知点(,)M a b 在直线3415x y +=的最小值为_______. 6．已知2a =，1b =，a 与b 的夹角为90°，则a b +=________7．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为____．8．已知2i +是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根,则n =____________． 9．设O是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________.10．设x 、y 满足约束条件10103x y x y x -+>⎧⎪+-≥⎨⎪⎩，则23z xy ＝﹣的最小值是________. 11．已知Р为椭圆22195x y +=上的点，1F 、2F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=︒，则12PF PF =_____12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 不与原点О重合，称射线OM 与224x y +=的交点N 为点M 的“中心投影点”，曲线2213x y -=上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_______13．已知圆22:68210C x y x y ++++=，点A 是圆C 上任一点，抛物线28y x =的准线为l ，设抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ，则m PA +的最小值为_______14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈，且48OP OA ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为_______二、单选题15．关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则方程组存在唯一解的条件是（）A ．12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭平行B ．12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭不平C ．12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭不平行D ．12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭不平行16．已知空间向量a ，b ，c 和实数λ，则下列说法正确的是（）A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若0a λ=，则0λ=或0a =C ．若()()22a b =，则a b =或a b =- D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c = 17．若O 为ABC △所在平面内任一点，且满足20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ABC △的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形 18．已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点，I 为12PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S △△△成立，则λ的值( ) ABC ．b aD ．a b三、解答题19．已知复数()()()1124z ai i i a R =++++∈.（1）若z 在复平面中所对应的点在直线0x y -=上，求a 的值；（2）求1z -的取值范围.20．在平行四边形ABCD 中，()1,1A ，()6,0AB =，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .（1）若()3,5AD =，求点C 的坐标；（2）当AB AD =时，求点P 的轨迹方程.21．如图，平面上，P 、Q 两地间距离为4，O 为PO 中点，M 处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得60MOQ ∠=︒，且O 、M 间距离为N 正在运行，它在运行过程中始终保持到P 地的距离比到Q 地的距离大2（P 、O 、M 、N 及电波直线均共面），请建立适当的平面直角坐标系.（1）求出机器人N 运行的轨迹方程；（2）为了使机器人N 免受M 处发射的电波的影响（即机器人接触不到过点M 的直线），求出电波所在直线斜率k 的取值范围.22．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 两点的纵坐标之积为4-.（1）求抛物线的方程；（2〉求OM ON ⋅的值（其中О为坐标原点）；（3）求OMN S 的最小值. 23．已知椭圆22:143x y E +=，其右焦点为F ，直线l 与圆22:3O x y +=相切于点Q ，设直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A 、B .（1）若M 点是椭圆E 上任意一点，求出MF 的最大值；（2）已知过椭圆E 上的动点P 引圆О的两条切线PC 、PD （C 、D 为切点），探究在椭圆E 上是否存在点P ，使得由点P 向圆O 引的切线互相垂直；（3）当点Q 在y 轴右侧时，求证：AF AQ BF BQ +=+.参考答案1．2-【分析】利用二阶行列式的运算法则代入直接计算.【详解】根据二阶行列式的运算法则，42(4)012-=--=x x ，得2x =-. 故答案为：2-.2．2【分析】实部为0，虚部不为0即为纯虚数【详解】复数()()2321a a a i -++-是纯虚数所以232010a a a ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2a = 【点睛】本题考查了复数的基本性质，属于基础题.3．3-或2【解析】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =．考点：两直线平行．4．3-【分析】根据代数余子式的计算公式，可直接得出结果.【详解】 142578369中3的代数余子式的值是()314714857358+-=⨯-⨯=-.故答案为：3-.5．3【分析】3415x y +=的距离来求解.【详解】(0,0)到点(,)a b 的距离，又∵点(,)M a b 在直线3415x y +=上，(0,0)到直线34150x y +-=的距离，且3d ==.故答案为：3【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.6【分析】根据()2a b a b +=+展开，代入数据即可．【详解】因为a 与b 的夹角为90°，所以0a b ⋅=．因为2a =，1b =，所以()222=2210a b a b a b a b +=+++⋅=++=7．60︒【分析】利用复数的运算法则计算z z，再化成三角形式的复数，即可得出．【详解】解：221cos60sin 60422z i i z +====+=︒+︒．∴复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为60︒．故答案为：60︒．8．5【分析】根据实系数一元二次方程根的性质和根与系数关系可以求出n 的值.【详解】因为2i +是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根,所以2i -也是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根,根据根与系数关系则有：22(2)(2)24(1)5i i n n i +-=⇒=-=--=.故答案为5【点睛】本题考查了实系数一元二次方程根的性质,考查了实系数一元二次方程根与系数的性质,考查了数学运算能力.9．2π 【分析】根据|||1|z i z -+-=可以知道复数z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距离之和为PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ 上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.10．-6【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线23z x y ＝-过可行域内的点A 时，从而得到23z x y ＝-的最小值即可．【详解】解：由23z x y ＝-得233z y x =-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC ）：平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-，过点A 时，直线233z y x =-截距最大，此时z 最小，由310x x y =⎧⎨-+=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(34)A ，，代入目标函数23z xy ＝﹣，得23346126z ⨯⨯＝-＝﹣＝-．∴目标函数23z xy ＝﹣的最小值是﹣6．故答案为：6-【点睛】本题考查简单线性规划问题，属中档题．11．203【分析】由条件可得1226PF PF a +==，由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒可得答案.【详解】由椭圆22195x y +=，可得()12,0F -、()22,0F 由条件可得1226PF PF a +== 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒ 所以()21212163PF PF PF PF =+-，即1216363PF PF =- 所以12PF PF =203 故答案为：203 12．83π 【分析】可作出对应曲线的图象，结合图形，求出题中“中心投影点”构成的曲线长度对应圆中的圆心角，从而求出其“中心投影点”构成的曲线的长度.【详解】曲线2213x y -=的渐近线方程为：y x = ，设渐近线与圆224x y +=的交点分别为,,,A C B D ,如下图则曲线2213x y -=上所有点的“中心投影点”构成的曲线为圆弧,AB CD 由题意6AOx π∠=，所以23AOB π∠= 所以24233AB ππ=⨯=,则83AB CD π+=故答案为：83π132【分析】由抛物线的定义可知m PF =，m PA PF PA +=+结合圆的性质，当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立取得最值.【详解】由圆22:68210C x y x y ++++=可得圆心()3,4C --，2r ，设28y x =的焦点为F ，则()2,0F ，:2l x =-，抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ，过点P 作PH l ⊥于点H ，则PH m =，由抛物线的定义可知PH PF =，所以2m PA PH PA PF PA FC r FC +=+=+≥-=-22==，当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立，所以m PA +2， 2. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用抛物线的定义转化为抛物线上一点到焦点的距离与到圆上一点的距离之和的最小值，利用三点共线即可求解. 14．10 【分析】由已知可得O ，A ，P 三点共线，先设OP 与x 轴的夹角为θ，B 为(,)A x y 在x 轴上的投影，从而有线段OP 在x 轴上的投影长度为22248||48||||cos ||OB x OP x y OA θ==+，结合椭圆方程及基本不等式可求．【详解】((1)AP OAOP OA λ=-=-，∴OP OA λ=，则O ，A ，P 三点共线，48OA OP ⋅=，设OP 与x 轴的夹角为θ，B 为(,)A x y 在x 轴上的投影，则线段OP 在x 轴上的投影长度为22248||48||11||cos 48481016||924||25||5OB x OP x x y OA x θ===⨯⨯=++，当且仅当16||925||x x =即15||4x =时取得最大值10．故答案为：10．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 15．C 【分析】由方程组存在唯一解时，系数行列式11210a b a b ≠，所以12210a b a b -≠，即可求解．【详解】由题意，关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，若方程组存在唯一解时，系数行列式11210a b a b ≠，所以12210a b a b -≠，又由1122,a b a b a b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得向量a 和b 不平行，即12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭不平行．故选：C ．【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及二元一次方程组的增广矩阵的应用，其中解答中熟记二元一次方程组唯一解的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 16．B 【分析】根据平面向量的基本性质、数量积公式和运算律，逐项排除. 【详解】对于选项A ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故A 错误；对于选项C ，由()()22ab =，得||||a b =，即可得其模相等，但方向不确定，故C 错误；对于选项D ，由a b a c ⋅=⋅，得()0⋅-=a b c ，则0a =或b c =或()a b c ⊥-，故D 错误；对于选项B ，由0a λ=，可得0λ=或0a =，故B 正确，故选：B . 【点睛】注意考查平面向量的基本概念和运算律，注意()0⋅-=a b c 它的运算.【分析】由20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，推出0AC CB AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，可知ABC △的中线和底边垂直，则ABC △为等腰三角形. 【详解】∵20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴0AC CB AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，∴AC CB AB →→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭⊥,∴ABC △的中线和底边垂直， ∴ABC △是等腰三角形．故选：A. 【点睛】考查向量的运算和利用向量的方法判断空间线线垂直关系，知识点较为基础，考查了学生对基本向量相乘相关知识的掌握程度，为容易题. 18．B 【分析】设12PF F △的内切圆半径为r ，利用三角形的面积公式结合双曲线的定义可求得λ的值. 【详解】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，1112IPF S r PF =⋅△，2212IPF S r PF =⋅△，121211222IF F S r F F r c cr =⋅=⋅=△，因为1212IPF IPF IF F S S S △△△，即121122r PF r PF cr λ⋅=⋅+，可得()1212PF PF a c c λ-===故选：B19．（1）1a =-；（2）2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.（1）化简z ，得z 在复平面中所对应的点的坐标，代入直线0x y -=计算；（2）代入模长公式表示出1z -，再利用二次函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）化简得()()()11243(5)=++++=-++z ai i i a a i ，所以z 在复平面中所对应的点的坐标为()3,5-+a a ，在直线0x y -=上，所以3(5)0--+=a a ，得1a =-.（2）1(2)(5)-=-++==z a a i a R ∈，且24926292++≥a a ，所以12-=≥z ，所以1z -的取值范围为2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. 20．（1）()10,6C ；（2）P 的轨迹是以()5,1为圆心，2为半经的圆去掉与直线1y =的两个交点. 【分析】（1）由ABCD 为平行四边形，可知AC 的坐标，进而求得点C 的坐标；（2）由,,B P D 三点共线，存在唯一的实数λ使得BP BD λ=，整理可得(1)AP AB AD λλ=-+，又,,C P M 三点共线，存在唯一的实数μ使得MP MC μ=，整理得12AP AB AD μμ+=+，可得112μλ+-=，且λμ=，即13λμ==，2133AP AB AD =+，设点P 的坐标为(,)x y ，点D 的坐标为()11,x y ，根据所求关系用(,)x y 表示()11,x y ，又因为AB AD =，可得()()22514x y -+-=，又点P 不在AB 上，所以1y ≠，故点P 的轨迹方程为()()()225141x y y -+-=≠.