振动理论课后答案

（2）
若取下面为平衡位置，求解如下：
，
图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，试问：
（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离
（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离
图T 2-17
解：
（1） ，
（2） ，
如图T 2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
图T 2-26答案图T 2-25
解：
受力如答案图T 2-26。对O点取力矩平衡，有：
两质量均为m的质点系于具有张力F的弦上，如图所示。忽略振动过程中弦张力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态，并计算主质量、主刚度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。
图答案图(1)
解：
， ，
根据 和 的自由体动力平衡关系，有：
故：
当 = 时，令：
， ，
代入矩阵方程，有：
，
根据 得：
，
第一振型第二振型
答案图(2)
图T 4-11所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。
图T 4-11
解：
先求刚度矩阵。
令 ， ，得：
令 ， ，得：
答
则刚度矩阵为：
再求质量矩阵。
令 ， ，得：
，
令 ， ，得：
，
则质量矩阵为：
故频率方程为：
多自由度振动系统质量矩阵M和刚度矩阵K均为正定。对于模态 和 及自然数n证明：
，
故（2）为：
考虑到 的影响，则叠加后的 为：
如图T 2-2所示，重物 悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物 从高度为h处自由下落到 上而无弹跳。求 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
图T 2-2答案图T 2-2
解：
，
动量守恒：
，
平衡位置：
，
，
故：
故：
在图所示系统中，已知m， ， ， 和 ，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。
利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程：
在图所示系统中梁质量不计，m、l和EI已知，支承弹簧刚度系数k= 6EI/l3。用传递矩阵法计算系统的固有频率。
图
解：
引入无量纲量：
， ， ，
定义无量纲的状态变量：
边界条件：
左端铰支： ，右端自由：
根据传递矩阵法，有：
在支承弹簧处：
注意到上式中 为杆左端的转角，故在支承弹簧处的位移为：
图T 2-9答案图T 2-9
解：
（1）保持水平位置：
（2）微幅转动：
故：
求图T 2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
图T 2-10答案图T 2-10
解：
m的位置：
， ，
，
，
图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为 。
（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；
，
解：
，等号两边左乘
，等号两边左乘
，当 时
重复两次：
，等号两边再左乘
，等号两边左乘
，当 时
重复n次得到：
，等号两边左乘
故：
，等号两边左乘
，当 时
即 ，当 时
重复运算：
，当 时
重复n次。
质量m、长l、抗弯刚度EI的均匀悬臂梁基频为(EI/ml3)1/2，在梁自由端放置集中质量m1。用邓克利法计算横向振动的基频。
解：
，
不计质量的梁上有三个集中质量，如图所示。用邓克利法计算横向振动的基频。
图
解：
当系统中三个集中质量分别单独存在时：
， ，
在图所示系统中，已知m和k。用瑞利法计算系统的基频。
图
解：
近似选取假设模态为：
系统的质量阵和刚度阵分别为：
，
由瑞利商公式：
在图所示系统中，已知k和J。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。
由自由端边界条件得频率方程：
，
代入各单元状态变量的第一元素，即：
得到模态：
，
在图所示系统中悬臂梁质量不计，m、l和EI已知。用传递矩阵法计算系统的固有频率。
图
解：
引入无量纲量：
， ， ，
定义无量纲的状态变量：
边界条件：
左端固结： ，右端自由：
根据传递矩阵法，有：
其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为：
，
得：
图T 2-24答案图T 2-24
解：
利用动量矩方程，有：
，
，
图T 2-25所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。
图T 2-25答案图T 2-25
解：
，
由
图T 2-26所示的系统中，m=1 kg，k=144 N / m，c= 48 Ns/m，l1=l=0.49 m，l2=0.5l，l3=0.25l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率 及阻尼 。
图
解：
模态函数的一般形式为：
题设边界条件为：
，
边界条件可化作：
，
以上两式联立消去C1和C2得频率方程：
，其中
长为l、单位长度质量为ρl的弦左端固定，右端连接在一质量弹簧系统的物块上，如图所示。物块质量为m，弹簧刚度系数为k，静平衡位置在y=0处。弦线微幅振动，弦内张力F保持不变，求弦横向振动的频率方程。
,
1-8将题1-8图的三角波展为复数傅氏级数，并画出频谱图。
；
P(t)平均值为0
+
+
将 代入整理得
1-9求题1-9图的矩形脉冲的频谱函数及画频谱图形。
解：
可表示为
由于
得：
即：
1-10求题1-10图的半正弦波的频谱函数并画频谱图形。
解：
频谱函数：
一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。已知， ，m=1 kg，k= 49 N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。
虚部： sin(5 t+arctan )
1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。
解∶三角波一个周期内函数x(t)可表示为
，ห้องสมุดไป่ตู้
由式得
n=1，2，3……
于是，得x(t)的傅氏级数
