空间中的垂直关系习题

空间中的垂直关系练习题

知识点小结

一．线面垂直定义：如果直线AB 与平面α相交于点O,并且和这个平面内过交点O 的任何直线都垂直，我们就说直线AB 与平面α互相垂直，直线AB 叫做平面α的_________，平面α叫做直线L 的_________,交点P 叫做_________。

垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的_________，垂线段的长度叫做点到平面的_________。

由定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么_____________________________。

二．判定定理：如果一条直线与平面内的______________垂直，则这条直线与这个平面垂直。

符号语言：

推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么__________________________。

推论2 如果在两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线_________。

三．平面与平面垂直的判定

1.平面与平面垂直定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与_________________互相垂直，就称这两个平面互相垂直。

2.平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的_________，则两个平面互相垂直。

3.平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么_____________________________________。

一．选择题

1在空间，如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角的关系是( )

A.相等

B.互补

C.相等或互补

D.无法确定

2.个平面γβα,,，之间有α⊥γ，β⊥

γ，则α与β （ ） A.垂直 B.平行 C.相交 D.以上三种可能都有

3.下列命题正确的是( )

A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

4.若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；

③l ∥α，l ⊥β⇒α⊥β.

其中的真命题有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m

C．若l∥α，l∥m，则m∥αD．若l∥α，m∥α，则l∥m

6．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是( ) A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n

C．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β

7.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是( )

A.BC∥平面PDF

B.DF⊥平面PAE

C.平面PDF⊥平面PAE

D.平面PDE⊥平面ABC

8.四个命题：①若直线a//平面α，则α内任何直线都与a平行；

②若直线a⊥平面α，则α内任何直线都与a垂直；

③若平面α//平面β，则β内任何直线都与α平行；

④若平面α⊥平面β，则β内任何直线都与α垂直．其中正确的两个命题是( )

Ａ．①与②Ｂ．②与③Ｃ．③与④Ｄ．②与④

9.如图、—ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )

A.AC⊥SB

B.AB∥平面SCD

C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

10.设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.

其中正确的命题是( )

A．①②B．②③

C．②④D．③④

11.如下图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是( )

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

12. 若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )

A.

3

3

B．1

C. 2

D. 3

二．填空题

1．已知直线l ，m ，n ，平面α，m ⊂α，n ⊂α，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的________条件．

2.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：

①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；

②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；

③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；

④若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n .

其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)________．

3.如左下图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1D 与BC 1所成的角为π2

，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为____________.

4．如右上图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠ADC ＝90°，且AA 1＝AD ＝DC ＝2，M ∈平面ABCD ，当D 1M ⊥平面A 1C 1D 时，DM ＝________.

三.解答题

1.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒

∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。

求证：DM PB ⊥

2.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．

（1）求证：AF ∥平面PCE ；

（2）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 3.如下图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝4，AB ＝2DC ＝2 5.

(1)求证：BD ⊥平面PAD ；

(2)求三棱锥A －PCD 的体积．

4.已知四棱锥P ABCD -的三视图如下.

（I ）求四棱锥P ABCD -的体积；

（Ⅱ）若E 是侧棱PC 的中点，求证：//PA 平面BDE ； （Ⅲ）若E 是侧棱PC 上的动点，不论点E 在何位置，是否都有BD AE ⊥？证明你的结论。

.

E F A C D

P