【详解】（1）由ABCD 为平行四边形，可知(9,5)AC AB AD =+=，又()1,1A ，所以(10,6)C ；（2）由题意,,B P D 三点共线，存在唯一的实数λ使得BP BD λ=，所以()AP AB AD AB λ-=-，(1)AP AB AD λλ=-+，又,,C P M 三点共线，存在唯一的实数μ使得MP MC μ=，所以()AP AM AC AM μ-=-，()11(1)22AP AM AC AB AB AD AB AD μμμμμμ-+=-+=++=+，因为AB 与AD 不平行，由平面向量基本定理，可得112μλ+-=，且λμ=，解得13λμ==，于是2133AP AB AD =+，设点P 的坐标为(,)x y ，点D 的坐标为()11,x y ，则()1,1AP x y =--，()111,1AD x y =--，所以()()1121161332110133x x y y ⎧-=⨯+-⎪⎪⎨⎪-=⨯+-⎪⎩，即111315133x x y x -=-⎧⎨-=-⎩，又因为AB AD =，所以6=，6=，整理得()()22514x y -+-=，又点P 不在AB 上，所以1y ≠，综上所述，点P 的轨迹方程为()()()225141x y y -+-=≠. 【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．21．（1）()22103y x x -=>；（2）. 【分析】（1）以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线建立直角坐标系，利用定义法求出动点N 的轨迹方程；（2）设直线的方程为3(y k x -=，联立直线和双曲线的方程，利用判别式求解. 【详解】（1）如图所示，以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线建立直角坐标系，则(2,0),(2,0)P Q -, 设点(,)N x y ，则||||2||4NP NQ PQ -=<=, 所以动点N 是以点,P Q 为焦点的双曲线的右支，由题得21,2,a c == 所以2413b =-=，所以动点N 的轨迹方程为()22103y x x -=>.（2）由题得点M 的坐标为，设直线的方程为3(y k x -=，即：(3y k x =-+，联立直线和()22103y x x -=>消去y 得22223)6)3120k x k x k -+-+--=（当230k -=时，若k =k =时直线就是双曲线的渐近线，不符合题意；当230k -≠时，由∆<0得22226)43312)0k k k -----<（，所以(0k k --<，k <<k ≤<.所以电波所在直线斜率k 的取值范围. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程常用的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法.要结合已知条件选择合适的方法求解.22．（1）24y x =；（2）3-；（3）2.【分析】（1）设()()1122,,,M x y N x y ，抛物线()220y px p =>的焦点F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 的方程为2px my =+,然后与抛物线方程联立，由韦达定理可得答案. (2)由1212OM ON x x y y ⋅=+可得答案. (3)由2112111222OMNOFNOFMSSSOF y OF y y y =+=⨯+⨯=-可得答案. 【详解】（1）设()()1122,,,M x y N x y ，抛物线()220y px p =>的焦点F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭设直线MN 的方程为2p x my =+由222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩ ，得2220y mpy p --=所以122y y mp +=，2124y y p =-=-，所以2p =所以抛物线的方程为：24y x =(2) 由（1）124y y =-，221212144y y x x =⨯=1212143OM ON x x y y ⋅=+=-=-（3）由（1）有124y y m +=，124y y =- 因为2112111222OMNOFN OFMSSSOF y OFy y y =+=⨯+⨯=- 2==≥ （当0m =时取得等号）【点睛】关键点睛：本题考查抛物线过焦点的弦的性质，考查与抛物线有关的三角形面积的最值问题，解答本题的关键是由2112111222OMNOFNOFMSSSOF y OF y y y =+=⨯+⨯=-，再转化为韦达定理124y y m +=，124y y =-的关系，从而求出最值，属于中档题. 23．（1）3；（2）不存在；（3）证明见解析. 【分析】（1）设出()00,M x y ，把MF 表示出来，利用函数求最值；（2）假设存在点P ，作出切线PC 、PD ，由OCPD为正方形推出||OP =||2OP ≤≤，矛盾，所以判断点 P 不存在；（3）用坐标法分别求出AF AQ BF BQ 、、、，证明AF AQ BF BQ +=+ 【详解】由椭圆22:143x y E +=，知右焦点为()1,0F ，（1）设()00,M x y ，则()220001,2243x y x +=-≤≤，所以MF ===因为()()220000124444x f x x x =-+=-在 []02,2x ∈-上单减，所以当02x =-时，3MF ==最大，即MF 的最大值为3. （2）假设存在点P 符合题意，如图示，,,OC OD PC PD ⊥⊥又有,PC PD ⊥ 所以OCPD 为矩形；因为|OC |=|OD |,所以OCPD 为正方形，所以|||OP OC ===；又P 在椭圆22:143x y E +=||2OP ≤≤≠,故这样的点P 不存在；（3）设()()1122,,,A x y B x y ，连结 OQ ，OA ，OB ，则△AOQ 为直角三角形，所以||AQ ==又A 在椭圆22:143x y E +=上，所以 2211143x y +=，得1||2x AQ ===而11||22AF x ==-所以11112222AF AQ x x +=-+=；同理可证：2BF BQ +=.所以AF AQ BF BQ +=+，即证【点睛】解析几何问题常见处理方法：(1)正确画出图形，利用平面几何知识简化运算； (2)坐标化，把几何关系转化为坐标运算．。

上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若不同的两点A 和B 在参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）表示的曲线上，则A 与B 的距离的最大值是__________．2．z 是z 的共轭复数，若2z z +=，()2z z i -=（i 为虚数单位），则z =_____________.3．将圆22:36C x y +=上任意一点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，从而得到椭圆E ，则椭圆E 的焦点坐标是_____________.4．若双曲线Γ的两个焦点1F 和2F 都在x 轴上且关于y 轴对称，Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，则此双曲线的渐近线方程是_____________.5．若双曲线H 的两个焦点都在y 轴上，且关于x 轴对称，焦距为10，实轴长与虚轴长相等，则双曲线H 的方程是_____________.6．二次函数238y x =的图像的准线方程是______________. 7．以方程22||||0x y x y +--=的曲线为边界的封闭区域的面积是______________.8．已知直线y m =与方程y =[]()21,21,x k k k Z ∈-+∈的曲线相交，相邻交点间的距离皆相等，则m =____________.9．设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________. 10．已知动圆过定点()4,0A ，它与y 轴相交所得的弦MN 的长为8，则满足要求的动圆其半径的最小值是_____________.11．设点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，使得2OP PQ =（O 为坐标系原点），坐标表示与PQ 同方向的单位向量，其结果是_____________.12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则p = ．二、单选题13．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（）A ．22x t y t =⎧⎨=-⎩B ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩C ．22x t y t =⎧⎨=-⎩D ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩14．集合{|(1)(1)()}M z z t t i t R ==-++∈，下列命题中不正确的是（）A ．M R =∅B ．0M ∉C ．若z M ∈，则z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D ．若z M ∈，2z =，则z 不一定是纯虚数15．已知动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，且圆C 与直线2x =-相切，则圆C 与圆22(3)1x y -+=（）A ．总是相离B ．总是外切C ．一定有两个不同的公共点D ．可以有公共点，也可以没有公共点 16．已知点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和点都在一条既关于x 对称，又关于y 轴对称的二次曲线上，则这条二次曲线（）A ．一定是圆B ．一定是椭圆C ．一定是双曲线D ．可以是椭圆，也可以是双曲线17．设集合{,}A a b =，其中a 和b 都是复数，且使得{}22{,},a b a b=成立，则满足要求的集合A 的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．4 18．设集合{}(,)|1A x y ==，(,)|)x B x y t y ⎧⎧⎫=⎪⎪⎪=⎨⎨⎬=⎪⎪⎪⎩⎭⎩为参数，则有（）A ．AB =∅ B ．A B ⊆C ．A B =D ．{}22(,)|1A B x y x y =+=三、解答题 19．把曲线P 的参数方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩化成普通方程，并在平面直角坐标系中画出相应的曲线.20．已知z 是纯虚数，并使得21z i+∈-R ，求z 21．对于有限集P ，我们以()f P 记该集合中元素的个数，若集合{}(,)|(0A x y x x ==，集合{}(,)|B x y y x k ==+，其中k 是常数，求()f A B .22．已知椭圆E 的方程是2214y x +=，圆O 的方程是221x y +=，直线l 与圆O 相切，与椭圆E 相交于不同的两点A 和B ，求AB 的最大值.23．在如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，以点A 和点B 为焦点，过点C 和点D 的椭圆的长轴长是2E a ，以点C 和点D 为焦点，过点A 和点B 的双曲线的实轴长是2H a ，试用两种方法证明:()()22E H a a AB CD ⋅=⋅24．设(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =(0)p >上的动点，也是直线l 与抛物线P 唯一的公共点，直线l 与抛物线P 的对称轴相交，点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，求动点F '的轨迹方程.参考答案1．2【分析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程可知,曲线为半径为2的圆,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.【详解】由参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）,可得22(1)(2)1x y ++-=, 所以点A 和B 在半径为1的圆上,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.故答案为 :2【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,圆的标准方程,属于基础题.2【分析】设出复数z 的代数形式，结合复数加减法和乘法的运算法则，根据已知2z z +=，()2z z i -=，这样可以求出复数的代数表示，最后根据复数模的定义求解即可.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，由221z z a bi a bi a +=⇒++-=⇒=.由()2()21z z i a bi a bi i b -=⇒+-+=⇒=-，所以1z i z =-⇒【点睛】本题考查了复数的加减法和乘法的运算法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数模的求法，属于基础题．3．(0,-【分析】设出圆22:36C x y +=上任意一点的坐标，再设出该点变换后的坐标，通过坐标之间的关系求出椭圆标准方程，进而求出焦点坐标..【详解】设00(,)P x y 是圆22:36C x y +=上任意一点，则有220036x y +=，点00(,)P x y 变换后对应点的坐标为'(,)P x y ，由题意可知：0000133x x x x y y y y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以有： 2222(3)361436x y x y +=⇒+=，因此有2236,4a b c ==∴==，焦点在纵轴上，因此焦点坐标为：(0,-.故答案为：(0,-【点睛】本题考查了坐标变换，考查了椭圆的焦点坐标，属于基础题.4．y =±【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，可得等式，这要再利用,,a b c 之间关系，求出,a b 之间的关系，进而求出渐近线方程.【详解】由题意可设双曲线的方程为：22221x y a b-=，因为两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，所以有22222222398b c a a c a c ac a b b a a-=⇒=⇒==+∴=⇒=的渐近线方程为：y =±.故答案为：y =±【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题. 5．221252522y x -=【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据焦距为10、实轴长与虚轴长相等、,,a b c 的关系，求出,a b 即可.【详解】因为双曲线H 的两个焦点和都在y 轴上，且关于x 轴对称，所以设双曲线H 的标准方程为： 22221y x a b -=，因为焦距为10，所以2105c c =⇒=，因为双曲线的实轴长与虚轴长相等，所以a b =，而222c a b =+，所以有222252252a ab =⇒==，因此双曲线的标准方程为： 221252522y x -=. 故答案为：221252522y x -=【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了数学运算能力，属于基础题.6．23y =-【分析】把二次函数的解析式写成抛物线的标准方程的形式，最后求出准线方程即可.【详解】 223883y x x y =⇒=，所以准线方程为：23y =-. 故答案为：23y =- 【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题.7．2π+【分析】根据绝对值的性质，结合配方法化简方程，然后在直角坐标系内画出方程所表示的曲线，最后求出封闭区域的面积.【详解】当0,0x y ≥≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+--=⇒-+-=，当0,0x y ≥<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+-+=⇒-++=，当0,0x y <≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒++-=⇒++-=，当0,0x y <<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+++=⇒+++=，在直角坐标系内，方程所表示的曲线如下图所示：2222ππ⎛⨯=+ ⎝⎭. 故答案为：2π+【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．