1-7将题1-7图的锯齿波展为傅氏级数，并画出频谱图。
解∶锯齿波一个周期内函数P(t)可表示为
，
由式得
n=1，2，3……
于是，得x(t)的傅氏级数
图
解：
模态函数的一般形式为：
题设边界条件为：
，
边界条件可化作：
，
导出C2= 0及频率方程：
，其中
（2）摆球质量m为0.9 kg时，测得频率 为Hz，m为1.8 kg时，测得频率为Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态
图T 2-1答案图T 2-11(1)答案图T 2-11(2)
解：（1）
利用 ，
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是 及 ，悬臂梁的质量忽略不计。
图T 2-7答案图T 2-7
解：
和 为串联，等效刚度为： 。（因为总变形为求和）
和 为并联（因为 的变形等于 的变形），则：
和 为串联（因为总变形为求和），故：
故：
由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图所示。当齿轮转动角速度为 时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为 。已知偏心重W=N，偏心距e=15.0cm，支承弹簧总刚度系数k=N/cm，测得垂直方向共振振幅 ，远离共振时垂直振幅趋近常值 。求支承阻尼器的阻尼比及在 运行时机器的垂直振幅。
因此有：
图所示阶梯杆系统中已知m，ρ，S，E和k。求纵向振动的频率方程。
图
解：
模态函数的一般形式为：
题设边界条件为：
，
边界条件可化作：
，
导出C2= 0及频率方程：
，其中
长为l、密度为ρ、抗扭刚度为GIp的的等直圆轴一端有转动惯量为J的圆盘，另一端连接抗扭刚度为k的弹簧，如图所示。求系统扭振的频率方程。
解：
设该简谐振动的方程为 ； 二式平方和为
将数据代入上式：
；
联立求解得
A=10.69cm； 1/s；T= s
当 时， 取最大，即：
得：
答：振动周期为；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。
1-3一个机器内某零件的振动规律为 ，x的单位是cm， 1/s。这个振动是否为简谐振动试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。
图
解：
两端边界条件为：
固定端： ，自由端： 。
由自由端边界条件得频率方程：
，
代入各单元状态变量的第一元素，即：
得到模态：
，
在图所示系统中，已知GIpi(i= 1 , 2)，li(i= 1 , 2)和Ji(i= 1 , 2)。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。
图
解：
两自由端的边界条件为： ， 。
其中： ， 。
图T 2-19
解：
系统动能为：
系统动能为：
根据： ，
如图T 2-20所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I0，求系统的固有频率。
图T 2-20
解：
系统动能为：
系统动能为：
根据： ，
一长度为l、质量为m的均匀刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图T 2-24所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。
图
解：
，
s=1时共振，振幅为：
（1）
远离共振点时，振幅为：
（2）
由（2）
由（1）
， ，
故：
如图T 2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：
（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；
（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；
（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-1答案图T 2-1
解：
， cm
rad/s
cm
图所示系统中，已知m，c， ， ， 和 。求系统动力学方程和稳态响应。
图答案图(a)答案图(b)
解：
等价于分别为 和 的响应之和。先考虑 ，此时右端固结，系统等价为图（a），受力为图（b），故：
（1）
， ，
（1）的解可参照释义（），为：
（2）
其中：
1-1一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制
解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为
，
x=Asin10πt ；
由物体的受力分析，N= 0（极限状态）
物体不跳离平台的条件为： ；
既有 ，
,
由题意可知 Hz，得到 ， mm。
1-2有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为 cm及 cm时的速度分别为 20 cm/s及 cm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。
解：
振幅A=
最大速度
最大加速度
1-4某仪器的振动规律为 。此振动是否为简谐振动试用x-t坐标画出运动图。
解：因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ωT2=2π/3ω ，所以，合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。
1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为 和 ，试求它们的合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。
解：两简谐振动分别为 ， ，
则： =3cos5 t+3isin5 t
=5cos(5 t+ )+3isin(5 t+ )
或 ；
其合成振幅为： =
其合成振动频率为5 t，初相位为： =arctan
则他们的合成振动为： 实部： cos(5 t+arctan )
图答案图
解：
取坐标轴 和 ，对连接点A列平衡方程：
即：
（1）
对m列运动微分方程：
即：
（2）
由（1），（2）消去 得：
（3）
故：
由（3）得：
在图所示系统中，已知m，c，k， 和 ，且t=0时， ， ，求系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。
图
解：
，
求出C，D后，代入上面第一个方程即可得。