高中数学专题：圆锥曲线

高中数学专题：圆锥曲线

题型一 直线与圆锥曲线的综合问题

例1 (12分)(·课标全国Ⅰ)已知点A (0,－2),椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的离心率为32,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF 的斜率为233,O 为坐标原点.

(1)求E 的方程；

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程. 规范解答

解 (1)设F (c,0),由条件知,2c ＝233,得c ＝ 3.[2分]

又e ＝c a ＝32,所以a ＝2,b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.[5分]

(2)当l ⊥x 轴时,不合题意,

故设l ：y ＝kx －2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),[6分]

将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得

(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.[7分]

当Δ＝16(4k 2－3)>0,即k 2>34时,

x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1

. 从而|PQ |＝k 2

＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1

, 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1

.[9分] 设4k 2－3＝t ,则t >0,S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t

. 因为t ＋4t ≥4,当且仅当t ＝2,

即k＝±

7

2时等号成立,且满足Δ>0,[11分]

所以,当△OPQ的面积最大时l的方程为y＝

7

2x－2或y＝－

7

2x－2.[12分]

评分细则

第(1)问得分点

1.由直线的斜率,得出c值,得2分,列出关于c的方程,求解结果错误只得1分.

2.由椭圆的离心率求得a值得2分,得出E的方程得1分.

第(2)问得分点

1.设出直线l的方程得1分,没有考虑斜率不存在,直接设出直线方程不得分.

2.直线方程与椭圆方程联立,得出一元二次方程得1分,方程不正确,不得分.

3.求出弦长给1分,只给出弦长值而没有过程,不得分.

4.求出三角形的面积得1分；只写出面积公式没有代入数据,不给分.

5.求出k值得2分,没有验证是否满足方程的判别式扣1分.

6.写出直线l的方程得1分.

第一步：由圆锥曲线几何性质及已知条件求参数a,b,c,e中某个值；

第二步：求圆锥曲线方程；

第三步：分析直线与圆锥曲线的关系,联立方程,得一元二次方程；

第四步：由“Δ”或根与系数的关系,弦长公式等,寻找解决问题的思路；

第五步：通过化简、运算,得出结果；

第六步：回顾反思,查验问题的完备性.

跟踪训练1(·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y＝2上,且OA⊥OB,试判断直线AB 与圆x2＋y2＝2的位置关系,并证明你的结论.

题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题

例2 (14分)(·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时,△ADF 为正三角形.

(1)求C 的方程.

(2)若直线l 1∥l ,且l 1和C 有且只有一个公共点E ,

①证明直线AE 过定点,并求出定点坐标.

②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由. 规范解答

解 (1)由题意知F (p 2,0).

设D (t,0)(t >0),则FD 的中点为(p ＋2t 4,0).

因为|F A |＝|FD |,

由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪t －p 2, 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去).[2分]

由p ＋2t 4＝3,解得p ＝2.

所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .[4分]

(2)①由(1)知F (1,0).

设A (x 0,y 0)(x 0y 0≠0),D (x D,0)(x D >0).

因为|F A |＝|FD |,则|x D －1|＝x 0＋1,

由x D >0得x D ＝x 0＋2,故D (x 0＋2,0),

故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.

因为直线l 1和直线AB 平行,

设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ,

代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0

＝0, 由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0,得b ＝－2y 0

.[6分]

设E (x E ,y E ),则y E ＝－4y 0,x E ＝4y 20

. 当y 20≠4时,k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20

－y 204＝4y 0y 20－4, 可得直线AE 的方程为y －y 0＝

4y 0y 20－4(x －x 0). 由y 20＝4x 0,整理可得y ＝4y 0y 20－4

(x －1), 直线AE 恒过点F (1,0).

当y 20＝4时,直线AE 的方程为x ＝1,过点F (1,0),

所以直线AE 过定点F (1,0).[9分]

②由①知直线AE 过焦点F (1,0),

所以|AE |＝|AF |＋|FE |

＝(x 0＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0

＋2.[10分] 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1.

因为点A (x 0,y 0)在直线AE 上,故m ＝x 0－1y 0

. 设B (x 1,y 1).直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0),

由于y 0≠0,可得x ＝－2y 0

y ＋2＋x 0, 代入抛物线方程得y 2＋8y 0

y －8－4x 0＝0, 所以y 0＋y 1＝－8y 0

, 可求得y 1＝－y 0－8y 0,x 1＝4x 0

＋x 0＋4. 所以点B 到直线AE 的距离为

d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m 2

＝4(x 0＋1)x 0

＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.[12分] 则△ABE 的面积