0,1,2【分析】把方程y =化简，在同一直角坐标系内画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，利用数形结合结合已知求解即可.【详解】22(2)1(0)y x k y y =-+=≥，在同一直角坐标系内，画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，如下图所示：显然当0,1m =时，相邻交点间的距离皆相等，当01m <<时，令221y m x x y =⎧⇒=⎨+=⎩令222(2)1y m x x y =⎧⇒=±⎨-+=⎩，由题意可知：201AB BC m m m =⇒=-=±<<∴=根据图形的对称性可知：此时相邻交点间的距离皆相等，故答案为：【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，考查了数形结合思想，是中档题．9．2π 【分析】根据|||1|z i z -+-=可以知道复数z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距离之和为，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ 上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.10．4【分析】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，结合题意分析可得（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，解可得动圆圆心的轨迹的方程，进而可得r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16，结合二次函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，则有（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，则动圆圆心的轨迹M 的方程为y 2＝8x ，其中x ≥0，则r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16≥16，当x ＝0时，r 取得最小值，且其最小值为4；故答案为：4．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，关键是分析圆心的轨迹，属于综合题．11．(88【分析】设出点P 和点Q 的坐标，根据2OP PQ =，结合半圆的方程，可以求出点P 和点Q 的坐标，最后求出向量PQ 的坐标表示和模，最后求出与PQ 同方向的单位向量. 【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，由1211212112232(,)2(,)(1)23x x OP PQ x y x x y y y y ⎧=⎪⎪=⇒=--⇒⎨⎪=⎪⎩，因为点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，所以有()()221122222121x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩(2)，由（1），（2）解得：211115584,48x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，所以5(,88PQ =，因此5(2PQ ==，所以与PQ同方向的单位向量为：(88. 故答案为：(88【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，考查了平面向量坐标的坐标表示，考查了平面向量共线坐标表示公式，考查了数学运算能力. 12．2或8．【解析】试题分析：设(,)M x y ，55522p pMF x x =⇒+=⇒=-，22210y px p p ==-，设(0,2)A ，∴(,2)AM x y =-，(,2)2PAF =-，20420420424p y AM AF x y y y ⋅=⇒⋅+-=⇒+-=⇒=216102p p p ⇒=-⇒=或8．考点：1．抛物线的标准方程及其性质；2．圆的性质．【思路点睛】研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解． 13．A 【分析】根据直线倾斜角和直线斜率的关系求出斜率，最后利用点斜式求出直线方程，对四个选项中的参数方程进行加减法消元或代入法消元，化成点斜式方程，最后进行判断即可. 【详解】因为直线l 倾斜角是arctan 2π-，所以直线l 的斜率为：tan(arctan 2)tan(arctan 2)2π-=-=-. 又因为直线l 在y 轴上截距是2，所以直线l 的方程为：22y x =-+.选项A ：2222x ty x y t =⎧⇒=-+⎨=-⎩，符合题意；选项B ：2242x ty x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意；选项C ：21222x t y x y t=⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意；选项D ：22112x t y x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意. 故选：A 【点睛】本题考查了直线倾斜角和直线斜率之间的关系，考查了参数方程化为普通方程，属于基础题. 14．A 【分析】A ：根据复数的分类结合集合的交集运算定义进行判断即可；B ：根据复数的分类结合元素与集合的关系进行判断即可；C ：根据复数在平面对应点的特征结合不等式组的解集进行判断即可；D ：根据复数模的定义结合复数的分类进行判断即可. 【详解】A ：当1t =-时，{2}M =-，因此{}2MR =-≠∅，故本命题是假命题；B ：当z R ∈时，1t =-，此时{2}M =-，因此0M ∉，故本命题是真命题；C ：当z 在复平面上所对应的点在第四象限时，则有1010t t ->⎧⎨+<⎩成立，而该不等式组的解集为空集，故本命题是真命题；D ：当2z =21t =⇒=±，即2,2z i =-，故本命题是真命题. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的分类、模的计算公式，考查了集合的交集运算，考查了元素与集合的关系，考查了命题的真假判断，属于基础题. 15．B 【分析】根据圆C 与直线2x =-相切，根据抛物线的定义，结合圆与圆的位置关系的判断方法进行判断即可. 【详解】抛物线212y x =的焦点的坐标为(3,0)，恰好是圆22(3)1x y -+=的圆心，且该圆的半径为1，动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，所以有00x ≥，抛物线的准线方程为：3x =-.两个圆的圆心距为00(3)3x x --=+.因为圆C 与直线2x =-相切，所以该圆的半径为：00(2)2r x x =--=+，因此两个圆的半径之和为：001213r x x +=++=+，显然等于两个圆的圆心距，因此是两圆相外切. 故答案为：B 【点睛】本题考查了两个圆的位置关系判断，考查了抛物线的定义，考查了圆的切线性质. 16．B 【分析】根据题意可设二次曲线方程为：222x y r +=或221mx ny +=，根据两个点是否能同时满足方程进行判断即可. 【详解】当二次曲线方程为222x y r +=，把点的坐标代入方程中：有222223522r r⎧⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+=⎩，方程组无实数解，故这两个点不能在符合条件的圆上；当二次曲线方程为221mx ny +=，把点的坐标代入方程中：有22213516221110m m n n m n ⎧⎧⎛⎫⎛⎫=⎪⎪-+=⎪⎪ ⎪ ⎪⇒⎝⎭⎝⎭⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩，此时二次曲线表示椭圆. 故选：B 【点睛】本题考查了已知二次曲线过点求二次曲线方程，考查了数学运算能力. 17．C 【分析】根据集合相等的概念，分类讨论进行求解即可. 【详解】因为{}22{,},a b a b=，所以有22,a a b b==或22,a b b a ==.当22,a a b b ==时，由20,1a a a =⇒=，同理可求得0,1b =，此时{0,1}A =. 当22,a b b a ==时，则有432(1)0(1)(1)0a a a a a a a a =⇒-=⇒-++=，解得0a =，或1a =，或2(1)0a a ++=，当0a =，或1a =时，此时{0,1}A =；当2(1)0a a ++=时，解得a =，当a =时，b =A =⎪⎪⎩⎭，当a =时，b =，此时11,22A ⎧⎫---⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 故选：C【点睛】本题考查了集合相等求元素，考查了分类讨论思想，考查了一元二次方程复数解问题，考查了数学运算能力. 18．D 【分析】对集合A 中的方程中左边的项移项，然后用平方法进行化简，对集合B 中的参数方程用平方法进行消参，然后逐一判断即可. 【详解】2211((1=⇒=-⇒=-,化简后再通过平方法化简，得221x y +=，因此{}22(,)|1A x y x y +==；22221,011(01,01)x x y t x y x y y ⎧=⎪⇒+=≤≤∴+=≤≤≤≤⎨=⎪⎩，因此 {}22(,)1(01,01)B x y x y x y =+=≤≤≤≤，显然A B B =，B A ⊆，A B ≠，{}22(,)|1A B x y x y =+=.故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集、并集的运用，方程的恒等变形、消参是解题的关键. 19．2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【分析】运用同角的三角函数关系式中平方和关系，结合二倍角的正弦公式，运用加减消元法求解即可，最后画出相应曲线即可. 【详解】22sin cos (1)(1)(2)sin cos )[1sin 2(2)x y x x x y θθθθθπθ=+⎧-⇒==+=+∴∈⎨=+⎩因此普通方程为：2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【点睛】本题考查了将参数方程化为普通方程，考查了画方程的曲线，考查了同角的三角函数关系中的平方和关系，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题. 20．-2i 【分析】设()z bi b R =∈，代入21z i +-进行化简，根据21z i+-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z . 【详解】设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()()212221112bi i b b ibi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题.21．当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =【分析】运用绝对值的性质，结合乘法运算的性质，可以求出集合A 表示的曲线方程，在同一角坐标系内画出集合,A B 表示的曲线，利用数形结合思想求解即可. 【详解】当0x =时，显然有0x ≤，若0y ≥时，221x y +=；当0y <时，有221x y -=.当0x =时，显然有0x ≥，若0y ≥时，221x y -=；当0y <时，有221x y +=.在同一直角坐标系内画出集合,A B 所表示的曲线，如下图所示：当直线y x k =+与221x y +=(0x ≤且0)y ≥1k =⇒=知：此时k =y x k =+与221x y +=(0x ≥且0)y <相切时，此时k =221x y -=的渐近线方程的方程为y x =±，由图象可知：当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =.【点睛】本题考查了集合元素的属性特征，考查了集合交集的几何意义，考查了曲线与方程的关系，考查了数形结合思想. 22．2 【分析】讨论直线l 与y 轴垂直，求得A ，B 的坐标，可得弦长；再由直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+，求得O 到直线l 的距离，联立椭圆方程可得y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，结合基本不等式即可得到所求最大值．【详解】当直线l 垂直于y 轴时，由直线l 与圆O ：221x y +=相切，可知直线l 的方程为y ＝±1，联立22114y y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x =，联立22114y y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2x =±，∴AB ；当直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+,由直线l 与圆O ：221x y +=1，即221t m =+，将x my t =+代入2214yx +=，整理得222)(148440m y mty t -+++＝，设1122(,),(,)A x y B x y ,则有122814mt y y m +=-+，21224414t y y m -=+，AB ==()222231214m m m++≤=+ 当且仅当2213mm +=时等号成立，即2m =±时，|AB |取得最大值2．综上可得AB 的最大值为2．【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆弦长的求法，考查运算求解能力，考查了重要不等式的应用，考查化归与转化思想，是中档题． 23．两种证明方法见解析. 【分析】运用椭圆和双曲线的定义，利用勾股定理和坐标法证明即可. 【详解】证法一、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+，双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣，由等腰梯形可得BC AD ＝，则22)()(22E H a a CA CB =﹣ 如图可设CM AB DN AB ⊥⊥，，可得:22222222()()()()CA CB CM AM CM BM AM BM AM BM AM BM AB MN AB CD--=-=+-=⋅=+⋅+=即有()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立；证法二、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+，双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣，由等腰梯形可得BC AD ＝，则22)()(22E H a a CA CB =﹣以AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设(0),(0),(,),(,),,0A m B m C n h D n h m n -->，，，可得222222(())4CA CB n m h m n h mn AB CD -=-++--⋅＝＝则()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，运用勾股定理和等腰梯形的性质以及坐标法是解题的关键，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题． 24．2py =- 【分析】设出过设(),M M M x y 的直线方程，与抛物线的方程联立，根据已知，由一元二次方程根的判别式求出直线l 的方程，再根据斜率公式和中点坐标公式求出动点F '的轨迹方程. 【详解】抛物线2:2P x py =的对称轴为纵轴，所以直线l 存在斜率，因此设它的方程为：()M M y y k x x -=-，与抛物线方程联立，消y 得：222()0M M x pkx p y kx ---=，由题意得：22(2)8()0220(1)M M M M pk p y kx pk y kx ∆=-+-=⇒+-=,又因为(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =上的动点，所以有22(2)M M x py =，由（1）（2）可得：1M k x p=，所以直线l 的方程为：212M M x y x p p=-设F '的坐标为：(,)x y ，抛物线的焦点坐标为：(0,)2p ，因为点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，所以有： 2212222M M M p y x x p p y x x x p p ⎧-⎪⋅=-⎪⎪⎨⎪+⎪=⋅-⎪⎩，消去M x ，得221022p x y p y ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以动点F '的轨迹方程为：2p y =-. 【点睛】本题考查了抛物线的切线方程以及两点关于直线对称问题．属中档题．。

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题解析高中数学

6.已知直线与直线互相垂直，则 ________
答案：
利用两条直线垂直的等价条件可得，解方程即可求的值.
解：因为直线与直线互相垂直，
所以，
解得：，
故答案为： .
7.以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以、为两条渐近线的方向向量的双曲线方程为________
答案：
记所求双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，根据抛物线的方程得到焦点坐标，确定的值；根据渐近线的方向向量，得到渐近线方程，求出；进而可得双曲线方程；
12.已知实数、、、满足：，，，则的最大值为______．
答案：
设A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x1，y1）， =（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1， + 的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
9.已知正三角形边长为2，若点在边上且满足，则 ________
答案：
由得到、，再由可得答案.
解：
，
所以，所以，
.
故答案为： .
点评：本题考查了平面向量基本定理、数量积的运算，关键点是，的转化，考查了向量的基本运算.
10.已知双曲线的左右焦点分别是，点是双曲线右支上一点，且，则三角形的面积等于____
解：记所求双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，
因为的焦点为，所求双曲线以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，所以，且焦点在轴上，
又、为两条渐近线的方向向量，
所以渐近线方程为，即，
由解得，

上海市西南位育中学2020-2021学年高二数学理期末试题含解析

上海市西南位育中学2020-2021学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在三角形ABC中，如果，那么B等于（）A． B． C． D．参考答案：B2. “AB>0”是“方程表示椭圆”的（）A.必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A3. 三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（）A．16 B．12 C．10 D．8参考答案：B【考点】棱锥的结构特征．【分析】作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，由AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，能求出该截面的周长．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，∵AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，∴PH=EF=，HF=PE=，∴该截面PEFH的周长为：4+4+2+2=12．故选：B．【点评】本题考查截面的周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间培养．4. 已知复数，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A因为，所以由题设可得，应选答案A。

5. 右图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A. 84，4.84B. 84，1.6C. 85，1.6D. 85，4参考答案：C6. 随机变量服从二项分布，且，则p等于（）A. B. C. D.参考答案：B因为,所以,解得.即等于.故选B.7. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为() A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定参考答案：A8. .已知直线与圆相交于两点，且则的值是（）A． B． C． D．0参考答案：A9. 文）给出下列四个命题：（1）异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线；（2）若直线上有两点到平面的距离相等，则；（3）若直线与平面内无穷多条直线都垂直，则；（4）两条异面直线中的一条垂直于平面α，则另一条必定不垂直于平面α.其中正确命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个参考答案：C10. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，若﹣=100，则d的值为（）A．B．C．10 D．20参考答案：B【考点】等差数列的性质．【分析】﹣=﹣=1000d，即可得出．【解答】解：∵100=﹣=﹣=1000d，解得d=．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，，…，若（为正整数），则。

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题(2)

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．AB BC CA ++=______.2．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的増广矩阵是_____________. 3．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB 同向的单位向量为________________.4．三阶行列式123456789的元素4的代数余子式是___________.5．函数sin 4cos )31(x xf x =的最大值为_____________.6．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE 可以用a 和b 表示为____________.7．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________. 8．设(2,7),(,3)p q x ==-，若p 与q 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________. 9．在ABC ∆中，若B C BA BC A A =⋅⋅，则ABC ∆的形状为__________.10．若向量(1,2)n a =是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________.11．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是．12．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为_______.二、单选题13．已知(,),(5,0)a m n b ==-且向量a 在向量b 方向上的投影是2-，则（）A ．2,2m n ==-B ．2,2m n =-=C ．2m =，n 取任意实数D ．2m =-，n 取任意实数14．设a 、b 是非零向量，命题甲：//a b 且||a b |=|，命题乙：a b =，则命题甲是命题乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．设a 、b 、c 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论：（1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅ （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=（3）||||||a b a b -<- （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=- 其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．416．已知在ABC ∆中，0P 是边AB 上的一个定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅，则（） A ．2B π= B ．2A π= C ．AB AC = D ．AC BC =三、解答题17．已知O 为原点，(3,1)OA =，(1,2)OB =-，OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，求OC 的坐标.18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==，求b 与c 的夹角.19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y m x my m -+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程；（2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式． 21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP x AB AQ y AC ==，记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围参考答案1．0【分析】根据向量加法的法则即可化简求值.【详解】因为AB BC AC，所以+0AB BC CA AC CA++==.故答案为：0【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，属于容易题.2．116 312⎛⎫ ⎪--⎝⎭【分析】先将方程组转化成632x yx y+=⎧⎨-=-⎩，写出方程组的系数矩阵，再加入常数列，从而得到増广矩阵.【详解】因为方程组60320x yx y+-=⎧⎨-+=⎩等价于632x yx y+=⎧⎨-=-⎩，所以系数矩阵为1131⎛⎫ ⎪-⎝⎭，所以増广矩阵是116 312⎛⎫ ⎪--⎝⎭.故答案为：116 312⎛⎫ ⎪--⎝⎭.【点睛】本题考查増广矩阵的概念，考查对概念的理解与应用，属于容易题.3．512, 1313⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】可求出(5,12)AB =，从而得出与AB 方向相同的单位向量为(,)|5121313|AB AB =．【详解】因为(5,12)AB =；所以与AB 方向相同的单位向量坐标为：(,)|5121313|AB AB =．故答案为：512,1313⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查向量的坐标表示及单位向量的坐标运算，考查基本运算求解能力，注意所求单位向量的方向与AB 方向相同．4．2389- 【分析】利用代数余子式定义直接求解．【详解】在三阶行列式123456789中，元素4的代数余子式的为：32323(1)8989-=-． ∴元素4的代数余子式的为2389-．故答案为2389-．【点睛】本题考查行列式的代数余子式的求法，而不是求代数余子式的值，解题时要认真审题，考查概念的理解与应用．5．5【分析】先根据二阶行列式的计算得到()3sin 4cos f x x x =-，再由三角恒等变换中的辅助角公式，将()f x 化成正弦型三角函数，从而求得最大值.【详解】因为sin 4cos ()3sin 4cos 5sin()31x xf x x x x θ==-=-，其中4tan 3θ=，当sin()1x θ-=时，max ()5f x =.故答案为：5.【点睛】本题考查二阶行列式的计算、三角恒等变换公式的应用、三角函数的最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意辅助角公式的运用.6．12BE b a =-【分析】利用平面向量基本定理，取a 和b 为基底，将BE 用基向量表示出即可．【详解】如图，1122BE AE AB AD DE AB AD AB AB b a =-=+-=+-=-．故答案为：12BE b a =-.【点睛】考查向量的加法、减法、数乘运算的综合运用，属于容易题．7．881820⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推，即可得到答案.【详解】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推：所以12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭881820⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：881820⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查矩阵相乘的定义，考查基本运算求解能力，属于容易题.8．6621,,772⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∪ 【分析】利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，除去当两向量平行时x 的取值，进而得到x 的取值范围.【详解】p 与q 的夹角为钝角，∴0p q ⋅<，即2210x -<，解得212x <. 当p 与q 方向相反时，设p q λ=且0λ<，(2,7)∴(,3)x λλ=-，∴273x λλ=⎧⎨=-⎩，67x ∴=-. x 的范围为212x <且67x ≠-；故答案为：212x <且67x ≠-. 【点睛】本题考查向量夹角与向量数量积的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时注意数量积小于0无法保证向量的夹角为钝角，还要把共线向量的情况除掉．9．等腰三角形由向量数量积的定义，将等式转化成||cos ||cos AC A BC B =，再由三角形的中线与高合一，判断三角形的形状.【详解】作CD AB ⊥交AB 于D ，因为AB AC BA BC ⋅=⋅所以||||cos ||||cos ||cos ||cos AB AC A BA BC B AC A BC B =⇒=，所以AD BD =，则D 为AB 的中点，由三角形底边AB 中线与高合一，所以ABC ∆为等腰三角形.故答案为：等腰三角形.【点睛】本题考查三角形形状的判定，求解过程中要注意利用向量既有几何又有代数的双重身份进行求解，求解的关键在于和平面几何知识的结合运用.10．34-或0 【分析】由直线:(21)10l a x ay +-+=的方程可得直线的一个方向向量为(,21)v a a =+，利用0n v ⋅=可求得a 的值.【详解】取(,21)v a a =+为直线l 的一个方向向量，所以0n v ⋅=4(21)320a a a a ⇒+⇒+⋅==-或0a =. 故答案为：34-或0.本题考查直线的方向向量与法向量的关系，考查基本运算求解能力，属于容易题. 11．304m <<【详解】试题分析：设1,4AD AB =过点D 作DE 平行AC 于E 点，则3,4DE AC =由向量加法的几何意义知，点M 必在线段DE 上（不含端点）.又0m =时，M D =；34m =时，M E =，所以304m <<. 考点：向量加法的几何意义12．【分析】先利用向量的数量积公式，求出60BOC ∠=︒，利用余弦定理求出BC ，由等面积可得O 到BC 的距离，即可求出ABC ∆面积的最大值．【详解】3OB =，2OC =，3OB OC ⋅=，60BOC ∴∠=︒，BC ∴==设O 到BC 的距离为h ，则由等面积可得1132222h =⋅⋅⋅，7h ∴=，ABC ∆∴面积的最大值为1(4)27+=故答案为：．【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查分析解决问题的能力，求出BC ，O 到BC 的距离是关键．13．C 【分析】由向量a 在向量b 方向上的投影定义得到方程2||cos ,||a ba ab b ⋅-=<>=，将向量的坐标代入，即可得到关于,m n 的关系. 【详解】由向量a 在向量b 方向上的投影定义得：2||cos ,||a ba ab b ⋅-=<>=，所以5225mm --=⇒=，所以2m =，n 取任意实数.故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积中投影的定义，考查对投影概念的理解和坐标运算，属于容易题. 14．B 【分析】由于命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，反过来命题乙成立可以推出命题甲成立，故可得到答案. 【详解】因为命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，所以充分性不成立；反过来，当两个向量是相等向量时，则这两个向量互相平行且大小相等，所以命题乙可推出命题甲成立，所以必要性成立. 故选：B. 【点睛】本题以相等向量、平行向量、模的概念为背景，考查简易逻辑知识，考查对概念的理解与应用，属于容易题. 15．C【分析】对（1），向量的数量积不满足结合律；对（2），利用向量的数量积与数乘运算，再根据数量积的交换律可判断；对（3），根据向量差的模与模的差的关系，根据其几何意义判断；对（4），利用数量积运算的分配律. 【详解】对（1），向量的数量积不满足结合律，所以()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅错误，故（1）错误；对（2），原式()()()()()()()()0b c a c c a b c b c a c b c a c =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=，故（2）正确；对（3），由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故（3）正确；对（4），由数量积运算的分配律得：2222(32)(32)949||4||a b a b a b a b +⋅-=-=-，故（4）正确. 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的运算律和向量加法、减法法则的运用，考查对概念的深刻理解与运用，属于中档题. 16．D 【分析】如图所示：以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设AB 4=根据00PB PC P B P C ⋅≥⋅得到()()()110m m x --+≥，即0x =得到答案. 【详解】如图所示：以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系.设AB 4=，则()2,0B ，()01,0P ，设(),C x y ，()(),0,22P m m -≤≤ 00PB PC P B P C ⋅≥⋅即()()()()()22,0,1,01,210m x m y x y m x m x -⋅-≥⋅-∴-+++≥ 恒成立()()()110m m x --+≥恒成立，故0x = 即C 在AB 的垂直平分线上，CA CB =故选：D【点睛】本题考查了向量的恒成立问题，建立坐标系可以简化运算，是解题的关键. 17．(14,7). 【分析】设C 为(),x y ,则(),OC x y =,故BC OC OB =-,由题可得0OC OB ⋅=,BC 与OA 平行,进而求出点C 坐标即可【详解】由题, 设C 为(),x y ,则(),OC x y =,所以()1,2BC OC OB x y =-=+- 因为OC 与OB 垂直,则0OC OB ⋅=,即20x y -+=①, 又因为BC 与OA 平行,则1231x y +-=②, 由①②可得,14x =,7y =, 所以OC 的坐标为()14,7 【点睛】本题考查向量的垂直与平行关系,考查坐标法处理向量的位置关系,考查运算能力18．π-【分析】利用向量的夹角公式cos ,||||b cb c b c ⋅<>=，根据条件分别把,||,||b c b c ⋅三个值算出，再代入公式求得余弦值，即可得到答案. 【详解】因为(32)(2,4)(2,2)12a b c -⋅=-⋅-=，所以32123a c b c b c ⋅-⋅=⇒⋅=-，因为(2,2)c =-，所以||22c =，所以cos ,16||||42b c b c b c ⋅<>===-⋅，因为,[0,]b c π<>∈，所以,arccos 16b c π<>=-. 【点睛】本题考查向量夹角、向量数量积、向量的模及已知三角函数值求角等知识的交会，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求夹角时要注意反三角函数知识的运用.19．当3m =时，方程有无数解；当1m =-时，方程组无解；当3m ≠且1m ≠时，方程组有唯一解2141m x m m y m --⎧=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数构成列向量．计算系数矩阵对应的行列式223D m m =--，再对D 进行分类讨论，求得方程组解的情况. 【详解】系数矩阵对应的行列式221233m D m m m-==--，当2230D m m =--≠，即1m ≠-且3m ≠时，方程组有唯一的解，1621m m m m x D m -----==+，62341m m m y m D m ----==--+．2230D m m =--=，即3m =或1m =-时．当3m =时，原方程为3339x y x y +=-⎧⎨+=-⎩无数个解，当1m =-时，原方程组为3133x y x y -+=⎧⎨-=-⎩无解．【点睛】本题二元一次方程组解的行列式求法，考查基本的运算求解能力． 20．（1）370x y -+=；（2）1133y x =+或133y x =+.【分析】（1）作出图形，可得出CDEABC ∆∆，根据面积比为49得出23CD AC =，从而得出2CD DA =，设点(),D m n ，利用向量的坐标运算求出点D 的坐标，并求出直线AB 的斜率，即为直线l 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线l 的方程；（2）求出直线AB 的方程和AB ，设点C 到直线AB 的距离为d ，利用ABC ∆的面积为2求出d 的值，结合点到直线的距离公式可求出y 关于x 的函数关系式. 【详解】（1）//l AB ，即//DE AB ，CDE ABC ∴∆∆，且249CDEABCCD S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 2CD DA ∴=，设点D 的坐标为(),m n ，()4,5CD m n =--，()1,2DA m n =--，()()421522m m n n ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩，()2,3D ∴.直线AB 的斜率为211123AB k -==+，//l AB ，则直线l 的斜率为13. 因此，直线l 的方程为()1323y x -=-，即370x y -+=；（2）直线AB 的方程为()1213y x -=-，即350x y -+=，AB ==设点C 到直线AB 的距离为d ，则ABC ∆的面积为11222ABC S AB d d ∆=⋅==，得d =，另一方面，由点到直线的距离公式得d ==， 354x y ∴-+=±，解得1133y x =+或133y x =+.因此，y 关于x 的函数关系式为1133y x =+或133y x =+.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）41x y x =-，1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）11,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，,AP xAB AQ y AC ==，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy 的方程，进而可得函数()y f x =的表达式；（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤，利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【详解】（1）如图所示：D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，∴111111()222244AM AD AB AC AB AC ==+=+，又PQM 三点共线，故(1)(1)AM AP AQ AB y AC λλλ=+-=+-，故141(1)4x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，故11144x y+=，即()41x y f x x ==-，1(1)3x ≤≤. （2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤故2'1242(41)x xS x -=-，当1132x ≤<时，'10S <，函数为减函数，当112x <≤时，'10S >，函数为增函数，故当12x =时，1S 取最小值14，当13x =，或1x =时，1S 取最大值13，故1211[,]43S S ∈，因为12APQ ABCS S k S S ∆∆==，所以11[,]43k ∈【点睛】本题考查函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。

2022-2023学年上海市位育中学高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市位育中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知向量，是平面内的两个不共线的非零向量，非零向量在直线上，则“，且a b αc l 0c a ⋅= ”是的（）0c b ⋅=l α⊥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】由线面垂直的定义和判定定理即可得到答案.【详解】解：由题意，，.0c a c a →→→→⋅=⇔⊥0c b c b →→→→⋅=⇔⊥因为向量，是平面内的两个不共线的非零向量，a b α所以，根据平面向量基本定理，对于平面内的任意直线，其方向向量为，存在唯一实数对αn m使得成立，,x y m xa yb =+所以，，即，0m c xa c yb c ⋅=⋅+⋅= c m ⊥ 所以直线与平面内的任意直线都垂直，故；l αl α⊥若，根据线面垂直的定义，可以得到，且.l α⊥0c a →→⋅=0c b →→⋅=所以“，且”是的充分必要条件.0c a →→⋅=0c b →→⋅=l α⊥故选：C.2．如果两个球的表面积之比为4：9，那么这两个球的体积之比为（）A ．8：27B ．2：13C ．4：943D ．2：9【答案】A【分析】球的表面积之比是两球的半径的平方之比，体积之比是半径的立方之比，据此即可计算.【详解】设两球的半径分别为，则，∴，12,r r 21224449r r ππ=1223r r =所以两球的体积比为；3113224834273r V V r ππ==故选：A.3．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（）A ．甲乙两班同学身高的极差不相等B ．甲班同学身高的平均值较大C ．甲班同学身高的中位数较大D ．甲班同学身高在175 cm 以上的人数较多【答案】A【分析】利用茎叶图的概念结合数据分析即可确定答案.【详解】对于A ，甲班同学身高的极差为182﹣157＝25，乙班同学身高的极差为182﹣159＝23，∴甲乙两班同学身高的极差不相等，故A 正确；对于B ，甲班数据靠上的相对少，乙班数据靠上的相对多，∴估计甲班同学身高的平均值较小，故B 错误；对于C ，甲班同学身高的中位数为168，1661702+=乙班同学身高的中位数为171.5，1711722+=∴甲班同学身高的中位数较小，故C 错误；对于D ，甲班同学身高在175cm 以上的有3人，乙班同学身高在175cm 以上的有4人，∴甲班同学身高在175cm 以上的人数较少，故D 错误．故选:A ．4．下列说法正确的是（）A ．四边形一定是平面图形B ．不在同一条直线上的三点确定一个平面C ．梯形不一定是平面图形D ．平面和平面一定有交线αβ【答案】B【分析】根据空间元素的位置关系和三大公理及推论分别判断选项正误.【详解】解：对于选项A,四边形不一定是平面图形,也可能是空间四边形,故A 错误;对于选项B,不共线的三点确定一个平面,故B 正确;对于选项C,梯形中，有一组对边平行,可以确定一个平面,故梯形一定是平面图形，C 错误;对于选项D,若平面和平面平行,则其没有交线,故D 错误;αβ故选:B.5．在正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AC 的中点，则异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为（）A ．BCD12【答案】C【分析】作出辅助线，找到异面直线AE ，FG 所成角，设出正四面体的边长，表达出其他边长，利用余弦定理求出答案.【详解】连接DE ，因为点F ，G 分别为棱CD ，AC 的中点，所以FGAD ，//所以或其补角为异面直线AE ，FG 所成角，EAD ∠设正四面体的边长为a ，则，，AE DE ==AD a =由余弦定理得：，222cos 2AE AD DE EAD AE AD +-∠===⋅所以异面直线AE ，FG .故选：C 6．被9除所得的余数为（）1002A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】D【分析】由题意可得：，结合二项展开式分析求解.()310032921=-【详解】由题意可得：，()33009319322282912=⨯=⨯=-可知的展开式为，()33291-()991992C 91,0,1,...,99rrr r T r -+=⨯⨯-=当时，均可被9整除；0,1,...,98r =()991992C 91rr rr T -+=⨯⨯-当时，被9除所得的余数为7；99r =()9999100992C 12T =-=-综上所述：被9除所得的余数为7.1002故选：D.7．某校安排5名同学去A ，B ，C ，D 四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A 基地的排法总数为（）A ．24B ．36C ．60D ．240【答案】C【分析】分两种情况分类计算，一种是基地只有甲同学在，另外一种是A 基地有甲同学还有另外A 一个同学也在，两种情况相加即可.【详解】当基地只有甲同学在时，那么总的排法是种；A 2343C A 36=当A 基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是种；1343C A 24=则甲同学被安排到A 基地的排法总数为种.362460+=故选：C8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A ．222234510C C C C 165+++⋅⋅⋅+=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【答案】C【分析】A 选项由及即可判断；11C C C m m m n n n -++=22222322234510334510C C C C C C C C C 1++++=+++++- B 选项由二项式系数的增减性即可判断；C 选项由及即可判断；D 选项直接11C C C m m m n n n -++=6767C C =计算比值即可判断.【详解】由可得11C C C m m m n n n -++=22222322234510334510C C C C C C C C C 1++++=+++++- ，故A 错误；32223445101111109C C C C 1C 11164321⨯⨯=++++-=-=-=⨯⨯ 第2022行中第1011个数为，故B 错误；1010101120222022C C <，故C 正确；666766767678778889C C C C C C C C C ++=++=+=第34行中第15个数与第16个数之比为，14153434343321343320C :C :15:203:4141311514131⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 故D 错误.故选：C.9．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A ．B ．事件A 与事件B 互斥1()4P A =C ．事件A 与事件B 相互独立D ．1()2P A B ⋃=【答案】C【分析】利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答.【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则，A 不正确；21()42P A ==事件B 含有的基本事件有8个：，(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)其中事件发生时，事件A 也发生，即事件A ，B 可以同时发生，B 不正确；(2,1),(2,3),(3,2),(3,4)抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，8141(),()()()162164P B P AB P A P B =====即事件A 与事件B 相互独立，C 正确；，D 不正确.1113()()()()2244P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=故选：C10．如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，D 是棱的中点，E 是棱111ABC A B C -1AA ⊥ABC 1CC 上的动点．设，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（）1AA AE x =A ．先增大再减小B ．减小C ．增大D ．先减小再增大【答案】D【分析】以中点为坐标原点，分别为轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系.AC O ,OB OC ,x y z 设所有棱长均为2，则，通过空间向量来求二面角的在(0,2)x ∈cos θ=cos θ上单增，上单减，即随着x 增大先变大后变小，所以随着x 增大先变小后变1(0,)2x ∈1(,2)2x ∈θ大.即可得出结果.【详解】以中点为坐标原点，分别为轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系.AC O ,OB OC ,x y z 设所有棱长均为2，则，,，(0,2)x∈(0,1,1)(0,1,)，，-B D Ex 1,1)DB =--，设平面BDE 法向量,(0,2,1)DE x =-- (,,)n a b c =则，令，02(1)0n DB b c n DE b c x ⎧⋅==+⇒⎨⋅=-+-=⎪⎩⎩c =11)a x b x c =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩故.(1),n x x =+-又平面ABC 的法向量，故平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角的余弦值(0,0,1)m = θcos θ=，故在上单增，上单减，=(0,2)x ∈cos θ1(0,)2x ∈1(,2)2x ∈即随着x 增大先变大后变小，所以随着x 增大先变小后变大.θ故选：D.【点睛】本题考查了用空间向量求二面角的余弦值，考查了解决问题能力和计算能力，属于中档题目.二、填空题11．已知为空间任意一点，、、、满足任意三点不共线，但四点共面，且O A B C P ，则的值为___________.2OP mOA OB OC =--m 【答案】4【分析】根据空间中四点共面的推论结合，求解即可.2OP mOA OB OC =--【详解】解：因为为空间任意一点，、、、满足任意三点不共线，但四点共面，且O A B C P ，2OP mOA OB OC =-- 所以，故.()()211m +-+-=4m =故答案为：.412．的展开式中的系数为________________．()41+x 2x 【答案】6【解析】在二项展开式的通项中令的指数为，求出参数值，然后代入通项可得出结果.x 2【详解】的展开式的通项为，令，()41+x 414r rr T C x -+=⋅422r r -=⇒=因此，的展开式中的系数为.()41+x 2x 246C =故答案为：.6【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.13．正方体的6个面无限延展后把空间分成______个部分【答案】27【分析】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分，得到答案.27【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分.3927⨯=故答案为：2714．正方体的棱长为4，分别为、的中点，则平面截正方体所得1111ABCD A B C D -,E F BC 1CC AEF 的截面面积为____________.【答案】18【分析】把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积即可．AEF 1AEFD 【详解】解：如图，把截面补形为四边形，AEF 1AEFD连接，由正方体可得，可得等腰梯形为平面截正方体所得的截面图形，1AD 1//EF AD 1AEFD AEF 由正方体的棱长为4，得1111ABCD A B G D-1AD =EF =到的距离即等腰梯形的高为1D F AE ===E 1AD 1AEFD，=所求截面的面积为，∴1182S =+⨯=故答案为：18．15．已知正三棱柱的底面边长为2，高为5，从点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两111ABC A B C -A 周到达点的最短路线长度为___________.1A 【答案】13【分析】将正三棱柱沿剪开，即可求解.1AA 【详解】如图所示，将正三棱柱沿剪开，可得到一个矩形，其长为6，宽为5，1AA 其最短路线为量相等线段之和，其长度等于，故答案为：.1316．某电池厂有A 、B 两条生产线，现从A 生产线中取出产品8件，测得它们的可充电次数的平均值为210，方差为4；从B 生产线中取出产品12件，测得它们的可充电次数的平均值为200，方差为4.则20件产品组成的总样本的方差为____________.【答案】28【分析】根据题意结合平均数、方差的公式运算求解.【详解】设A 生产线中取出产品8件的可充电次数为，128,,...,x x x 可得：，则，()888222111111210,84888i i i i i i x x x xx x ===⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭∑∑∑882111680,352832i i i i x x ====∑∑B 生产线中取出产品12件的可充电次数为，1212,,...,y y y 可得：，则，()121212222111111200,124121212i i i i i i y y y y y y ===⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭∑∑∑12122112400,480048i i i i y y ====∑∑故20件产品组成的总样本的平均数，81211120420i i i i m x y ==⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑其方差.()()81281222222211111120282020i i i ii i i i s x m y m x y m ====⎡⎤⎛⎫=-+-=+-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑故答案为：28.17．在平行六面体中，1111ABCD A B C D -，，，则___________.1160A AB A ADBAD ∠=∠=∠=︒1AB AD ==11AA =1AC =【分析】先用向量线性表示出，然后求出即可.1AC1AC 【详解】设,，，则，AB a =AD b =1AA c = 111AC AC CC AB AD CC a b c =+=++=++ ，()222221222AC a b ca b c a b a c b c++=+++=⋅+⋅+⋅ 又因为，1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒1···2a b a c b c ===所以，则211111116AC =+++++= 1AC =.18．已知一个圆柱和一个圆锥同底等高，且圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为___________.【分析】利用勾股定理及圆的面积公式，结合圆柱圆锥的侧面积公式即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为，r =所以圆柱的侧面积为.22πr =由题意可知，圆锥的底面周长为，母线长为，2πr 2r 所以圆锥的侧面积为.212π22π2r r r ⨯⨯=..19．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，3423则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________.【答案】512【分析】两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生,根据独立事件概率求法,即可得解.【详解】解：设分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,分别表示乙两轮猜对1个,212,A A 12,B B 个成语的事件.根据独立事件的性质,可得()()212313392,448416P A P A ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭()()212214242,33939P B P B ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭设A =“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则,且与互斥,与,与分别相1221A A B A B = 12A B 21A B 1A 2B 2A 1B 互独立,所以()()()1221P A P A B P A B =+()()()()1221P A P B P A P B =+349458916912=⨯+⨯=因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.512故答案为：51220．在棱长为1的正方体中，E 、F 分别为棱、的中点，为棱上的1111ABCD A B C D -1AA 1BB G 11A B 一点，且，则点到平面的距离为____________.()101A G λλ=≤≤G 1D EF【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系D DA DC 1DD x y z，利用向量法能求出点到平面的距离．D xyz -G 1D EF 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角D DA DC 1DD x y z 坐标系，D xyz-则，，0，，，， ()1,,1G λ1(0D 1)11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，，11(1,0,)2D E =- 11(1,1,2D F =- 1(0,,)2GE λ=-- 设平面的法向量为，1D EF (,,)n x y z = 则1110,210,2n D E x z n D F x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩ 令，则，，所以平面的一个法向量．1x =0y =2z =1D EF (1,0,2)n = 点到平面的距离为G 1D EF ||||GE n n⋅== 故答案为:21．如图，在中，已知，D 是斜边AB 上任意一点（不含端点）沿直线CD Rt ABC 43BC AC ==，将折成直二面角，当___________时，折叠后A ､B 两点间的距离最小.ABC B CD A --AD =【答案】##157127【分析】根据题意作出图形，作A 作于E ，作点B 作于F ，然后AE CD ⊥BF CD ⊥，进而求出，进而用勾股定理得到，最后通过三角变换02ACD πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭,,,AE BF CE EF AB '与三角函数的图象和性质求得答案.【详解】如图，设翻折后点B 位于点处，即求最小时AD 的长度.B 'AB '设，作A 作于E ，作点B 作于F ，根据题意，平面02ACD πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭AE CD ⊥BF CD ⊥平面，且交于，所以平面.B CD '⊥ACD CD ⊥AE B CD '，，所以3sin ,4sin 4cos ,3cos ,2AE BF CE πθθθθ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭4cos 4sin 2CF πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.4sin 3cos EF CF CE θθ=-=-易得，所以AE B E '⊥AB '===.==于是，当时，即当CD 为的角平分线时，最小.此时，又4πθ=ACB ∠AB '34AD AC DB CB ==，解得：.5AD DB +=157AD =故答案为：.15722．在一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm 的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积是_________cm 3.【答案】4056π3-【分析】小球不能到达的位置为正方体的8个顶点附近和12条棱附近的部分组成.【详解】顶点部分不能到达部分为棱长为1的正方体减去半径为1的球体的，如下图，18所以8个顶点部分体积为，334141π188π383⎛⎫-⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭棱部分不能到达部分为底面是边长为1，高为4的长方体减去底面半径为1，高为4的圆柱体的，14如下图，12条棱部分不能到达的体积是，2111π14124812π4⎛⎫-⨯⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭所以不能到达的体积为.4408π4812π56π33-+-=-故答案为：4056π3-23．已知正方体中，，点P 在平面内，P 到距1111ABCD A B C D -6AB =11AB D 1A P =1BC 离的最小值为__________.【答案】【分析】分别取、的中点、，连接、、、，证明出平面，1AD 1BC E F 1A E 1B E 1B F EF 1BC ⊥1B EF 对于平面内任意一点，过点作分别交、、于点、、，分析11AB D P P 1//MN AD 11B D 1B E 1AB M Q N 可知点到直线的距离等于线段的长，当时，最短，此时点到直线的P 1BC QF 1QF B E ⊥QF P 1BC 距离取到最小值，利用等面积法求解即可.【详解】分别取、的中点、，连接、、、，1AD 1BC E F 1A E 1B E 1B F EF且，所以，四边形为平行四边形，11//AB C D 11AB C D =11ABC D所以，且，11//AD BC 11AD BC =因为、分别为、的中点，E F 1AD 1BC 则且，//AE BF AE BF =所以，四边形为平行四边形，ABFE 故且，//EF AB 6EF AB ==平面，平面，AB ⊥ 11BB C C EF ∴⊥11BB C C 、平面，则，，1B F 1BC ⊂11BB C C 1B F EF ⊥1EF BC ⊥，则，111BB B C = 11B F BC ⊥因为，平面，1B F EF F ⋂=1BC ∴⊥1B EF，111122B F B C ∴===对于平面内任意一点，11AB D P 过点作分别交、、于点、、，P 1//MN AD 11B D 1B E 1AB M Q N ，，11//AD BC 1//MN BC ∴所以点到直线的距离等于点到直线的距离，P 1BC Q 1BC 平面，故，所以点到直线的距离为线段的长，QF ∴⊂1B EF 1QF BC ⊥Q 1BC QF ，则是以为直角的直角三角形，1B F EF ⊥ 1B EF 1B FE ∠当时，最短，此时点到直线的距离取到最小值.1QF B E ⊥QF P 1BC 在正方体中，平面，又平面，11B A ⊥11ADD A 1A E ⊂11ADD A 所以，又111B A A E ⊥11A EB F ==所以1B E ===所以在中由等面积法可得：1Rt B EF ，即，111122B E QF B F EF⋅=⋅11B F EF QF B E ⋅===所以到直线的距离取到最小值为P 1BC故答案为：24．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动n n P 一次，若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束，则该棋手获胜的概率为__________.【答案】85256【分析】根据题意找出与的关系即可求解.(38)n P n ≤≤21,n n P P --【详解】由题，故，2111(38)22n n n P P P n --=+≤≤11212n n n n P P P P ----=--由，所以，2112P P -=-111,22n n n P P n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，12112P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，23212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，累加可得：78712P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．2878108111118518521,1222128225612P P P ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+-+⋅⋅⋅+-==== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭故答案为：.85256三、解答题25．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它由矩形ABCD 的边AB 所在的直线为旋转轴旋转得120到的，.3,2AB AD ==(1) 求这个几何体的体积；(2) 这个几何体的表面积.【答案】(1)；4π(2).20π123+【分析】（1）求出矩形旋转一周所得圆柱的体积，根据几何体与圆柱体积比求其体积即可；（2）分别求出几何体外侧曲面、上下底面、两个矩形的面积，进而加总即可得结果.【详解】（1）由题设，若将矩形旋转一周所得圆柱的体积为，1V AB S =⨯其中为底面积，且，故，1S 21πS AD =⨯34π12πV =⨯=因为几何体是矩形旋转得到，故几何体体积为.120 1204π3603V V ==（2）由题设，则几何体外侧曲面的面积为，14π2π33FD EC AD ==⨯⨯=4π34π3⨯=上下底面的面积和为，矩形的面积和为，18π233S ⨯=,ABCD ABEF 12综上，几何体的表面积为.20π123+26．如图，在四棱锥中，底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，，E ，F P ABCD -PD ⊥PD DC =分别是AD ，PB 的中点．(1)证明：平面PCD ．EF ∥(2)求直线PA 与平面CEF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，进而由线面平行的判定定理即可求证，（2）建立空间直角坐标系，由向量法即可求解线面角.【详解】（1）如图，设M 为PC 的中点，连接FM ，MD ．因为F ，M 分别为PB ，PC 的中点，所以．1,2FM BC FM BC =∥在正方形ABCD 中，，所以．1,2DE BC DE BC =∥,DE FM DE FM =∥所以四边形DEFM 为平行四边形，．DM EF ∥因为平面PCD ，平面PCD ，所以平面PCD ．DM ⊂EF ⊄EF ∥（2）以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则，2PD DC ==(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A C P E F ．(0,1,1),(1,2,0),(2,0,2)EF EC AP ==-=- 设平面CEF 的法向量为，(,,)n x y z = 则即令，则．0,0,EF n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 0,20,y z x y +=⎧⎨-+=⎩2x =(2,1,1)n =- 设直线PA 与平面CEF 所成角为，θ则sin |cos ,||||||AP n AP n AP n θ⋅=〈〉== 故直线PA 与平面CEF27．某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如[)45,55[)55,65[)65,75[)75,85[]85,95图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求、的值；a b (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（精确到0.1）；(3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率.【答案】(1)，；0.005a =0.025b =(2)平均数69.5，第60百分位数71.7；(3)35【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，；a b （2）根据直方图中各个数字特征的求法运算即可；（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可．【详解】（1）解：因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，(0.0450.020)100.7a ++⨯=解得，0.005a =所以前两组的频率之和为，10.70.3-=即，()100.3a b +⨯=所以；0.025b =（2）解：又频率分布直方图可得众数为70，平均数为，500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第60百分位数在第三组，且为；0.60.3651071.70.45-+⨯≈（3）解：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，a b c d 设为，e 这5人中选出2人，所有情况有,(a ，,，,，，，,．,，，，，共有10种情况，)b (a )c (a )d (,)a e (,)b c (b )d (b )e (,)c d (,)c e (,)d e 其中选出的两人来自同一组的有,，,，,，，,，共6种情况，(a )b (a )c (a )d (,)b c (b )d (,)c d 故选出的两人来自同一组的概率为．63105。

上海市实验学校2020-2021学年高二上学期期末数学试题解析高中数学

（1）在中，若，则；
（2）到原点的“折线距离”等于1的集合是一个圆；
（3）到，，两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；
（4）到，，两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.
其中正确的命题是_________.（写出所有正确命题的序号）
答案：（3）（4）
根据“折线距离”的定义逐项判断.
，则．
则．
点评：本题考查了复数运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.抛物线的准线方程为_____．
答案：
本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程．
解：由抛物线方程可知，抛物线的准线方程为：．
故答案为．
点评：本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题．
12.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
答案：D
根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率 .
解：根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，
解：解：双曲线的两条渐近线为：，
设双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为、，
，
所以
因为，所以，所以
所以两条渐近线的夹角为，
则，
所以两条渐近线夹角为，
故答案为：．
5.已知满足，则的最大值是__________．
答案：
画出二元一次不等式组所表示的可行域，动态平移直线至点处可得的最大值.

2021-2022学年上海市位育中学高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市位育中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（）n A ．B ．C ．D ．1n n -21n n +212n n +11n n +-【答案】D【分析】根据等差数列前项和公式解决即可.n 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项，12n +12n -奇数项之和为，1111111222()2222n n n n n a d a d +-⋅++-+⋅=+偶数项之和为，111311122()2()2222n n n n n a d d a d --⋅---++⋅=+所以奇数项之和与偶数项之和的比为，11n n +-故选：D2．若，则的值为（）1,(1)log a b a >>lim n nn n n a b a b ∞→+-+A ．1B ．-1C ．0D ．1±【答案】B【分析】根据求出之间的关系，后在上下同时除以中较大数的幂1,(1)log a b a >>,a b lim n nnn na b a b ∞→+-+,a b 即可.【详解】可知，所以，1log log a a b a >=1b a >>()0,1ab ∈.101lim lim 1011nn n n n n n n a a b ba b a b ∞∞→+→+⎛⎫- ⎪--⎝⎭===-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：B.3．数列满足，若，则的取值范围是（）{}n a *123,N n n a a n +=+∈20171a a ≥1a A ．B ．C ．D ．{}3-(,3]-∞[)3,∞-+[3,)+∞【答案】C【分析】首先按照、讨论，根据递推公式得到是以首项为，公比为的1=3a -13a ≠-{}3n a +13a +2等比数列，从而得到，再将不等式转化为，解不等()11323n n a a -=+⋅-20171a a ≥()201611323a a +⋅-≥式即可.【详解】因为，所以，*123,N n n a a n +=+∈()1323n n a a ++=+当时，，满足题意；1=3a -3n a =-当时，即，13a ≠-1323n n a a ++=+所以是以首项为，公比为的等比数列.{}3n a +13a +2所以，即.()11332n n a a -+=+⋅()11323n n a a -=+⋅-所以得：，即，20171a a ≥()201611323a a +⋅-≥()()201613210a +⋅-≥解得，所以；130a +≥13a >-综上，.13a ≥-故选：C4．数列满足：首项，，则下列说法正确的是（）{}n a 11a =12,2,nn n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数A ．该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列135,,a a a 246,,a a a B ．该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列135,,a a a 246,,a a a C ．该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列135,,a a a D ．该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列246,,a a a 【答案】D【分析】根据题意写出数列的前6项，根据数列等差中项和等比中项的性质，即可判断ABC ，令，然后通过题意可证明为一个定值，即可判断D24n n b a =+1n n b b +【详解】已知数列满足，{}n a 12,2,nn n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数则，，，，，2122a a ==2324a a =+=4328a a ==54210a a =+=65220a a ==对于A ，，即，所以该数列的奇数项成等比数列不成立，24110≠⨯ 2315a a a ≠⋅135,,a a a，即，所以该数列的偶数项成等差数列不成立，A 选项错误；28220⨯≠+ 4262a a a ≠+246,,a a a 对于B ，，即，所以该数列的奇数项成等差数列不成立，24110⨯≠+ 3152a a a ≠+135,,a a a ，即，所以该数列的偶数项成等比数列不成立，B 选项错误；28220≠⨯ 2426a a a ≠⋅246,,a a a 对于C ，，，1345,48a a +=+=5414a +=，所以该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列不成立，C 28514≠⨯ 135,,a a a 选项错误；对于D ，令，24n n b a =+由可得，12,2,nn n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数()22212222422n n n n a a a a ++=+=+=所以，所以即是公比为2的等比数列，122222422448n n n n n n b a a b a a +++=+==++{}n b {}24na +则该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列，D 选项正确；246,,a a a 故选：D.二、填空题5．数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为=_____n a 【答案】， 21n-N*n ∈【分析】观察项与项数的关系，项的变化比较快故可以考虑与指数函数的关系.【详解】各项都加1后为2，4，8，16，…，因此一个可能的通项公式为=.n a 21n-故答案为: 21,N *nn -∈6．等差数列中，，的前项和为，则____{}n a 36a ={}n a n n S 5S =【答案】30【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.【详解】解：在等差数列中，所以，{}n a 36a =1532a a a +=所以.()155355302a a S a +===故答案为：307．数列中，则中满足的的值为___{}n a 1115,2n n a a a +==-{}n a 10m m a a +<m 【答案】8【分析】由已知条件得该数列为等差数列，求出通项公式，代入中，解出不等式根据条10m m a a +<⋅件求得的值m 【详解】在数列中，因为，{}n a 1122n n n n a a a a ++=-⇒-=-所以数列以首项为，公差的等差数列，{}n a 115a =2d =-所以，15(1)(2)217(N )n n n n a *=+-⨯-=-+∈所以，10m m a a +<即，()()()()21721172172150m m m m -+⨯-++=-⨯-<⎡⎤⎣⎦解得：，又151722m <<N m *∈所以8m =故答案为：8.8．已知，则常数构成的点的坐标为____25lim()4n nan b n →∞-=+,a b (,)a b 【答案】(5,20)-【分析】根据数列极限求解点即可.(,)a b 【详解】由题知，，22m 5l l i 5m()4()4i 4n n a n a b an n n nn →→∞∞-=+--=+所以，解得，504a a b -=⎧⎨-=⎩520a b =⎧⎨=-⎩所以常数构成的点为.,a b (5,20)-故答案为：(5,20)-9．用数学归纳法证明等式时，第（ii ）步从22222222(21)(1)(1)12213n n n n n +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=--n =k 到n =k +1时等式左边应添加的项是____【答案】2221k k ++【分析】根据数学归纳法的证明步骤解答.【详解】时，左边；n k =2222222(1)(1)1221k k k ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+--=当时，左边；1n k =+222222222(1)(1)(1)1221k k k k k ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+-+-=观察两式易知增加的项为：.222221(1)k k k k +=+++故答案为：.2221k k ++10．设等差数列，的前项和分别为，，且，则____{}n a {}n b n n S n T 5321n n n S n T +=-44a b =【答案】3813【分析】根据等差数列前项和公式解决即可.n 【详解】由题知，等差数列的前n 项和分别为，，且，{}n a {}n b n S n T 5321n n n S n T +=-因为，71744744177()7(2)353387(2)7()14113a a a a S b b b b T ++=====+-故答案为：.381311．等比数列中，，则通项公式____{}n a 1234126,52a a a a a ++=-=n a =【答案】1*23,Nn n -⨯∈【分析】基本量法联立方程组解出即可.1,a q 【详解】已知可得，1234126,52a a a a a ++=-=21113112652a a q a q a q a ⎧++=⎨-=⎩两式相除得，解得311211112+a q a q a a q a q -=-=+3,q =代入解出所以31152a q a -=16,a =123,N n n a n -*=⨯∈故答案为：1*23,Nn n -⨯∈12．“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增.共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”（选自《九章算法比类大全》诗中所述的尖头有________盏灯【答案】3【分析】将问题看成是等比数列的问题，利用等比数列的知识求解即可.【详解】设尖头至第一层分别有盏灯127,,,a a a ⋯由题意可知，成等比数列，且公比为127,,,a a a ⋯2，解得()7171238112a S -==-13a =故答案为：3【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.13．已知数列对于任意，，有，若，则_____________．{}n a p *N q ∈p q p qa a a ++=119a =36a =【答案】4【分析】按递推公式先求出，再导出，然后求出，再导出，进而求出，由此可求出2a 4a 8a 16a 32a ．36a 【详解】由题意得，214284168248162,2,2,29999a a a a a a a a ========,32163632432362,499a a a a a ===+==故答案为:4．14．若数列满足，，则该数列的前项的乘积{}n a 12a =()111nn na a n a *++=∈-N 2011 _____________.12320102011a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅= 【答案】3【分析】推导出，计算出、、的值，即可得出()4n n a a n *+=∈N 1a 2a 3a 的值.12320102011123a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ 【详解】因为，，则，，12a =()111n n n a a n a *++=∈-N 1211123112a a a ++===---23211311132a a a +-===--+，，，3431111211312a a a -+===-+454111321113a a a ++===-- 以此类推可知，()4n n a a n *+=∈N ，且，()12341123123a a a a ⎛⎫⋅⋅⋅=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 201145023=⨯+因此，.()1232010201112312332a a a a a a a a ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⨯-⨯-= ⎪⎝⎭ 故答案为：.315．在由正整数构成的无穷数列中，对任意的都有成立，且对于任意，{}n a N n *∈1n n a a +<N k *∈数列中恰好有k 个k ，则=____{}n a 2017a 【答案】64【分析】直接利用数列的递推关系式和求和公式的应用求出结果．【详解】该数列为：1；2，2；3，3，3；4，4，4，4；…，当时，，63n =()631631236320162⨯++++⋯+==所以，201764a =故答案为：64.16．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，{}n a *n ∈N 211n n n na a ka a +++-=-k {}n a 称为公差比．现给出下列命题：k ①等差比数列的公差比一定不为；0②等差数列一定是等差比数列；③若，则数列是等差比数列；32nn a =-+{}n a ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．其中正确的命题的序号为__________．【答案】(1)(3)(4)【详解】分析：（1）举例说明：公差比为0，a n+2﹣a n+1=0，数列{a n }为常数列，所以 211n n n n a a ka a +++-=-的分母为0，无意义；（2）等差数列为常数列时，不是等差比数列；（3）由a n =﹣3n +2=211n n n n a a a a +++--是公差比为3的等差比数列；（4）a n =a 1•q n ﹣1，代入可知命题正确，综合可得答2n+1n+13+2+3-23-3+232n n +-=+-案．详解：（1）若公差比为0，则a n+2﹣a n+1=0，故{a n }为常数列，从而的分母为0，无211n n n n a a ka a +++-=-意义，所以公差比一定不为零；（2）当等差数列为常数列时，不能满足题意；（3）a n =﹣3n +2=是公差比为3的等差比数列；211n n n n a a a a +++--2n+1n+13+2+3-23-3+232n n +-=+-（4）a n =a 1•q n ﹣1，代入=q 命题正确，所以，正确命题为①③④．211n n n n a a a a +++--故答案为：①③④点睛：本题主要考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断命题真假.三、解答题17．数列满足，求的通项公式{}n a *1129,21,,2n n a a a n n n -=-=-∈≥N {}n a 【答案】2*28,n a n n =+∈N 【分析】根据累加法求通项解决即可.【详解】由题知，数列满足，{}n a *1129,21,,2n n a a a n n n -=-=-∈≥N 所以当时，2n ≥()()()11221n n n n a a a a a a ----+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()()21233n n =-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()()1222n n -+=21n =-所以，2211,=28,2n n a a n a n n =-+≥-又因为符合上式，129a =所以.2*28,n a n n =+∈N 18．如图，是边长为的等边三角形纸板，在的左下端剪去一个边长为的等边三角形得到，1P 11P 122P 然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到、3P 、、、.4P nP (1)设第次被剪去等边三角形面积为，求；n n a n a (2)设的面积为，求.n P n S lim nnS →∞【答案】(1)114n n a +⎫=⎪⎭【分析】（1）由题意可得数列为等比数列，根据首项和公比进而可得结果；{}n a （2）根据等边三角形的性质求出的面积，根据等比数列前项和公式从而推导出即可求出答1P n n S 案【详解】（1）解：由题意可得1111sin 60222a =⨯⨯⨯=设第次被剪去等边三角形的边长为，则，则，n n b 112n n b b +=21114n n n n a b a b ++⎛⎫===⎪⎝⎭所以数列是以为公比的等比数列，{}na 1a =14所以.11114n n n a a q+-⎫==⎪⎭（2）解：由已知得的面积1P 11112S =⨯⨯所以的面积为，nP ()112114n n n S a a a --⎫=-+++==⎪⎭ 所以lim n n S →∞=19．已知数列满足.{}n a *111,22,n n a a S n n +==++∈N (1)当时，数列是否是等比数列？给出你的结论并加以证明；*,2n n ∈≥N {}2n a +(2)求数列的通项公式.{}n a 【答案】(1)是，证明见解析；(2).21,1722,2n n n a n -=⎧=⎨⋅-≥⎩【分析】（1）由与的关系得递推关系，即可进一步变形得.n a n S 12n n n a a a +-=+()1222n n a a ++=+（2）由定义法求等比数列的通项公式，即可求出时的通项公式，判断2n ≥{}2n a +2n ≥{}n a 是否符合即可.1n =【详解】（1）当时，，∴，2n ≥()11222122n n n n n a a S n S n a +--=++-+-+=+⎡⎤⎣⎦()1222n n a a ++=+故数列为公比为2的等比数列∴当时，数列是等比数列.*,2n n ∈≥N {}2na +（2）当时，，1n =211445a S a =+=+=由（1）得，当时，，令，与不符.2n ≥()222222272722n n n nn a a a ---+=+⋅=⋅⇒=⋅-1n =11a =故数列的通项公式为.{}n a 21,1722,2n n n a n -=⎧=⎨⋅-≥⎩20．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，15由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.14(1)设年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出的表达式；n n a n b ,n n a b (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？【答案】(1) ，； (2) 至少经过5年，旅游业的总收入才4400015n n a ⎡⎤⎛⎫=⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦5160014n n b ⎡⎤⎛⎫=⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦能超过总投入.【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n 年内的旅游业总收入与n 年内的总投入；（2）设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得－＞0，结合（1）可得n n b n a ，解得，进而可得结果.541600410001045n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-4255n⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n 年投入为800×(1－)n －1万元，所以，n 年内的总投入为=800+800×(1－)+…+800×(1－)n －1==4000×［1－()n ］n a 4115800415n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⨯-第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n 年旅游业收入400×(1+)n －1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为=400+400×(1+)+…+400×(1+)n －1==1600×［()n －1］n b 5114800514n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⨯-(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此－＞0，即：n b n a1600×［()n －1］－4000×［1－()n ］＞0，令x =()n ，代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解此不等式，得x ＜，或x ＞1(舍去).即()n ＜，由此得n ≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、等比数列的求和公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21．设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；{}n a 12a =q q 33a 18a 5a 数列满足（）.{}n b 232()02n n n t b n b -++=*R,N t n ∈∈（1）求数列的通项公式；{}n a （2）试确定的值，使得数列为等差数列；t {}n b （3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.{}n b k k a 1k a +k b {}n c 设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.n T {}n c n 12m m T c +=m 【答案】（1）；（2）；（3）.2n n a =3t =2m =【分析】（1）由等差中项的性质可得，结合等比数列通项公式求基本量，即可得31568a a a =+的通项公式；{}n a （2）由已知有，写出前3项并利用等差中项的性质列方程求t 即可.2232n n tn b n -=-（3）根据（2）和题设列举数列，易判断不合题意，适合题意，要使时{}n c 1m =2m =3m ≥成立，必为中一项得整理化简有12m m T c +=1m c +{}n a 1k a +2112(222)2()22,k k k b b b ++++++++=⨯ ，结合数学归纳法判断上述等式恒不成立，即可得结果.221k k k =+-*N k ∈【详解】（1）由题设，即，解得或（舍），31568a a a =+2468q q =+24q =22q =又为正整数，故，又，则.q2q =12a =2n n a =（2）由，得：，232()02n n n t b n b -++=2232n n tn b n -=-所以,12324,164,122b t b t b t =-=-=-由，可得，此时，1322b b b +=3t =2n b n =由知：此时数列为等差数列.12n n b b +-={}n b （3）由（2）及题设知：为，{}n c 2,2,2,4,2,2,2,2,8,2,2,2,2,2,2,16,......所以，易知：不合题意，适合题意.1232c c c ===1m =2m =当时，若后添入，则，不合题意，3m ≥12+=m c 12m m T c +>从而必是数列中的某一项，则1m c +{}n a 1k a +231123(2222)2()22,k k k b b b b ++++++++++=⨯ 则即，整理，1(22)2(21)222,2k k k k ++⨯-+⨯=⨯1222220k k k +--+=221k k k =+-易证：k =1，2，3，4不是该方程的解，而当n ≥5时成立，证明如下：221n n n >+-当n = 5时，，左边＞右边成立；52232,129k k =+-=假设n = k 时，成立，221k k k >+-当n = k + 1时，122222(1)(21)(321)1k k k k k k k k +>+-=+++-+-⋅-=2(1)(1)153k k k k ≥+++-+--2(1)(1)13(1)k k k k =+++-++-2(1)(1)1k k ≥+++-所以，当n =k +1时结论成立．由上知：恒成立，故无正整数解．221(5)n n n n >+-≥221k k k =+-综上，满足题意的正整数仅有m =2.。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由；（℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =，所以正整数n 为8．故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误；第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误；令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确；故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得；【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=，故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==，又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ，所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥．因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =，所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ，连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ．又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =；（2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得．【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤，又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =．这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解；（2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<．因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟，所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2，因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===，所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算；（2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=，乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==，所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题(1)

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．计算：AB AC BC -+=________2．如果向量(,1)a k =，(4,)b k =共线且方向相反，则k 等于 .3．已知2111n n a n n=+，则lim n n a →∞= . 4．已知||6a =，||4b =，则a b -的取值范围是________5．若12201102x x -=-，则x =________6．与(1,3)a =-垂直的单位向量的坐标为________7．若11223PP PP =，则2P P =________1PP 8．已知矩阵0110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =______________ 9．已知向量(2,2)OA =，(4,1)OB =，在x 轴上存在点P 使得AP BP ⋅有最小值，则点P 的坐标为________10．如图，在三角形ABC 中，0BA AD ⋅=，||2AB =，2BC BD =，则AC AB ⋅=____11．已知函数()1x f x x =+，在9行9列的矩阵111213192122232991929399a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭中，()ij i a f j =，则这个矩阵中所有数之和为________ 12．如图，OM //AB ，点P 在由射线OM、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，当12x =-时，y 的取值范围是________二、单选题13．已知a 、b 为非零向量，则222||||a b a b +=-是a b ⊥的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 14．下列三阶行列式可以展开为a bb c a c de ef d f ++的是（） A ．111a b c d e f B ．111a b c d e fC ．111a b c d e fD ．111a b c d e f - 15．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则m n 的值为（） A ．13 B ．3CD16．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈．下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列三、解答题17．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==，求b 与c 的夹角. 18．设()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =.（1）求证ABAC ⊥，并求ABC ∆的面积；（2）对向量()11,a x y =，()22,b x y =，定义一种运算：()1221,f a b x y x y =-，试计算(),f AB AC 的值，并说明它与ABC ∆面积之间的等量关系，由此猜想这一运算的几何意义. 19．用行列式解关于x 、y 的方程组3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩，并讨论说明解的情况. 20．已知OA a OB b ==，，对于任意点M ，点M 关于点A 的对称点为点S ，点S 关于点B 的对称点为点N .（1）用a ，b 表示向量MN ；（2）设122a b MN ⎡==∈⎣，，，求a 与b 的夹角θ的取值范围.21．如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =.（1）求11x y+的值；（2）求函数()y f x =的解析式（指明定义域）；（3）设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．0【分析】根据向量的加减运算及运算律计算可得.【详解】解：0AB AC BC AB BC AC AC AC -+=+-=-=故答案为：0【点睛】本题考查向量的加减运算，属于基础题.2．2k =-【解析】试题分析：(,1)a k =，(4,)b k =共线，1(,1)(4,)44,12a b k k k λλλλλ=⇒=∴==∴=±，又(,1)a k =与(4,)b k =方向相反，1,22k λ∴=-=- 考点：平面向量共线的充要条件3．1-【详解】解：由题意可知2222121lim 11(1)(1)n n n n n n n a n n n n n n →+∞+-+-=-=∴=-+++ 4．[2,10]【分析】根据向量的三角形不等式可得.【详解】解：6a =，4b =a b a b a b ∴-≤-≤+6464a b ∴-≤-≤+即[]2,10a b -∈故答案为：[]2,10【点睛】本题考查向量的三角形不等式，属于基础题.5．5-【分析】用三阶行列式的化简方法把方程左边化简，得到一个关于x 的一元一次方程，解出x 即可。